О свойствах некоторых обобщенных конформных инвариантов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, нахождение общего вида функционала в пространст-

ве АС 0 свелось к нахождению общего вида линеиного ограниченного функционала в пространстве L1 [0, а]. Поэтому

F2(y) = Fl(z) + C-D^~a)'e\yX 0),

где F\ (z) - теперь функционал общего вида в V[0,a].

Отсюда, используя формулу для общего вида функционала в Lx[0,a], получим

F2(y(x)) = С ■ уф) + y(t)h(t)dt, (6)

о

где С - некоторая константа, h{t) eL°°[0,a]. Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА. Формула (6) даёт общий вид линейного ограниченного

D-(l-a)/

функционала в пространстве АС 0

Замечание. В случае у(х) е Lp[0,a], р>\, формула (6) остаётся справедливой, только при этом h(t) e L9[0,a], М р + М q = 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кабанов С. Н. Об одном обобщённом операторе дробного дифференцирования // УМН. 1995. Т. 50, вып.4 (304). С. 123.

УДК 517.54

Г. Н. Камышова

О СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕННЫХ КОНФОРМНЫХ ИНВАРИАНТОВ*

Четырехугольником Q называется жордцнова область QcC с четырьмя отмеченными граничными точками z1,z2,z3,z4, которые называются вершинами Q. Модуль m(Q) четырехугольника Q равен отношению длин сторон конформно эквивалентного ему прямоугольника.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00842, ШТАБ, грант № 99-00089.

П. Дюреном и М. Шиффером [1] было введено понятие ёмкости Ро-бена 3(A) множества, которое обобщало понятие логарифмической ёмкости d(Ä). Для определения воспользуемся описанием 8(Л) и d(A) в терминах экстремальной длины. Пусть Г - семейство локально спрямляемых кривых в области Q. Измеримая по Борелю функция p(z) > 0, удовлетворяющая для всех уеГ неравенству jp(z)\dz\>\, называется допустимой

у

метрикой для Г. Тогда экстремальная длина А.(Г) семейства кривых Г определяется следующим образом:

-^- = mf|Jp2(z)dxdy, z = x + iy.

Ц1) р п

Обозначим через Xn(C,D) экстремальное расстояние между связными подмножествами С и О границы Q, которое определяется как экстремальная длина семейства кривых Г, соединяющих С и D в Q.

Пусть границей dQ-А области ПсС,«ей, является аналитическая жорданова кривая, окружность Cr ={z\\z |= г} содержит внутри дС2.

Обозначим через Qr часть Q, лежащую внутри Сг. Тогда логарифмическая емкость d(A;Q.) множества А относительно О определяется формулой

d{A,Q) = e"i(A\ у(А) =. lim (2яА.0 (A,Cr)-logr).

Г-» 00 г

Если 5Q = А и В, А п В = 0, то емкость Робена 8(А;С2) множества А относительно Q равна

5(A;Ü) = e~p(A), р(А) = lim (2пХп (A,Cr)-logr).

/•->00 г

Заметим, что 8(^4; Q) < d(A;ü). П. Дюрен, Дж. Пфальтцграфф [2] предложили рассматривать конформный инвариант p(ß), названный ими модулем Робена четырехугольника Q. Пусть А есть объединение двух дуг (zj,z2) и (z3,z4) границы 8Q четырехугольника Q, В = dQ\ А. Тогда Ц(б) = / 8(B). Интересно установить монотонное изменение конформных инвариантов множеств при некоторых видах симметризационных преобразований, например при поляризации. В представленной работе исследуется изменение модуля Робена четырехугольника при поляризации.

1. Основные определения. Пусть / и / - две противоположные ориентации прямой / на С; Н^(1),Н+(1) - правая и левая полуплоскости по отношению к /. Если А - произвольное множество, то через А*(I) обозначим множество, симметричное с А относительно /.

Поляризацией множества А относительно направленной прямой / называется переход от Л к множеству

А0(!) = [(А и А*(/)) п Я_ (/)] и[/4п/]и[(Лп А*(/)) п Н+ (/)].

Пусть двусвязная область I) имеет дополнительные континуумы Ех,Ег. Тогда множество (/),_/' = 1,2, содержит единственную связную

компоненту Ej,j = 1,2, пересекающую замыкание полуплоскости Н_{1). При этом Е1 о (Е2 )* = 0, а множество С\Е1\ (Е2 )* содержит единственную двусвязную компоненту £> (/), которую будем называть результатом

поляризации двусвязной области £> относительно прямой / при заданной нумерации дополнительных континуумов Е1,Е2.

Пусть С - четырехугольник, С с: 17*, и* = {г :| г |> г}, имеющий отмеченные стороны на окружности с г, ЕУ,Е2 - связные компоненты и'г / О; б - четырехугольник, симметричный с О относительно окружности Сг. Пусть £> (/) - результат поляризации двусвязной области 1) = СиСи11и$2 относительно прямой /, проходящей через начало координат. Результатом поляризации четырехугольника С относительно прямой / будем называть четырехугольник С (1) = О (/) п и*. ТЕОРЕМА [3,4]. Имеет место следующее неравенство:

т(С)<т(О'(0У (1-1)

Равенство достигается тогда и только тогда, когда С (/) = б или

а(1) = о*(1).

2. Неравенства для модулей Робена. Пусть 51,52 " отмеченные круговые стороны четырехугольника (), ю Л = 5, и$2, В = ЗП\ А. Пусть О, - результат поляризации () относительно положительной вещественной полуоси.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть £7 и Г21 - области в расширенной комплексной плоскости, /(г) = а^ + а0+а_1г~1 +... - конформное .отображение О на . Тогда

8(/(Л);/(П))На,|8(4П).

ЛЕММА. Пусть /(г) = а1г + а0 +а_1г~1 +... - конформное

отображение Q на U, F(z) = Axz + A0+ A_xz 1 +... - конформное отображение Q на U . Тогда

Доказательство. Пусть g и G - функции Грина областей Q и Q соответственно. Тогда g(z) = log | f(z) \; G(z) = log | F(z) |. Д. Бетсакос [5] показал, что для любого х е R и любой выпуклой возрастающей функции ф-.R^yR

+00 +00

J 0(g(x + it))dt < |Ф(6'(Х + it))dt. (2.2)

—00 —00 Используя этот факт и выбирая в качестве функции Ф(д:) = е2х, получим ф(£0))=1 ж>|2=| axz I2 +|а0|2 +.. . + а0^г + 2о1а0+.... Ф (G(z)) =| F(z) \2=\Axz\2 +\А0 I2 +... + A0A1z + zA1A0 +.... После подстановки этих выражений в (2.2) получим

-1-00 +00 +00 +со

laj2 \\x + it\2dt + j\a0 + 12 J| x + it \2dt+ j\A0 \2dt + ...

-00 -00 —00 —00

+00

Разделив левую и правую части этого неравенства на х +it \гdt, придем

—00

к неравенству (2.1).

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Q- четырехугольник с двумя отмеченными круговыми сторонами, Q' - результат его поляризации относительно положительной вещественной полуоси. Тогда

VL(Q)<H(Q). (2.3)

Равенство достигается тогда и только тогда, когда Q'=Q или Q'= Q . Доказательство. Согласно предложению 1

S(A;Sl) = ~S(/(A));/C£l)X 8(A;Q') = -^--8(F(A);F(Q')). (2.4)

I «11 141

Д. Бетсакос [5] доказал, что 8(/l;Q') < 8(Л;П), Отсюда и из (2.4) получим, что 8(F(A); F(Q')) \ (| А11) < 8(/(Л); /(Q)) \ (| ах |). Используя неравенство леммы, имеем

S(F(A);Fm < 8(/(А);/т. (2.5)

При отображениях / и F множество А отображается на множества, которые являются объединениями двух дуг окружности, опирающихся на центральные углы а и а, соответсвенно. Тогда согласно [2]

Кб) = iga, \x(Q ) = tga,. Известно, что

53

F (Cl )) = • sin a !, S(/(^);/(Q)) = ^-sina, (2,6)

где

k^tg'f, k = tg2f. (2.7)

1 + к 1 + к Подставляя (2.6) в (2.5), получим ---sin a, <——-sina. Так как

8 ку

1 + к . 1 1 + к, . 1 ,,

---sina =-, -L-sina, =-, то неравенство (2.5)

&к 4-íg(a/2) atj 1 4 •/£(<*!/2)

примет вид

fcfs&f"- (2'8)

2(£ - (1 - к)К)

Как известно (см., например, [2]), m(Q) = щк) =--, где

Е'-кК{

К (к), Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, К',Е' - сопряженные к ним, m(Q') = ty(ks). Неравенство (1.1) приводит к неравенству ср(&) < ср^), где k,kl определяются по формулам (2.7). Функция ф(&) является строго возрастающей, следовательно, после несложных преобразований получим tga < tga у, что приводит к неравенству

ц(0<ц(0').

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Duren P., Schiffer M. Robin fonctions and energy fonctionals of multiply connected domains // Pacific J. Math. 1991. Vol. 148. P. 251 -273.

2. Duren P., Pfaltzgraff J. Robin capacity and extremal length// J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 179. P. 110-119.

3. Дубинин B. H. Преобразование конденсаторов в пространстве // Докл. АН СССР. 1987. Т. 269, №1. С. 18 - 20.

4. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного//Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, №.1. С. 1 - 76.

5. Betsakos D. Polarization, conformai invariants, and Brownian motion // Ann. Acad Fenn. 1998. Vol. 23. P. 59 - 82.