CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 948
Р.Акбаров, Дж.Мирзоев
СМЕШАННАЯ МАТРИЧНАЯ ЗАДАЧА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА С ЗАДАННЫМИ ГЛАВНЫМИ ЧАСТЯМИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 30.06.2012 г.)
В единичном круге, внутри которого расположен сложный контур, исследуется смешанная матричная нагруженная задача Римана - Гильберта с заданными главными частями и дополнительными условиями на искомую вектор-функцию.
Ключевые слова: краевая задача - нагрузка - главные части.
1. Постановка задачи. Пусть D - круг ^|<1, дБ - его граница, ориентированная в направлении против часовой стрелки, а L - сложный кусочно-гладкий контур [1], расположенный в компактной части круга D.
Предположим для простоты, что 0 £ Ь .На окружности дБ зададим невырождающуюся Н -непрерывную матрицу функцию Gl(t) порядка п, Н непрерывную п-мерную вектор-функцию ^ (1)
(столбец) и линейно-независимые вектор-функции 6\(:),612(t),...,ffm(0 ,(1=1,2,...,п) удовлетворяющие условию Гёльдера, связанные тождествами
О,(г =Е,
_ m m _
8,(г) + О, (г)g1 (г) + £ а\в\(г) + G1 (г) £ aгkвгk(г) = 0, г е дБ,
k=1 k=1
где Е - единичная матрица, О - нулевой вектор, а аil,аi 2,...,а^ - неизвестные комплексные постоянные.
Обозначим через Л - множество особенностей контура L. Пусть на L\ Л задана Н-непрерывная невырождающаяся матрица-функция G2(t) порядка п и Н-непрерывная вектор-функция 820) (столбец). Предельные значения матрицы G2(t) в точках гк е Л будем считать конечными и отличными от нуля.
Далее, пусть на D\L задано конечное множество точек F={F1, F2,..., Fp} и пусть Ш, и2,..., Ир - малые окрестности этих точек. Обозначим через д и1, д и2,..., д ир границы этих окрестностей
Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республика Таджикистан, г.Куляб,ул.А.Сафарова, 30, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected]
и предположим, что они простые кусочно-гладкие кривые, снабженные стандартной ориентацией. В проколотых окрестностях и= Ц, \ ¥ точек ¥ зададим Н-непрерывные векторы-столбцы.
^^(г) = (г), &(7)),7 еи \ ¥г (у = 1,2,...,р)
и рассмотрим следующую краевую задачу.
Задача. Найти все векторы-столбцы Ф^)= (Фх(г), Ф2(г),..., Фп(2) ), голоморфные на ф\Ь)\
р
и и у , Н-непрерывно продолжимые на дО и на L\ Л по следующим краевым условиям
7=1
Ф+(^1ф Ф+ (г) +81(1)+ X ак6к(О,< е дВ, (1)
к=1
Ф+(t)=G2(t) Ф-^^^), г е Ь \ Л, (2)
р
так, чтобы искомые вектор-функции были Н-непрерывно продолжимыми на и д и у, а разности
7=1
Ф^)-£у(г) для каждого у = 1,2,...,р должны быть голоморфными в соответствующих окрестностях и у точек ¥ у. В окрестности точек множества Л искомые вектор функции должны принадлежать заданному классу Н.И.Мусхелишвили ^ Дополнительно требуется из всех многообразий решений задачи (1)-(2) неизвестные коэффициенты аг1,аг2,...,а'т выбрать так, чтобы они удовлетворяли дополнительным условиям
|Ф+ (г)к] (г)йт = р]; ]=1,2„.., (3)
ь
|Ф (т)к](т)йт = р]; ] = +1, + 2,...., + т2 = т,
ь
где h J (г) - заданные линейно-независимые вектор-функции, а g . - заданные комплексные постоянные векторы. В дальнейшем положим
в1 (г) = аг1 в' 1 (г) + а'20'2 (г) +...+атв'т (г).
Функцию (г) можно интерпретировать как «главную часть» неизвестной функции Ф^) в окрестности и у точек ¥ у [2].
Нагруженные свободные члены в1 (г), дополнительные условия (3) и требования «разности Ф^)-(г) для каждого у = 1,2,...,р должны быть голоморфными в соответствующих окрестностях И у точек ¥ у » отличает рассматриваемую векторно-матричную задачу от классических постановок.
т
В случае F^0 в' (г) = 0 и при отсутствии дополнительных условий (3) имеем смешанную век-торно-матричную задачу Римана-Гильберта [2] .
Если F=0, L= 0, в' (г) = 0 и отсутствуют дополнительные условия (3), то имеем классическую векторно-матричную краевую задачу Гильберта [1], [2],[3] Частному случаю задачи, когда F^0 в1 (г) = 0 и отсутствуют дополнительные условия (3), посвящены работы [6], [7]. Случай F=0 в' (г) Ф 0 изучен в [8]. Здесь продолжим исследование сформулированной задачи в случае F^0, в' (г) Ф 0.
2. Решение задачи в случае F^0, в1 (г) Ф 0. Рассмотрим теперь задачу (1)-(2) с заданными
главными частями %7(г) определяемыми в малых окрестностя И7, точек F7 е D\L. Введем дополнительный контур
Г= иди2 и...^дирг
ссостоящий из ориентированных границ окрестностей точек F 7. Построим вспомогательную неизвестную кусочно-голоморфную вектор-функцию ((г) с линией разрыва L и L' .
(( *) =
р
Ф(г), если г е С\уи.
7 7=1
Ф(г) -%7(г), если г еи.
Так как, на дополнительных контурах выполняется равенство Ф+(^)=Ф- то вектор-функция ((г) будет решением следующей задачи:
((г) = (г) +В1(1)+£а\в\ (г), г е дБ, (4)
к=1
(+ (г) = в2 (г ((г)+~ 2(t), г е Ь и V,
где обозначено
(02^), если t е L\Л, Гg2(t), если t е L\Л,
^ Ч/Т , Т =\ „ ^ , ятт (5)
[Е, если t е L, (t), если t е 3Ц,,
(Е - единичная матрица порядка п)
Задача (4), очевидно, равносильна исходной задаче (1)-(2) в случае F^0. Так как, на дополнительном контуре 02 (г) = Е, то у задач (1)-(2) и (4) совпадают суммарные индексы, дефектные числа и канонические матрицы, а также союзные однородные задачи. Используя это заключение и применяя к задаче (4) результаты, изложенных в [8], можно найти условия разрешимости краевой задачи в случае F^0 и построить её общее решение.
Условия разрешимости неоднородной задачи (4) имеют вид:
т
|йу (г)■ g1(г)йг + а'к |йу (г) в\(0+2Иш |йу+ (г)~2(г)1 = 0, (6)
дБ к=1 дБ 1ЬиЬ' ]
и при их выполнении частное решение неоднородной задачи (4) можно вычислить по формуле:
г(г) Гг +, ч-, 1 ^ + г йг
р !(/)= ^Г (г)]"1 ~(г)---, (7)
4 т ~ г - г г
где Г = (Ь иЬ') идБи(Ь иЬ')* = ГиЬ и(Ь')*,
¿Г (/) =
(), если / е L и L',
т
gl(t) + Х а,(Г), если Г едD,
к=1
1 -
G(1/1) g (1/1), если t е ^ и L')*
Подставляя в равенства (6) и (7) выражения (5) для и ¿~2, получим явные формулы, описывающие влияние заданных главных частей, нагруженные свободные члены на условия разрешимости и решение задачи (1)-(2).Опуская промежуточные выкладки, сформулируем окончательный результат:
Теорема. Нагруженная смешенная векторно-матричная задача сопряжения (1)-(2) с дополнительными условиями на искомую вектор функцию для кусочно-голоморфных векторов в случае
Fф0, в1 (г) ^ 0., разрешима тогда и только тогда, когда выполнены равенства
-1йу(г)8х(г)+-|йу(г)в\(г) +3тЛ у (t)g2(t)\ = X^Нйу(г)^(г)[ (8)
21 дБ 21 к=1 дБ {Ь J у=1
для любого решения dу + (г) однородной задачи
йу(г) = йу (г) ^ (г), г е дД, 6у(г) = йу+ (г) а2 (г), г е ь\ Л
удовлетворяющей условию симметрии: йу (г) = йу | 1
Если равенства |йу(г) ■ g(г) = 0 выполнены, то общее решение задачи (1)-(2) дается фор-
Г
мулами
Ф0 (2) + Ф1(г) + £ -1™
2
7=1
I №)Г (t) -
дО„ 1
- + г Л
- г -
г _
,2 е ЦК
7=1
Ф( 2) = Фо (2) + Ф1( 2) + 7 + £
2 7=1
7 = 1,2,3,..., р
I № )]-1 ) --
3и„
- + г Л-
- г -
г
,2 е ЦК
(9)
7=1
Здесь х(г) каноническая симметричная матрица класса h коэффициента задачи (1)-(2),
Ф0 (2) = №( г) P( г)
- общее решение однородной задачи и
Ф(г) =№г1I№ С)]-1*«Г1• Л + ЖГ1 £I№ «)Г'Л0• -+
4|№ (-)]-я 2(-) • ^ }
- частное решение неоднородной задачи.
Очевидно, формулы (8) и (9) содержат в явном виде вклад, происходящий от заданных главных частей.
Поступило 30.06.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа Н.П.Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. - М.: Наука, 1970.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1970.
3. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.
4. Зверович Э.И. - Успехи мат. наук, 1971,т.26, вып.1, с.113-179.
5. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. - Душанбе: Дониш, 2006, 245 с.
6. Акбаров Р. - Сиб.мат. журнал, 1984, т.ХХУ, № 2, с.13-20.
7. Акбаров Р. - Сиб.мат. журнал, 1987, т.ХХУШ, №2, с.3-6.
8. Мирзоев Дж. - ДАН РТ, 2012, т. 55, №11, с.853-858.
Р.Акбаров, Ч,.Мирзоев
МАСЪАЛАИ ОМЕХТАИ МАТРИТСАГИИ РИМАН-ГИЛБЕРТ БО ЦИСМ^ОИ АСОСИИ ДОДАШУДА ВА ШАРТ^ОИ ИЛОВАГЙ
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар доираи вохидие, ки дар дохилаш контури мураккаб мехобад, тадкики масъалаи омехтаи матритсагии Риман-Гилберт бо кдсмх,ои асосии додашуда ва шартх,ои иловаги, гузаро-нида шудааст.
Калима^ои калиди: масълаи канори - сарбори - цисмуои асоси.
R.Akbarov, J.Mirzoev THE LOADED DISPLACED MATRIX TASK RIMAN-GILBERT WITH ADDITIONAL CONDITIONS FUNCTION
A.Rudaki Kulyab State University
For an individual circle inside which the complex (difficult) contour is located, the displaced regional task Riman-Gilbert in a case is investigated, when the free member of a regional condition is loaded with a combination given linearly - independent with unknown factors and when on a required function some additional conditions are imposed Key words: boundary problem - loaded - basicparts.
