Классы Харди решений уравнения Бельтрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

КЛАССЫ ХАРДИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ

© 2008 г. С.И. Каляниченко, С.Б. Климентов

In the paper for solutions of Beltrami equation the clones of Hardy classes for holomorphic functions are entered. Some properties of these classes similar to properties of classic Hardy classes are obtained. Some differences of properties of gated in classes from classic are marked.

Основные определения. Формулировка результатов

Обозначим I) = 4-1 ^ |< I единичный круг ком-

■ 2

плексной z -плоскости, z = x + iy, i" = -1; Г = 8D -граница круга D ; D=DuT; ^ 0<а<1

(используются обозначения [1]), - заданная комплексная функция. Всюду далее предполагаем, что

| q ^ J^ = const < 1, z<eD .

Рассмотрим в D эллиптическую систему Бельт-рами в комплексной записи [1, с. 96]

dzw + q^zw = 0, (1)

где и' - ^ ii ^ j-iv^ - искомая комплексная функция; dz =1/2^/дх — idldy^ - производные в смысле Соболева.

Определение 1. Аналогично [2] будем говорить, что решение системы (1) принадлежит классу

Н р ^ ир > 0, если оно для некоторой положительной постоянной М р С' З' удовлетворяет условию

- 12' .fr*>

11

2ж

jf d<J<Mp4y_ D.

М р\0 < р <\, ре,а = г<

Множество ограниченных в В решений системы (1) будем обозначать Н,г

При q^=Q имеем классический класс Харди Нр [3, с. 57].

Замечание 1. Для голоморфной функции класса Нр величина ¡л4р,м> не убывает по р. Для функций

класса Нр ^ это свойство не сохраняется (как и для

обобщенных аналитических функций [2]). Пример 1. Положим

q^

И4 -0,5 I г I2 +l'

j= zexp-

2,5

Уравнение (1) удовлетворяется, и ¡л4р,м> ^ не монотонна по р.

Лемма 1. Существует единственное решение УУ^ уравнения (1) класса с), . гомеоморфно отображающее замкнутый круг И2= ^.\г\<\ на замкнутый круг /)((■ = 1%г:\И/\<\ , удовлетворяющее нор-

мировке ^{¡^=0, . При этом обратное ото-

бражение г = гЦ' ^ (()„■ .

Всякое решение в В уравнения (1) представимо в виде [1, с. 104]

® = Ф®, (2)

где Ф - вполне определенная функция, голоморфная в В№.

Имеют место следующие утверждения. Теорема 1. Для того чтобы решение уравнения (1) принадлежало классу Н ^ < р< оо, необходимо и

достаточно, чтобы в представлении (2) Ф е Н р .

Теорема 2. Если р(^р>0, то

^ для всякого т:0<т<2р. Теорема 3. Функция и'^3 Нр Р > " • для почти всех точек г окружности Г имеет предельные значения по некасательным путям м>+ ( /.„ С. Ес-

ли же w.

ОlsC2s>Р>то

Теорема 4. Если функция H„ < р < оо,

на множестве е < левые некасательные

Г положительной меры имеет ну-предельные значения, то

w^y 0.

Теорема 5. Если функция w^^ Hр > 0, то

2ж / 2л /-д>

lim J I Jf dß= J \ w\e jP d& о 0

r-> f

2 ж

lim J I w

r^f о

(iej3p de = 0,

■jW

(3)

(4)

где w \

< : <

- предельные значения по дакаем. ..je

сательным путям на Г функции м>%м< 0<г <1.

Теорема 6. Если м> ^ ^ Нр ^ ~2,р > 1, то имеет место соотношение (формула Грина)

— \wZ~dz = \\~~dxdy, 2 = х + [у, (5)

2г г в дz

где и'^ 3" и' ^ е\ \ - предельные значения на Г по некасательным путям.

Доказательство результатов

Чтобы не загромождать обозначения, в различных доказательствах различные константы и вспомога-

0

2

- Z

w

тельные функции иногда будут обозначаться одними и теми же буквами. Смысл обозначений всегда разъясняется.

Доказательство леммы 1. Покажем, что, не ограничивая общности, можно считать, что у (¡У О . Следуя [1, гл. 2, §4], совершим невырожденное аффинное преобразование г-плоскости ^ = г + . При этом уравнение (1) перейдет в уравнение

д^м> + = 0, (6)

1

Круг Г <1 перейдет в замкнутый эллипс 0 с центром в точке с' - 0 . Отобразим конформно эллипс О на единичный круг | £, |< 1 с нормировкой ¿¡{¡У О, - С Уравнение (6) перейдет в уравнение д^м> +

V

const < 1.

% >

Поскольку ¿¡^Ус^ф^ [1, с. 37], р^Уса в круге | ^ |< 1 и

В дальнейшем вернемся к первоначальным обозначениям, считая, что д {) У 0 .

Продолжим функцию ^ _ вне круга I) по формуле

2"

q

М>1,

(7)

) ,

и сохраним за продолженной функцией прежнее обозначение. Построим для уравнения Бельтрами (1) с продолженным по формуле (7) коэффициентом решение = , гомеоморфно отображающее г -плоскость на ^-плоскость и такое, что

ж^уо^суг^ж^^^ж^уж. (8)

Сначала построим УУ^ для \ г \<\. Решение УУ^ уравнения (1) будем искать в виде УУ гс\\УГ(р.

где

(9)

1

D

<рС

dxdy, (10)

г-г t-\

¡ = х + гу и (р е /.,, при некотором у >2. Отметим, что

^Т<р ||2|=1= 0, Т<р(У 0, (11)

а также д^Гср^У [1, с. 50].

Подставив (9) в (1), получим для нахождения <р^ двумерное сингулярное интегральное уравнение

2

где П/" = 3 / & (Г . Поскольку

д4У 0, то в

, Vv:2<v<2/l-а.

(12) „ И

связи с чем

Норма дП как линейного оператора из /.,, С^в Ьу 0 при некотором у >2 (достаточно близком к двум) будет меньше единицы [1, с. 338; 4]. Зафиксировав такое V <2/(,-а , по принципу сжатых отображений получим решение уравнения

(12) и по формуле (9) решение г О к1^ уравнения (1) в круге В , IV^У 0 при гФО [1, с. 89].

Продолжим функцию УУ ^ вне круга В по формуле УУ ^У * _ Л \ г \>1, и сохраним за продолжение^ ^

ной функцией прежнее обозначение. В силу (9)-(11) функция УУ ^ непрерывна в г -плоскости Е и удовлетворяет условиям (8). Легко проверить, что вне круга I) функция УУ ^ также задается формулой (9). Отсюда из свойств оператора Т(р [1, гл. 1, §6] и формулы (7) заключаем, что УУ ^ - обобщенное в смысле Соболева решение уравнения (1), непрерывное на Е и класса [Г,! в любой конечной части плоскости Е .

Докажем гомеоморфность отображения УУ = УУ^ Z -плоскости на ^-плоскость.

Рассмотрим функцию (о^У И/ ^У а. где а -произвольное фиксированное комплексное число. Из формул (9), (10) видно, что на окружности \г\=Я при К достаточно большом | УУ | сколь угодно велик и что УГ^Уо при г Ф(). Отсюда по принципу аргумента для решений уравнения Бельтрами с разрывным коэффициентом [4]

т<Л\2\=ка>4.У ^У тс1\2\=ц¡^^ГУ(13)

где !«(//(}=— Да^/^ Последнее равенство в

2 7Г

(13) следует из гомеоморфности отображения [V = УУ^ в окрестности нуля, вытекающей из не равенства нулю якобиана этого отображения в В :

ЛУ\дг1¥\2-\д,1¥\2=

=\д^\2 (-|^}2}о,М<1, (14)

поскольку [1,с. 104].

Таким образом, функция со ^ имеет единственный нуль в круге достаточно большого радиуса, откуда следует биективность отображения = . Би-ективность влечет за собой гомеоморфность [1, гл. 2, §4]. В силу (8) сужение У¥ = IV ^ на единичный круг

Вг дает гомеоморфизм на В№ .

Отметим, что два решения уравнения (1) в В , удовлетворяющие нормировке (8), отличаются на конформный автоморфизм круга В , удовлетворяющий (8) [1, гл. 2, §4], откуда получаем единственность гомеоморфизма УУ = УУ^ .

Покажем, что . Во-первых, в силу

ц^У Са ^ имеем IV (У (Л,г [5]. Отсюда следует, что в представлении (9) Тф^Ус^фУ

Далее положим В силу (12) и (11)

для «^ получаем

О у со

+ qi

> '

dyCO = --

откуда [5] б("и

Утверждение. что обратное отображение 2 = 2^У ('и С^г , теперь непосредственно следует из (14). Лемма 1 доказана.

Доказательство теоремы 1. Случай р = оо тривиален. Рассмотрим интеграл 2ж / ^ >

Л м^е У ¿сг,0<р<ж. (15)

о

Обозначим Тр образ окружности г |- р при отображении IV = определенном в лемме 1. Так как II 4 У« С, кривая I е С]и с /)ц- (ляпуновская) и спрямляема. Поскольку \ с1 IV - IV^к + УУ^ск и с | ск |<| с1!¥ |< С | с1г |, где с и С - некоторые константы, от р не зависящие, интеграл (15) и интеграл

/|фО| I ПРИ Р ~~* ' ограничены одновременно.

Таким образом, м> е Н р ^ тогда и только тогда, когда Ф принадлежит классу Смирнова Ер в 1)ц- [6, с. 483]. Поскольку в Г)цг Ер = Нр (см. там же), получаем утверждение теоремы 1.

Доказательство теоремы 2 непосредственно следует из представления (2), теоремы 1 и соответствующего свойства для функций класса Нр [2].

Доказательство теоремы 3 непосредственно следует из представления (2), теоремы 1 и соответствующего свойства для функций класса Нр (теоремы

Фату и В.И. Смирнова) [6, с. 443, 448].

Доказательство теоремы 4 непосредственно следует из представления (2), теоремы 1 и соответствующего свойства для функций класса Нр [6, с. 436,

443].

Доказательство теоремы 5 начнем с доказательства формулы (4). Воспользовавшись представлением (2), в обозначениях доказательства теоремы 1 получим:

г\ с1в =

о ^

= 1|ФС>ФГг/1^| = Гг -Ч, — (16)

= }| ФС >ФСг /I +2¥С11¥г I <

где С - константа, от г не зависящая; IVг ;

IVг = И/г(/г1.

Обозначим IVг {,'У <р,. голоморфную функцию, однолистно отображающую единичный круг | ¿Г |< 1 на область, ограниченную контуром Гг, удовлетворяющую нормировке {¡У 0, <рг ( ] - 0 . Функция где

(теорема Келлога [6, с. 468-469]), причем при г —>1 <рг^ ^ сходится к тождественному отображению

IV ^ с - 1пп <рг ~ в норме Сха [7].

г—>1

Обозначим 4>г Ф<УГ р,

<1Р,

тогда

ЦФФгУФ$гУ\с1УГг\ =

гг

= ?1 Ч'гО^О^. (17)

о

Поскольку в силу теоремы 1 ФеНр, а <р'г С У С: ^ будем иметь

2л

2л

л 4rty da, Л Ц>ГКУ dcT<CbC = e,a, (18) О о

где константа С] от г не зависит, и

L r > _> 1 r

liml^vO^rO0

г—»1

(19)

почти всюду на окружности \С\=1.

В силу теоремы Фату [8, с. 133-134], (18) и (19)

1ш1 Л О % <У ¿а = 0. (20)

г—0

Сопоставляя (16), (17) и (20), получим (4). Докажем теперь (3). Рассмотрим сначала случай р> 1.

Из неравенства Минковского [9, с. 176] имеем

о

[2я +<! j I w 0

¿в

1/р

откуда, в силу (4)

-2ж / 2ж /-д>

lim J I м>%10 у de < J| м>\в у dd. о о

(21)

Вместе с тем из теоремы 3 и теоремы Фату [8, с.133-134]

2ж /-д> 2ж /

j I w\ У de<)xm J I у de. (22)

о r-> 1 о

Сопоставляя (21) и (22), получим (4) при р > 1.

2

r

В случае 0 < р < 1, воспользовавшись хорошо известным неравенством [9, с. 47] + <ар +ЬР,

а > 0, 6 > О, 0<р<\ получим

о о о

Отсюда с учетом (4) следует (3) при 0 < р < 1. Теорема 5 доказана.

Доказательство теоремы б. Рассмотрим последовательность окружностей I'п - ^.\г\-гп-\-Ип . Обозначим 1)и = ¿¡\г\<\ — \1п . Поскольку »еС* [1, с. 152], имеет место соотношение [1, с. 71]

de.

^ = \\-^dxdy, z = x + iy.

2i

D,

dz

(23)

2ж s

Далее \w^Jz = irn J w^.

e'Jl>0d6, z = re1

Отсюда и из (4) имеем J w ^ У —> J w ^

■ ж в (23), получим,

Переходя к пределу при п что существует предел

lim JJ dxdy = jj —з dxdy, и-»оо п dz г, dz

^п ^

т.е. dwldz е Q , и что справедлива формула (5). Литература

1. Веку а И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.,

1959.

2. Климентов С.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ес-

теств. науки. 2003. № 3. С. 6-10.

3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции.

М., 1984.

4. Боярский Б.В. // Мат. сб. 1957. Т. 43. № 4. С. 451-503.

5. Климентов С.Б. // Укр. геом. сб. 1986. Вып. 29. С. 56-82.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций ком-

плексного переменного. М.; Л., 1952.

7. Данилов В.А. // Сибирский мат. журн. 1973. Т. 14. № 3.

С. 525-535.

8. Натансон И.П. Теория функций вещественной пере-

менной. М., 1974.

9. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства.

М., 1948.

п —> со.

Ростовский государственный строительный университет, Южный федеральный университет,

Лаборатория математических исследований ИПМИ ВНЦ РАН и ЮРГУЭС

13 февраля 2007 г.

п

0

п

n