Задача Римана - Гильберта для обобщенных аналитических функций в классах Смирнова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 3, С. 63-73

УДК 517.518.234+ 517.548.3

ЗАДАЧА РИМАНА - ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КЛАССАХ СМИРНОВА1

С. Б. Климентов

В работе исследуется краевая задача Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций класса Смирнова в ограниченной односвязной области, граница которой либо кривая Радона без точек заострения, либо кривая Ляпунова. Коэффициент краевого условия предполагается либо непрерывным с возмущением измеримой ограниченной функцией, либо непрерывным с возмущением функцией ограниченной вариации. В работе используется построенное в работе автора [16] специальное представление второго рода для обобщенных аналитических функций класса Смирнова, которое позволяет свести эту задачу к соответствующей задаче для голоморфных функций, изученной в работах автора [1, 2].

Ключевые слова: задача Римана — Гильберта, обобщенная аналитическая функция, классы Смирнова.

1. Введение. Основные определения

Задача Римана — Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова изучалась в работах: [1] для областей с ляпуновскими границами и в [2] для областей с радоновскими границами. Классы Смирнова для обобщенных аналитических функций были впервые введены К. М. Мусаевым в [3]. В дальнейшем им исследовались различные свойства этих классов в [4-8]. Краевые задачи им не рассматривались, за исключением «задачи о скачке» [8]. Ряд новых свойств этих классов (в том числе критерии разрешимости краевых задач для классов Харди обобщенных аналитических функций) были получены в [9-14].

Задача Римана — Гильберта для обобщенных аналитических функций в настоящей работе исследуется посредством сведения к двумерным не особым интегральным уравнениям. Этот подход обобщает схему, развитую И. Н. Векуа [15, гл. 4, § 7] для единичного круга и гёльдеровых вплоть до края решений, и основывается на построенном в [16] специальном представлении второго рода для обобщенных аналитических функций класса Смирнова.

Настоящая работа обобщает соответствующие результаты из работ автора [1, 2, 10]. Основная трудность состоит в невозможности, в случае негладкой границы, сведения задачи посредством конформного отображения к задаче для классов Харди обобщенных аналитических функций.

Обозначим О ограниченную односвязную область в комплексной ¿-плоскости, г = х + г2 = —1, со спрямляемой границей Г = дС; С = С и Г; А(г),В(г) £ Ь3(С), в > 2

© 2012 Климентов С. Б.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и науч-

но-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., заявка № 2012-1.1-12-000-1003-029.

(используются обозначения книги [15]), — заданные комплексные функции. Не ограничивая общности, будем считать, что точка г = 0 расположена внутри С.

Рассмотрим в С каноническую эллиптическую систему в комплексной записи

д^ад + А(г)г + В (г)г = 0, (7)

где г = г(г) = и(г) + г^(г) — искомая комплексная функция, и и V — ее действительная и мнимая части, д^ = 1/2(д/дж + гд/ду) — производная в смысле Соболева.

Решение г(г) системы (7) называют обобщенной аналитической функцией [15, с. 148].

Пусть {Сп} — последовательность областей, замыкания которых лежат внутри С, границы Гп этих областей спрямляемы и сходятся к Г в том смысле, что каждая точка г € С принадлежит всем Сп, начиная с некоторого номера.

Определение 1. Будем говорить, что решение системы (7) принадлежит классу Ер (А, В), р > 0, если для некоторой постоянной Мр(г) < то, не зависящей от п, имеют место неравенства

J Иг)Г|^г| < Мр(г), п = 1,2,...,

г„

хотя бы для одной последовательности спрямляемых кривых {Гп} с указанным выше свойством.

При А = В = 0 имеем классический класс Смирнова Ер [17, с. 422], [18, с. 90].

Аналогично определяются классы Смирнова Ер(А, В), если коэффициенты А(г), В(г) и решение г(г) рассматриваются определенными во внешности области С.

Замечание 1. Сведение исследования свойств классов Ер(А, В) к свойствам обобщенных классов Харди Нр(А, В) из [9] посредством конформного отображения ^ = ) области С на единичный круг О : |£ | < 1, как это делается в случае классических классов Смирнова Ер (см., например, [17, с. 423], [18, с. 91-92]), не представляется возможным, поскольку при таком отображении уравнение (7) переходит в уравнение

д-(т + А{ч>{ ОМОю + В{ч>{ 0)Щ)Ш = 0,

и, вообще говоря, при нерегулярной границе Г сильно испортятся коэффициенты (не будут принадлежать Ь3(0), в > 2).

Пусть ^ = ) — однолистное конформное отображение единичного круга О : |£| < 1 на С. Без ограничения общности везде далее считаем, что ^>(0) = 0. Границу круга О будем обозначать С.

Замечание 2. Как и в классическом случае [18, с. 91], в определении 1 в роли кривых Гп можно брать лишь образы окружностей Сг = {£ : |£ | = г< 1} при конформном отображении ^ = ) [11]. В дальнейшем эти образы будем обозначать Гг, считая Г1 = С.

Определение 2 [18, с. 90]. Если гармоническая функция 1п (£)| представима в круге |£| < 1 интегралом Пуассона — Лебега, а следовательно, голоморфная функция 1п) представима интегралом Шварца через 1п |^>'(ет)| (( = гегст), то область С называется областью класса С (В. И. Смирнова).

Если г = г (в) — параметрические уравнения спрямляемой кривой Г, где в € [0, Б ] — длина дуги на Г (Б — длина всей кривой Г), то почти всюду на Г г'(в) = , причем это равенство определяет угол 0(в) с точностью до 2п. Геометрический смысл угла 0(в) очевиден — это угол наклона касательной к Г относительно оси абсцисс.

Определение 3 [18, с. 19]. Если угол 0(в) (определяемый в каждой точке с точностью до кратного 2п) может быть выбран так, чтобы функция 0(в) имела ограниченную вариацию на [0,5], то Г будем называть кривой Радона. Такие кривые также называют кривыми с ограниченным вращением или кривыми с ограниченной вариацией поворота.

Всегда можно определить 0(в) для любого в £ [0, 5] так, чтобы скачки функции 0(в) по модулю не превышали п. В дальнейшем всегда предполагаем это выполненным.

Определение 4 [18, с. 20]. Те точки, в которых скачок функции 0(в) по модулю равен п, будем называть точками заострения кривой Г.

Определение 5 [18, с. 14]. Если угол 0(в) может быть выбран так, чтобы функция 0(в) £ Са, 0 < а ^ 1, в некоторой окрестности любой точки кривой Г, то Г будем называть кривой Ляпунова.

Замечание 3. Кривые Радона без точек заострения и кривые Ляпунова являются кривыми класса С [18, с. 90].

В дальнейшем считаем Г либо кривой Ляпунова либо кривой Радона без точек заострения.

В работе рассматривается задача Римана — Гильберта (Гильберта) в следующей постановке: найти в О решение ю = ад(г) уравнения (7) ад(г) £ ЕР(А, В), р > 1, предельные значения которого на Г по некасательным направлениям почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

где £ = ¿(в), в £ [0,5], — аффикс точки, принадлежащей кривой Г, А = А(£) — ком-плекснозначная измеримая функция, определенная на Г, удовлетворяющая условию 0 < ко ^ |А(£)| ^ к1 < ж, к0, к1 — вещественные постоянные, #(£) = #(£(в)) = #(в) £ £Р(Г) = £р[0, 5 — определенная на Г вещественная функция. Разделив (8) на |А(£)|, придем к эквивалентному краевому условию, в котором |А(£)| = 1:

где w(t) = arg A(t). В дальнейшем везде считаем |A(t)| = 1.

Всюду ниже для функции f, определенной на Г, будем использовать обозначения f (t) = f (t(s)) = f (s). Если w(z) € Ep(A, B), то под w(t) = w+(t), t € Г, будем понимать предельные значения на Г по некасательным путям при z ^ t G Г, z G G, а под w-(t) — предельные значения на Г по некасательным путям при г ^ i G Г, z £ Е \ G, Е — комплексная z-плоскость.

Следуя [15, с. 179], уравнением, сопряженным уравнению (7), будем называть комплексное уравнение

и, обобщая [15, с. 301], однородной задачей, сопряженной задаче (8), будем называть задачу отыскания в С решения уравнения (10) £ Ер/(—А, —В), 1 /р + 1 /р' = 1,

предельные значения которого на Г по некасательным направлениям почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

(8)

(9)

d-zw* - A(z)w*(z) - B(z)w*(z) = 0, zeG,

(10)

Re{ A(t)t'(s)w* (t)} =0.

(11)

Следуя [18, с. 190] (и [1, 2]), предположим, что при выборе хотя бы одной точки начала отсчета s = 0 длины дуги s на Г функция w(s) удовлетворяет условию

w(s) = c5o(s) + Wi(s) + W2(s), (12)

где £o(s) — непрерывная функция в каждой точке сегмента [0,S] (в крайних точках имеется в виду односторонняя непрерывность); Wi(s) — функция ограниченной вариации на сегменте [0, S]; w2(s) — измеримая на [0, S] функция, удовлетворяющая условию

, / м 1 111

s 0 < v < —, 0 < v < —, - + - = 1. 13

2p 2p' p p

Не ограничивая общности, можем считать [18, с. 190], что ш(0) = w(S) и Шi(s) непрерывна справа в точке s = 0. После этого (12) можно переписать в виде [18, с. 190]

w(s) = Wo(s)+ Wi(s) + Ш2 (s), (14)

где w2(s) — прежняя; w1(s) — функция скачков w1(s), s^ — не более чем счетное множество точек разрыва w1(s):

Ш1 (0) = 0, wi(s)= hk + [wi(s) - wi(s - 0)], 0 < s ^ S,

0<sk <s

hk = S5i(sk + 0) — £i(sk — 0), а непрерывная на [0, S] функция wo(s) равна сумме wo(s) + pi(s) — Wi(s)].

Не более чем счетное множество точек скачков функции w(s) обозначим S = {sk}. Если Г — кривая Радона, т. е. функция 0(s) имеет ограниченную вариацию, для 0(s) имеет место разложение, аналогичное (14) (при w2(s) = 0):

0(s) = 0o(s) + 01 (s), (15)

где функция 0o(s) непрерывна на [0, S], а 0i(s) — функция скачков [18, с. 11-13]. Скачки функции 0(s) обозначим /п, а не более чем счетное множество точек скачков функции 0(s) обозначим © = {sn}.

Если Г — кривая Ляпунова, то в (15) будем иметь (s) = 0, 0(s) = 0o(s) G Ca. Очевидно, что начало отсчета s = 0 длины дуги s можно считать не попадающим в S U ©.

Определение 6. При исследовании краевой задачи (8) (или (9)) будем говорить, что выполнено условие D, если:

1) когда Г — кривая Ляпунова, в (14) либо w1(s) = 0, либо w2(s) = 0;

2) когда Г — кривая Радона без точек заострения, в (14) w2(s) = 0.

2. Вспомогательные сведения

Рассматриваемая задача для уравнения (7) сводится к соответствующей задаче для голоморфных функций, которая, в свою очередь, приводится к задаче в единичном круге [1, 2]. Индекс задачи определяется через индекс последней задачи в единичном круге. Чтобы сформулировать определение индекса задачи, воспроизведем частично построения из [1, 2].

Построим в единичном круге О : |£ | < 1 комплексной (-плоскости функцию

Ф(С) = Ф(<Ж)) w(Z)]1/p

(16)

где ^ = ) — однолистное конформное отображение единичного круга D на область G, а Ф(^) — голоморфная в G функция. Известно [18, с. 91], что Ф(^) £ Ep в G тогда и только тогда, когда Ф(£) £ Hp — классу Харди (классу Ep в круге D).

Поскольку (Z) = 0 при |Z| < 1, а кривая Г есть кривая класса C, при |Z| < 1 можно определить однозначную гармоническую функцию arg ^'(Z), всюду на окружности Z = вш имеющую некасательные предельные значения, причем в каждой точке гладкости кривой Г имеет место соотношение [18, с. 88, 272]

п

arg 1р'(е™) = в{8{о))-о--. (17)

В силу (16) краевая задача (9) для голоморфной функции Ф(я) будет эквивалентна краевой задаче

Re{ e—M Ф(С)} = g(t(Z ))№' )|1/p, Z = e^, (18)

где с учетом (17)

u(a)=u(s(a)) + ^{e(s(a))-a-^) (19)

и правая часть (18) принадлежит классу Lp(C).

Индекс краевого условия. Если в (14) Wi(s) = 0, Г — кривая Ляпунова и имеет место (13), то индексом краевого условия (9) (а также (8)) будем называть число

(20)

2п

которое, следуя [18, с. 215], будем предполагать целым. Будем использовать обозначение indrA(t) = к, где A(t) — коэффициент краевого условия (8).

Пусть теперь в (14) ^(s) = 0 и Г — кривая Радона без точек заострения. Так как функция s(a) и обратная к ней абсолютно непрерывны [18, с. 87], функция v(а) имеет ограниченную вариацию и для нее имеет место разложение, аналогичное (14), (15):

v(а) = vo(а) + vi (а), (21)

где функция скачков vi (а) имеет вид:

u1(a)=oj1(s(a)) + ^e1(s(a)). (22)

Очевидно, что не более чем счетное множество точек скачков функции v(а) есть образ множества S U © при отображении а(в) : [0, S] ^ [0,2п]. Занумеруем как либо это множество и будем обозначать {а&}. Скачки функции v(а) в точках {а&} очевидно равны

nk = hk + - fk, (23)

Р

где hk и fk — скачки функций w(s) и 0(s) в прообразе точки а^ на [0, S], причем в точке непрерывности одной из этих функций ее скачок считаем нулевым.

Обозначим n+ и n- соответственно положительные скачки и модули отрицательных скачков из (23), а точки этих скачков соответственно а+ и а-. Упорядочим их так, чтобы последовательности {n+} и {n-} были убывающими. Сопряженные показатели

р и р' ^ + = 1 j будем считать такими, что

% / j_ / 2тг Т 2р'' 2тг Т 2р7

(р)

и, следуя [18, с. 209], обозначим к 1 такое число, что

= 2,.(24) 2тг 2рп ' ' ' ' 2тг 2р' ' у у

(р) *

а к 2 обозначим такое число, что

= (25)

2п 2р 2п 2р

Далее обозначим п0 = п^)1) — п00), где п00) = ^ (2п) — ^ (0), п^,1) = ^1(0 + 0) — (2п — 0), и, следуя [18, с. 206], определим целое число к0, исходя из условий

2по = 2п ■ ко + п+, 0 ^ п+ < 2п. (26)

Индексом краевого условия (9) в этом случае будем называть число

•л (р (р (р

тагА(г) = к = к 1 — к 2 — к0, (27)

при условии, что решение краевой задачи ищется в классе Ер(А, В) (т. е. индекс в этом случае зависит от класса, которому принадлежат решения).

Если в (14) ^2(5) = 0 и Г — кривая Ляпунова, определение индекса аналогично с тем упрощением, что в (22) ^(^(ст)) = 0 ив (23) / = 0 для любого к, т. е. множество © пусто.

Везде далее при предположении, что ^1(5) = 0 считаем, что Г — кривая Ляпунова, а при предположении, что ^2(5) = 0 считаем, что Г — либо кривая Радона без точек заострения, либо кривая Ляпунова.

Индекс сопряженного краевого условия. Выразим индекс краевого условия (11), который будем помечать звездочкой (как и все величины, относящиеся к сопряженному краевому условию), через индекс краевого условия (9) (к или к)). Если Г — кривая Ляпунова и ^1(5) = 0, то очевидно, что

к* = —к — 1. (28)

Пусть теперь ^2(5) = 0 и Г — кривая Ляпунова либо кривая Радона без точек заострения.

Аналогично (18) преобразуем краевое условие (11) к виду

Ие { е-^*'^ Ф*(()} = 0, ( = е*0", (29)

где с учетом (17) и того, что решение сопряженной задачи ищется в классе Ер/, 1/р +

1/Р = 1,

и*(а) = -ш(з(а)) + ± (<9(в(<т)) 6{8{а)).

Легко видеть, что

V» = —

ш{в{а)) + ^{в{в{а)) - а) + а

Ь- т

(р) (р) (р) (р) С учетом (30), (24) и (25) получаем, что к*1 = к2; к*2 = к 1.

Если в (26) п+ = 0, то из (30) также очевидно соотношение — к* = ко — 2, откуда

(р) (р)

к* = — к — 2. (31)

В общем случае (31) следует из совпадения количества условий разрешимости неодно-

(р) (р)

родной задачи (18), равное числу решений однородной задачи (29) (к* + 1), с — к — 1 [2]. Поскольку при п+ = 0 формула (31) не имеет места, отсюда можно сделать вывод, что при наших предположениях всегда п+ = 0.

Лемма 1. Множество Ер(А, В), р ^ 1, с нормой

1/р

Чк Ч I КФ))|р'

является действительным банаховым пространством.

Здесь ш(г(в)) — предельные значения по некасательным путям на Г функции ш (г) £ Ер (А, В).

В случае А(г) = В (г) = 0 получаем обычную норму в классическом пространстве Смирнова Ер.

< Получается дословным повторением доказательства теоремы 5 из работы [12] с заменой пространства Нр(А, В) на Ер(А, В) и ссылок на работу [9] на ссылки на работу [11]. >

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 [16]. Пусть выполнено условие О, и либо индекс к краевой задачи (8)

(р)

неотрицателен, либо индекс к ^ —1. Если ш(г) £ Ер(А, В), р > 1, то существует оператор Р\ : ЕР(А, В) —>■ Ьр(Г) (также Р\ : Ьт(С) —>■ Ьт(С), т > 1) такой, что имеет место соотношение

ш(г) + РАш(г) =Ф(г), (32)

где Ф(г) £ Ер и почти всюду на Г

11е{А(£)гу(£)} = 11е{А(£)Ф(£)}, £ <Е Г. (33)

Если Ф(г) £ Ер, то соотношением (32) однозначно определяется функция ш(г) £ Ер(А, В), удовлетворяющая почти всюду на Г условию (33), и формула (32) устанавливает (вещественный) линейный изоморфизм банаховых пространств Ер(А, В) и Ер, причем оператор Р\ : ЕР(А, В) —>■ Ьр(Г) (Ьт(С) —>■ Ьт(С), т > 1) вполне непрерывен, и после гомотетии г = ег, е > 0, области О с достаточно малым е > 0 оператор Р\ : Ьт(С) —>■ Ьт(С) при некотором т : 1 < т < 2р становится оператором сжатия.

3. Формулировка основных результатов

Теорема 2. Если в (14) ^1(5) = 0 и Г — кривая Ляпунова, то при к ^ 0, где к определено в (20), однородная задача (7), (9) (при д(£) = 0) имеет точно 2к + 1 линейно независимых в вещественном смысле решений класса Ер(А, В), р > 1, а неоднородная задача разрешима в Ер(А, В) при любой правой части краевого условия д(£) £ £р(Г).

Если к < 0, то однородная задача (7), (9) не имеет в Ер(А, В) ненулевого решения, а неоднородная задача разрешима в ЕР(А,В) единственным образом тогда и только тогда, когда выполнены —2к — 1 (вещественных) условий на свободный член д(1) краевого условия (9):

У д(в)е^(з) т**(1)1(в) йз = 0, (34)

г

где У)1(Ь) € Ер'+е(—А, — В), Ер+е(—А, —В), к = 1,..., —2я — 1, е > 0 мяло, — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений сопряженной к (7), (9) краевой задачи (10), (11), имеющей индекс кк = —к — 1 ^ 0.

Теорема 3. Если в (14) Ш2(з) = 0, а Г — кривая Ляпунова или кривая Радона без

точек заострения, то при к) ^ 0, где к) определено в (27), однородная задача (7), (9)

(р)

(при д(1) = 0) имеет точно к + 1 линейно независимых в вещественном смысле решений класса Ер(А, В), р > 1, а неоднородная задача разрешима в Ер(А, В) при любой правой части краевого условия д(1) £ Ьр(Г). (р)

Если к < 0, однородная задача (7), (9) не имеет ненулевых решений класса Ер(А,В), р > 1 , а неоднородная разрешима единственным образом тогда и только тогда, когда

выполнены —(к — 1 (вещественных) условий на свободный член д(1) краевого условия (9)

I е*ш(з)юк (1(з))1 (з)д(з) йз = 0, к = 1,2,..., — к — 1, (35)

г

где {т к (^)| — полная система линейно независимых (в вещественном смысле) решений

класса Ер/{—А,—В) задачи (10), (11), сопряженной (7), (9).

(р)

Отметим, что при к = —1 к = 0, что означает однозначную безусловную разрешимость неоднородной задачи.

4. Доказательство основных результатов

(р)

При к ^ 0 либо к ^ —1 утверждения теорем 1 и 2 непосредственно следуют из соответствующих результатов для голоморфных функций [1, 2] и теоремы 1. Действительно, в этом случае оператор I + Р\ осуществляет (вещественный) изоморфизм пространства решений класса Ер краевой задачи (9) для голоморфных функций и пространства решений класса Ер(А,В) краевой задачи (7), (9).

Рассмотрим случай отрицательного индекса и докажем необходимость условий (34) и (35). _

Пусть IV* (г) £ Ер/(—А, —В) — произвольное решение однородной сопряженной задачи (10), (11), а т(г) £ Ер(А,В) — решение задачи (7), (9). Отметим, что имеет место равенство [11]:

1ш ! т(1)т*(1) й1 = 0. г

Отсюда будем иметь:

0 = 1т [ е-^(з)Ц1)е^(з)т*(1)1'(в) йз = I д(в)е{ш(з)т*(1(в))1(в) йз.

В силу уже доказанного для к ^ 0 и к ^ —1 и соотношений (28), (31), отсюда получаем необходимость условий (34) и (35).

Далее, пусть т(г) £ Ер(А, В) — решение однородной задачи (7), (9) при к < 0 либо

(р)

к < 0. Тогда функция Ф(г) £ Ер в основном представлении (первого рода) обобщенной аналитической функции т(г) класса Ер(А, В) [11]

тф) = Ф(г)ехр{-Т(А +В(ш/т))(г)}, Ф(г) £ Ер, (36)

где

Т/(г) = -- [[ (1хйу, г = х + п Ц £ — г

о

Tf(z) £ Са(С), ¡{х) £ Ь3(С), а = (5 — 2)/$, есть решение однородной задачи

Ке{Л^)Ф(*)} = 0, (37)

где _

А^) = -ехр{-Т(А + ВШ/ъи)}, (38)

и индексы задач (9) и (37) совпадают. Отсюда, в силу [1, 2] Ф(г) = 0 и утверждения теорем 1 и 2 относительно однородной задачи с отрицательным индексом доказаны.

(р)

Перейдем к анализу неоднородной задачи при к < 0, либо к < 0 — четном. Сделаем

(р)

замену искомой функции гио(г) = гпт(г), где п = —м: либо п = —-тр. Тогда функция адо(г) удовлетворяет уравнению

д2ъи0 + А(г)ю0 + В0(г)Щ = 0, (39)

где Во(г) = В(г)=^, и краевому условию

Ке =д(г), ¿£Г, (40)

где Ао (¿) = е^ • (г)"™

С учетом того, что область С содержит точку г = 0, имеем тёгАо = 0. В силу уже доказанных частей теорем 1 и 2 задача (39), (40) имеет решение т0(г) £ Ер (А, Во) (и даже множество решений, зависящее от одного вещественного параметра). Пусть изо (г) = Фо(<г)ех(^ — представление вида (36), х(г) = ехр{—Т(А + Душо/?«о)} = ехр{—Т(А + Вю/ю)}, где ю(г) = гио(г)г~п. Очевидно, для того чтобы так определенная функция т(г) была (единственным) решением задачи (7), (9) класса Ер(А, В), необходимо и достаточно, чтобы функция Ф0(г) имела вид Ф0(г) = гпФ(г), где Ф(г) £ Ер есть решение краевой задачи

Ке{л^)Ф(^} =д(1), ¿£Г, (41)

где \2(г) = е™® ■ е*®.

Так как шёгА2(¿) = тёгА(£) < 0, для существования (единственного) решения Ф(г) £ Ер задачи (41), необходимо и достаточно, чтобы функция #(£) удовлетворяла 2п — 1 независимым вещественным условиям [1, 2]:

У ф)е^)-х№))Фк(ФЖ'(з)^ = 0, к = 1,..., 2п — 1, (42)

г

где {Фк(г)} — полная система линейно независимых в вещественном смысле решений краевой задачи, сопряженной задаче (41).

Отсюда очевидна достаточность условий (34) и (35) в рассматриваемом случае. (p) к) +

Если же к < — 1 — нечетное, полагаем п = и повторяем все вышеприведенные

рассуждения с теми лишь отличиями, что в (40) indrAo(t) = —1 ив (42) количество

(p)

условий будет равно — к — 1.

Литература

1. Климентов С. Б. Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова // Исслед. по мат. анализу, дифференц. уравнениям и их приложениям.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2010.—С. 252-263.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 4).

2. Климентов С. Б. Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова в области с радоновской границей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2011.—№ 3.—С. 14-18.

3. Мусаев К. М. Некоторые классы обобщенных аналитических функций // Изв. Акад. наук Азерб. ССР. Сер. физ.-тех. и мат. наук.—1971.—№ 2.—С. 40-46.

4. Мусаев К. М. О некоторых экстремальных свойствах обобщенных аналитических функций // Докл. АН СССР.—1972.—Т. 203, № 2.—С. 289-292.

5. Мусаев К. М. Теоремы типа Ф. Рисса в теории обобщенных аналитических функций // Специальные вопросы теории функций.—Баку: Изд-во «ЕЛМ», 1980.—С. 137-144.

6. Мусаев К. М. Об ограниченности сингулярного интеграла Коши в классе обобщенных аналитических функций // Изв. Акад. наук Азерб. ССР. Математика. Физика. Техника.—1986.—Т. 7, № 6.—С. 3-8.

7. Мусаев К. М., Гасанова Т. Х. Об аннуляторах некоторых классов обобщенных аналитических функций // Тр. ИММ АН Азербайджана.—1998.—Т. 71, № 16.—С. 162-168.

8. Musaev K. M., Gasanova T. Kh. The boundary value problem in the class of generelized analytic functions — jump problem // Transactions of AS Azerbaijan.—1999.—Vol. 5, № 19.—P. 109-112.

9. Климентов С. Б. Классы Харди обобщенных аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2003.—№ 3.—С. 6-10.

10. Климентов С. Б. Краевая задача Римана-Гильберта в классах Харди обобщенных аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кав. рег. Естеств. науки.—2004.—№ 4.—С. 3-5.

11. Климентов С. Б. Классы Смирнова обобщенных аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2005.—№ 1.—С. 13-17.

12. Климентов С. Б. Классы BMO обобщенных аналитических функций // Владикавк. мат. журн.— 2006.—Т. 8, вып. 1.—С. 27-39.

13. Климентов С. Б. Теорема двойственности для классов Харди обобщенных аналитических функций // Комплексный анализ. Теория операторов. Мат. моделирование.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РС0-А.—2006.—С. 63-73.

14. Климентов С. Б. Представления второго рода для классов Харди и BMO обобщенных аналитических функций // Исслед. по современному анализу и мат. моделированию.—Владикавказ: ИПМИ ВНЦ РАН.—2008.—С. 38-54.

15. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.—М.: Физматгиз, 1959.—628 с.

16. Климентов С. Б. Специальное представление второго рода для обобщенных аналитических функций класса Смирнова // Изв. вузов. Сев.-Кав. рег. Естеств. науки.—2012.—№ 2.—С. 12-18.

17. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1966.— 630 с.

18. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости.—М.: Наука, 1975.—295 с.

Статья поступила 28 августа 2011 г. Климентов Сергей Борисович

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, главный научный сотрудник лаб. компл. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 Южный федеральный университет, заведующий кафедрой геометрии

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

THE RIEMANN-HILBERT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS IN SMIRNOV CLASSES

Klimentov S. B.

Under study is the Riemann-Hilbert boundary value problem for generalized analytic functions of a Smir-nov class in a bounded simply connected domain whose boundary is a Lyapunov curve or a Radon curve without cusps. The coefficient of the boundary value condition is assumed continuous and perturbed by a bounded measurable function or continuous and perturbed by a bounded variation function. The paper uses the special representation for generalized analytic functions of Smirnov classes from the author's paper [16], which reduces the problem to that for holomorphic functions. The problem for the holomorphic functions was under study in the author's papers [1, 2].

Key words: Riemann-Hilbert boundary value problem, generalized analytic functions, Smirnov classes.