Некоторые оценки для емкости Робена Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. Н. Камышова

УДК 517.54

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЁМКОСТИ РОБЕНА*

Задачи, связанные с исследованием свойств ёмкостей различных множеств, занимают важное место среди экстремальных задач геометрической теории функций. При этом, в силу конформной инвариантности ёмкости, большое внимание уделяется подмножествам единичной окружности.

В [1] П. Дюреном и М. Шиффером был определен инвариант, названный ёмкостью Робена 8(A) множества, который обобщал понятие логарифмической емкости d(A). Для определения воспользуемся описанием 8(A) и d(A) в терминах экстремальной длины [2]. Пусть Г - семейство локально спрямляемых кривых в области Q. Измеримая по Борелю функция p(z) > 0, удовлетворяющая для всех у е Г неравенству jp(z) \dz\>\,

у

называется допустимой метрикой для Г. Тогда экстремальная длина А, (Г) семейства кривых Г определяется следующим образом:

—i— = inf JJp 2(z)dxdy, z = x + iy. (1)

A,(l ) p n

Обозначим через Xn(C,D) экстремальное расстояние между связными подмножествами С и В границы Q, которое определяется как экстремальная длина семейства кривых Г, соединяющих С и D в Q. Пусть границей дС1 = А области Q с С, оо е Q является аналитическая жорданова кривая, окружность Cr = {z :| z |= г} содержит внутри dQ. Обозначим через Qr часть Q, лежащую внутри Сг. Тогда логарифмическая ёмкость d(A;Q) множества А относительно Q определяется формулой

d(A;Q) = e~r(A), у(А) = lim(2nA,n (A,Cr)-logr). (2)

г-»со г

Если дО. = А и В, АглВ -<Z), то ёмкость Робена 5(Л;0) множества А относительно Q равна

6(A; Q) = е~р(А), р(А) = lim (2лХПг (A, Cr) - log г). (3)

г~> СО

Экстремальные задачи об оценках логарифмической ёмкости для подмножеств единичной окружности рассматривались в работах А. Бейр-линга, К. Померенке, В. Дубинина, А. Солынина (см., например, [3]). В экстремальных задачах такого рода зачастую возникает вопрос о поведе-

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, фант № 01-01-00123, ШТАБ, грант № 99-00089.

нии ёмкости при переходе от не симметричной области к области, обладающей тем или иным видом симметрии.

В представленной статье исследуется изменение ёмкости Робена дуги окружности в случае не симметричной области.

Пусть О есть внешность единичного круга, дО. = А В. Хорошо известно, что ёмкость Робена дуги окружности, опирающейся на угол а 2 01

8(Л;Г2) = бш — и она не зависит от положения дуги. Ситуация сущест-4

венно меняется, если область £2 не симметрична. Мы рассмотрим простой, но в то же время весьма важный случай не симметричности области О.

Пусть £2 есть внешность единичного круга с радиальным разрезом, составляющим угол © с положительным направлением действительной

2©

оси. О = {г: | г |> 1} \ [0; г ■ е ], г > 1. Пусть А дуга окружности, опирающаяся на угол а.

Без ограничения общности будем считать, что А = е'^1 ,п-а < и. Отобразим £1 на внешность единичного круга с помощью функции

Л = -\г + - , (4)

.Р(оо) = 00 .

При этом дуга А переходит в дугу, соответствующую центральному углу ф. Используя известную формулу и конформную инвариантность ёмкости Робена, получим

,2 Ф

6(^;Q) = C-sin

(5)

где

С = -

Л + Г

Ф = arctg

1-U

1-1п

1 +

1-1А

(6)

У

/, = -Icos© +-—, In. = - cos(@ + а) + --J——,

1 V 2 )R +1 2 V 2 ÍR + l

(7)

Отсюда следует, что ёмкость Робена А - 8(А;С2) зависит от положения разреза, то есть от угла ©.

Рассмотрим ёмкость Робена 8(Л;О), заданную формулой (5), как функцию угла 0 при фиксированном значении а. 5(Л;П) = 5(©). Изучая эту функцию, получим следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Если 0 < а < п, то для © е п - у; —^| ёмкость Ро-

бена 8(А;С2) монотонно возрастает, а для © б ; убывает и справедливы следующие оценки:

монотонно

2(3 - R) • j^cos^ - j + 4^2(7? -1) • (R + (R - l)cos| - cos2

1 (Д + 1)2 "

, а 1 - cos—

<5(A;Q)<--2..

Л + 1

Если л < а < 2тг, то для 0 е я - ^; j ёмкость Робена 5(Л; Q)

монотонно убывает, а для © е (- л-yj — монотонно возрастает, и

справедливы оценки, аналогичные предыдущим.

В заключение заметим, что при R —> 1 неравенства обращаются в точные равенства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Duren P., Schiffer М. Robin functions and energy functional of multiply connected domains // Pacific J. Math. 1991.Vol. 148. P. 251 -273.

2. Duren P., Pfaltzgraff J. Robin capacity and extremal length // J. Math, Anal. Appl. 1993. Vol. 17. P. 110-119.

3. Дубинин B.H. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. №1. С. 1 - 76.

УДК 681.3

А. Д. Ковалев, В. В. Мозжилкин ОПЕРАТИВНАЯ РЕОРГАНИЗАЦИЯ БАЗ ДАННЫХ

Сопровождение приложения баз данных, функционирующего в локальной вычислительной сети, связано, с одной стороны, с установкой обновленной версии приложения на автоматизированных рабочих местах пользователей (что не является проблемой) и, с другой стороны, с необходимостью реорганизации общих баз данных, размещаемых на сервере. Необходимость реорганизации может быть связана с расширением, изменением или уточнением схем баз данных, модификаций правил целостности, оптимизацией наборов индексов и т.п. При этом в результате смены поколения информационное содержание баз данных должно быть наследовано