Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов смешанной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2008, том 51, №10___________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Р.Акбаров ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 25.07.2008 г.)

1. Рассмотрим неоднородное характеристическое сингулярное интегральное уравнение (х.с.и.у.) с ядром Гильберта

аОХ»-^ -</ст = ф) + (!)

2л- * 2 Ы1

с учетом заданных главных частей /(г) - Яе /(г) + Пт / (г) так, чтобы его соответствующая нагруженная смешанная краевая задача

®+(t) = G1(t)Ф+(t) + g1(t) + YJak0k(tX ^>+(f) = G2(t)ф-{t) + g2(t), 1еЬ\А,

к=1

в конечном числе точек Т7 = области П= |^| < 1 имела изолированные осо-

бенности, в окрестности которых наперед заданы Н-непрерывные функции ^(г) (V = 1,2,...,и) . Здесь через /{т) обозначена сумма всех заданных главных частей искомой функции, аналитических в области П \ 7% у - окружность \г\ -1, Ь - сложный кусочно-гладкий контур, лежащий внутри круга; ^ (), £2 (), G1 ), G2 ) - заданные функции класса Н; причем Ф 0, С2(7) Ф 0; а(5),ф),с(5) - заданные действительные функции

класса Н; 6^(У),#2(У),#3(У),...,#П(У) - заданные линейно-независимые функции класса Н; коэффициенты а1,а2,...,ап либо остаются произвольными, либо наряду с функцией считаются неизвестными. Решение уравнения (1) ищется в классе симметричных функций, удовлетворяющих условию Гельдера таким образом, чтобы разность

и ~ Яе/ = Ые |>(г) - /(г) ^

где Ф(г) = и + /\\ была аналитической в соответствующей окрестности иу точек 1\..

Дополнительно требуются неизвестные постоянные а1,а2,...,ап определить так, чтобы (1) имело многообразие решений, из которых выбирается решение, удовлетворяющее дополнительным заданиям граничных моментов

т

271

(т)и(т)^

= Чі ,

] = 1,2,..., p,

(2)

где \(/),^(О,—,^(О - заданные линейно-независимые функции, а ,д2,...,^ - заданные

вещественные постоянные.

Исследование уравнения (1), с учетом заданных главных частей без нагрузки в^') = а1в1^') + а202^') + ... + ап0п^') и отсутствием дополнительных условий (2), дано в [1]. Здесь дадим решение уравнения (1) с учетом заданных главных частей не только с нагруженным свободным членом, но и с дополнительными заданиями граничных моментов с привлечением метода введения дополнительных контуров и метода симметрии, разработанного в [2], [3], [4].

2. Введем вспомогательную кусочно-голоморфную функцию вдоль контура

п п

Г = У + X ^ ^ ди*у формулой:

У=1

У=1

Ф0) = /0)+7“(оО-КеДсг)

4;г ' т-г т

так, чтобы разность Ф(г) - /(г) была аналитической в £) \ І7, где / - граница единичной окружности, дик - границы окружностей заданных точек Рк, а дик - образы контура ик при

отображении: г—>=. В точках I — е'>; є Г граничные значения Ф(г) вычисляются по форму-г

ле

Ф* (0 = /± (0 ± 1- 1(5) - Яе/(» +—\ | О) - К-е/О) 5^^—І-і/о-.

Нагруженная х.с.и.у. (1) с учетом заданных главных частей эквивалентна нагруженной смешанной краевой задаче Римана-Гильберта

ф*(')-Л (І ) = ^ £ Ч< )- Л (I)}

а — гЬ

г

а — іЬ

гп

Ф) + - аКе/0) + ^ОУ^/О)

к=1

(3)

причем надо искать лишь те ее решения, которые ограничены и принимают в точке г - 0 чисто мнимые значения. Коэффициенты задачи (3)

. а + гЬ .. і

°(І ) =------Т, 8 (І)=-----------Т

а — гЬ а-гЬ

Ф) + + ф) 7да/(>)

к=1

0

удовлетворяют необходимым условиям разрешимости

G(t)G(t) = \ g(t) + G(t)g(t) = Q,

при этом G(t) ^ 0 на Г, принадлежит классу Н и может иметь четный или нечетный индекс.

Теорема 1. При ж = JndG(t) > 0 нагруженная неоднородная смешанная задача Рима-на-Гильберта (3) с учетом заданных главных частей в классе симметричных функций для круга в случае четного и нечетного индекса разрешима безусловно и её общее решение дается формулой

X(z) г [. a(r)Re f (т) - b(r)Jm f(f)\ т + z dr

1 1 ГО

Ф( z) = - f (z)-- f =

2 2 \zj

2л

|Jm<

(a-ib)X + (r)

T-z T

■+X{z)Q{z) +

X(z) г с(т)________________

4n • (a-ib)X+(r) т-z т

т + z dr X(z) 4 n

m

2>J;

k=1 r '

т + z dr

(a-ib)X+ (j) т-z т ’

(4)

где %{г) - удовлетворяющая условию симметрии каноническая функция, задаваемая форму-

лой

Z(z) = (z-1)~

'I-.'

U )

expi

— !|arg(a+ib) •—

4л { t-z t

е(г) = а0 + £К(г,+г-‘) + /А(г*-г-‘);.

k-1

При ж > 0, формула (4) определяет 2ж + 1 линейно-независимых решений неоднородной смешанной задачи (3).

Если се < 0, то в (4) надо взять 0(г) = 0 и условия разрешимости задачи

1 2г с{&)

[cos к<7\

d<7 + — У а, f-

6k(e,a)d(j [cosher]

2л *(a-ib)x+{a) [sin^crj 2л Ы1 0J (а -ib)%+ (<т) [sin£cr

■da =

In

= i J. /m

. a(cr)Re / (cr) - b{o)Jm f (a)

| jcosArcr]

J [sin k<j J

(a-ib)z (cr)

представимы в виде линейной алгебраической системы (л.а.с.)

т

Ysajkak=dj, J = 0Д,...,|ж| -1,

da (к = 0Д,...,ж -1)

к=1

1 ^_^(O_|00Stol

2л о (a-iV)x+ (cr) [sinк(т\

(5)

—ж

d, = Л J«WRe/W-»(<TV>>»/(<7)1 foostoK _ J_’f---------ф)------rcoeJtcrl _

J ^/nr__ih\ v+ ^/тЛ cm ІГҐТ О 'гг J Ґn 7 АЛ o/+ /-гЛ cm ігґт

J

0

[ (a-ib)x+((J) J[sinA;crJ 2л- „(a-ib)x+(<j) [sinArcrJ

Теорема 2. При четном индексе условия разрешимости задачи (3) сводится к л.а.с. (6), состоящей из 2\х\ - 1 вещественных уравнений с m неизвестными вещественными произвольными постоянными а1,а2,...,ат. Пусть се < 0, тогда:

1) если 2|ж| —1<т, то задача (3) разрешима и общее решение задаваемое формулой (4), где Q(z) = 0, содержит ш-2|ж| + 1 вещественных произвольных постоянных;

2) если 2|ж| — 1 = т и det||a;jfc|| Ф 0, то задача (3) имеет и притом единственное решение;

3) если 2|ж| - 1 > т, то для разрешимости задачи (3) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы из (6) совпадал с рангом основной матрицы из (6).

Теорема 3. При нечетном индексе условия разрешимости (5) совместно с условием

1 2г с(сг) 1 ^ 2}вк (a) cos (а + жег)

— cosia+ жа)ё<7 + —> а. --------------------------------da =

2п о (я-ib)X+ (<т) 2п k=l “ (a-ib)X+((j)

ртГ Ке / (ет) + Ыт1 (<т)1со,(а + ж„ Ко- (7)

0 I (а-гЬ)Х+(т) \

сводится к л.а.с. (6), состоящее из 2| ж | вещественных уравнений с т неизвестными вещественными произвольными постоянными а1,а2,...,ат. Пусть се < 0, тогда:

1) если 2|ж| < т, то задача (3) разрешима и общее решение задаваемое формулой (4), где О(г) = 0, содержит п - 2|ж| вещественных произвольных постоянных;

2) если 2|ж| = т и А = Ф 0, то задача (3) имеет и притом единственное реше-

ние;

3) если 2|ж| >т, то для разрешимости задачи (3) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы из (6) совпадал с рангом основной матрицы из (6).

3. Вычислим предельные значения Ф*(0 формулы (4), составим разность предельных значений

и после некоторых преобразований получим:

Ґ\'

Теорема 4. Если ж > 0, то неоднородное х.с.и.у. (1) с учетом заданных главных частей разрешимо безусловно и его общее решение в классе симметричных функций для круга дается формулой

II(5) = Ые/(5) - 2А($^т §(5) Ые/(5) - 6(5)/т/(5) ^

B(s)Z (s) 2л

2л

Jm

a(o")Re f (o')- b(cr)Jm f (a)

. Z^P) .

a-s .

ctg--------da +

2

+ 2C (s) A(s) +

B(s)Z (s)^cg^d<7 + J 7(rr\ * 9

2Л 0 Z (o)

2

■2 A(sfijxkQk(s)-

k=1

2л

-A 2 (o') O' - 5

Z(o-) 2

da

(8)

*=1 0

где Л(5), B(s), Z(s) - вполне определенные функции.

Если ж = 0, то общее решение определяется формулой (8), где в 0(.ч),ак = О, Д. = 0, а а0 определяется из уравнения

Re

1

1

ф(0)--f (0)+-f И

= а0 cos а -

sum К a^)Ref И - b(o-)JmfИ L Ал J j (a-ib) X+ (o) J ’

если cos <2 фО и является произвольной в случае cos or = 0, при этом должно выполняться условие

iOk(o)do

— \-^-da + —Уак [—----------

2л 0J Z(a) 2л t=1 0J Z(a)

2л

= \jm

a(a) Re Да) - b(a)Jm Да)Гк

2(о) )

При ж < 0, единственное решение уравнения (1) дается формулой (8), где = если будут выполнены 2| ж | условия разрешимости (5) и (7), которые сводятся к л.а.с. (6). Тогда для уравнения (1) справедливо утверждение теоремы 3.

4. Вставляя и(я), представленное формулой (8), в дополнительные условия (2), получим систему р алгебраических уравнений с 2|ж| + т неизвестными а0,ук,Рк (к —1,2,...,ж)

и ау,а2,...,ап:

aj0 ' «о

+ ZajkYk +ZbjkPk + ZPjkak = dj, j = i,2,-~,p;

k=1

k=1

k=1

где

2n 2ж

aj0 = 2 (s)B(s)Z(s)ds; = 2 (s)B(s)Z(s) cos ksds;

0

0

0

= 2 |И (5)Б(5)і (у) бій ksds;

0

/3]к=2 [А(5)#,,(5)И, (5)С5 + \Б(5)і (5)И, (5)С5 (сг) СІ^ 5 с! (Г,

д - |И] (5) Яе /(5)С5 + 2 |А(5)И; (5)Уда §(5) Яе/(5) - 6(5)Уда/(5) С5 +

0

0

+ -

!у.(5)С5 Уда

0

а(ст) Яе / (сг) - Ъ((г) Уда / (сг)

2 (сг) ] 2

67-5

2

Сет

Теорема 5. Нагруженная неоднородная х.с.и.у. (1) с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов (2) в классе симметричных функций в единичном круге сводится к л.а.с. (9), состоящей из р вещественных уравнений с т + 2ж + 1 неизвестными произвольными вещественными постоянными /30, Ук’Ри (£ = 1,2,...,ж) и ах, а2.., ат . Пусть се >0, тогда:

1) если р<т + 2ж + 1, то х.с.и.у. (1)-(2) разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (8), содержит да - р + 2ж +1 произвольных вещественных постоянных;

2) если р = да + 2ж +1 и определитель системы (9) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1)-(2) имеет и притом единственное решение;

3) если р > т + 2ж + 1, то для разрешимости х.с.и.у (1)-(2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (9) (обозначаемых через г) и основной матрицы из (9). Тогда общее решение содержит т + 2ж + 1-г произвольных вещественных постоянных.

Рассмотрим случай се < 0, тогда в (8) (9(0 = 0, так что л.а.с. (9) примет вид:

и, кроме того, должны выполняться 2|ж| условия разрешимости (5)-(7), которые равносильны л.а.с. (6).

Теорема 6. Нагруженное неоднородное х.с.и.у. (1) с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов (2) в классе симметричных функций в единичном круге сводится к л.а.с. (10)-(6), состоящим из р + 2| ж | вещественных уравнений с

да

(10)

т неизвестными произвольными вещественными постоянными а1,а2,...,ат . Пусть ж О, тогда:

1) если р + 2|ж| < т, то х.с.и.у. (1)-(2) с учетом заданных главных частей разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (8), где 0(1) = О, содержит т ——2|ж| произвольных постоянных;

2) если /? + 2|ж| = т и определитель системы (10)-(6) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1)-(2) имеет и притом единственное решение;

3) если /? + 2|ж| >т, то для разрешимости х.с.и.у (1)-(2) необходимо и достаточно

равенство рангов расширенной матрицы из (10)-(6) (обозначаемые через г) и основной матрицы из (10)-(6) соответственно. Тогда общее решение содержит m-r произвольных постоянных.

Кулябский государственный университет Поступило 25.07.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Дониш: Душанбе, 2006, 245 с.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968.

3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 195 с.

4. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казанского университета, 1977.

Р.Акбаров

МУОДИЛАИ ИНТЕГРАЛИИ ЯДРОИ ГИЛЬБЕРТИ ШАРТ^ОИ ИЛОВАГИИ ШАКЛИ МОМЕНТ^О ДОШТАИ МАСЪАЛАИ ОМЕХТА

Макола ба тадкики муодилаи интегралии ядрои Гильберти шартх,ои иловагии шакли моментх,о доштаи масъалаи омехта бахшида шудааст.

R.Akbarov

THE CHARACTERISTIC SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS WITH HILBERT KERNELS AND LAUDED MIXED PROBLEM WITH COMPLEMENTARY ASSIGNMENTS OF THE BOUNDARY MOMENTS

The lauded singular integral equations with Hilbert kernels and with complementary assignments of the boundary moments are investigated in the paper.