О решении одной смешанной задачи для векторного уравнения МКдФ на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

На основании этой леммы докажем наш основной результат.

ТЕОРЕМА, Пусть В - допустимая гамильтонова система на (X™ )*, соответствующая замкнутой форме ß. Если векторное поле U 6 F¿ [X™ | такое, что соответствующее ему по лемме векторное поле ç удовлетворяет условию ß(^) = 0, то Х(^) - первый интеграл В.

Доказательство. Покажем, что Вх^ = 0.

0 = ßfe) = dk{B,ç) = |(ß,(4) - - ЦВ£] )=*

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галаев C.B., Гохман A.B. Гамильтонова система в неголономном случае. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.99, № 928-В99.

2. Годбиион К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Наука, 1973.

УДК 517.95

М. Ю. Игнатьев

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОЕО УРАВНЕНИЯ МКДФ НА ПОЛУОСИ*

Рассмотрим смешанную задачу

д,+3д2дх+3(д,дх)д + дххх=0, х<0, Г>0, (1)

д(х,0) = д\х), (2)

<7(0,0 = ^(0,0 = 0 (3)

относительно неизвестной вещественной вектор-функции д(х,0 = = (д1(х,1),д2(х,1)У ■ Уравнение (1), представляющее собой векторный аналог классического уравнения МКдФ, имеет различные физические приложения, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы. Это уравнение допускает представление нулевой кривизны и, -Ух + [(/, V] = 0, где

' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), гранта Министерства образования (проект Е02-1.0-186), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.042) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-007).

г

и = /

-р

<71 <?2

91 Р О

о

V = 4/

<?2Д-;'

-рД

:Р<?1,х Ч\,хх

2 4

РЯ2,х Я2,хх

2 4

9,Д + |

(

,РЧ\,х Ч\„

2

2

Р<?1<72

д2Д + г

. РЧ2,х Я2,1

2

Д = р2 - <7^/2 - «уз /2 (личное сообщение В.И. Наянова), и, следовательно, интегрируемо при помощи метода обратной задачи рассеяния (МОЗР). Отметим, однако, что смешанные задачи для уравнения (1) ранее не изучались. Для скалярных уравнений МКдФ и КдФ задачи, аналогичные задаче (1)- (3), изучались в [1] и [2] соответственно.

Смешанные задачи для интегрируемых уравнений активно изучаются в последние два десятилетия. Отметим, что такие задачи оказались значительно сложнее задачи Коши на всей оси и в общем случае классическая схема МОЗР для них не работает. В частности, эволюция спектральных характеристик ассоциированной линейной задачи, вообще говоря, не выражается в замкнутой форме через начальные и граничные данные. В связи с этим особый интерес представляют задачи с частными (так называемыми "интегрируемыми" или "линеаризуемыми") краевыми условиями, при которых такое выражение оказывается возможным и сводится к решению некоторой вспомогательной линейной задачи. Такие смешанные задачи могут быть решены при помощи соответствующей модификации МОЗР. В настоящей работе показано, что краевые условия (3) для уравнения (1) являются интегрируемыми, нахождение эволюции спектральных характеристик ассоциированной линейной задачи сводится к решению некоторой задачи Римана - Гильберта.

Рассмотрим (при каждом фиксированном Г > 0) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

У' = иу. (4)

Теория рассеяния для системы (4) достаточно разработана (см., напр., [3]). Пусть g|í(x,t,р), к = 1,3 - решения Йоста для системы (4) с нормировкой ^(х,г,р) = ехр(/раЛх)(5д+о(1)) при х->-со, где <т, =-1,<т2 =ст3 =1. Обозначим С(р) = (£^(0,0,р)) , г Всюду далее

предполагаем выполненными следующие условия.

Условие 1. Задача (1) - (3) имеет решение такое, что

ц,ц1,цх^хх,цххх 6 (—со,0] и непрерывны при л: < 0, ¿>0.

Условие 2. gn(0,0,p)#0 при lmp>0, detG(p)*0 при 1т/з<0. При выполнении условий 1, 2 решения Поста существуют, gj анали-тична в верхней, a g2> g3 в нижней полуплоскости параметра р. Для них существует оператор преобразования g Jk(x,t,p) = 8 jk ехр(/рст^.х) +

fAjt (x,s,t)exp(ipa ks)ds. Временная

эволюция gk определяется так же,

как при решении задачи Коши на всей оси и из нее следует, что функции уА(х,/,р) = ехр(4;р3ст,4/'^(л:,?,р) удовлетворяют, помимо системы (4), также системе у = Уу (точка обозначает производную по I). В частности, при х = 0 получаем ук = 4гр3аук + Рук, где а = <Ла§(а,,о2,аз),

П 0 = 1 „(О, О О О

-92,^(0,0 0 О

Пусть матрица ср(/,ц) есть решение задачи Коши ф =/цстф + Ар, ф(0,ц) = /, / - единичная 3x3 матрица. Свойства аналогичны

свойствам gk, в частности, фу1(/,ц) = ехр(-;р.г)(5у,+о(1)) при 1шц>0,фу4(г,[л) = ехр(/|аг)(57А+о(1)], к = 2,3 при ц -> оо, 1щц<0. При + 1т|1 > О введем в рассмотрение матрицы

0> Ц) = (ф] {и ц), ехр(/ц0я2 (°>Р). ехрО'цОЯз (°,',Р))> ц = 4р3, агвре [4п/3,57с/3],

где

V" <А 1-0 = (яп (0,0, р) ехр(-;цг)я, (0,/, р),ф2 (г,й),Ф, (>, ц)), ц = 4р3, аг§ре[я/3,2я/3]. Из предыдущего следует, что ф±(Г,р.) = т±(/,ц)ехр(г'ц^с), т±(?,ц) аналитичны при ±1ш|1>0 (здесь существенно условие 2) и т±((,1л) -1 е , где Пг± - винеровы алгебры (матричных) функций,

оо

представимых в виде |ехр(гц.у)У(.у)Л, /($) = () при + з>0. Далее, при

-00

1 тц = 0 ф+(?,|1) и ф~(/,ц) удовлетворяют одной и той же системе ОДУ, поэтому = ф + (г,|а)у(ц), где у(ц) = (ц/ + (0,ц)) ф~(0,ц). Таким обра-

зом, т'(/,р) доставляют решение (при каждом фиксированном /) задачи Римана - Гильберта

т'(1,ц) = т+(1,цМг.ц), цеЯ (5)

с нормировкой т+(?,р) - / е W+, где v(f,n) = ехр(гцго)у(ц)ехр(- г'р/о).

Справедлива следующая ТЕОРЕМА. Задача Римана - Еильберта (5) однозначно разрешима при каждом фиксированном t.

Заметим, что матрица v(i, u) строится по gjk (0,0, р), которые определяются начальными условиями (2) задачи (1) - (3). Решение nr (t,y\.) задачи (5), в свою очередь, полностью определяет для произвольного t > 0 g,(0,/,p) при argp€[71/3,271/3] и gk(0,t,p),k=2,3 при argpе[4я/3,5л/3], а, в силу аналитических свойств последних, во всей верхней и, соответственно, нижней полуплоскостях. Дальнейшие этапы решения задачи (1) - (3) аналогичны классической схеме МОЗР.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача на полуоси для уравнения МКдФ II Функциональный анализ и его приложения. 2000. Т. 34, вып. 1. С. 65 - 75,

2. Хабибуллин ИТ. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями //ТМФ. 2002. Вып.1. Т. 130. С. 31 - 53.

3. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities // Commun. Pure Appl. Math. 1989. Vol. 42. P. 895 - 938.

УДК 517.54

E. H. Камышева

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА ДЛЯ ИНВАРИАНТОВ РОБЕНА В КЛАССЕ ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ*

Конформные инварианты играют важную роль в теории функций, теории потенциала и смежных областях. К ним принадлежат такие величины, как ёмкость, функция Ерина, гармоническая мера и так далее.

П. Дюрен и М. Шиффер [1] развили концепцию обобщённых конформных инвариантов (ёмкости Робена и функции Робена) и их приложение к решению экстремальных задач. Пусть Q есть область в расширенной комплексной плоскости и ЗГ2 состоит из конечного числа аналитических Жордановых кривых. Пусть граница области разделена на два подмножества А и В, каждое из которых состоит из конечного числа поддуг граничных кривых. Относительно такого разделения, функция Робена R(z,i) области L). с полюсом в точке определяется следующим образом: это

есть функция гармоническая в Q \ и такая, что ft(z,£,) - log.—-.- есть

!z -

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00083).