Экстремальная проблема для инвариантов Робена в классе выпуклых областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

с нормировкой m+(?,|.t) - / е W+, где v(f,(r) = ехр(гцго)у(ц)ехр(- г'р/о).

Справедлива следующая ТЕОРЕМА. Задача Римана - Гильберта (5) однозначно разрешима при каждом фиксированном t.

Заметим, что матрица v(i, u) строится по gjk (0,0, р), которые определяются начальными условиями (2) задачи (1) - (3). Решение nr (t,y\.) задачи (5), в свою очередь, полностью определяет для произвольного t > 0 g,(0,/,p) при argp€[71/3,271/3] и gk(0,t,p),k=2,3 при argpе[4я/3,5л/3], а, в силу аналитических свойств последних, во всей верхней и, соответственно, нижней полуплоскостях. Дальнейшие этапы решения задачи (1) - (3) аналогичны классической схеме МОЗР.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хаиибул.чии И.Т. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ II Функциональный анализ и его приложения. 2000. Т. 34, вып. 1. С. 65 - 75,

2. Хабибу.члин ИТ. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями //ТМФ. 2002. Вып.1. Т. 130. С. 31 - 53.

3. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities // Commun. Pure Appl. Math. 1989. Vol. 42. P. 895 - 938.

УДК 517.54

Г. H. Камышева

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА ДЛЯ ИНВАРИАНТОВ РОБЕНА В КЛАССЕ ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ*

Конформные инварианты играют важную роль в теории функций, теории потенциала и смежных областях. К ним принадлежат такие величины, как ёмкость, функция Грина, гармоническая мера и так далее.

П. Дюрен и М. Шиффер [1] развили концепцию обобщённых конформных инвариантов (ёмкости Робена и функции Робена) и их приложение к решению экстремальных задач. Пусть Q есть область в расширенной комплексной плоскости и ЗГ2 состоит из конечного числа аналитических Жордановых кривых. Пусть граница области разделена на два подмножества А и В, каждое из которых состоит из конечного числа поддуг граничных кривых. Относительно такого разделения, функция Робена R(z,i) области L). с полюсом в точке определяется следующим образом: это

есть функция гармоническая в Q \ и такая, что ft(z,£,) - log.—-.- есть

!z -

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083).

гармоническая. Эта функция непрерывна вместе со своими первыми производными вплоть до границы и на границе функция удовлетворяет следующим условиям: = 0 для z е А и нормальная производная равна нулю для z е.В. Ёмкость Робена А относительно Q определяется следующим образом: 5(А,П) = ер(/1\ где р(А) = Um._tx(R(z,oo) - log | z |).

Функция Робена может быть рассмотрена как обобщение функции Грина, к которой она сводится в случае, когда В = 0, а ёмкость Робена соответственно является обобщением обычной ёмкости.

Основная проблема, рассматриваемая в статье, состоит в следующем.

Проблема: Пусть дана точка w и класс Т(а,6) всех выпуклых областей £1 в плоскости таких, что a,beП, we Q и расстояние от точки и> до ¡раницы области p(w,dil) —- гй >0. Пусть В — часть границы 3Q, которая содержится внутри угла между отрезками [w,o], . Пусть А = оС1\ В , A = A(w) и R(a,b,A,D.) = R(a,b;Q) есть функция Робена А относительно Q. Необходимо найти экстремумы по всем ОеЧ^я.Л) R(a,b,A,i1) и 5(Л,0).

Данная задача является обобщением известной проблемы оценки функции Грина в классах всех выпуклых, звёздообразных и простых связных областей, содержащих две фиксированные точки a, b и не содержащих точку w. Эта проблема была решена Я. Кшижем, Е. Злоткевичем [2].

ТЕОРЕМА 1. Пусть х¥(а,Ь) - класс всех выпуклых областей Q в плоскости таких, что a,be Q. Если w не лежит на прямой, соединяющей точки а и Ь, то

sup R(a,b;A,Q) = R(a,b\АИ,Н),

ПеЧ1

где Н — полуплоскость, a,b е Н и расстояние от точки w до границы области р( w, 8Н) = г>г0.

Доказательство. Пусть Q - выпуклая область, а,6еОиточка и>£ П. Соединим точки пересечения границы 8С1 с отрезками [w,a], [w,b] отрезком В * и рассмотрим область Q * такую, что дО* = А и ß * . Область Q* такова, что Q*cQ и а,ЬеС1*. Тогда, используя свойства монотонности функции Робена по множеству В (см., напр. [1, 3]), имеем

R(a,b;A,Cl*) > R(a,b;A,Q). (1)

Рассмотрим полуплоскость Н такую, что Q* с Н и граница этой полуплоскости содержит отрезок В*. Обозначим АИ =дН\В*. Тогда, используя свойства монотонности функции Робена по множеству А, имеем

R(a,b;AH,ff)>R(a,b;A,ii*). (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), получаем утверждение теоремы. При этом точка w t. H и расстояние от точки w до границы области p(w,dH) = г > г0.

Утверждение об экстремальности полуплоскости для ёмкости Робена следует непосредственно из определения и теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Среди всех полуплоскостей H, а,ЬеН и точек wídH , р(w,dH) = r>r0

sup R(a,b;A„,H)= R(a,b\A*H,H). (3)

л„

Доказательство. Выберем систему координат таким образом, чтобы полуплоскость H была верхней. Тогда все точки м> í дН, р(xv,dH) = г лежат на прямой Imw = -г. В этом случае задача нахождения экстремального множества Аи состоит в нахождении такого положения точки w, что мера образа множества Аи при отображении полуплоскости на единичный круг максимальна.

Пусть w- х-ir, а = ах + ici у, Ъ = Ъх + iby. Отобразим полуплоскость

на единичный круг у = ——Вычисляя аргументы образов при отображе-z а

нии функцией \|/ точек пересечения прямых [w,a], [w,b] с осью абсцисс, находим их разность. Экстремум этой разности по х и даёт экстремум меры образа множества Ан . Уравнение для нахождения экстремального х имеет вид

г + а у _ г + by

(х-ах)2 +{r + ay)2 ~ (х-Ьх)2 + (г + Ьу)2 '

Решая это уравнение, находим две точки экстремума

bx(r + ay)-ax(r + by)±^D

xl,2 =---7-.

fl„ - b„

у у

где D - выражение, зависящее от г, ах, ау, bx, bv.

Наличие двух точек экстремума обусловлено тем, что экстремальные положения точек w симметричны относительно прямой, проходящей через точки a, b. Отсюда, используя простые вычисления, получим экстремальное множество Ан.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Duren P., Schiffer M. Robin functions and energy functionals of multiply connected domains//Pacific J. Math. 1991. Vol. 148. P. 251 -273.

2. Krzyz J., Zlotkiewicz E. Koebe sets for univalent functions with two preassigned values// Annal. Acad. Scie Fennicae. Ser. A. 1971. Vol. 487. P. 3 -11.

3. Duren P., PfaltzgraffJ. Robin capacity and extremal length // J. Math. Anal. Appl. 1993. Vol. 179. P. 110- 119.