CC BY
17
УДК 517.11+519.21
СТОХАСТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА - ГИЛЬБЕРТА В КОНФОРМНЫХ МАРТИНГАЛЬНЫХ КЛАССАХ Hp И BMO
© 2004 г. С.Б. Климентов
In the paper the probabilistic formulas for the solution of a Riemann-Gilbert boundary value problem in the classes of holo-morphic functions Hp, Ep ,1 < p < x, and BMO (bounded mean oscillation) are given. On the basis of these formulas the
stochastic Riemann-Gilbert boundary value problem for conformal martingales of classes Hp, 1 < p < x, and BMO is decided.
В данной работе даются вероятностные формулы для решения краевой задачи Римана-Гильберта в классах голоморфных функций Харди Ир , Смирнова Ер ,1 < р <о>, и ВМО (ограниченной средней осцилляции). На основании этих формул решается стохастическая краевая задача Римана-Гильберта для конформных мартингалов классов Ир,Ер ,1 < р <го, и ВМО . Эти
результаты обобщают построения работы [1].
1. Основные определения и обозначения
Рассмотрим в комплексной 2 -плоскости единичный круг Б = {2 :| 21< 1}, 2 = те10 с границей дБ = Г = 2 :| 21= 1}. Через S обозначим аффикс
10 -.-I
^ = е точки на 1 .
Г оломорфную в Б функцию
ф(2)еИр,1 <р <да , [2, с.74] (или ф(2)еВМО
[3]) будем называть решением краевой задачи Римана-Гильберта, если некасательные краевые
значения Ф+(^)=Ф(^) функции Ф(2) на Г почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию Ке{Ц(ф (^ )}= g (5), (1)
где Я = Я(у) = а(^)+1й(у) — ограниченная, измеримая по Лебегу на Г комплексная функция, g ( )е 1р (г).
Определение 1 [2, с.14]. Кривой Ляпунова называется регулярная кривая С, для которой угол 0(5) между касательной и положительным направлением оси абсцисс удовлетворяет условию Гельдера, т.е. 0(5 )е Са [0, 5] , 0 < а < 1, 5 — длина дуги на С, 5 — длина всей кривой С .
Определение 2 [2, с.19]. Спрямляемая кривая С (обладающая почти в каждой своей точке касательной), называется кривой Радона, если функция 0(5), введенная в предыдущем определении, имеет ограниченную на [0, 5] вариацию. Те точки кривой С, в которой скачки функции 0(5) равны по модулю п, называются точками заострения кривой С .
Ниже также будет рассматриваться задача Римана-Гильберта для односвязной ограниченной области О, границей которой В = дО явля-
ется кривая Ляпунова либо кривая Радона без точек заострения.
Определение 3 Действительная измеримая на Г функция <p = ç>(t(s)), s - длина дуги на Г , называется принадлежащей пространству BMO (bounded mean oscillation) [4, с.266], если
sup-1-1 №(o)-ç>! I do <œ ,
I 1I 11
где I — произвольный отрезок на Г ; 111 — длина этого отрезка,
<Р1 = i(p(o)do,
1 III/ ^
а sup берется по всем отрезкам I с Г.
Определение 4. Будем говорить, что определенная на Г комплекснозначная функция f(t) принадлежит классу BMO , если Re f е BMO и Im f е BMO .
Определение 5. Голоморфную в D функцию Ф(2 ), имеющую почти всюду на Г некасательные предельные значения ф( ), будем называть голоморфной функцией класса BMO , если ф(/) е BMO.
Задачу (1) также будем рассматривать в пространстве голоморфных функций класса BMO при условии, что g е BMO .
Обозначим Bzt (о) = Bt = B1 + îBf =
= {Bt, О, И t, Pz }, t> 0 комплексное броуновское движение в z -плоскости, стартующее в точке z ; О - пространство элементарных событий, И t — соответствующее семейство о -полей; — переходная функция [5, с. 116]. Обозначим т момент первого выхода Bt из D [5, с.152].
Если вместо условия (1) выполняется
Re^B>(BT)}= g (Вт) п.н. Pz, (2)
\begin{equation} \label{sb}, то Ф = Ф^) будем называть решением стохастической краевой задачи Римана-Гильберта.
Отметим, что голоморфная функция Ф = Ф^ ),
удовлетворяющая условию (1), также удовлетворяет и условию (2), т.е. решение обычной
задачи также является и решением стохастической задачи. Обратное, вообще говоря, неверно.
Определение 6. Обозначим Т момент первого после +0 выхода Bt из области G с границей В. Следуя [5, с.536], будем говорить, что точка z еВ регулярна, если Pz> 0} = 0.
Можно показать, что если все точки границы регулярны, решение стохастической краевой задачи (2) в описанных ниже предположениях будет совпадать с решением обычной задачи (1), [5, гл. 13. §2], и дальнейшими рассуждениями этой статьи.
Отметим, что у кривой Ляпунова и у кривой Радона без точек заострения все точки регулярны [5, с.548].
Определение 7. Вещественный или комплексный мартингал ft (о) над (,^t, P) будем называть мартингалом класса Hр [6, п.7.1], если
функция х * (о) = sup | ft (о) | принадлежит Lp (q) .
t >0
Определение 8. Вещественный или комплексный мартингал ft (®)е H 2 над (Q, ^t, P) будем называть мартингалом класса BMO [7, п.7.2], если
2
sup
t > О
E(f»— ft |2|^t )
l»(q)
< ».
В результате получим вполне определенную ветвь 0(/), которая в точках имеет два значения: 0—) до обхода и 0^+) после обхода. Обозначим
■¿ZMtk+)— 4-)}= índ гИ )
= к.
Поскольку в(ґ±) соответствует одной и той
же точке ), число к — целое. Очевидно, К не зависит от выбора точек и покрытия (Вк).
Определение 9. Число к будем называть индексом задачи (1).
2.2. Задача Шварца для Ир. Рассмотрим
вещественную функцию и(ґ)є Ьр(г), р > 1, и интеграл Шварца
ф( ) = 2-Іu (s )є7^ ds + ™О 2n eís — z
(3)
где E(|^t ) — условное математическое ожидание.
2. Формулы Гахова для решения задачи Римана-Гильберта в классах Hp . Задача Ри-
мана-Гильберта в классах H p решена сведением к задаче Римана [2, с.272-273]. Здесь известные уже результаты получены с помощью схемы Ф. Д. Гахова с использованием регуляризующего множителя [7, с.264-285].
Предположения. Будем считать, что
О < k1 <| Я |< k2 , где k1 и k2 — некоторые постоянные. Ясно, что в таком предположении без ограничения общности можно считать | Я|= 1,
т.е. h(s) = e'4), где e(s) — действительная измеримая функция.
На e(s) наложим следующие дополнительные условия: существует такое конечное покрытие (Bk ) контура Г интервалами, что на каждом из них \в\<уп , v< 1/p, v< (p —1)/p .
2.1. Индекс краевого условия. Возьмем на каждом интервале Bk из покрытия (Bk ) точку tk и разрежем Bk в этой точке, т.е. будем принимать точку tk за две точки: t+ и t—. Фиксируя
произвольно значение 4 ) в некоторой точке tk+ и следуя по направлению обхода контура Г вдоль цепи интервалов Bk , будем последовательно определять в() на встречающихся интервалах так, чтобы |в()—в(')|<п, когда t и t' принадлежат пересечению соседних интервалов.
где Уо — действительная постоянная.
Как известно [2, с.70-71, 82-83, 135-136], ф(2) е Ир , причем некасательные предельные
значения Яе Ф+(/) почти всюду на Г совпадают с и(/) .
Таким образом, интеграл (3) дает решение в классе Ир задачи Шварца
ЯеФ(/) = и(/) е Ьр (Г), (4)
причем при изменении значений вещественной
постоянной У0 получаются все решения задачи
(4)
[2, с.272-274].
Значение интеграла (3) при У0 =0 обозначим
5и(2). е1а = т, , тогда
5и()—^- |и(т)——— Ст, (5)
2пг т — 2
причем [2, с.98]
115и(21Ир <СЛи\\ьр(Г),
где константа С р от и не зависит.
2.3. Определение аналитической функции, имеющей полюс, по значениям ее действительной части на контуре (задача А) для
Ир. Требуется определить функцию Г(2), аналитическую в Б , за исключением точки 2 = 0 , где для нее допустим полюс порядка не выше п класса Ир, действительная часть которой обращается почти всюду на Г в заданную функцию и(5 )е ьр (г) .
Дословным повторением соответствующих рассуждений из [6, с.269-271] получим, что Г (2 )= 5и(2) + 0(2), (6)
где оператор 5 определен в (5), а
q(z) = ß0 + 2 (ckzk — ckz k ),
(7)
2.4. Регуляризующ
к = índ г ) = índ г [e4(t )
— комплексные произвольные постоянные; $0 — произвольная вещественная постоянная.
ий множитель. Пусть = 0. Тогда для V/ еГ определена некоторая, для V/еГ одна и та же, ветвь 0() и 0() есть вполне определенная функция класса ¿^(г).
Обозначим 7(2) = «(2)+0(2) аналитическую в Б функцию такую, что 7(2)= 502), где 5 — оператор Шварца, определенный формулой (5), т.е. со(2) — единственным образом определенная вещественная ограниченная функция, гармоническая в Б, с граничными значениями 0(/) [2,
с.182]; ш (2) - сопряженная ей гармоническая функция класса ВМО [4, с.267-271]. Будем считать, что «1(0) = 0.
В силу [2, с.196] е±1г()е Ир+Е, И р+е , где
р' = = (р — 1)/р, е > 0 - некоторое достаточно малое число.
Обозначим. В силу определения 7(2) будем иметь
р(Л() = е1/(), / е Г , т.е. после умножения Л) на действительную функцию р() получаем граничные значения аналитической функции класса Ир+е, Ир—е .
Определение 10. Следуя [6, с.275], будем называть функцию р() действительным регуляри-
зующим множителем функции Л().
Если к = 1пС г^(/)^ 0, то функция
Л*() = /~кЛ()= е10*(), где 0*()=0()—кат£/, имеет нулевой индекс и существует вполне определенная ветвь функции 0* (/) на Г класса Ьте(г) .
Повторяя вышеприведенные рассуждения для функций Л*() и 0*(), получим, что в Б суще-
ствует вещественная
функция p * (z) = e ®1(z)
та-
кая, что
p * (t) = eY*() —
Деля обе части равенства (8) на регуляри-зующий множитель функции е10), приведем его к виду
ф(/)
Re
íY(tІ
= 0.
(9)
Рассмотрим отдельные случаи.
10 . к = 0. В этом случае краевое условие (9) есть условие задачи Шварца. Из (3) и (6) будем иметь
Ф(2 ) = 1^0 е7 )е Ир+Е, Ир—е , где Д, — произвольная вещественная постоянная.
20. к> 0. Краевое условие (9) есть условие задачи А . На основании (6) получим
ф(2)= 2ке7)0(2)е Ир+е, Ир—е, где 0(2) определяется формулой (7). Следовательно, задача имеет (2к +1) линейно независимых (в вещественном смысле) решений.
30. к< 0. Ненулевого решения задачи в аналитических функциях не существует.
2.6. Неоднородная задача Римана-Гильберта. Аналогично тому, как это делалось для однородной задачи, разделим обе части краевого условия (1) на регуляризующий мно-
житель функции e
Ф^ )
Re
tV^
=|t |—к e®1
(z (t ).
(1О)
Замечание 1. Конечно, в (10) | /1= 1. Здесь он выписан с целью дальнейшего использования формулы (10) для областей более общего вида.
Отметим, что поскольку еш е £р'+е(г), из неравенства Гельдера имеем еш g е Ьц (г) для некоторого Ц > 1.
Рассмотрим отдельные случаи.
10 . к = 0. Краевое условие (10) есть условие задачи Шварца (4). Из (3) получим
„17(2)
граничные значения аналитической в Б функции класса
Ир+е, Ир—е , причем 7 * (2) = ш * (2) — ш1 (2) ,
о* (2 ) = 50* (2) — ограниченная, гармоническая в
Б функция; о* (2) — сопряженная ей гармоническая в Б функция класса ВМО, о* (0) = 0.
2.5. Однородная задача Римана-Гильберта. Для однородной задачи (при g = 0) условие (1) примет вид
Яе{~10(ф)}= 0 . (8)
ф(2) = е7(2)[5(еш g)+ 1в0]е Иц, ц > 1. (11)
Так как е1г7-2) е Ир+е и
е-°1)5(е°1 g)^/)еьр(г), /еГ , [2, с.139-142], по теореме Смирнова [2, с.83] ф(2) в (11) принадлежит классу Ир.
20. к> 0. Краевое условие (10) есть условие задачи А . На основании (6) получим
Ф(2) = 2ке7)[5( / | — к е°> g)+ 0(2)]е Иц , Ц > 1. (12)
\begin{equation} \1аЬе1{пшЛ}
Аналогично предыдущему функция ф(2) в
(12) принадлежит классу Ир .
30 . к < 0 . Аналогично предыдущему получим ф(2)= 2ке7%(/ |—к еш g)+ ¡С]е Иц , Ц > 1, (13)
где С — вещественная постоянная. Ввиду наличия множителя 2к функция ф(2), определяемая
последней формулой, может иметь полюс порядка к. Чтобы получить аналитическое решение, нужно потребовать, чтобы функция
5(/1—к е«1 g)+С имела нуль порядка к в начале координат. Дословным повторением соответствующих рассуждений из [7, с.283] получаем (—2к — 1) условий разрешимости
|2пев°(°’^((Т)со8коСо = 0, ^е^^(о^ткоСо = 0, к = 0,1,..., — к — 1, (14)
на свободный член g() краевого условия (1). При выполнении этих условий, так же как и выше, ф() в (13) принадлежит классу Ир .
3. Формулы Гахова для решения задачи Римана-Гильберта в классах Ер.
Пусть О - ограниченная односвязная область комплексной 2 -плоскости; В = дО - граница области О; 0 е О .
Будем предполагать, что В -либо кривая Ляпунова, либо кривая Радона без точек заострения. Когда В - кривая Радона, при 1 < р < 2 предполагаем, что внутренние углы кривой В не превышают п . Если р > 2 , то это ограничение
не накладывается.
По-прежнему считаем, что Л() = е10), / е В, где 0() -измеримая функция, удовлетворяющая предположениям п.2, к = тйгЛ() -индекс краевого условия
Яе{?~10()ф()}= g(), / е В,
(15)
где g (/)е Ьр (В), Ф = Ф(2 )е Ер (О) — искомая голоморфная функция класса Смирнова [2, с.90].
Схема исследования задачи (15) аналогична изложенной в §2. Опишем ее, отмечая отличия от рассуждений §2.
3.1. Задача Шварца для Ер. При наших
предположениях о контуре В задача Шварца Яе ф() = и(), / е В , имеет решение
ф( )= 5и() + /Д), (16)
где Д, - произвольная вещественная постоянная; 5и() - оператор Шварца для области О , т.е. Яе 5и() = и(), / еВ , 1т5и(0) = 0 [2, с.272-274], причем при изменении постоянной А, получаются все решения задачи (16).
3.2. Задача А в Ер Обозначим £ = ^(?) аналитическую функцию, осуществляющую однолистное конформное отображение области О на единичный круг Б , СО= 0, С'(0)>0.
Дословным повторением соответствующих рассуждений из [7, с.270], получаем, что решение задачи А дается формулой
Г (2 )= 5и(2)+0(с(2)),
где 0(2) определяется формулой (7).
3.3. Регуляризующий множитель. Пусть
к = 0. Тогда 0(/) - вполне определенная функция класса Ь^(в) .- единственным образом определенная ограниченная гармоническая в О функция с граничными значениями 0(/) [2,
с.182], а «1(2) — сопряженная ей гармоническая функция, «1(0) = 0.
Далее имеем е±1г(2)е Ер+е(О), Ер+е(О) [2,
с.182]. Продолжение построения регуляризую-щего множителя дословно повторяет соответствующие рассуждения из п.2.4 с заменой классов Харди Ир на классы Смирнова Ер .
3.4. Однородная задача в Ер. Дословным повторением п.2.5 получаем для к> 0
ф(2)= 2ке7)0(С(2))е Ер+е, Ер'+е .
При к< 0 задача не имеет ненулевого решения.
3.5. Неоднородная задача в Ер. При к> 0 аналогично (12) получаем
ф(2)= 2ке72)[5(/ | — к е°> g)+ 0(С(2))]е Ер .
При к< 0 аналогично (13) получим ф(2) = 2ке1г(2)[5( /|—к е«1 g)+ С]е Ер при выполнении (—2к — 1) условий разрешимости на g(/). Явный вид этих условий можно выписать, если будет задан явный вид оператора Шварца 5 для области О .
4. Формулы Гахова в классе ВМО Вернемся к задаче (1) в единичном круге Б ,
Г = дБ . По-прежнему будем считать Л()= е100).
Предполагаем, что 0( )е Са (Г), 0 < а < 1;
g (/ )е ВМО .
Решение задачи (1) ищем среди голоморфных функций класса ВМО .
В сформулированных предположениях регу-
ляризующий множитель р(/) еСа(г), голоморфная функция 7(2) из п.2.4 принадлежит классу
Са(р), Б = Б и Г . Вместе с тем оператор Шварца (5) действует из ВМО в ВМО [6, п.7.2].
С учетом этих обстоятельств, а также того, что произведение гельдеровой на Г функции на функцию класса ВМО есть функция класса ВМО [8, с.268], получаем, что в рассматриваемом случае решение задачи Римана-Гильберта в пространстве голоморфных функций класса ВМО дается формулами (12), (13) с условиями разрешимости (14) в случае отрицательного индекса.
5. Стохастическая задача Римана-Гильберта
в И р
5.1. Стохастическая задача Шварца в Ир.
Рассмотрим частный случай задачи (2) при Л = 1, О = Б, В = Г , т.е. разыскивается функция
ф(2) е Ир, р > 1, удовлетворяющая краевому условию
Яе ф(Вг)= g(Bт) п.н. Р2 ,
(17)
где
g = g(t)є Lp(г).
Обозначим В2 / = В1 остановленное на Г броуновское движение В/ , т.е.
Bt =
Bt, 0 < t < т, Bт, t Ут,
Если, положим, Xt = Ez [g fo)^ j,
то
Для броуновского движения В00 { при / = т”
вторая формула в (20) с учетом уравнений Ко-ши-Римана принимает вид:
у(В0, т” ) = у(0) + 1о'их (В0, 5 )2 5 — иу (~~0, 5 )СВ0, 5 .
Будем пока считать, что у(0) = 0. Поскольку некасательные предельные значения функции у(2) е Нр на Г определяются для любого измеримого подмножества Ь с Г соотношением |ухйР0 = |уСт, где т — мера Лебега на Г;
B
—1
ь
Ух = у(В0,г” )е ьр (^) [6, п.7.1], случайная величина ух имеет плотность распределения ) = у(2) почти всюду на Г :
* ) =
и Ш/ = шВ5 : 0 < 5 < /}. Обозначим Е2 математическое ожидание по вероятности Р2, Е2 [• | Ш{ ] — условное математическое ожидание по вероятности Р2 относительно о -алгебры Шг.
= lim
mtL(^0
х/ = Е2[g(~т)| Ш,]= и(~), (18)
где и()е Ир (= ЯеИр) — гармоническая в Б
функция, почти всюду на Г имеющая некасательные предельные значения g () [6, п.7.1], при этом мартингал (18) принадлежит классу Ир .
Если ф() = и (2)+1у(2)е Ир, где у(х) — гармоническая функция, сопряженная функции и(2) (т.е. ф(2) есть решение (3) краевой задачи Шварца (4)), то ф(вг ) — конформный мартингал класса Ир [6, п.7.1].
Получим вероятностное представление решения (3). Для ф(вг) имеем представление [9] (формула Ито для голоморфной функции):
ф(В)=ф(~0)+Юф’(~, 0</<т? (19)
где интеграл в (19) понимается как стохастический интеграл в смысле Ито [5, гл.7, §1].
В вещественном виде соотношение (19) переписывается так (0 < / < т):
и(в/ )= и (В~0 ) + 210 (их + Уу )в,5 +(х — иу )СВ5 ,
у(В )= у(В0 ) +
+ -2 10 (их + Уу ^ ^ +(ух — иу )(ВВ5 )в1 (20)
Пусть в соответствии с принятыми обозначениями В0,/ — остановленное броуновское движение, стартующее в точке 2 = 0; т” — момент его первого выхода на Г . Случайная величина В0) т” равномерно распределена на Г и ее значения плотно расположены на 6 [7, гл.3].
Левые части в (20) при / ^т” Р0- п.н. сходятся к и(в~0 т”), у(в~0 т”) соответственно [6, п.7.1].
Как такой предел будем понимать в (20) правые части при / = т”.
Е0 ¡Жь (В0, т” )о"их (В0,5 )^В02,5 - иу (в0, 5 )СВ0,5 } Се/„ ( ) (21
------------Е0ЖЛ------------------Ои(* И
)
где Хь — характеристическая функция множества Ь , 5 е Ь .
Формула (21) есть не что иное, как вероятностное представление преобразования Гильберта (Рисса).
Поскольку по мартингалу х{ е Ир функция
Фе Ир восстанавливается однозначно [6, п.7.1],
каждое стохастическое решение задачи Шварца в И р будет обычным решением.
Итак, с учетом (18) стохастическое решение задачи Шварца в И р определяется соотношением
ф(~ ) = Е2 ^(Вт )+ ¿(в + Оg(Вт ))| Ш/ ], (22)
где в = у(0) — произвольная вещественная постоянная, а в силу марковости конформных мартингалов, определяемых (22) [3, 6, 9], обычное решение задачи Шварца в И р имеет следующее
вероятностное представление:
ф(2) = Е2 [я(Вг)+1-(в+Оя(Вг)|]. (23)
Замечание 2. Отметим легко следующее из (20) одно стохастическое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет стохастическое решение задачи (17):
dФl
(Bz, t )= 2^Ez [gBz, Ж t )dBz, t.
Здесь С — стохастический дифференциал.
5.2. Задача Римана-Гильберта в Ир. Сохраняя прежние обозначения и предположения о Л({) и g (/) из п.2, из (12), (13), (22) и (23) непосредственно получаем следующее утверждение.
Теорема 1. Стохастическое решение задачи Римана-Гильберта (1) в классе И р в случае
к > 0 определяется формулой
Ф(
ВтЬ Ez exp[í(I + íG)(<^(s)— кarg t)(Bт)j>
х [(В + О) 5 | к ехр(ОЦ)— ка^/Х5)))))х
х(Вг)+ б(^г)|Ш,} (24)
где I — тождественный оператор; в случае к< 0, если стохастическое решение в Ир существует, оно определяется формулой
ф(В ) = Е2 <[(ВВт )к еХр[1(1 + 1О[) — Karg /)(ВВГ )]х ,
х [(I+ 1О)(5 |—к ехр(ОЦ) — к а^/)())х
х(Вг)+ С ]ш /} (25)
где С - вполне определенная функциями Л и g действительная постоянная.
Вероятностные представления обычных решений задаются соответственно формулами:
ф(о=ez {W exp[í(I+íG И)—кarg оі-вИ»
x [(i + íG)( s |—к exp(G((s) — к arg tXs) (s))x
x (^т)+ qM} , (26)
Ф(z ) = Ez Ы exp[í(I + íG)((s)—^g t)1^
:[(i + ígX s| exp(G{(s) —кШ£t){))x(s)^+ íCj
(27
)
по
жение в О, то его образ в Б / = с(в2, t)
теореме Леви, после замены времени Л) = 10 | С' (В2, 5 )|2 ^ будет остановленным броуновским движением В л над (□,Шл,Р^(2)) в Б [6, п.3.3.6].
Краевая задача (15) перейдет в эквивалентную задачу (1) в предположениях §2.
Для получившейся задачи (1) в классе Ир мы
можем выписать формулы из теоремы 1 с заменой Вґ на Vх и перейти в них от Ух и Шл к В( и посредством отображения г = х(^'). При этом получим нужные нам вероятностные формулы для задачи (15), только останется вопрос о структуре оператора Ои. Выясним его структуру.
При отображении г = г(^) формула (19) для ф(^), Ух, 0 <Х< I = л(т):
ф(~л)=ф(~Ь)+1оХфХ(VЦ,
с учетом правила стохастического дифференцирования
dVs = )= СІВ К (28)
и правила дифференцирования суперпозиции
(29)
ф^ )=ф Z (B )ZZ Vs )
перепишется в виде (19), где В/ — остановленное броуновское движение в области О; т — момент первого выхода В/ из О .
Поскольку в этих формулах использованы вероятностные представления оператора Шварца, здесь так же, как и в случае задачи Шварца, каждое стохастическое решение будет и обычным решением.
6. Стохастическая задача Римана-Гильберта в ВМО. Рассуждения дословно повторяют §5 с заменой предположений о 4) и ^(ґ) на предположения §4, классов функций и мартингалов с Ир на ВМО и ссылок [6, п.7.1]
на ссылки [6, п.7.2].
Итоговый результат дословно повторяет формулировку теоремы 1 с описанной заменой классов.
7. Стохастическая задача Римана-Гильберта для классов Ер.
Будем предполагать, что граница В = дО области О — ляпуновская кривая. Обозначим ^ = С(2) голоморфную функцию, осуществляющую однолистное конформное отображение области О на единичный круг Б . По известной теореме Келлога [10, с.468-469] £ = ^(2) —
диффеоморфизм О на Б класса С1,а(о), где число а фигурирует в определении 1.
Если Вг ґ — остановленное броуновское дви-
Далее формула (21) для Ф(г) и Vя
Eo (х (~о, і" X Im í0" Ф (t s )o, s j}
Еохл(ро, і")
Gu(s) = lim
m(\)-^0
при отображении z = z(^) с учТтом (28) и (29) перейдет в (21), где L = z(v); г" — момент первого выхода B0 t из области G.
Таким образом, при сделанных предположениях оператор G задаЕтся формулой (21).
Итог. При сделанных предположениях вероятностные формулы для задачи (16) имеют вид (24)-(27).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 02-01-00909.
Литература
1. Климентов С.Б. // Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 4. С.7-9.
2. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., 1975.
3. Getoor R.K., Sharpe M.J. // Inventiones math. 1972. Vol. 16. P.271-308.
4. Кусис П. Введение в теорию пространств
Hp . М., 1984.
5. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., 1963.
6. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.
7. Petersen K.E. Brownian motion, Hardy spaces and bounded mean oscillation. London Math. Soc. Lecture Note Ser. 28. Cambrige, 1977.
8. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М., 1984.
9. Parthasarathy K.V. // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 1991. Vol. 370. P.62-68,
10. Голузин Г.М. Геометрическая теория функ- ций комплексного переменного. М.; Л., 1952.
Ростовский государственный университет
Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС__________________8 декабря 2003 г.
