Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №9_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Р.Акбаров

НАГРУЖЕННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ЗАДАНИЯМИ

ГРАНИЧНЫХ МОМЕНТОВ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 25.07.2008 г.)

В краевых задачах теории обобщенных аналитических функций (о.а.ф.) центральное положение занимают две основные краевые задачи: это задача Гильберта [1,2] и задача сопряжения [3].

В предлагаемой работе рассматривается краевая задача сопряжения не только с нагруженными свободными членами, но и с теми обобщениями, когда задаются дополнительные условия типа граничных моментов на искомую функцию.

1. Пусть L состоит из простых непересекающихся гладких замкнутых кривых Жордана, L0,LLn, из которых L0 содержит внутри себя все остальные. Область, заключенную

внутри L0 и вне Ь0,Ц,...,Ьп, будем обозначать через D+, а её дополнение до полной плоскости через D — Е \ 1)' . Рассмотрим следующую краевую задачу.

В классе о.а.ф. найти кусочно-регулярное решение W(z) (то есть регулярное как в

D+, так и в ZT ) уравнения

^=a(zw<7) (о

dz

по краевому условию

п

Wt(t) = G(l)W-(t)+g(l) + 'ZaA(<), Щ«) = О (2)

k=1

с дополнительными заданиями граничных моментов

\h](t)W+{t)dt = 7 = 1,2,...,/щ; (3)

L

Jhj(t)J¥~(t)dt - рj, j - m1 +m2 - m, (4)

L

где G(t) и g(t) заданы и непрерывны по Гельдеру, причем G(t) ^ 0 и тогда принимается обозначение индекса >K = JndLG(7), a 0k(t),k = \,2,...,п - задаваемые линейнонезависимые комплексные обобщенные аналитические функции, ак - обобщенные ком-

плексные постоянные, остающиеся произвольными либо подлежащими определению (наряду с о.а.ф. Ж+(г) и Ж~(г)\ /*■(/) - задаваемые о.а. комплексные функции, а pj - заданные комплексные постоянные.

2ж

2. Введем обозначения УР (г) = '^1АкУк(г) - аналог многочлена с вещественными произвольными коэффициентами;

к=1

Жр(г) |сл(г,г) ёт—— Гсог(т.,т)

г 2та } Х+{т) 2п\ 2

Ґ_^(/)_Л

Х+(т)

с!т:

к=1

Г®і(г,т) 2т :

—— (а?2(г,т) Г(т) 2яі I 2К '

1+(т)

йт

Следуя [1,2], общее решение задачи (2) представим формулой

УГ± {£) = (г) + (2) + Жа (г)] (г).

(5)

Находя

^(0=^(0-

+--^- + ж (0

2^(0

1

2 *=1 (0 .

и вставляя И7 (!) в дополнительные условия (3), получим линейное алгебраические системы (л.а.с.)

2ж-1 п

£а!Л + £Как = б/, > ./ = ^2,

к=1 к-1

(6)

= Я (0^ (0^+(/>*; /?;* = Я (0ж+(0

1

2*+(0

+ ^(0

Л;

-Ясо^чо

і я(0

2^(0

л.

Теорема 1. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (1)-(2) с дополнительными заданиями граничных моментов (3) сводится к л.а.с. (6), состоящей из ті комплексных уравнений с 2ж + п неизвестными комплексными обобщенными постоянными Л0,Л1,...,Л2ж и а1,а2,...,ап. Пусть се > 0, тогда:

ь

ь

ь

1) если т1 <2ж + п, то задача (1)-(3) безусловно разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (5), содержит 2ж + п - тЛ произвольных обобщенных комплексных постоянных;

2) если тЛ = 2ж + п и определитель системы (6) отличен от нуля, то задача (1)-(3) имеет и притом единственное решение;

3) если тЛ >2ж + п, то для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (6) (обозначаемые через г) рангу основной матрицы из (6). Тогда общее решение задачи содержит 2 ж + п - г произвольных обобщенных постоянных.

Рассмотрим случай зе < О, тогда в (5) надо взять Ур (г) = 0, так что л.а.с. (6) примет

вид:

к=1

и, кроме того, для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы а1,а2,...,ап удовлетворяли условиям:

Теорема 2. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (1)-(2) с дополнительными заданиями граничных моментов (3) сводится к л.а.с. (7)-(8), состоящей из т1 + |ж| комплексных уравнений с п неизвестными комплексными обобщенными постоянными а1,а2,...,ап. Пусть ж < 0, тогда:

постоянных;

2) если т1 +|ж| = п и определитель системы (7)-(8) отличен от нуля, то задача (1)-(3) имеет и притом единственное решение;

чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (7)-(8) (обозначаемые через г) рангу основной матрицы из (7)-(8) соответственно. Тогда общее решение задачи содержит п - г произвольных комплексных обобщенных постоянных.

п

(7)

п

(8)

1) если

задача (1)-(3) разрешима и ее общее решение, задаваемое

формулой (5), где УРж1(г) = 0, содержит

произвольных комплексных обобщенных

3) если т1 +|ж| >п, то для разрешимости задачи (1)-(3) необходимо и достаточно,

Аналогично, вставляя 1¥ (?) в дополнительные условия (4) получим л.а.с. вида

2ж п

= а]> ] = т1+1,т1+2,...,т1+т2=т, (9)

к=1

к=1

а~к = (і)Ук(і)х~ а)Л; Р~к = (і)х~ (0

1 0Лі) 2%+(і)

■К(0

Л;

=р] - Я-(ог со

1 8(1) 2x40

+ К (І)

<іі.

Теорема 3. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (1) - (2) с дополнительными заданиями граничных моментов (4) сводится к л.а.с. (9), состоящей из т2 комплексных уравнений с 2ж + п неизвестными обобщенными комплексными постоянными А0,А1,...,А2ж и а1,а2,...,ап. Пусть ж > 0, тогда:

1) если т2 < 2ж + п, то задача (1) - (4) безусловно разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (5), содержит 2 ж + п - т2 произвольных комплексных обобщенных постоянных;

2) если т2 = 2ж + п и определитель системы (9) отличен от нуля, то задача (1)-(4) имеет и притом единственное решение;

3) если т2 >2ж + п, то для разрешимости задачи (1)-(4) необходимо и достаточно, чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (9) (обозначаемые через г) рангу основной матрицы из (9). Тогда общее решение задачи содержит 2ж + п - г произвольных обобщенных постоянных.

Рассмотрим случай ж < 0, тогда в (5) надо взять Ур(г) = 0 так, что л.а.с. (9) примет

вид:

(10)

к=1

и, кроме того, для разрешимости задачи (1)-(4) необходимо и достаточно, чтобы а1,а2,...,ап

удовлетворяли условиям (8).

Теорема 4. Нагруженная неоднородная задача сопряжения о.а.ф. (1) - (2) с дополнительными заданиями граничных моментов (4) сводится к л.а.с. (8)-(10), состоящей из т2 + |ж| комплексных уравнений с п неизвестными комплексными обобщенными постоянными а1,а2,...,ап. Пусть ж < 0, тогда:

ь

ь

ь

1) если /77, + |ж| < п, то задача (1) - (3) разрешима и ее общее решение, задаваемое формулой (5), где VFx l(z) = 0, содержит п-т2 -|ж| произвольных комплексных обобщенных постоянных;

2) если т2 +|ж| = п и определитель системы (8)-(10) отличен от нуля, то задача (1)-(4) имеет и притом единственное решение;

3) если т2 +|ж| >п, то для разрешимости задачи (1)-(4) необходимо и достаточно,

чтобы были равны ранги расширенной матрицы из (8)-(10) (обозначаемые через г) рангу основной матрицы из (8)-(10) соответственно. Тогда общее решение задачи содержит n -m2 - |ж| произвольных обобщенных постоянных.

Кулябский государственный университет Поступило 25.07.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа И. Н. - Обобщенные аналитические функции, М. «Наука», 1988, 509 с.

2. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 185 с.

3. Михайлов Л.Г. - Уч. записки Тадж. госуниверситета, , Сталинабад, 1956, т. Х, с. 32-79.

Р.Акбаров

МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ^АМБАСТАИ САРБОРИ ДОШТА БО ШАРТ^ОИ ИЛОВАГИИ НАМУДИ МОМЕНТ^О ДАР СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ

АНАЛИТИКИИ УМУМИШУДА

Дар макола масъалаи канории хдмбастаи сарборй дошта дар синфи функсиях,ои аналитикии умумишуда бо шартх,ои иловагии намуди моментх,о дар функсияи матлуб, тадкик карда шудааст.

R.Akbarov

THE LAUDED BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF THE OF GENERALIZED ANALYTIC FUNCTIONS WITH THEORY COMPLEMENTARY ASSIGNMENTS

OF BOUNDARY MOMENTS

The boundary valve problems with lauded free members and with complementary conditions tupe of boundary moments in the class of generalized analytic functions are considered in the paper.