Задача Гильберта для голоморфных функций в классах Смирнова в области с радоновской границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КЛАССАХ СМИРНОВА

В ОБЛАСТИ С РАДОНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

© 2011 г. С.Б. Климентов

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, backoffice @smath гы

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, backoffice@smath. ru

Изучается задача Римана—Гильберта в классах Смирнова для односвязных областей с радоновскими границами и коэффициентами, представляющими сумму непрерывной функции и функции скачков. Индекс задачи определяется как индекс задачи Римана, к которой сводится рассматриваемая задача Римана—Гильберта. Доказывается безусловная разрешимость при неотрицательном индексе задачи, однозначная разрешимость неоднородной задачи при индексе, равном -1, и выводятся условия разрешимости неоднородной задачи при индексе, меньшем -1.

Ключевые слова: задача Римана-Гильберта, классы Смирнова, разрывные коэффициенты, кривая Радона.

The Riemann-Hilbert boundary value problem for Smirnov's classes in Radon domain is under cosideration. The coefficients are assumed as the sum of continues function and jump function. The index of boundary value problem is defined as the index of corresponding Riemann boundary value problem. The unconditional solvability is proved in nonnegative index case. The conditions of unique solvability in negative index case are established.

Keywords: Riemann-Hilbert boundary value problem, Smirnov's classes, Radon curves, no continues coefficients.

Основные определения

Задача Римана для голоморфных функций в классах Смирнова изучалась в [1] для областей с ляпунов-скими границами, [2] - с ляпуновскими и радоновскими. Некоторые обобщения этих результатов содержатся в [3] (там же более подробный обзор результатов по обсуждаемой теме).

В [1; 2, с. 272-273] намечено сведение задачи Гильберта в классах Смирнова к исследованной уже задаче Римана по схеме, обобщающей схему Н.И. Мусхелишвили [4, с. 140-155]. Вместе с тем прямое исследование задачи Гильберта по схеме Ф.Д. Гахова [5, с. 264-285] имеет самостоятельный интерес в плане обобщения теории на краевые задачи для обобщённых аналитических функций и записи условий разрешимости при отрицательном индексе краевого условия в наглядной форме, использующей решения сопряжённой задачи.

Такому прямому исследованию, а также изучению задачи Гильберта с коэффициентом, содержащим функцию скачков для областей с ляпуновскими границами, посвящена статья [6].

В настоящей работе исследуется случай радонов-ской границы сведением к задаче Римана.

Пусть О - ограниченная односвязная область в комплексной г -плоскости, 2 = х + ¡у, I = -1, со спрямляемой границей г = эо; О = О иг; {оп} - последовательность областей, замыкания которых лежат внутри О, границы Гп этих областей спрямляемы и сходятся к Г в том смысле, что каждая точка 2 е О принадлежит всем {Оп }, начиная с некоторого номера.

Определение 1. Будем говорить [2, с. 90], что определённая в О голоморфная функция Ф^) принадлежит классу Смирнова Ер, р > 0, если для некоторой постоянной м (ф) < да, не зависящей от п, имеют

место неравенства

J^(z)р | dz | <Mp(ф), n = 1,2,

хотя бы для одной последовательности спрямляемых кривых {Гп} с указанным выше свойством.

Аналогично определяется класс Ер голоморфных

функций, определённых во внешности области О .

Если О - единичный круг, то обозначают Ер = Нр , и соответствующие классы функций называют классами Харди.

Если 2 = 2(5) - параметрические уравнения спрямляемой кривой Г , где 5 е [о, ] - длина дуги на Г (-длина всей кривой г), то почти всюду на Г 2'(5 = егб(,?)), причём это равенство определяет угол 6(5) с точностью до 2л. Геометрический смысл угла 6(5) очевиден - это угол наклона касательной к Г относительно оси абсцисс.

Определение 2 [2, с. 19]. Если угол 6(5) (определяемый в каждой точке, где он существует, с точностью до кратного 2л) может быть выбран так, чтобы функция 6(5) имела ограниченную вариацию на [о, 5], то г будем называть кривой Радона. Такие кривые также называют кривыми с ограниченным вращением или с ограниченной вариацией поворота.

n

Всегда можно определить e(s) для Vs е[о, S] так, чтобы скачки функции 6(s) по модулю не превышали п. В дальнейшем всегда предполагаем это выполненным.

Определение 3 [2, с. 20]. Те точки, в которых скачок функции 0(s) по модулю равен п, будем называть точками заострения кривой Г .

В дальнейшем будем предполагать, что граница г области G - кривая Радона без точек заострения.

Далее для функциональных пространств используются общепринятые обозначения [2, 7].

В работе рассматривается задача Гильберта в следующей постановке: найти голоморфную в G функцию ®(z)е Ep, p > 1, предельные значения которой

на Г по некасательным направлениям почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

Re{X(?>(t)}= g(t), (1)

где t = t(s), s е [о, S], - аффикс точки, принадлежащей кривой Г ; X = X(t) - комплекснозначная измеримая функция, определённая на Г, удовлетворяющая условию 0 <ко <| X(t)|<ki ; ¿о, к - вещественные постоянные; g(t)= g(t(s)) = g(s)e Lp (г) - определённая на Г вещественная функция. Разделив (1) на | X(t) |, придём к эквивалентному краевому условию, в котором | X(t) 1:

Re^' Ц)}= g (t), (2)

ra(t )= arg X(t).

Обобщая [7, с. 301], однородной задачей, сопряжённой задаче (1), будем называть задачу отыскания

определённой в G функции Ф * (z)е Ep, 1/p +1/p' = 1, предельные значения которой на Г по некасательным направлениям почти всюду на Г удовлетворяют краевому условию

Re{x(t)t' ^)Ф * (t)}= 0. (3)

Аналогично переходу от (1) к (2), от (3) можно перейти к эквивалентному краевому условию

Re{¿ra(í )t -(у)ф * (t )}= о. (4)

Следуя [2, с. 190], предположим, что при выборе хотя бы одной точки начала отсчёта s = о длины дуги s на Г функция ro(s) удовлетворяет условию

ю^) = 5о (s) + о~1 (s), (5)

где 5о (s) - непрерывная функция в каждой точке сегмента [о, S] (в крайних точках имеется в виду односторонняя непрерывность); S^s) - функция ограниченной вариации на сегменте [о, S].

Не ограничивая общности, можем считать [2, с. 190], что ю(о) = ю^) и S^s) непрерывна справа в точке s = о. После этого (5) можно переписать в виде [2, с. 190]

Ю^) = Юо^) + Ю1^), (6)

где ro^s) - функция скачков S^s); s¿ - не более чем счётное множество точек разрыва S^s): ю1(о) = о, ra1(s)= 2 hk +[cD1(s)-S1(s - о)], о < s < S,

0<sk <s

\ + о)-®^^ -0), а непрерывная на [0, 5]

функция юо равна сумме Юо^^^!^)-®!^)].

Не более чем счётное множество точек скачков функции ю(^) обозначим Н = }.

Поскольку функция б(^) имеет ограниченную вариацию, для неё имеет место разложение, аналогичное (6):

е(*)=ео(*)+б1(*), (7)

где функция ео (у) непрерывна на [о, 5]; е^) -функция скачков [2, с. 11-13]. Скачки функции е(у) обозначим /п, а не более чем счётное множество скачков функции е(у) обозначим © = {/п }.

Очевидно, что начало отсчёта у = 0 длины дуги у можно считать не попадающим в Н ^ ©.

Вспомогательные сведения

Построим в единичном круге Б : | С |< 1 комплексной С -плоскости функцию

т(с)=Ф(4;))к (;)]

1/p

(8)

где w = w(c) - однолистное конформное отображение единичного круга D на область G. Известно [2, с. 91], что ®(z)е Ep в G тогда и только тогда, когда

ф(С) е Hp - классу Харди.

Поскольку Г - кривая Радона при | С |< 1 W (С) Ф 0, при | С |< 1 можно определить однозначную ограниченную гармоническую функцию arg W (С), почти

Cia

= e имеющую некасательные предельные значения, причём в каждой точке гладкости кривой Г имеет место соотношение [2, с. 88, 272]

' И=е(Ф))-а-^.

arg w\

(9)

В силу (8) краевая задача (2) будет эквивалентна краевой задаче

Яе{!(СМс)}= С = е* , (10)

где с учётом (9)

ц(С)Ма) = р(ег°)-1/Р • егу(ст),

v(a) = s(s(a))+1 [e(s(a))-a-n].

Отметим, что здесь произведение граничных значений функции т(с)е Нр, р > 1, на ц(с) принадлежит Ьр .

Так как функция у(ст) и обратная к ней абсолютно непрерывны [2, с. 87], функция у(ст) имеет ограниченную вариацию и для неё имеет место разложение, аналогичное (6), (7): у(ст) = уо (ст) + У1(ст), где функция скачков У1 (ст) имеет вид

У1(ст) = Ю1(у(ст)) + - ^(ст)), (11)

р

Очевидно, что не более чем счётное множество точек скачков функции у(ст) есть образ множества 5и© при отображении а(я): [о, 5]^[о, 2л]. Занумеруем как либо это множество и будем обозначать {ст^ }. Скачки функции у(ст) в точках {стк } равны

1

(12)

пк = Нк+—/к, р

где Нк и /к - скачки функций 0(5) и 6(5) в прообразе точки Стк на [о, 5], причём в точках непрерывности этих функций скачки считаем нулевыми.

Индекс краевого условия

Пусть п+ и пк- - положительные скачки и модули

отрицательных скачков (12), а точки этих скачков - ст+

и ст- . Упорядочим их так, чтобы последовательности

{п+ } и {п- } были убывающими. Сопряжённые показатели р и р' (1/р +1/р' = 1) будем считать такими, что

2л 2 p' 2л 2 p

(13)

(р) (р)

и, следуя [2, с. 209], обозначим через К1 , к2 такие

числа, что

1 , , „ (p) Щ 1 , (p)

— >-, k = 1,2,..., к1; <-, k >к1; (14)

2л 2 p' 2л 2 p'

«Г 1

(p) 4 1

(p)

> —, к = 1,2,...,к2; ^< —, к >к2 . (15)

2 л 2 р 2л 2 р

Пусть по = по1) - п^о), где п^о) = уо (2л) - уо (о), п(1) = у1(о + о)-у1(2л-о), и, следуя [2, с. 206], определим целое число ко , исходя из условий

2по = 2л-Ко + п+, о<п+<2л. (16)

Индексом краевого условия (2) в этом случае будем называть число

(р) (р) (р)

к = к - к? - к

2 -к0

решима единственным образом тогда и только тогда,

(р)

когда выполнены - к -1 (вещественных) линейных условий на свободный член g (/) краевого условия (2)

(р)

|еггаМфк(ф))/'(5^(5)^ = о, к = 1,2,...,-к-1, (18)

Г

где фк (г)} - полная система линейно независимых (в вещественном смысле) решений класса Ер задачи (4), сопряжённой (2).

(р)

Отметим, что при к = -1 к = о, что означает однозначную безусловную разрешимость неоднородной задачи.

Доказательство. Конформным отображением и = и(с) перейдём к краевой задаче (10) в единичном

круге О с границей С, причём и' (С) е Н1 [2, с 89], а

^(С) - искомая функция класса Нр .

Повторяя рассуждения из [4, § 41], получим, что решения класса Н р задачи (10) есть в точности решения при С е О класса Н задачи Римана

¥+(/) = Оо(/)Т"(/)+ /(/), / = е*ст е С, (19)

где Т±(/) - некасательные предельные значения на С функции Нр соответственно изнутри и

снаружи круга О , и решения задачи (19) имеют вид

0(С) = 1 (С)), где Т*(С)=Т

'О

(20)

(17)

при условии, что решение краевой задачи ищется в классе Ер (т.е. индекс в этом случае зависит от класса, которому принадлежат решения).

Формулировка результатов

(р) (р)

Теорема 1. Если к > о, где к определено в

(14)-(17), то однородная задача (2) (при g(¡) = о)

(р)

имеет точно к +1 линейно независимых в вещественном смысле решений класса Ер, р > 1, неоднородная задача разрешима в Ер при любой правой части краевого условия g(t) е ьр (г) .

(р)

Если к < о, однородная задача (2) не имеет ненулевых решений класса Е р , р > 1 , неоднородная раз-

в (19)

Оо(/) = -е2^Ч /(/) = 2g(5(ст)).[w'(e¡ст)]ег°(5(ст)). (21) Очевидно, / (/) е Ьр (С).

(р) (р) Если к > о, где к определено в (17), то с учётом

(13), в силу [2, теорема 19.2, с. 213], общее ре шение, ограниченное на бесконечности, однородной задачи (19) имеет вид Т(£) = 2 (й)бт (С), где 2(С)е Нр+Е, е> о, - вполне определённое (каноническое) решение однородной задачи (24); Qm (с) - много-(р)

член степени т < к с комплексными коэффициентами. Выпишем подробнее решение 2(с) , подобрав его

так, чтобы было выполнено соотношение

(р)

2* (С) = Ск 2(С). (22)

С учётом (11) решение 2(с) можно взять в виде [2, с. 210]

z(С)= Со -Т(С)-[С-С(0)]к0 х

[С-С(4|П [С-С(СТ-)]-1

к2

хп 1С-k=1

(23)

где Со - не равная нулю комплексная постоянная, Т(С) = ехрЦ?~(ст)- 1

2л

IG у

e

С

о

V(a) = 2^s(s(a))+e(s(CTj)-CTj + ^.

i 2л

Поскольку Y* (;) = Y(;)e~'a, а = — J v(a)flb, [4

2л

с. 147], положив в (23)

C = e'

(p) | (p) -ал к I

(p)

а+ (p) а-

К 2 -!— K1 i-í-2 . ТЛе 2

• П e

к=1

• П e

к=1

(24)

z±(;), И;)]-1

е Lp+s, Lp'+s ,

(26)

_ (p) qj = qm-j, j = оЛ..,m < K .

бой правой части g(t)е Ьр (г), откуда получаем

(р)

верждение теоремы в случае к > -1.

ут-

получим выполнение (22).

Итак, общее решение однородной задачи Римана

(р)

(19) при к > о имеет вид

т(с)=г(фтст +...++?о), (25)

(р)

где qj, ] = о,1,...,т < к , - произвольные комплексные постоянные, а 2(С)е Нр+Е, е> о, определена

формулами (23), (24). Отметим, что при этом

( р )

Рассмотрим неоднородную задачу при к <-1. Поскольку функция (28) удовлетворяет краевому условию (19) и имеет на бесконечности полюс порядка

(р)

к -1, для (однозначной) разрешимости задачи (19) в классе кусочно голоморфных функций класса Нр ,

ограниченных на бесконечности, а следовательно, для однозначной разрешимости задачи (10) в классе Н ,

необходимо и достаточно выполнение условий

tk f(t) (p)

J• dt = о, к = о,1,...,- к-2.

CZ +(t)

(29)

Принимая во внимание (21), перепишем (29) в виде

2л

J e

( ( p) |

1 к

к+--

2

(p)

• M (a)da = о, к = 1,..., - к-1

(30)

где

где е > о - достаточно малое положительное число [2, с. 217].

Подставляя (25) в (20) и учитывая (22), получим, что общее решение однородной задачи Гильберта (10) задаётся формулой (25) при Се Б и выполнении условий

M (а) = -

ig(s(a)). |w' (eia) ]

( (p) | v(a)--Ka

Z

■и

(27)

Таким образом, в силу (27) однородная задача

(р) (р)

Гильберта (10) при к > о имеет точно к+1 линейно

независимых в действительном смысле решений класса

Нр+е, е> о, а следовательно, однородная задача (2)

(р) (р)

при к > о имеет точно к +1 линейно независимых в

действительном смысле решений класса Ер .

( р )

Поскольку при к < о однородная задача Римана (19) не имеет ненулевых решений, ограниченных на бесконечности, класса Нр [2, с. 215], однородная

задача Гильберта (10) в этом случае также не имеет ненулевых решений класса Н р , а следовательно, не

имеет ненулевых решений класса Е р однородная

задача (2).

Итак, все утверждения теоремы, касающиеся однородной задачи, доказаны.

Перейдём к обсуждению неоднородной задачи. С учётом (26) получаем, что частное решение класса

(р)

Нр неоднородной задачи Римана (19) при к > -1 задаётся формулой [2, с. 219]

^(СЬ^А^, (28)

о(С) 2т С2 +(Г)Г-С , ( )

т.е. с учётом (20) и (21) неоднородная задача (2) при

(р)

к > -1 безусловно разрешима в классе Ер при лю-

(p) к

Так как функция 2~(с)= С 2 2 (с) удовлетворяет од-

(р)

нородному краевому условию (19) (при нечётном к фиксируем какую-либо ветвь) и в силу (22) 2*(с) = 2(с) , функция -~(С), С е Б , удовлетворяет краевому условию (10) и функция М (ст) вещественнозначная. В силу (26) интеграл в (30) определён корректно. (р)

При чётном к соотношения (30) перепишутся в виде

2л

(p) к

Jcosка.M(а).da = о, к = о, 1,...,---1,

о 2

(p)

2л к

J sin ка • M (а). da = о, к = 1,...,---1;

о

(p)

(31)

2

при нечетном к в виде

2л ( 1 ^

í cosí k н— 1а • M (а)- da = 0, (p)

2°л > 2< k ="Kf" 1 (32)

J sin|k +1 Ja • M(а)-da = 0,

(p)

Итак, при любом к <-2 равенства (19) эквива-

(p)

лентны - к -1 линейно независимым вещественным условиям на правую часть краевого условия (как (10), так и (2)).

о

а

о

e

Дословным повторением рассуждений из [7, с. 234-235] с использованием теоремы Коши для функций класса Е1 [2, с. 92] выводим необходимость условий (18). Поскольку линейно независимых достаточных условий ((31) либо (32)) на правую часть g (5)

столько же и задача линейная, отсюда вытекает достаточность (18).

Литература

1. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Ьр с весами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, № 2. С. 277-306.

Поступила в редакцию_

2. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плос-

кости. М., 1975. 295 с.

3. Khuskivadze G., Kokilashvili V., Paatashvili V. Boundary

value problems for analytic and harmonic functions in domaines with nonsmooth boundaries. Applications to con-formal mappings // Memoirs on Diff. Eq. and Math. Physics. 1998. Vol. 14. P. 1-195.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравне-

ния. М., 1968. 511 с.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. 640 с.

6. Климентов С.Б. Задача Гильберта для голоморфных

функций в классах Смирнова // Итоги науки, Юг России: мат. форум. Т. 4. Исследования по мат. анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Владикавказ, 2010. С. 252-263.

7. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.,

1959. 628 с.

10 июля 2010 г