CC BY
9
Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4
УДК 517.958
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОБЩЕЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БКВ-УРАВНЕНИЯ
Г. Л. Луканкин, А. В. Латышев, С. В. Рындина
Доказана теорема о разложении решения общей граничной задачи для ВКВ-уравнения по собственным векторам непрерывного и дискретного спектров. Условия разрешимости позволяют однозначно определить неизвестные коэффициенты разложения и свободные параметры решения векторной краевой задачи Римана — Гильберта.
Модельное уравнение Бсшьцмана с интегралом столкновений в форме БКВ (Больцман, Крук, Веландер) и с частотой, произвольным образом зависящей от молекулярной скорости было построено в [1]. В настоящей работе продолжаются исследования начатые в [2], [3] и [4].
1. Постановка задачи. Линеаризованное БКВ-уравнение, одномерное и стационарное имеет вид
1 оо
чхт^ = Ч I Ф'У ехр(-£,2)А:(^, /Д £') - //,£')> (!)
-1 о
где &(//,£;//',£') = 1 + |+ | (£2 — 2)(£'2 — 2) — ядро интегрального оператора. Функция Ь, удовлетворяет следующим граничным условиям
= 0 < // < 1, (2)
Цх, //,£) = /¿а8(ж, //,£) + о(1), х ^+оо, —1 < ¡л < 0. (3)
Здесь /г0 (//,£) 6 Н{0,1) по переменной ¡л (Н(0,1) — класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера на отрезке [0,1]); асимптотическая часть функции к при х ^ оо является линейной комбинацией дискретных решений уравнения (1).
Функцию к разлагаем по трем ортогональным направлениям (1, £2 — 2). Граничная задача (1)-(3) разбивается на три скалярные, которые можно объединить в одну векторную. Применение законов сохранения (числа частиц, х компоненты импульса, энергии) позволяет упростить ядро векторной граничной задачи. Получаем
ЭЫх,ц) 1 } , , /1 4а 0\
¡л——---Ых, /л) = — / К (/л, ц')Ых, ¡л') ¿¡л', К([л,[л')= 0 3 с/л/л' 0 , (4)
дх 2_У Ц 0 ^
где х 6 (0, +оо), ¡л 6 (—1,1), а£ й, с= 1^9а2. Граничные условия (2)-(3) принимают вид
/г(ж,//) =/г0(//) = (/г01(//),/г02(//),/гоз(^))Т, 0 <//< 1, (5)
© 2002 Луканкин Г. Л., Латышев А. В., Рындина С. В.
h(x, ¡л) = has(x, ¡л) + о(1), х ^ оо, —1 < ¡л < 0, (6)
где Т — означает транспонирование, ЛоД/л) 6 Н(О,1) при г = 1, 2, 3, а функция has (ж, ¡л) определяется ниже, как линейная комбинация собственных решений дискретного спектра уравнения (4). Решение граничной задачи (4)-(6) будем искать в классе вектор-функций h(x,pi) = (hi(x, ц), h,2(x, ц), hz{x, ц))т таких, что hi{x,n) (i = 1,2,3) непрерывны по х на полуоси х €Е [0,+оо] при всех [х €Е (—1,1), имеют конечные пределы при /i ±1 и /i 0 для любого х €Е (0,+оо), непрерывно дифференцируемы по х на полуоси х €Е (0, +оо) при всех ¡л €Е (—1,1) и интегрируемы по ¡л на (—1,1) при всех х е (0, +оо).
2. Краевая задача Римана — Гильберта. В уравнении (4) переменные х и И — независимые. Применяя метод разделения переменных Фурье, получим векторное характеристическое уравнение
1
(Г) - ц)Ф(г1,ц) = -Г] / К(ц,ц')Ф(г1,ц)(1ц', (7)
-1
в котором производные по пространственной переменной отсутствуют. Фактически задача (7) — задача на собственные значения для интегрального оператора. Спектр данного оператора включает в себя непрерывную часть, состоящую из континуума значений спектрального параметра г/ €Е [— 1,1], и дискретную, состоящую из нулей дисперсионной функции
Хс{г) = с^ Лс(г) = \1(г)шс(г),
где
1
/(I^Л 1
¡Л X /
-1
а Ас(г) — дисперсионная матрица, имеющая вид
(Ао(г) 2аг1(г) О О шс(г) О О 0 Ао(г).
Собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру, являются сингулярными и принадлежат пространству обобщенных функций [5]
1 1
г]К(ц,г])Р-п(г]) + Ас(г])п(г])8(г] - ц), ц,г] (Е (-1,1), (8)
2 г)-ц
1
п(г]) = J #(??,//) ф'. -1
Собственные значения дискретного спектра являются решениями совокупности
"А§(г)=0, u(z) = 0.
При любом с €Е (—оо, 1] имеем четыре собственных решения уравнения (7), отвечающих дискретному спектру:
h{l){x,/i) = (1,0,0)т;
h{2){x,/i) = (0,0,1)т;
h{i){x, ц) = (х- /i)h{i~2){x, ц), г = 3,4.
В случае 0 < с ^ 1 к ним добавляется еще два решения, отвечающих значениям дискретного спектра
h±m (ж, /л) = ехр ^ Ф(±1]0, /л), 0 < с < 1,
где
1 Kiu ±Пп) (\ Ф{±щ,ц) = -{±г,о) } Щ)п{±щ1 п(%)= -Лс(%) ,
2 V о /
и при с = 1 (±77о = оо):
h^{x,/i) = { 0,//, Of,
х, /л) = (х — /л)Н^5\х, /л).
Используя идею К. Кейза, который предложил искать общее решение скалярных уравнений переноса в виде сингулярного интегрального оператора типа Коши [6], найдем решение задачи (4)-(6) в виде интегрального разложения по системе собственных функций. Доказательству существования и единственности такого разложения предпошлем решение соответствующей уравнению (7) вспомогательной краевой задачи Римана — Гильберта
X+(/i) = G(/i)-X~(/i), ¡л €Е (0,1), (9)
где X(z) — неизвестная матрица-функция, аналитическая в комплексной плоскости с разрезом [0,1], X±(/i) — граничные значения соответственно сверху и снизу на разрезе (0,1), G{/i) = [К^ {/i)}~1 К~ {/i) — матричный коэффициент задачи. Граничные значения дисперсионной матрицы на разрезе (—1,1) находятся согласно формулам Сохоцкого [7].
Решение задачи (9) — фактор-матрица
(U(z) 4a(U(z) - V(z)) 0
X{z) = 0 V{z) 0
\ 0 0 U(z)
элементы которой определены формулами U{z) = z-exp(—u(z)) и V{z) = z-exp(—?;(z)),
где
i i If If б(/л) 7Г u(z) = — -а/л, viz) = — -а/л,
7Т J /Л — Z 11 J /Л ^ Z
0 0
в {/л) = argAj~(//) — главное значение аргумента функции Aq"(/x), е{/л) = argw+(//) —
главное значение аргумента функции ш+(/л).
3. Решение граничной задачи. Для значений параметра с 6 (—оо,0) и с £
(0,1) определим has{x, /л) как комбинацию первых четырех собственных решений, отвечающих дискретному спектру
has(x,ß) = (qi + q2(x- р), 0, q3 + q4(x - ß))T,
где q2 и q4 — заданные постоянные, q\ и — неизвестные константы.
Для с = 1 решение has(x, /л) определяется как комбинация всех шести дискретных решений, соответствующих этому случаю
has(x,ß) = (ji +j2(x-p), +jiß(x -//), jb + je(x-p))T,
гДе 32-,ji и je — заданные постоянные, и — неизвестные константы.
Теорема 1. Граничная задача (4)-(6) при 0 < с < 1 имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным векторам дискретного спектра и собственным матрицам непрерывного спектра:
1
h(x,p) = has(x,p) + A0hr,o(x,ß) + J ехр(-х/т])Ф(т],1л)А(т])(1т], (10)
о
где q2 п q4 — постоянные, а собственные векторы Ф(77, /л) находятся по формуле (8).
В разложении (10) неизвестными являются коэффициенты Aq, fji. (/з — отвечающие дискретному спектру и вектор-функция A(rj), являющаяся коэффициентом непрерывного спектра.
В разложении решения граничной задачи используется невозрастающее собственное решение, соответствующее значению щ, поэтому разложение (10) автоматически удовлетворяет граничному условию (6).
< Используя граничное условие (5), перейдем от разложения (10) к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:
1
has(0,p) + AqMM) + Ac(/i)A(/i) + I [т)К([л,т))А(т))—^— = ho (/л). (11)
^ J V ß
о
Введем вспомогательную вектор-функцию
1
N(z) = \ [ r,K(z,r,)A(r,)^, (12)
2 J г/- z
о
аналитическую всюду в комплексной плоскости с разрезом [0,1]. Ее граничные значения сверху и снизу на разрезе (0,1)
N±(p) = lim N(z), z = x + iy, ¡л e (0,1) j/-m±
связаны между собой формулами Сохоцкого [7].
Умножим обе части уравнения (11) на ж'щК^2). Получим
1
[Л+М - А~шк8(0^) + Л)М0,/л)) + ¿[л+м - +
+К(ц2)А(ц)К~1(ц2^^К(ц2)А(ц) = тНцК(ц2)к0(ц).
Заменим разность Л+(/х) — Л_(/х) на равное выражение К(^2)А+(^)К~1(^2) — К{ц2)А~ {ц)К~1{ц2) и умножим обе части полученного равенства слева на матрицу-функцию К~1{/12). В результате получим векторную краевую задачу Римана — Гильберта
Р+М(ЛГ+М + Ка(0,ц) + АоММ)) - + к,{0,ц)
+ Аок^ц)) = тцК(ц2)к0(ц), ¡л €Е (0,1), (13)
где Р(г) = А(г)К~1(г2).
Пользуясь результатами предыдущего пункта преобразуем задачу (13) в векторную задачу по скачку
1-1
[Х+ М]■-1 (ЛГ+ (/,) + К3 (О, ц) + А,кт (О, ц))
- [Х-(/л)]"1 (М-(//) + К,3(О, II) + Афт(0, ц))
= тг%ц[Р+(ц)Х+(ц)]~^К(ц), ¡л е (0,1). (14)
Введем обозначение В[ц) = [Р+ . Учитывая поведение входящих в краевое
условие (14) функций и воспользовавшись обобщенной теоремой Лиувилля, получим
ЛГ(г) = -МО,/*) + +ВД
2 г - %
С
Ф(г) +-+ £>
* - т
(15)
Здесь
/Ф1(*)\ 1
1 С ёц
Ф(г) =
= о /
2У—.....
\фз(«)/ 0
— интеграл типа Коши; С, I) — векторы, компоненты которых с^, е^ — произвольные константы (г = 1, 2, 3).
Для корректности полученного решения (15) необходимо, чтобы равенства (12) и (15) определяли одну и ту же функцию. Это можно сделать за счет выбора свободных параметров — компонентов векторов С и I), а также за счет определения неизвестных коэффициентов 1 и д3 следующим образом. Векторное условие, устраняющее у решения (15) полюс в точке щ, однозначно определяет элементы вектора С, а устраняющее полюс в бесконечно удаленной точке — элементы вектора I). Неизвестные коэффициенты 1 и д3 однозначно определяются из равенства пределов функций (12) и (15) в бесконечности.
Нахождение в явном виде всех неизвестных коэффициентов разложения (11) заканчивает построение решения задачи (4)-(6) (а, следовательно, доказывает и существование этого решения) для случая с €Е (0,1). Доказательство единственности основано
на невозможности нетривиального разложения нуль-вектора по собственным векторам характеристического уравнения. >
Аналогичная теорема может быть доказана для отрицательных значений параметра с. В этом случае коэффициент дискретного спектра А0 равен нулю. Следовательно, общая формула разложения решения граничной задачи при любом с 6 (—оо, 1] (с ф 0) имеет вид
1. Cercignani С. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency // Ann. Phys.—1966.—V. 40, No. 3.—P. 469-481.
2. Латышев А. В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК-уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. математика и механика.—1990—Т. 54, Вып. 4—С. 581-586.
3. Латышев А. В., Юшканов А. А. Аналитическое решение модельного ВГК-уравнения Вольцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии // Матем. моделирование.— 1992,—Т. 4, вып. 10, С. 41-46.
4. Latyshev А. V., Yushkanov A. A. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with froqueney proportional to the molekule velocity // Fluid Dynamics.—1996.—V. 31, No. 3.
5. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.—М.: Наука, 1976.—80 с.
6. Case К. М. Elementary solutions of the transport equation and their applications // Ann. Phys. N. Y.—1960.—V. 9, V. 1.—P. 1-23.
7. Мусхелишвили H. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике.— М.: Наука, 1968.—512 с.
1
h(x,p) = has(x,p) + х+(с) ■ AQhm(x,p) + / ехр(-х/т])Ф(т], р)А(т]) dr],
о
где
Литература
гг. Мытищи, Москва, Пенза
Статья поступила 16 сентября 2002 г.
