Теоремы роста в классах нормированных локально-квазиконформных отображений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проблемы анализа Issues of Analysis

Том 2(20), №2, 2013 Vol. 2(20), No. 2, 2013

УДК 517.54

С. Ю. Граф

ТЕОРЕМЫ РОСТА В КЛАССАХ НОРМИРОВАННЫХ

_ ____ ________________________ _ ____ «

ЛОКАЛЬНО-КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ1

Аннотация. В классах локально-квазиконформных нормированных автоморфизмов f единичного круга А с заданной мажорантой характеристики М. А. Лаврентьева получены асимптотически точные оценки \f (z)\, родственные классическому неравенству А. Мори [1].

Ключевые слова: локально-квазиконформное отображение, модули семейств кривых, теоремы роста.

2010 Mathematical Subject Classification: 30С45, 30С62,

30С75.

1. Напомним, что модулем двусвязной области D С C называется число

Mod(D) = ^,

где А (Г) — экстремальная длина семейства кривых Г, разделяющих граничные компоненты области D. В частности, модуль концентрического кругового кольца K(r,R) с радиусами r и R, 0 < r < R < ж, равен

1 R

Mod(K (r,R)) = —ln —.

2п r

Среди свойств модулей двусвязных областей (см., например, [2-4]) отметим их конформную инвариантность и монотонность, понимаемую в следующем смысле: если двусвязные области Di и D2 таковы, что D1 С D2, то Mod(D1) < Mod(D2).

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности.

© Граф С. Ю., 2013

Следующее свойство модулей известно как лемма Гретча [2]: если круговое концентрическое кольцо К(г, Я) = {г : г < \г\ < Я} разбивается системой непересекающихся замкнутых жордановых кривых 7к, к = 1,п — 1, разделяющих его граничные компоненты, на множество двусвязных областей Лк, к = 1, п, то

П

Моа(к(г, я)) > ^Моа(Дь), (1)

к=1

причем равенство достигается в том и только в том случае, когда 7к представляют собой окружности {г : \г \ = Гк}, г к €= (г, Я), к = 1, п — 1.

Из классической теоремы Л. Альфорса об искажении экстремальных длин семейств кривых при квазиконформном отображении [2] следует, что модуль Моё(/(Л)) образа /(Л) двусвязной области Л при К/-квазиконформном отображении / является квазиинвариант-ным и, в частности, удовлетворяет неравенствам

Моа(л) < моа(/(Л)) < К/ Моа(л). (2)

К/

Заметим, что равенства в (2) достигаются в том случае, когда отображение / имеет постоянную по модулю комплексную характеристику ц/ = /г//г, например, отображение / с точностью до композиции с конформным совпадает с аффинным преобразованием, имеющим коэффициент квазиконформности К/. Оценки (2) очевидно неприменимы к отображениям, квазиконформным в среднем или локальноквазиконформным.

В 2009 г. автором данной работы был предложен вариант обобщения неравенства Альфорса (2) на случай локально-квазиконформных отображений круговых колец и двусвязных областей, а также совместно с Р. О. Эйланголи получены некоторые следствия из указанного обобщения [5].

Теорема 1. Пусть / — локально-квазиконформное отображение кругового кольца {г : г < \г\ < Я}, 0 < г < Я < ж, на двусвязную область Л С С с первой характеристикой Лаврентьева р/ (г) = = (1Л (г )\ + \/г(г)\)/(\Л (г)\ — \/г(г)\)- Пусть Р/ (г) = вЭЭ ЭИр р/ (г) . Если

\г\=г

существуют интегралы

я я

! 1/(Р/ (^ • *) [ Р/ (t)/tdt,

то модуль области Л удовлетворяет соотношениям я я

1 [ 1 & 1 [ вт . ,

2;]Ш) т £ (т)г (3)

Г Г

Оценки точны. Равенства достигаются, если р/ (г) = Р/ (г) п. в. на окружностях {г : \г\ = г}.

Доказательство. Пусть локально-квазиконформное отображение / кругового кольца К (г, Я) удовлетворяет условиям теоремы и инте-я __1, я ,

грал^^ Рг (Т) — , ] Р/ (Т)— определены, причем первый из них для Г Т Г Т

упрощения доказательства без ограничения общности понимается как

интеграл Римана.

а) Доказательство верхней оценки в (3) опускается, поскольку дан-

ное неравенство может быть получено в качестве следствия из леммы П. П. Белинского [6], адаптированной к случаю локально квазиконформных отображений, либо доказано непосредственно с использованием известного (см., например, [2]) метода экстремальных длин

семейств кривых.

б) Для получения нижней оценки представим кольцо К (г, Я) в виде объединения колец К1 = {г : г\ < \г\ < п+1}, I = 0, п — 1, где г = Го < г1 < ... < гп = Я. Тогда в силу неравенства (1)

(П—1 \ п —1

и/(К) >ЕМса(/(к)),

1=0 ) 1=0

что с учетом свойства (2) квазиинвариантности модуля приводит к соотношению

п— 1 п— 1

-—1\К„ЛГ Т^Л _ \ л Т1Г — 1 1 1„ г1+1

Mod(D) > КГ1 Mod(K) = Y K_1 — In

2п ri ’

1=0 1=0 l

где Ki = ess sup pf (z) — коэффициент квазиконформности ограниче-Ki

ния отображения f на кольцо Ki.

Определим Ari = ri+1 — ri. Тогда сумма в правой части последней оценки преобразуется к виду

м0а№) > — V кг11п (1 + — + о(ДпЛ =

2п 1=0 V П+1 )

1 Пг' Д 1 Пг'

= — У кГ— + — у кГ • О (Дп).

2п ^ 1 гт 2п ^ 1 v 1

1=0 1+' 1=0

Первая сумма в правой части полученного выражения представляет собой нижнюю интегральную сумму для сходящегося в силу усло-

я

1 [ _ч &

вий теоремы интеграла — Р/ (£) ~, а вторая является бесконечно

Г

малой величиной при шахДг ^ 0. Устремляя мелкость разбиения {г[}, I = 0, п, к нулю, приходим к требуемой оценке

я

мы(-°) > ^ /РГ'(*)р

что и требовалось доказать. □

При Р/ (г) = К/ < то неравенства (3) эквивалентны классическим соотношениям (2). Точность неравенств (3) демонстрирует, например, следующий полученный с их помощью результат [5], приводимый здесь без доказательства.

Следствие 1. Пусть / — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга Д, такой, что /(0) = 0, отображение / конформно в нуле и |ц/(*)| < \*\, где ц/ — комплексная характеристика отображения /. Тогда

\/'(0) |< 4. (4)

Равенство достигается на отображении

ш= 4 *

(1 + И)2'

В качестве других следствий из теоремы 1 в работе [5] приведены точные оценки конформного радиуса и радиуса круга покрытия в некоторых классах нормированных локально-квазиконформных отображений круга с заданной мажорантой характеристики М. А. Лаврентьева. Также теорема 1 и следствие 1 находят применение в теории локально-квазиконформных гармонических отображений, которой посвящено значительное число работ (см., например, [7, 8]).

2. Применим теорему 1 для получения оценок \f (z)\ для локальноквазиконформных нормированных автоморфизмов f единичного круга А.

Напомним, что в соответствии с доказанной в 1956 г. теоремой А. Мори [1] всякое Kf-квазиконформное отображение f круга А на себя с нормировкой f (0) = 0 удовлетворяет неравенству

\f (z1) - f (z2) \ — 16\z1 - z2\1/K/ , (5)

причем константа 16 не может быть уменьшена.

Неравенство (5) очевидно означает, что f G Lipa при a = 1/Kf — 1 и тривиально при Kf = то, т. е. при потере квазиконформности.

Следует заметить, что впоследствии оценки \f (z)\ для Kf-квазиконформных отображений обсуждались во многих работах (см., например, [9]).

Использование теоремы 1 позволяет получить родственные результаты для локально-квазиконформных автоморфизмов единичного круга [10].

Теорема 2. Пусть f — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга А, причем f (0) = 0. Пусть mf (r) = min \f (z)\,

\z\=r

Mf (r) = max\f (z)\ и Pf (t) = esssup pf (z), где pf (z) — первая ха-

\z\=r \z\=t

рактеристика Лаврентьева отображения f.

Тогда для r G [0, 1) справедливы оценки

mf(r) + Mf(r) <4e-If dt 1 + mf (r)Mf (r) ’

mf (r)Mf(r) > r\fz (0)\ - \M0)\e-0 1 (1- f) )dt (6b)

т1 (г) + Mf (г)

при условии существования интегралов справа. Оценка (6.Ь) справедлива для отображений /, дифференцируемых в нуле.

Доказательство. Пусть локально-квазиконформный автоморфизм / круга А удовлетворяет условиям теоремы 2.

а) Для доказательства неравенства (6.а) фиксируем г Е (0,1) и рассмотрим кольцо К (г, 1) = {г : г < \г\ < 1}. В соответствии с нижней оценкой (3) из теоремы 1 модуль образа Иг = /(К(г, 1)) кольца

К (г, 1) удовлетворяет неравенству

1

Моа(а-) * 2п/?ш т (7)

Г

С другой стороны, двусвязная область Иг очевидно содержит в себе кольцо К(Mf (г), 1) и не пересекается с кругом {т : \т\ < mf (г)}, где mf (г) = Ш1П \/(г)\, Mf (г) = тах\/(г)\. Без ограничения общности

\г\=г \г\=г

можно считать, что Mf (г) = /(г) > 0.

Для оценки модуля области отобразим ее с помощью функции Г(т) = (1 + mf (г) т)/(т + mf (г)) на двусвязную область Бд, ограниченная компонента дополнения которой совпадает с замкнутым единичным кругом, а внешняя неограниченная компонента дополнения не содержит точки:

Я(г) = Г(М,(г)) = 1 + mf(г) М(г)

Я(г) г (мf (г)) mf (г) + мf (г) •

В соответствии с известной задачей Г. Греча (см., например, [2]) о максимуме модулей двусвязных областей, не содержащих круга А и континуума, связывающего точки Я и то,

Моё (Би) < Моё (Б*и), (8)

где экстремальная область Б*и представляет собой внешность единичного круга с разрезом по лучу действительной оси [Я, +то).

Для модуля экстремальной области Б^ в задаче Греча принято использовать обозначение

2П 1пф(я).

где функция Ф(Я) связана с эллиптической функцией Вейерштрасса р и удовлетворяет неравенству

Ф(Я) < 4Я.

В нашем случае неравенство (8) и приведенная выше оценка функции Ф позволяют заключить, что

Моа(Бд) < — 1пФ(Я(г)) < ^1п4^+^^г)М^• (9)

v - 2п ; - 2п mf (г) + М, (г)

Комбинируя неравенство (7) с оценкой (9), приходим к (6.a).

б) Для доказательства неравенства (6.b) используем сходные рассуждения, дополнительно потребовав дифференцируемость отображения f в начале координат. Таким образом, f — локально-квазиконформный автоморфизм А, такой, что

f(0) = 0, \fz(0)|-|Д(0)| > 0.

В случае расходимости интеграла в правой части неравенства (6.b) доказываемая оценка тривиальна. Поэтому далее предполагаем, что

J (1 — 1/Pf (t)) /tdt < +то.

о

Рассмотрим произвольно малое значение е > 0 и r Е (е, 1). Образом кольца K(e,r) = {z : е < \z\ < r} при отображении f является двусвязная область Q£,r, внутренняя граничная компонента которой с точностью до о(е) совпадает с эллипсом с центром в нуле и полуосями е (\fz(0)\ — \fz(0)\), е (\fz(0)\ + \fz(0)\). При этом окружность {w : \w\ = mf (r)} лежит в Qe,r, а окружность {w : \w\ = Mf (r)} — во внешности этой области. Без ограничения общности можно считать, что mf (r) = —f (—r).

При соответствующем значении о(е) > 0, таком, что mf (е) = = е (\fz (0)\ — \ fz (0) \) — о(е), дробно-линейная функция G(w) = 1 w + (mf (e))2/mf(r)

mf (е) 1 + w/mf (r)

отображает область fie,r на неограниченную двусвязную область D£ r, ограниченная компонента дополнения которой содержит замкнутый единичный круг {ш : \ш\ < 1}, а неограниченная компонента дополнения содержит точку

Я(е r) = G(M,(r)) =____________________________________1_( mf(r) Mf(r) + o(1)^

(,) ( f( )) е (ifz(0)\ —\ff(0)iU mf (r) + Mf (r) + ( J

при е ^ 0.

Как и в пункте а), в соответствии с конформной инвариантностью и монотонностью модуля, а также со свойствами экстремальной области в задаче Г. Греча и неравенством (8) получаем

Mod (fte>r) = Mod (D£r) < Mod (DR) = -1 ln Ф(Д(е, r)) <

2n

1 i 4 1 ( mf (r) Mf (r) , Л

< 2п П е f (0)\ — \Л(0)\) + 2П 4m.f(r) + Mf (r) + °()j ' ()

Нижняя оценка Mod (іїє,г) производится, как и в пункте а), с помощью теоремы 1:

r r

І f І dt І f f І \ dt І r,.

Mod Шє r) > — — = — і — І )-+ — ln -. (ІІ)

’ 2п J Pf (t) t 2п J \Pf (t) ) t 2п є

єє

Комбинируя оценки (10), (11) и совершая предельный переход при є ^ О, приходим к требуемому неравенству (6.b). □

Применим доказанную теорему в случае, когда характеристика Лаврентьева мажорируется функцией P(t) = (І + t)/(І — t).

Следствие 2. Пусть f — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга А, такой, что f (О) = О, отображение f конформно в нуле и I^f (z)I < IzI, где /if — комплексная характеристика отображения f. Тогда

mf(r) + Mf(r) <І6_ r

І + mf (r)Mf (r) (І + r)2’

mf (r)Mf (r) у If '(О) r

mf (г) + Mf (г) 4 (1 + г)2

Замечание 1. Следствие 2 позволяет получить оценки роста для автоморфизма /, такого, что /(0) = 0 и \^f (г)\ < \г\:

'Гт |г| <\.Г (;)\< 16 и

2 (1 + I г I (1 + | ^ | )2-

Заметим также, что в случае постоянства характеристики Лаврентьева ру (г) = Ку неравенство (б.Ь) тривиально, а (6.a) приобретает вид

ту (г) + Щ(г) < 4 г1/щ 1 + ту (г) Му (г) _ ’

что по порядку роста соответствует оценке, доказанной А. Мори.

Использование приведенных модулей областей позволяет получить еще один вариант теоремы роста для локально квазиконформных отображений.

Теорема 3. Пусть локально-квазиконформный автоморфизм / единичного круга А конформен в начале координат, причем / (0) = 0.

Тогда

1

\f (z)\ \z \ I(1/Pf (t)-1)/tdt

^ М 149 ■ е 0 > (12)

f (0)\(1 + \f(z)\)2 “ (1 + \z\)2 где

Pf (t) = ess sup Pf oH (Z),

\Z\=t

Pf (z) — первая характеристика М. А. Лаврентьева отображения f, а функция H определяется равенством

1 '■ -1) a - b -J fi(C + Z-1) a - Л- 1, (13)

H (Z ) = 2 (Z + Z-1) a - b -J Q(Z + Z-1) a - b)

при а = 2 Л + 2 ^ Ц ‘Л ,Ь = 2 Л - 2 (|,| + |^| 1Л и вы6°ре

ветви корня, определяемой равенством \[\ = 1.

Доказательство. Пусть отображение / удовлетворяет условиям доказываемой теоремы, и г = 1г1 Е (0,1), Я = I/(ц)|. Фиксируем малое значение е > 0 и рассмотрим двусвязную область Дг,£ = {С : е <

< |С| < 1} \ [г, 1). Прообразом области Дг,£ при конформном отображении Н, определяемом равенством (13), является кольцо К(е, 1) = = {С : е < |С| < 1}, где е = е■ (1 + г)2/(4г). Локально-квазиконформное отображение / о Н преобразует кольцо К (е, 1) в двусвязную область Ои,£ — единичный круг Д с разрезом по дуге /([г, 1)) и выброшенным континуумом /(|С| < е) — образ Дг,£ при отображении /. Тогда в соответствии с теоремой 1 имеет место оценка

1

Моа(£Де) > 1 ! —. (14)

£

В силу конформности отображения / в начале координат внутренняя граничная компонента области Л^£ с точностью до о(е) совпадает с °кружн°стью {( : |С| = е//(0)|}-

Произведем круговую симметризацию области Л^£ относительно отрицательного луча действительной оси. В результате Л^£ преобразуется в область * £, с точностью до о(е) совпадающую с кольцом {С : е|//(0)| < |С| < 1} с разрезом по отрезку [Я*, 1) действительной

оси, причем 0 < Я* < Я. Свойствам различных процедур симметризации многосвязных областей посвящено значительное количество работ (см., например, [3, 4, 11]). В нашем случае существенно, что при симметризации модули двусвязных областей не убывают. В силу этого обстоятельства и свойства монотонности модулей двусвязных областей

моа(^Д)£) < моате*>е) < моа(Дд)£),

где Дд)£ = {С : е|/^0)| < К| < 1} \ [Я, 1). Комбинируя последнюю оценку с неравенством (14), получаем

1

1 / л \ 1 [ 1 &

моа(дд £) > — —-------.

v д’£ - 2п ; р,(г) г

£

Добавляя к обоим частям данного неравенства — 1п(е|/'(0)|), про-

2п

изводя тождественные преобразования правой части и переходя к пределу при е ^ 0, приходим к следующей оценке:

Моа(Дд, 0) > — Г 1п 4(//(0) |г + 11ш [(—1---------Л —) , (15)

1 д }~ 2^ (1 + Г)2 £ >о £ (г) ) г у !

где Моа(Дд, 0) — приведенный модуль односвязной области Дд =

= Д \ [Я, 1) относительно начала координат, а предел в правой ча-

1

сти (15) равен несобственному интегралу /(1/Р/(г) — 1)Д • Сг, причем Р/ (0) = 1.

С другой стороны, как известно (см., например, [3]),

1 4Я

м°а(Дд, 0) = - .

Таким образом, потенциируя неравенство (15) и учитывая равенства г = ^^ Я = /приходим к доказываемой оценке (12).

Заметим, что неравенство (12) точно в случае, когда имеет место равенство в нижней оценке теоремы 1 и функция / отображает область Д \ [г, 1) на область Дд. □

Применим теорему 3 в случае, когда характеристика М. А. Лаврентьева отображения / мажорируется функцией Р(г) = (1 + г)/(1 — г).

Следствие 3. Пусть / — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга А, такой, что отображение / конформно в нуле, /(0) = 0 и \^f (г)| < \г\, где Цf —комплексная характеристика отображения /. Тогда справедливо точное при \ г \ —> 0, \ г \ —> 1 неравенство

\} (г)\ >_(16)

I/'(0)1(1 + |f(z)|)2 - (1 + v/R)4'

Доказательство. Для доказательства сформулированного утверждения применим к отображению f теорему 3. Заметим, что в соответствии с приципом Линделефа [12] максимум модуля отображения H на окружности {Z : |Z | = t}, определяемого формулой (13), достигается в точке —t и равен —H(—t). Следовательно, с учетом условия l^f (z)| < Izl, мажоранта характеристики Лаврентьева композиции f ◦ H имеет вид

~ . . 1 — H (—t)

Pf(t) = ess sup Pf oH (z) = 1 + rr( ■) •

\c\=t 1 + H (—t)

Таким образом, интеграл в правой части неравенства (12)

1 1

Г 1 — Pf (t) dt } —H (—t) dt

J Pf (t) ~t = J 1 — H (—t) f

о J 0

После замены s = —H(—t) последний интеграл преобразуется к виду

1

s 1 ds

о у (І (s + s і) — b) — a2

где a = І (і + і (^ + к|-і)) ,b = І (і - і (\z| + |z|-1 )) .

В итоге

і і

[1 — Pf (t) dt С ds (1 + r)2

= —2 / —, = in

,2

Pf (t) t 0 ^Js2 + s (r + r-і) + 1 (1 + ^)4'

ановка последн к требуемой оценке (16).

о о

Подстановка последнего выражения в неравенство (12) приводит

Точность неравенства (16) при \г\ — 0 очевидна. В силу (4) имеет место точная оценка \/' (0)\ < 4. Для отображений /, удовлетворяющих равенству \/'(0)\ = 4, неравенство (12) является точным также и при \г\ — 1. □

3. Использование метода симметризации и свойств эллиптических функций Якоби позволяет получить асимптотически точные при \г\ — 0 и при \г\ — 1 теоремы роста для локально квазиконформных автоморфизмов круга с заданной мажорантой характеристики М. А. Лаврентьева, из которых следуют точные оценки \/(г)\ в случае квазиконформности /.

Теорема 4. Пусть / — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга А, причем / (0) =0 и (г) — первая характеристика М. А. Лаврентьева отображения /. Тогда для любых гі, Є А справедлива оценка

п K^A) Г dt

2 K(A) - J pf(t)

п к/(а)

(1T)

2 к (а)

при условии существования интеграла справа.

Здесь К (ж), К (ж) — полные эллиптические интегралы Якоби,

A=

f (z2 ) — f (z1)

1 — f (z! ) f (z2)

а=

Z2 — Z!

1 — Zl Z2

(is)

функция Pff (t) определяется равенством

Pf (t) = ess sup Pf оФ2оФ1 (Z),

ln \Z\=t

где

Ф2 (u) =

U + Zl 1 + Zl U

(19)

функция Фі удовлетворяет условию симметрии Фі (£) = Фі (С) в коль-

це : е пК (а)/2К(а) < |£ | < и определяется равенством

1 + к • 8пГК'(к)1-^,к)

Ф1 (С) = ----------------------------------)-при 1т С > 0, (20)

1 - к • 8п( К'(к)-Л-,к)

а модуль эллиптического синуса

к = 1^ е (0,1).

1 + а

Неравенство (17) является асимптотически точным при а ^ 0, а ^ 1 и точным, например, при р/0ф2 0ф1 (£) = Р/ (Ь) на окружностях

{( : 1С| = Ь}, Ь е (0,1).

Доказательство. Пусть локально-квазиконформное отображение / удовлетворяет условиям доказываемой теоремы. Будем считать, что интеграл в правой части неравенства (17) существует, что имеет место в случае измеримости функции Р/ (Ь).

Рассмотрим произвольные точки Х\,Х2 е Д. Их прообразами при конформном автоморфизме Ф2 единичного круга, определяемом равенством (19), с точностью до поворота вокруг начала координат являются соответственно точки 0 и а, где параметр а удовлетворяет второму из соотношений (18).

Рассмотрим двусвязную область Ла = Д \ [0, а] — единичный круг с разрезом по отрезку [0, а] действительной оси. Образом области Оа при отображении Ф2 с точностью до вращения является область Да — круг Д с разрезом по дуге окружности, ортогональной дД и соединяющей точки г\, %2.

При локально-квазиконформном отображении / область Да преобразуется в двусвязную область Дл — круг Д с разрезом по некоторой дуге, соединяющей точки /(г\) и /(^2). Дробно-линейная функция Фз(ю) = егв(ю — /(г\))/(1 — /(^1) ю) при некотором в е К переводит Дл в круг с разрезом по дуге, соединяющей точки Фз(/(^1)) =0 и Фз(/(^2)) = А, где А определяется первым из соотношений (18).

Произведем круговую симметризацию области Фз(Дд) относительно отрицательного луча действительной оси. В результате Фз(Дл) преобразуется в единичный круг с разрезом по отрезку [0, А*] действительной оси, причем А < А* < 1.

В силу того, что модули двусвязных областей при симметризации не убывают, а также в силу конформной инвариантности и монотонности модулей имеет место неравенство

Mod (Ал) < Mod (Da),

где Da — круг А с разрезом по отрезку [0, А]. Отсюда в силу известных (см., например, [2, 3]) формул для модулей единичного круга с разрезом получаем следующую верхнюю оценку модуля:

1 1 K' (А)

MOd(AA) < 2пЬФ A-1) = jkaT (21)

где — ln Ф (R) — модуль экстремальной области в задаче Гретча [2]. 2п

Для получения нижней оценки рассмотрим определяемую равенством (20) функцию Ф1((). Пусть

п к'(a)

1 — a

(a) = e 2 к(а) и k =

r(a, „ „

1 + a

Тогда функция Ф1 осуществляет конформное отображение верхнего полукольца K+ (r(a), 1) = {Z : r(a) < |Z| < 1, Im Z > 0} на верхний полукруг {z : Izl < 1, Im z > 0}, причем внутренняя полуокружность области K + (r(a), 1) при данном отображении переходит в отрезок [0, a] действительной оси. Продолженная в соответствии с принципом симметрии Римана - Шварца в нижнее полукольцо K-(r(a), 1) функция Ф1 реализует конформное отображение кругового кольца K(r(a), 1) на двусвязную область Da. Модули областей K(r(a), 1), Da и Aa очевидно равны в силу конформной инвариантности.

Определим локально-квазиконформное отображение f = f оФ20Ф1 кругового кольца K (r(a), 1) на определенную выше двусвязную область Ал. Мажоранта характеристики М. А. Лаврентьева отображения f равна ess sup pf 0Ф2оФ1 (Z). Тогда в соответствии с неравенством \Z\=t

(3) теоремы 1 имеет место следующая нижняя оценка модуля двусвязной области Ал:

1 о

лл-1/л\1/ 1 dt 1 f dt

Mod (Ал) >— --------------г— — = — ---,

2п J ess sup pf оФ2оФ1 (Z) t 2п J Pf (t)

r(a) KM п к'(a)

где a определяется вторым из равенств (18). 2 K(a)

Комбинируя последнее неравенство с соотношением (21), приходим к доказываемой оценке (17).

Неравенство (17) является точным при выполнении следующих условий:

1) характеристика М. А. Лаврентьева р, 0ф2 0ф1 (С) = сопвЬ на любой окружности {С : |С| = £}, что соответствует условиям равенства в теореме 1 и очевидно верно при р,(г) = К, < то;

2) образ области Да при отображении / представляет собой единичный круг с разрезом по дуге окружности, соединяющей точки /(21), /(г2) и ортогональной дД.

Асимптотическая точность неравенства (17) при а — 1 следует из того, что в этом случае А — 1, ив силу известных свойств полных эллиптических интегралов [3]

К (ж) = К'(\Л - ж2) — то, К' (ж) = К(\Л - х2) — 2 при х — 1,

обе части неравенства (17) стремятся к 0.

Аналогично при а — 0 величина А также стремится к нулю, и обе части (17) стремятся к то в силу приведенных выше предельных соотношений для полных эллиптических интегралов К (ж), К'(ж) при х — 0. □

Замечание 2. Если отображение / квазиконформно, то р, (г) < К/ и из неравенства (17) следует оценка

Щ < К, КМ, (22)

К (а) “ у К (А) ’ V ’

где параметры а, А определяются соотношениями (18). Последнее неравенство приводит к известной [9] точной оценке I/(г)| для К,-квазиконформных отображений.

В силу асимптотических формул для полных эллиптических интегралов [3] 2

е-пК(к)/К(к) = — + о(к2).

16

Таким образом, при г2 — г1 — 0, |г11, |г2| — 1 из (22) получаем точную локальную оценку

1/К/

+0(|Z2 — Zl|1/Kf ), ^2 — 21 ^ 0,

по порядку роста совпадающую с неравенством А. Мори (5).

/ (г2 ) — / Ы < 41-1/к/ 1 1 2

1 — /(г1) /Ы 1 — 21 22

В случае, когда характеристика Лаврентьева функции / мажорируется функцией Р (Ь) = (1 + Ь)/(1 — Ь), Ь € [0,1), теорема 4 позволяет получить асимптотически точные оценки \/(г)\.

Следствие 4. Пусть / — локально-квазиконформный автоморфизм единичного круга А, такой, что отображение / конформно в нуле, /(0) =0 и \^1'(г) \ < \г\, где — комплексная характеристика отображения /. Тогда

к(| г|) к'(\/(г)) < 1п 1/г\ (23)

к(,г\) к(!/(г)\) < 1 + \г! • (23)

Доказательство. Пусть отображение / удовлетворяет условиям доказываемого следствия. Применим к / теорему 4, полагая = 0, х2 = = %• Тогда а = \г\, А = \/(г) \ и Ф2 представляет собой тождественное отображение. При значении модуля эллиптического синуса к =

- П к'( \ г \ )/к( \ г \)

= (1 — \г\)/(1 + \г\) и г = е 2 функция Ф1 реализует кон-

формное отображение кругового кольца К (г, 1) на круг А с разрезом по отрезку [0, \г \]• При этом в соответствии с принципом Линделе-фа [12] максимум \ Ф1 (£) \ на окружности \ £ \ = Ь, Ь € (0,1) достигается в точке £ = Ь, причем Ф1(Ь) € ( \г\, 1) Отсюда с учетом условия \^1f (т) \ < \т \ приходим к равенству

Pf (Ь) = е88 8Ир Pf 0ф1 (() = Ф1 (е* )•

1п |С|=*

Таким образом, правая часть неравенства (17) принимает вид

о о

[ АЬ Г 1 — Ф1(е*)

У Рг (Ь) У 1 + Ф1(е*)

п к' ( \ г \) п к' ( \ г \)

2 к( \г \) 2 к( \г \)

п 1п 1/ \ г \

2 К'(к)

= —kJ 8П П к'( \ г \)

К'(к)П_,к^ АЬ =

2 к( \г \)

Отсюда, с учетом свойств полных эллиптических интегралов Якоби [3] и равенств

K' (k) = K' ( Г+R ) = K( )=(1 + | z 1 )K( 1 z 1 >'

приходим к требуемой оценке (23). □

Замечание 3. Если f удовлетворяет условиям следствия 4, то при

I z I ^ 0 из (23), с учетом известных [3] неравенств

< 2ln4, K(x) < П — ln /1 — x2, (24)

K(x) п x 2

следует точная до величин порядка o( | z |) локальная оценка роста

функции f в окрестности начала координат:

If (z )| < 4|z|_((1 + |z|)(1 — 1/п ln(1 — |z|2))) 1 =

= 4|z| — 4|z|2 ln ^| + o(|z|2 ln |z|).

4 z 2

Функция fo (z) = (-:—р-2 = 4z — 8z2 +... удовлетворяет условиям

(1 + ^|)

следствия 4 и демонстрирует точность последней оценки.

Аналогично, при r ^ 1 из неравенств (23), (24) следует оценка

\f(z)| < ^ — 16e(1 + |z|)(n — ln(1 — |z|2))(n/2 — ln (z)|)/ln1 где множитель п/2 — ln f (z)| в показателе близок к п/2.

Библиографический список

[1] Mori A. On an absolute constant in the theory of quasi-conformal mappings // J. Math. Soc. Japan. 1956. No. 8, P. 156-166.

[2] Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М., 1969.

[3] Vasil’ev A. Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings. Berlin; N.Y., 2002.

[4] Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. M., 1962.

[5] Граф С. Ю., Эйланголи О. Р. Об искажении модулей двусвязных областей при локально-квазиконформных отображениях // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2009. С. 34-43.

[6] Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, 1974.

[7] Старков В. В. Гармонические локально-квазиконформные отображения // Тр. ПетрГУ. Сер. Математика. 1993. Вып. 1. С. 61-69.

[8] Граф С. Ю., Эйланголи О. Р. Дифференциальные неравенства в линейно- и аффинно-инвариантных семействах гармонических отображений // Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2010. N. 10. С. 69-72.

[9] Anderson G. D., Vamanamurthy M. K., Vuorinen M. Conformal invariants, inequalities an quasiconformal maps. New York, 1997.

[10] Граф С. Ю. Аналог теоремы Мори для локально-квазиконформных автоморфизмов единичного круга // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 2013. С. 34-47.

[11] Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. Вып. 1(295). С. 3-76.

[12] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973.

Работа поступила 9 сентября 2013 г.

Тверской государственный университет,

г. Тверь, ул. Желябова, 33.

Петрозаводский государственный университет,

г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

E-mail: Sergey.Graf@tversu.ru