Классы bmo обобщенных аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2006, Том 8, Выпуск 1

УДК 517.2

КЛАССЫ BMO ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1

С. Б. Климентов

В работе вводится класс ВМО обобщенных аналитических функций, частным случаем которого является хорошо известный класс ВМО голоморфных функций. Доказаны базовые свойства функций из введенного класса, введена банахова норма, получены некоторые оценки интегральных операторов в этой норме. Рассмотрена краевая задача Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций в классе ВМО.

В предлагаемой статье, развивающей результаты автора [1] по аналогам классов Хар-ди обобщенных аналитических функций, строятся соответствующие аналоги классов BMO (Bounded Mean Oscillation) для обобщенных аналитических функций. Цель работы — развить аппарат для анализа нерегулярных краевых задач. Соответствующие нерегулярные краевые задачи в аналогах классов Харди рассмотрены в [2].

Обозначим D = {z : |z| < 1} единичный круг комплексной z-плоскости, z = x + iy, i2 = -1; Г = dD — граница круга D; D = DUГ; A(z),B(z) G Ls(D), s > 2 (используются обозначения книги [3]), — заданные комплексные функции.

Рассмотрим в D каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

где у = ш^) = и(г) + т^) — искомая комплексная функция, и и V — ее действительная и мнимая части, бц = 1/2(д/дх + гд/ду) — производная в смысле Соболева.

Решение ш^) системы (1) называют обобщенной аналитической функцией [3, с. 148].

Определение 1. Следуя [1], будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу Нр(А, В), р > 0, если оно для некоторой положительной постоянной Мр(ад) < удовлетворяет условию

При А = В = 0 имеем обычный класс Харди Нр голоморфных функций [4, с. 57]. Множество ограниченных в О решений системы (1) будем обозначать Нте(А, В).

1. Введение. Основные определения

daw + A(z)w + B(z)w = 0,

(1)

о

© 2006 Климентов С. Б.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №02-01-00909.

Определение 2. Вещественная функция ( £ Ь1(Г), ( = ((вгв) = ((в) называется функцией класса ВМО [4, с. 227], если

ш /- (I'<в = "("* <

те, (2)

где I С Г — произвольный интервал на Г, 1I1 — его длина,

(I = |1 У (

I

Для комплекснозначной функции ( £ Ь\(Г) определение аналогично. Определение 3. Будем говорить, что решение ш(г) системы (1) принадлежит классу ВМО(А, В), если ш(г) £ И2(Л,В) и его некасательные предельные значения ш(4) на Г принадлежат классу ВМО.

При А = В = 0 имеем голоморфный класс ВМОО [4, с. 269].

2. Вспомогательные сведения

Лемма 1 ([3, с. 156, 175-177]). Для обобщенной аналитической функции ш(г), определенной в О, имеет место представление

ш(г) = Ф(г) ехр < 1 Ц , (3)

Iп У с - г

где _

{ш

А (г) + В (г)— , если ш = 0, ш

0, если ш = 0 ,

Ф(г) — голоморфная в О функция, однозначно определяемая функцией ш(г).

Если в соотношении (3) задана голоморфная в О функция Ф(г) (произвольной структуры), то по ней однозначно определяется обобщенная аналитическая функция ш(г).

Следуя [3, с. 42, 45], обозначим

Т/ (г) = -Щ /—I /(г) £ ^(О), д > 1. (4)

У

Лемма 2 ([3, с. 41, 57]). Если ш(г) — непрерывное в О решение системы (1), то имеет место соотношение

ш(г) + Т(Аш + Вш)(г) = Ф(г), Ф(г) = — [ (5)

2т } 4 — г г

Очевидно, Ф(г) в (5) — голоморфная в О функция.

Если Ф(г) — произвольная голоморфная в О функция класса > 2

(используются обозначения книги [3]), то соотношением (5) однозначно определяется решение ш(г) системы (1) класса О^ДО).

Лемма 3 ([3, с. 185]). Если ш(х) £ С (О) — решение уравнения (1), то имеет место представление (обобщенная формула Коши)

м(х), х £ Б,

2Ф), х £ Г, (6)

— П1(х,()т(0 % - П2(х,()т(0 %={

0, х/Б,

где

П1 Ы) = ^ + о (к - х|-2/') , Ъ(х, с) = о (к - х|-2/') , (7)

обобщенные ядра Коши уравнения (1) [3, с. 179], (х, (), ^(х, () £ Са, а = в/(в - 2), по каждой переменной х, ( при х = (.

Замечание 1. При А = Б = 0 П1(х,() = —-—, ) = 0 и формула (6) превра-

С — х

щается в формулу Коши для голоморфных функций.

Лемма 4 [3, с. 194, 151-152]. Если т(х) £ С (О) — решение уравнения (1),

т(г)

т = ± ¡^ (8)

к ' 2т } г - х ' к '

г

то

Ш(х) = 2П1] П1(х>0Ф(0 К - Ых,0Ф(0 К = КФ(х). (9)

г

Обратно, если Ф(х) — голоморфная в О и непрерывная в О функция, то (9) — непрерывное в О решение уравнения (1) и имеет место представление (8).

3. Некоторые свойства функций класса БМО(А, Б)

3.1. Базовые свойства.

Теорема 1. Для того, чтобы обобщенная аналитическая функция ш(х) принадлежа-лаклассу БМО(А, Б), необходимо и достаточно, чтобы в представлении (3) Ф £ БМОО.

< В силу предположения А(х), Б(х) £ Ь3(П), интеграл в представлении (3) для любой ш(х) принадлежит классу Са(О), а = (в - 2)/в [3, с. 54]. Вместе с тем, произведение функции на Г класса БМО на гёльдерову функцию принадлежит Б МО [4, с. 268], а м £ Н2(А,Б) эквивалентно Ф £ [1], откуда непосредственно следует утверждение теоремы 1. >

Лемма 5. Если м(х) £ БМО(А, Б), то м(х) £ НР(А,Б), р> 0, и м(х) £ Ьт(В) для любого т > 0.

< Поскольку Ф £ БМОО принадлежит НР для любого р> 0 [4, с. 231], то по теореме 1 из [1] ш(х) £ Нр(А, Б) для любого р > 0, и по теореме 4 из [1] ш(х) £ Ьт(О) для всех т> 0. >

Приведем обобщение представления (5) на классы БМО(А, Б).

Теорема 2. Если ш(х) £ БМО (А, Б), то имеет место соотношение (5), где Ф(х) £ БМОО.

< По лемме 5 и теореме 5 из [1] представление (5) имеет место и Ф(х) £ Нр для всех р > 0. Поскольку по теореме (1) ш(х) £ ЬР(П) для любого р > 0, в силу неравенства

Гёльдера А(г)ю(г) + Б(г)ю(г) £ Ья(О) для любого д такого, что 2 < д < в. Отсюда интеграл в (5) принадлежит классу С в (О) при 0 < в < (в — 2)/в [3, с. 54] и получаем Ф(г) £ БИОС. >

Теорема 3. Уравнение ю(г) + Т(Аю + Бю)(г) = Ф(г) при любом Ф(г) £ БИОС имеет единственное решение ю(г) £ БИО(А, Б).

< Поскольку Ф(г) £ Нр для всех р > 1, рассматриваемое уравнение имеет единственное решение ю(г) £ Нр(А, Б) [1]. Из Т (Аю + Бю)(г) £ С в (р), 0 < в < (в — 2)/в, получаем ю(г) £ БИО(А, Б). >

Теорема 4. Если ю(г) £ Нр(А,Б), р ^ 1, или ю(г) £ БИО(А, Б) — решение уравнения (1),

1 Г ю(г)

Ф(г) = — / ( ) 2пг]

г — г

(г,

то

ю(г) = —/ ^(г,С)Ф(С) ^ — ^(г,С)Ф(С) (С = КФ(г). (10)

г

< Рассуждения достаточно провести в случае ю( г) £ Нр(А,Б), поскольку если этот вариант теоремы доказан, утверждение для БИО(А, Б) будет следовать из леммы 5. Для Нр(А,Б), р ^ 1, рассуждения дословно повторяют соответствующее построение из [3, с. 194], только вместо теоремы Коши следует использовать аналогичную теорему Риссов для Н1 [4, с. 94], [5, с. 85]. >

Замечание 2. При этом Ф( г) £ Нр [1] или, соответственно, Ф(г) £ БИОС (теорема 2). Обращение этой теоремы, аналогичное приведенному в лемме 4 для непрерывных Ф(г), получим ниже.

Отметим, что для функций класса БИО(А, Б) справедлива формула Грина (поскольку она имеет место для функций из Нр(А, Б), р ^ 1 [1]):

1 j ю(г) (г = jj (х(у. (11)

гг

Приведем еще одно соотношение. Рассмотрим наряду с (1) сопряженное уравнение

Оцю' — А(г)ю' — Б ( г)ю' = 0. (12)

Лемма 6. Если ю(г) £ Нр(А,Б),р ^ 1, а ю'(г) £ Ня(—А, —Б), 1/р + 1/д = 1

(при р = 1 полагаем д = то) — решение уравнения (12), то имеет место соотношение (тождество Грина)

1т ю(г)ю'(г) (г| =0. (13)

< Для произведения юю' имеем

д (юю')

д г

где

= 2йт {Бю'ю} = С (г)юю',

2йт {Бю'ю} , '

С ( г) =-'- при юю =0, С ( г) = 0 при юю = 0.

Таким образом, С (г) £ Ь8(С), а шш' £ Н\(-С, 0) (в силу неравенства Гельдера). Применяя к шш' формулу (11), будем иметь

J ш(г)ш'(г) йг = 2iJJ ) йхйу = —^JJ 1т {Вш'ш} йхйу,

г о о

откуда получаем (13). >

3.2. Введение норм и некоторые их свойства. Теорема 5. Множество Нр(А, В), р ^ 1 (Н^(А, В)), с нормой

1 /р

„гв

w\\hp = |У" |w(ei0 )lpde, (14)

\w\hx = sup|w(z)| (15)

z&D )

является действительным банаховым пространством. Здесь w(e%ö) — некасательные предельные значения w(z) на Г.

< То, что (14) и (15) — нормы, очевидно. Пусть |wn(z)}^=1 — фундаментальная последовательность в норме (14). Эта последовательность сходится равномерно внутри D к решению w(z) уравнения (1) [3, с. 187]:

W(z) = 2- f fii(z,CMC) dZ - Ü2(z,(Шdt, (16)

г

где <ß(z) = lim wn(z), z G Г; предел понимается в норме Lp(r),p ^ 1.

Рассмотрим случай p =1. Убедимся, что w(z) из (16) принадлежит Hi(A,B). Очевидно неравенство:

2п 2п 2п

У |w(rei0)| de ^ J lw(rei9) - Wn(reie)| de + J |Wn(reie)| de, 0 0 0

для всякого г, 0 < г < 1.

Покажем, что последний интеграл ограничен равномерно по п и г. По формуле (3) шп = ФпеШп, г £ О. Последовательность {шп(г)} ограничена в О равномерно по п [3, с. 163]. Далее,

2п 2п

[ 1шп(гегв)| йв < Сг [ |Фп(гегв)| йв,

2п

где константа С\ не зависит от п и г. Интеграл J 1Фп(гегв)| йв монотонно возрастает по г

о

[4, с. 59]. В то же время, в силу ограниченности фундаментальной последовательности,

2п 2п

/ 1Фп(егв)| йв ^ С2/ 1шп(егв)| йв ^ С3, где константы С2 и С3 не зависят от п. оо

Теперь осталось отметить, что в силу равномерной внутри О сходимости шп ^ Ш, какое бы 0 < г < 1 мы не зафиксировали,

2п

[ |ш(ге^) - Шп(ге*0)| (Ш ^ 1

для достаточно больших п. Это доказывает, что ш(г) £ Й1(А, В). Отсюда [1]

Ш(*) = 2^/°1(^,с)ш(0 (С - «2(г,СМ0 (С, (17)

г

где ) = ) при г ^ ( £ Г, г £ О, по некасательным путям.

По обобщенным формулам Сохоцкого [1] при г ^ Ь £ Г из (16) имеем:

1 1 [ - -

ш±(ь) = ±2+ — у «1 (Ь,СМС) (С - ^2^,СМС) (С, (18)

г

где Ш+(Ь) — предельные некасательные значения при г ^ Ь, г £ О, а ш-(Ь) — при г £ О. Аналогично из (17)

Ш±(Ь) = ± 1 + адсМО (С - адсмо (С (19)

г

Вычитая (18) и (19), для разности Н = ^ - Ш получим 11

± 1 Н(Ь) + ^ / «1 (Ь, С )Н(С) (С - «2(Ь, С )Н(С) (С = 0, г

т. е. Н(Ь) есть граничное значение функции из Д1(А, В) [1], продолжимой голоморфным образом вне О и равной нулю на бесконечности [3, с. 185]. Отсюда Н(Ь) = - ш(Ь) = 0 на Г и Н (А, В) с нормой (14) полно.

Если р > 1, то в (17) ш(г) £ ЯР(А, В), поскольку = ш(Ь) £ ЬР(Г) [1].

Для нормы (15) утверждение теоремы непосредственно следует из (3) и равномерной ограниченности |шп(г)}. >

Величина ||^||* из (2) равна нулю для констант, так что У ■ У* есть норма в фактор-пространстве ВМОо := ВМО/М (или ВМО/С), превращающая его в действительное банахово пространство [4, с. 224, 245]. Исходя из этих соображений будем конструировать норму в пространстве ВМО(А, В).

Теорема 6. Множество ВМО(А, В) с нормой

ЦшЦбыо = / |ш(Ь)1 |(Ь| + ||Ш||* (20)

г

является действительным банаховым пространством.

< То, что формула (20) определяет норму на ВМО(А, В) — очевидно. Покажем, что пространство ВМО функций на Г с нормой (20) полно.

Пусть {wn}£°=i — последовательность функций на Г, фундаментальная в норме (20). Известно [4, с. 247], что если функция на Г удовлетворяет условию wn G BMO, то ее можно представить в виде

w„ = <n + + , (21)

где H — преобразование Гильберта, <n, ф n G ^^(Г), G C, а можно выбрать

так, что

< c У < c У wn У * ; (22)

для некоторой постоянной C, не зависящей от n. Отсюда получаем, что {<пи {фп}п=1 — фундаментальные последовательности в ¿^(Г) (а следовательно, в любом Lp(r), 1 < p < то).

В силу (20) имеем, что {wn}^=i — фундаментальная последовательность в Li (Г). Из (21) и оценки (p > 1) [4, с. 117]

||Н/||МГ) < const||/Уlp(г) (23)

получаем (здесь и далее все фигурирующие в оценках константы не зависят от участвующих в оценке функций)

||an - am У Li (Г) = (2n)|an - am| = ||(Wn - Wm) - (<n - <m) - H (Фп - ^m)||Li (Г)

< ||(Wn - Wm) 11Li(Г) + ||(<n - <m) + H(Фп - ^m)|Li(r)

< ||(Wn - Wm) 11Li(Г) + ||(<n - <m) + H(Фп - ^m)|Lp(r)

< ||(Wn - Wm) 11Li(Г) + ||<n - <m|кр(Г) + COnst|^n - ^m|кр(Г),

т. е. {an}^=i — фундаментальная числовая последовательность.

Обозначим lim <n = < G ¿^(Г), lim Фп = ф G ¿^(Г), lim an = a G C. Функция

n—n—n—

w = < + Hф + a G BMO [4, с. 228, 247]. Для представления (21) справедлива оценка [4, с. 247]

||w||* < Ci (|<HLTO(r) + ||ФНьте(г)) ;

где константа Ci от w, <, ф не зависит. Отсюда и из (23) имеем ||w - wn|BMO ^ 0 и полнота пространства функций класса BMO на Г с нормой (20) доказана.

Теперь, аналогично (16), рассмотрим функцию w(z) = Kw(z), являющуюся внутри D равномерным пределом последовательности {wn(z)}?=i и где w(t) = lim wn(t) в смысле

нормы (20) на Г.

Так как w(t) G BMO С ¿2(Г), функция w(z) = Kw(z) G H2(A, B) и, в соответствии с рассуждениями доказательства теоремы 5, w(t) — некасательные предельные значения функции w(z) на Г. Итак, ||w(z) - wn(z)||bmo ^ 0. > 3.3. Оценки обобщенного интеграла типа Коши. Теорема 7. Пусть <(t) G Lp (Г), p > 1. Тогда w(z) = K<(z) G Hp(A, B) и

||w(z)||

Hp(A,B) ^ C2 ||<(t) |Lp(r),

(24)

где константа C2 не зависит от

< То, что K<(z) G Hp(A, B) — известный факт [1]. Из обобщенных формул Сохоцко-го — Племеля (18), ограниченности в Lp (Г) при p > 1 сингулярного интеграла, теоремы Харди — Литтлвуда — Соболева об интегралах со слабой особенностью [6, с. 141] и (7) получаем (24). >

Лемма 7. Если f (t) £ BMO на Г, то для любого p > 1 выполняется оценка

LP(r)

^ const

BMO,

(25)

где константа не зависит от /.

< Воспользуемся представлением (21): / = р + Нф + а, где р, ф £ (Г), а £ С и |ь^(г) ^ С||/||*, ||ф||ьто(г) ^ С||/1|*. Из этого представления и из (23) имеем:

ьР(г) < |Мкр(г) + еоп8^|ф||Мг) + [2п]1/р|а|

< ||(|| ьте(г) + есп81|ф|Ьто(г) + [2п]1/р|а| (26)

< [2п]1/р|а| + есп81||/||*.

Далее,

||а|Ь1(г) = (2п)|а| < ||/||Мг) + ||^|ь1(г) + ||Яф|к(г)

< ||/||Ь1(Г) + |Мкте(г) +есп81|ф|Ьто(г) < ||/||Ь1(Г) +есп81|/||*.

Сопоставляя последнюю оценку и (26), получим (25). >

Теорема 8. Пусть р(Ь) £ ВМО. Тогда ш(г) = Кр(г) £ ВМО(А, В) и

||ш(г)||вмо < Сз||р(Ь)||вмо, (27)

где константа Сз не зависит от р.

< По теореме 7 ш(г) £ Нр(А, В) для всех р > 1. По обобщенным формулам Со-хоцкого — Племеля (18) для некасательных предельных значений на Г ш(Ь) = [Кр(Ь)] + обобщенного интеграла типа Коши Кр(г) имеем

1 1 / - 1

Ш(Ь) = 2+ «1(Ь,т)р(т) (т - «2(Ь,т)р(т) (С = 2р(Ь) + Кр(Ь).

Далее будем оценивать слагаемые в правой части этого равенства:

||кР(г)||вмо = 2П |ш(Ь)|^1(Г) + ||ш(Ь)|*

< {1 |руь1(г) + Н^Н^г)} + 1 ||р||* + ||Кр(Ь)||*

^ "вмо + ||Кр(Ь)|к1(г) + ||Кр(Ь)||*.

2

(28)

Во первых, в силу ограниченности сингулярного интеграла в Lp(r),p > 1 [5, с. 139], теоремы Харди — Литтлвуда — Соболева об интегралах со слабой особенностью [6, с. 141] и (7) имеем ||Kp(t)||Lp(г) ^ const ||^(i)||Lp(r). Отсюда и из (25) выводим

l|K^(i)||Ll(p) < ||K^(t)|L2(r) < const|^(i)|L2(r) < const||p(t)||BMO. (29)

Используя (7), получим

||Kp(t)||* ^ const

р(т)dr

T -t

+

(t, t)р(т) dT

(30)

*

*

где

(t,T) = O (|r - t|-2/s) . (31)

Для первого слагаемого в правой части (30) имеем [4, с. 236]

^>(т) dr

< const||^(t)||*. (32)

т - t

Далее, для интеграла Ko^(t) = J fio(t, т)^>(т) dT имеем [4, с. 224]

г

||Kop(t)||, < ||Ko¥>(t)||Wr). (33)

В силу (31) при p > s/(s — 2) имеет место оценка [6, с. 318]

||Kop(t)Hwr) < const|^(t)|Lp(r). (34)

Из (33), (34) и (25) получаем

||fco¥>(t)||, < const||p(t)||BMo. (35)

Из (28), (29), (30), (32) и (35) следует (27). >

4. Краевая задача Римана — Гильберта

Определение 4. Функцию w(z) £ BMO(A, B) будем называть решением краевой задачи Римана — Гильберта для уравнения (1), если ее некасательные предельные значения на Г w+(t) = w(t) почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

Яе{А(4)ш(£)| = £(*), (36)

где А = А(4) £ Са(Г) — заданная комплексная функция, #(4) £ ВМО — заданная на Г вещественная функция.

Будем считать, что 0 < ^ |А| ^ , где и — некоторые постоянные. Поскольку произведение гёльдеровой функции и функции класса ВМО есть функция класса ВМО [4, с. 268], в таком предположении без ограничения общности можно считать |А| = 1, т. е. А(4) = ег0(^, где в(4) £ Са(Г) — действительная функция.

Обозначим к = тёгА(£) индекс краевого условия (36) [3, с. 243]. 4.1. Задача Римана — Гильберта при каноническом краевом условии. Рассмотрим краевую задачу (1), (36) в частном случае А(4) = :

Яе {гкш(4)} = #(4). (37)

Следуя [3, с. 246], краевое условие (37) будем называть каноническим. Рассмотрим сначала случай к ^ 0. Следуя [3, с. 293], обозначим

PKf(z) = -1// (f—z + V—f) с = i + in.

D '

Теорема 9. Если w(z) £ BMO(A, B), то имеет место соотношение

w (z) + Pk (Aw + Bw) = $(z), (38)

где $(z) £ BMOG, и

Re (t-Kw(t)} = Re (t-K$(t)} , t £ Г. (39)

< Из соответствующего утверждения для классов Харди [2] вытекает, что соотношения (38), (39) имеют место; нужно показать, что Ф(г) £ ВЫОО.

Так как

Ие {Ь-КФ(Ь)} = Ие {Гкш(Ь)} £ ВМО,

Ф(г) £ ВМОО в силу результатов по краевой задаче Римана — Гильберта для классов ВМОО [7, п. 4]. >

Теорема 10. Если Ф(г) £ ВМОО, то соотношением (38) однозначно определяется функция ш(г) £ ВМО(А, В), удовлетворяющая на Г условию (39).

< Из соответствующего утверждения для классов Харди [2] получаем ш(г) £ Ир (А, В) при сколь угодно большом р.

Решение ш(г) уравнения (1) можно представить в виде ш = Фгшо, где Фг £ Нр, шо £ Са(О), а = (в — 2)/в [1, теорема 1]. Подставляя это представление в (39), получим, что голоморфная функция Фг(г) есть решение краевой задачи

Ие {Л1(«)Ф1 (Ь)} = дг(Ь),

где Лг (Ь) = шо(Ь) £ С а (Г), ддг (Ь) = Ие {Ь-к Ф(Ь)} £ ВМО. Отсюда следует [7, п. 4], что Фг £ ВМОО, и по теореме 1 ш(г) £ ВМО(А, В). >

Итак, по теоремам 9 и 10 соотношением (38) устанавливается линейное в вещественном смысле взаимно однозначное соответствие между решениями краевой задачи Рима-на — Гильберта для обобщенных аналитических функций (1), (37) класса ВМО(А, В)

и решениями краевой задачи Римана — Гильберта для голоморфных функций класса ВМОО { }

Ие {ГКФ(Ь)} = д(Ь). (40)

Учитывая результаты из [7], по краевой задаче (40) получаем следующее утверждение.

Теорема 11. При к ^ 0 краевая задача (1), (37) всегда имеет решение класса ВМО(А, В), линейно содержащее (2 к + 1) произвольных вещественных постоянных.

Перейдем к случаю к < 0. Рассмотрим краевую задачу, сопряженную однородной (при д = 0) задаче (1), (37) [3, с. 301]:

Оцш' — Аш' — Вш' = 0, (41)

Ие {гкг'(з)ш'(Ь)} = 0, (42)

где в — длина дуги на Г, Ь'(в) = йЬ/йв.

Опираясь на построения, проделанные выше для к ^ 0, дословно повторяя соответствующие рассуждения из [3, с. 298-301], получаем следующее утверждение.

Теорема 12. При к < 0 для существования (единственного) решения задачи (1), (37) класса ВМО(А, В) необходимо и достаточно выполнения следующих условий на

д(Ь) Ф 0:

(Ь)д(Ь) йЬ = 0, 3 = 1, 2,..., —2к — 1, (43)

г

где ш' (г) £ Са (О), а = (в — 2)/в, — полный набор линейно независимых в вещественном смысле решений однородной сопряженной задачи (41), (42).

При к < 0 и д ф 0 однородная задача (1), (37) имеет только нулевое решение.

Теорема 13. Оператор (I + Рк) : БМО(А, Б) ^ БМОО в (38) непрерывен и имеет ограниченный обратный, т. е. в (38)

\\М\вмо ^ ео^НФНвмо•

Аналогичное утверждение имеет место для операторов, используемых при рассмотрении случая к < 0 [3, с. 298].

< В силу представления (17), оценки \\Kw\l ^ еоп81\\м\\ьр(г), Р > 1 [1], и (25) имеем

\м(х)\ьр(о) ^ еоп81\И\вмо (Ур > 1). (44)

Поскольку оператор Рк : Ьр(П) ^ С в (О), р > 2, в = (р - 2)/р, непрерывен [3, с. 294], то с использованием (44) получаем

\\(1 + Рк)м\\вмо ^ \\М\вмо + еоп81\\Ркм\\\\св(О)

^ \\м\\вмо + соп8^Н\Ьр(д) ^ еоп8Ь\м\вмо,

и непрерывность (I + Рк) доказана.

Ограниченность обратного оператора — это следствие из теоремы Банаха. >

4.2. Случай неканонического краевого условия. Умножим краевое условие (36) на регуляризующий множитель коэффициента Х(Ь) = егв(^) [8, с. 275]:

Re^ t-Ke-iY(t)w(t)} = eLül{t)g(t),

здесь j(z) = u(z) + iwi(z) = S (в — к arg t)(z) £ Ca (D), S — оператор Шварца. Обозначим e^l(t)g(t) = g*(t) £ BMO,

eiY(z)w(z) = w*(z). (45)

Функция w* = w*(z) удовлетворяет уравнению

d-w* + A(z)w* + B *(z)w* = 0, (46)

где _

B*(z)= B(z)e-2iRe Y(z) £ Ls(D), (47)

и краевому условию

Re{ t-Kw*(t)} = g*(t). (48)

Поскольку произведение гёльдеровой функции и функции класса BMO есть функция класса BMO [4, с. 268], w*(z) £ BMO(A, B*) при условии, что w(z) £ BMO(A,B) (и наоборот).

Для задачи (46), (48) с каноническим краевым условием справедливы теоремы 11 и 12. Пусть w*(z) £ BMO(A, B*) — решение этой краевой задачи при к ^ 0. Аналогично [3, с. 296] представим w*(z) в виде

w*(z) = $*(z)w0(z), (49)

где $*(z) голоморфна в D,

wo(z) = exp < 1 JJ l D

f (Z) zf (Z)

Z — z 1 — Zz

, — s — 2

ä^än£ Ca(D), a =-,

ю*

/ (г)= <А(г) + Б *(г) ^' ю*(г)=0' (50)

0, ю*(г) = 0.

Очевидно, ю*(г) £ БИО(А, Б*) тогда и только тогда, когда Ф*(г) £ БИОС; также очевидно, что 1тюо(г) = 0, г £ Г.

Подставив (49) в (48), получим, что голоморфная функция Ф*(г) £ БИОС есть решение краевой задачи

Яе (г-кФ*(г)} = д*(г)ю-1(г) £ био. (51)

Отсюда [7, формула (18)]

Ф*(г) = гк [5(д*ю-1) + Q(г)] , (52)

где 5 — оператор Шварца, Q(г) = %во + ^ (скгк — Скг ), Ск — комплексные постоянные,

к=1

во — вещественная постоянная.

Умножим (49) на ег7(г), где ег7(г) — та же голоморфная в В функция, что и в (45), и обозначим

ю(г) = ю*(г)е^; Ф(г) = Ф*(г)е^. (53)

При этом (49) перепишется в виде

ю(г) = Ф(г)ю0 (г). (54)

Вместе с тем, в представлении для юо(г) с учетом (47) и (50) будем иметь

/ (г) = (А(г)+ Б(г) I ю(г) = °-

[0, ю(г) = 0,

откуда получаем, что ю(г) в (54) есть решение уравнения (1).

Поскольку 7(г) £ Са(В) и произведение гёльдеровой функции и функции класса БИО есть функция класса БИО [4, с. 268], ю(г) £ БИО(А, Б), Ф(г) £ БИОС.

Покажем, что ю(г) удовлетворяет краевому условию (36). Для этого достаточно показать, что Ф(г) в (54) удовлетворяет краевому условию

Ие{е-^)Ф(г)} = д(г)ю-1 (г), г £ Г. (55)

Подставим выражение для Ф*(г) из (53) в (52). Отсюда получим, что Ф(г) удовлетворяет (55).

В случае к < 0 проделаем ту же замену (45) и так же придем к задаче (46), (48). Условие ее разрешимости:

JгКю'*(г)д*(г)(г = 0, ] = 1,2,..., —2к — 1, (56)

где ю*(г) — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений за-

д-ю'* — А(г)ю'* — Б*№'* = 0, Яе {гкг'(в)ю'*(г)} = 0.

*

"з

дачи

Обратная замена (53) так же приведет к решению ю(г) £ БИО(А, Б) задачи (1), (36), только в рассуждениях ссылки на [7, формула (18)] надо заменить ссылками на [7, формула (19)]. Условие разрешимости (56) после замены ю'*(г) = ю'(г)ег7(г) перейдет в условие

Iе-^уЗ(г)д(г)(г = 0, ] = 1,2,..., —2к — 1, (57)

г

где юЗ(г) £ Са(В), а = (в — 2)/в, — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений задачи, сопряженной однородной задаче (1), (36):

д-ю' — А(г)ю' — БЩю = 0, Яе { е-тг'(в)ю'(г)1 = 0.

Итак, формулы (45) и (53) устанавливают линейное в вещественном смысле взаимно однозначное соответствие между решениями класса БИО(А, Б) краевой задачи (1), (36) и решениями класса БИО(А, Б*) краевой задачи с каноническим краевым условием (46), (48). Отсюда и из теорем 11, 12 получаем следующее утверждение.

Теорема 14. При к ^ 0 однородная краевая задача (1), (36) имеет (2к + 1) линейно независимых в вещественном смысле решений класса БИО(А, Б). Неоднородная задача всегда имеет решение класса БИО(А, Б).

При к < 0 для существования (единственного) решения краевой задачи (1), (36) класса БИО(А, Б) необходимо и достаточно выполнение условий (57). Однородная задача (1), (36) при к < 0 имеет только нулевое решение.

Литература

1. Климентов С. Б. Классы Харди обобщенных аналитических функций // Изв. вузов, Сев.-Кав. регион. Сер. Ест. науки.—2003.—№ 3.—С. 6-10.

2. Климентов С. Б. Краевая задача Римана — Гильберта в классах Харди для обобщенных аналитических функций // Изв. вузов, Сев.-Кав. регион. Сер. Ест. науки.—2004.—№ 4.—С. 3-5.

3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.

4. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции.—М.: Мир, 1984.

5. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.—М.: Наука, 1975.

6. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.

7. Климентов С. Б. Стохастическая краевая задача Римана — Гильберта в конформных мартин-гальных классах // В сб.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004.—С. 75-89.

8. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.

Статья поступила 15 мая 2005 г.

Климентов Сергей Борисович, д. ф.-м. н. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет; Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС E-mail: lucy@jeo.ru