CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №6________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
Р.Акбаров
ИССЛЕДОВАНИЕ НАГРУЖЕННОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ЗАДАЧЕ СОПРЯЖЕНИЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 15.06.2011 г.)
В статье исследуется характеристическая часть сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши в том случае, когда свободный член правой части уравнения нагружается дополнительными слагаемыми с неизвестными коэффициентами, а на искомую функцию накладываются некоторые дополнительные условия.
Ключевые слова: интегральные уравнения - нагрузка - дополнительные условия.
1. Постановка задачи. Пусть Ь состоит из простых непересекающихся замкнутых кривых Ляпунова Ь,Ь,■■■,Ьт , ограничивающих на плоскости С некоторую область D+. Обозначим D- = СШ+. На L рассматривается уравнение
К 0p(t) = a(t )p(t) + ^ J <P(T)dT = c(t ) + ^ ТП L t-1 k=i
= c(t)+Y&A(t) (1)
где а(^), b(t), c(t) - заданные на L комплексные функции класса Н, вх (? ),#2 ^вп (?) - заданные на L
комплексные линейно независимые функции класса Н, а а'^,а"2,",а'п - некоторые коэффициенты, которые наряду с искомой функцией ^(^) считаются неизвестными. Требуются постоянные
ак(к =1,п) определить такими, чтобы (1) имело многообразие решений, удовлетворяющих дополнительным условиям:
| ф) gJ (г)ёг = к], j = 1,2,..., т,
Ь (2)
где g1 (I),g2^),■■■,gn¡(?) ц - заданные комплексные линейно независимые функции, ^,Ь2,■■■,Ип -
заданные комплексные постоянные.
Характеристическому сингулярному интегральному уравнению (х.с.и.у.) (1) соответствует некоторая (см. ниже) задача сопряжения аналитических функций (з.с.а.ф.). Пусть Ф^) - искомая функция, соответствующая з.с.а.ф. уравнению (1). Функция Ф^) в конечном числе точек
Адрес для корреспонденции: Рахмат Акбаров. 735360, Республика Таджикистан, г. Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: akbarov-39 @ mail.ru
Р = р ^ Р = {р, Р,■■■, Р} области D+ и D- имеет изолированные особенности в окрестности которых для каждой у = 1,2, ■■■, п заданы Н-непрерывные функции %7 (г) , а в случае их аналитической
продолжимости в С\Б 7 функцию
ад=£‘( г)+Є( z)+...+г (z) = -|
/+(2) = (г),2 є О+,
к
/-(2) = ^](z),2 є О ,
аналитическую вне О+ \ р соответственно. Функции /+ (г) и /_ (г) аналитичны всюду вне соответствующих особых точек, в частности /+ (г) аналитична в О , а /_ (г) в О+ . Здесь через F+( F-) обозначено множество особых точек функции /+ (г) (/_ (г)), лежащих в D+(D- ). Решения х.с.и. у. (1) ищется в классе функции, удовлетворяющей условию Гельдера так, чтобы соответствующая ей нагруженная з.с.а.ф. разности Ф^)—/ была аналитической функцией в области D соответствен-
но. Функции %у (г) или / (г) можно интерпретировать как заданную главную часть функции Ф^). Сформулированная задача от классических задач [2] , [3] отличается следующими требованиями:
1) свободный член х.с.и.у. (1) нагружается дополнительными членами с не-известными коэф-
, а, (к = 1, п)
фициентами к 4 ';
2) на искомую функцию ^(^) х.с.и.у. (1) накладываются следующие дополнительные условия:
а) разности [ Ф^) — / ^) ], соответствующие решению з.с.а.ф. для уравнения (1), должны
+
быть аналитическими функциями в D соответственно.
б) решение ^(^) х.с.и.у. (1) должно удовлетворять дополнительным условиям (2). Положим 0(г) = а6> (г)+а202 (0 + ■■■+апвп (г).
Х.с.и.у. (1) без дополнительных условий (2) в случае F^0, 0(^) = 0 исследовано в [1], а в случае F=0 ,0(1) ^ 0 в [4]. Задачи подобного типа возникли в фундаментальных исследованиях Л.Г.Михайлова [5,6], а также в связи с приложениями к механике [7-10].
2. Сведение х.с.и.у.(1) к з.с.а.ф. и решение уравнения в случае F^0, 0(^0. С помощью кусочно-аналитической функции, представленной интегралом типа Коши с заданной главной частью
1 Г^(0,
Ф^)=ад+------------------: г,
"7 'ГГ І " Т —
2от * т — г
плотностью которого является искомое решение уравнения (1), и аналога формул Сохоцкого
[ Ф (0—/ (0] — Ф (0—/— (0] = М),
[Ф* (I) — / (I)] + [Ф- (I) /— (I)] = -1 = Sр,
т\ т — г
х.с.и.у.(1) приводится к з.с.а.ф. вида
(р+ (г) = G(t)ф (г) *gl(t), у (^) = 0, г е и (5)
где
р (I) = Ф (I)—/ (I), 0(1) = [а(1) — Ь(1)] / [а(1) * Ь(1),
п
gl(г) = [с(г) * Ы ак°к(г)] / [Чг) * Ь(г)]. (6)
к=1
х.с.и.у.(1) и нагруженная задача (5) с коэффициентами (6) эквивалентны.
3. Решение задачи (5) в случае F^0, 0(0^0. Пусть в (5) G(t)^ 0, $ =indG(t) и ж(г) - каноническая функция однородной задачи, удовлетворяющая на контуре условию:
Ж+ (г) = ^(г), г е и ■
Используя это представление и (6), краевое условие (5) запишем в виде:
рЧО = £(0*_с(0_геи
ж*(г) х~(г) ж* (г) ы к ж* (г)
Рассмотрим функцию р(г) / ж(г) . Если бы она не имела особенностей в точках множества F, то при $>0 мы могли бы записать:
р(г) = ж(г) [Р$-1 (z)+Ф1(z)+Ф2(z)], (*)
где
т
ж+(г)= П(г—гк ^(2(, ж- (г)=г~*еТ (2},
к=1
^ 1 г с(т) ёт , ч -А 1 г 0к (т) ёт
Ф1(2) = ^ 1 +гт---, Ф2(2) = Ыак -----
2т и ж (т) т — г к=1 2жг{ ж (т) т — г
В рассматриваемом нами случае следует записать:
Р(2) = Ж(г)[ри(2) * Ф1(2) * Ф2(2) * Фа (2)1 (7)
где ФА(z) - кусочно-аналитическая функция, имеющая заданные особенности, подлежащая определению.
То, что искомая функция р(г) имеет в особых точках наперед заданные главные части, означает: существует аналитическая функция \у(г) такая, что р(г) = \у(г) */(г) . Представим
р( г) / ж(г) в виде
РО) / Х(2) = ¥(2) / ,(2) +/(2) / ,(2)
Учитывая (*), найдем:
1 ¡* е(т)Лт ^ а р ^ (г)Лг /(2)
2т/ { ж+ (т)т — г к=1 2от' и Ж+ (т)т — г ж(г)
где Рж1 (г) - многочлен степени $-1 при $>0 и нуль при $<0
Составим разность предельных значениий обеих частей последнего равенства на контуре
¥+ (г) (г)_ /—(г) /*(гК с(г) ° (г)
+1
а
ж+ (г) ж-(г) ж~(г) ж+ (г) ж+(г) к к ж+(г)
Это равенство представляет собой задачу определения кусочно-аналитической функции р( г) / ж(г) по заданному скачку, следовательно, имеем:
¥( г)_ 1 Гг /— (т) /* (т)п ёт |Р С (т) _Г + У а Г 0к (т) т
ж(г) 2т/1 ж (т) ж+ (т) т — г 33-1 2т/1 ж+ (т) т — г 2т к=1 к 1 ж+ (т) т — г
Прибавляя к обеим частям последнего равенства функцию / (г) / ж( г) и умножая на ж( г), при $>0
получим:
Р(г) = /(г)* ^\\/(т) — /0)]-ёт* Р^Ш(г) *Ф^) *Ф2(г)]ж(г)
2т и ж (т) ж (т) т — г
Сопоставляя последнее равенство с (7), заметим, что
ФЛИ= /(г) + -1- 1 [Ж. — Ш— (8)
2тг и ж (т) ж (т) т — г
Функцию ФЛ(z), представленную формулой (8), принято называть [1] функцией заданных особенностей задачи сопряжения аналитических функций.
4. Решение х.с.и.у.(1) в случае F^0, 0(^0. Общее решение х.с.и.у.(1) будем искать в форме
Р(г) = Р(г) *Ра (гX (9)
где
П
Рі(І) = %(*) + РС (0 + (<) (10)
к=1
- известное решение [2-3], [1], причем р0 (г) = Ь(г) г (г) Рж1 (г) - общее решение однородного уравне-
т^0 , N ^ / ч / ч / ч Ь(г)г(г)г с(т) ёт
ния К р ^) = 0; рс (г) = а(г)с(г)------------I----------------- частное решение неоднородного уравне-
т1 1 г(т) т — г
ния Крс (г) = с(г); К°рк(г)=6°); Рк(г) = а(г °(г) — Ь(г) г(г) (к =1 п) - частное решет/ I г(т) т — г
ние уравнения
2(V) = [а(і) + Ь(і)] •,+ (г) = [а(і) - Ь(і)] • х ^) =
,Г( V )
ф *П(/)
1 /гП(г-**)•* О(г)]
Г(0 = — [------^-йг; П(V-2кГ =П(t).
2т
г-г
к=1
Вычислим
ФА«) = /± а)+
Xі (У).
/- (V) /+ (V) X ^) х+ ^)
+£
/к
х- х+.У
(11)
и находим
Ра (і) = Ф+л (і) - ФА (і) = [/+ (і) - /- (І)] +
X + (V)
1 +
(У) х+ ^)
/- (V) /+ (V) X ^) х+ ^)
+
X+ (V)
2
1 -
х~ (У) х+ ^)
£
X х+)
На основании краевого условия заменяем
функцию z(t) , получим:
1
Х+ ОЦ)
, оператор S его выраже-нием, %+ (V) через
Ра (і ) = -
Ь(0/- (0 Щ)/+ (0 Ь(02(0 Г/-(г)[(а(г) -Ь(г)] -/+ (г)[(а(г) + Ь(г)] Лг
а(і) + Ь(і) а(і) - Ь(і) т'
2(г)
г—V
, (12)
Подставляя равенства (10) и (12) в (9), общее решение х.с.и.у.(1) представим в замкнутой
форме:
р(^ = Ь(^^) -
Ь(і)/- (V) Ь(і )/+ (V)
а(ї) + Ь(і) а(V) - Ь(і)
Ь(і) ^ ) Г /.(г)[(а(г) - Ь(г)] - Л (г)[(а(г) + Ь(г)] йг
т
<г)
г - V
+ а(1 )с^) -
Ь(1)2(V) г с(г) йг
-а(г )]Г аА (V) - £ ак [
к=1 ті к=1 г
ті * 2(г) г - V
Ак(г) йг
2(г) г-і
(13)
Пусть $<0, тогда из условия разрешимости задачи легко получим условия разрешимости уравнения (1):
'с(г) гк-1 2 (г)
Однако функции
°к(г) 1^г = г Л(г)[(а(г)+Ь(г)] - /-(г)[(а(г) - Ь(г)].к-1йт
2(г)
2
X
ь
ь
представляют собой полную систему линейно независимых решений одно-родного уравнения
Л1 ^ (, — I
союзного с х.с.и.у. (1) в случае F=0. Тогда при $<0 условия разрешимости уравнения (1) принимают вид:
Если условия (14) выполнены, то общее решение х.с.и.у.(1) даётся формулой (13), где (V) = 0 . Формулы (13) и (14) примечательны тем, что в них явно входит вклад, происходящий от
нагруженных свободных членов и заданных главных частей /+ (2). Если считать, что F=0,0(^) = 0, то
формулы (13)-(14) переходят в соответствующие формулы, дающие решение х.с.и.у. (1) в классической постановке. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Если ж>0 , то х.с.и.у.(1) с нагруженными свободными членами и с дополнительными условиями на искомой функции разрешимо безусловно при любой правой части и заданных главных частей, а его общее решение линейно зависит от ж произвольных постоянных и даётся формулой (13).
Если ж<0, то х. с. и.у. (1) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть с учетом заданных главных частей искомой функции удовлетворяют | ж | условиям разрешимости (14). При их выполнении общее решение х.с.и.у. (1) дается формулой (13), где Р^ (V) = 0
5. Определение коэффициентов ах ,а2 . Во всех проведенных исследованиях наряду с
искомой функцией ^(^) неизвестными считались также коэффициенты аг,а2,...,&„. Теперь из всех многообразий решений уравнения (1), представленного различными формулами, например (10), определим неизвестные коэффициенты ах,а2,...,&„ так, чтобы они удовлетворяли дополнительным
условиям (2). Умножая каждую из функций равенства (13) на заданные функции §у(^) и интегрируя вдоль контура L и обозначая
| с(т)¥}(т)йт + ^ ]Ч(т)¥1 (т)йт = {{[40 + Ь(т)]/+ (т)-[а(т)-Ь(т)]/_(т)}¥](т^г, (14)
Л = { а(іЖ (і)8](і)йі - { Ь(і)г(і)8](і) - . {
жі\ г(т) т- і
Ь
Ь
- {а(і)с(і)8](і)йі + {Ь(і)7(і)8і(і) _ {С~Т\'
Ь
Ь
1 гс(г) йт жі{ і(т) т-і
й - { Ь(і) 2(і) 8] (і)ре-і(і)йі +
Ь
+ Г 4(0 *>« ■ (0 ] -1 Г}-<г)[а(г) ~4(г)] ~у; (г)[а(г)+4(г)] —и,
1 7 1^'Ь г(т)
получим
ЁРк,ак = > 7 = да (15)
к=1
Равенства (19) представляют собой систему т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными ах , а2 ,...,а„, исследования которых проводятся известными методами.
Теорема 2. Х.с.и.у.(1) с нагруженными свободными членами и с дополнительными условиями на искомой, функции (2) в случае Fф0 приводится к ли-нейной алгебраической системе (15) с комплексными уравнениями и с п комплексными неизвестными а1, а2... ап . Пусть ж > 0, тогда:
1. если т<п то х.с.и.у.(1)-(2) разрешимо и его общее решение, задаваемое формулой (13), содержит п-т произвольных комплексных постоянных;
2. если т=п и определитель А= det\pkj\ф0i то х.с.у.(1)-(2) имеет и притом единственное решение;
3. если т>п , то для разрешимости х.с.и.у.(1)-(2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (15)(обозначаемых через г) и основной матрицы из (15). Тогда общее решение содержит п-г произвольных комплексных постоянных.
Рассмотрим случай $<0, тогда в (14) Р$-1(^)=0, так что, кроме линейной алгебраической системы (15), должны выполняться |$ | условия разрешимости (14) , которые равносильны следующей записи
П
£ркГ ак = ё)', j=1,2,..., |$|, (16)
к=1
РкТ=\в{г)¥] (г)^г; ^'= Г {[а(г) +Ь (г) ^(г) -[а(г) -Ь (г) ]£■(г)} ^ ^ - Г с(г) ^ ^ .
Ь Ь Ь
Теорема 3. Нагруженное неоднородное х.с.и.у. (1) с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями (2) сводится к линейным алгебраическим системам (15)-(16), состоящим из т+\ж\ вещественных уравнений с п неизвестными произвольными вещественными постоянными а1 ,а2 ,...,ап . Пусть х<0. Тогда:
1. если т+\ж\<п , то х.с.и.у.(1) - (2) с учетом заданных главных частей разрешимо и её общее решение, задаваемое формулой (13), где Рж-1(^=0, содержит п-т-\ж\ произвольных комплексных постоянных;
2. если т+\ж\=п и определитель системы (15) и (16) отличен от нуля, то х.с.и.у. (1) - (2) имеет и притом единственное реше-ние;
3. если т+\ж\>п , то для разрешимости х.с.и.у. (1) - (2) необходимо и достаточно равенство рангов расширенной матрицы из (15) и (16) (обозначаемых через г) и основной матрицы из (15) и (16) соответственно. Тогда общее решение содержит п-г произвольных постоянных.
Поступило 15.06.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. - Душанбе: Дониш, 2006, 245 с.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977, 639 с.
3. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968, 511 с.
4. Михайлов Л.Г., Акбаров Р. - ДАН РТ, 2006, т.49, №2, с.124-126.
5. Михайлов Л.Г. - ДАН РТ, 1980, т.23, № 7, с.359-362.
6. Михайлов Л.Г. - ДАН СССР, 1981, т.256, №2, с.276-281.
7. Якоб Каюс - Revue math.pures et appl (RPR), 1960, т.5, №1, с. 5-19.
8. Jcob C. - Jomal de math. pures et appl”, 1960, serie 9, т.40, № 6.
9. Gogonea S. “Revue de math.pures et appl” (RPR), 1969, т.14, № 1, рр.999-1015.
10. Gogonea S. - Matemat c naturali, 1969, vol. XLV1, рр. 526-529.
Р.Акбаров
ТАДЦИЦИ МУОДИЛАИ ИНТЕГРАЛИИ МАХСУСИ САРБОРЙ ДОШТА БА МАСЪАЛАИ ХДМБАСТАИ ФУНКСИЯ^О МУВОФИКОЯНДА БО ШАРТХ,ОИ ИЛОВАГЙ
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар макола кисми характеристикии муодилаи интегралии махсуси сарборй дошта бо шартх,ои иловагй дар функсияи матлуб, мавриди тадкик карор ёфта аст.
Калима^ои калиди: муодилаи интегралы - сарборй - шартуои иловагй.
R.Akbarov
RESEARCH SINGULATION OF THE INTEGRATED EQUATION APPROPRIATE TO A LOADED TASK OF INTERFACE OF ANALYTICAL FUNCTIONS WITH ADDITIONAL CONDITIONS
A.Rudaki Kulyab State University In clause the characteristic part singulation of the integrated equation with a nucleus Koshi is investigated in that case, when the free member of the right part of the equation are loaded additional composed with unknown factors and on required function some additional conditions are imposed.
Key words: equation integral - loading-conjugate - main part.
