CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Р.Акбаров, Н.Каримова
О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Кулябский государственный университет им. А.Рудаки
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 04.09.2013 г.)
В статье исследуется линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка с нагрузками и дополнительными условиями.
Ключевые слова: неоднородное линейное дифференциальное уравнение - нагрузка - дополнительные условия.
В работе рассматривается неоднородное линейное дифференциальное уравнение (н.л.д.у.) п-го порядка вида
Ь( у) = / (х) + (х) (1)
к=1
с дополнительными условиями типа
х
¡Р,-(х)у(х)йх = И, г = 1,2,...,т. (2)
х0
Здесь
Ь (у) = уп + Р (х) уп1) + Р2 (х)2) +... + р_1 (х) у + Рп (х) у (3)
и Рк (х) е С(а,(/'= 1,2,- некоторые заданные постоянные,
ак (к = 1,2,..., п) - неизвестные параметры наряду с искомым решением у(х).
Уравнение
Ь( Z) = 0 (4)
будем называть однородным линейным уравнением (о.л.у.) п-го порядка, соответствующим н.л.д.у. (1).
Общее решение о.л.у. (4) даётся формулой
г = С^ + С2 г2 +... + Спгп (5)
Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республика Таджикистан , г. Куляб, ул. С.Сафарова,
16, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected]
где ^,г2...гп - некоторая фундаментальная система решений этого урав-нения, а С,С •••С -
произвольные постоянные.
Известно [1,2], что для нахождения общего решения н.л.д.у. (1) достаточно найти одно какое-нибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего о.л.у. (4).
Пусть у - какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда формула
п
У = У + ^ = у + (6)
к=1
даёт общее решение уравнения (1) в области
а < х < Ь, |у| <+^,|у' <+ю,...,|у(п-1) (7)
Отметим, что знание фундаментальной системы ^, 72 . •• 7и решений уравнений (4) даёт возможность найти и частное решение .
Частное решение будем искать методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных), то есть положим:
у = С1 (х)7 + С2(х)+ . + Сп (х)гп, (8)
где С(х), С2(х),...,С(х) - дифференцируемые функции, подлежащие определению. Если подставим у , данное формулой (8), в (1), для нахождения С(х), ...,Си(х) получим одно уравнение.
Но мы имеем «-неизвестных С (х), ..., Си (х) . Поэтому как-то нужно это уравнение дополнить еще какими-нибудь (п-1) уравнениями. Следуя Лагранжу, эти уравнения построим так.
Найдем у':
У' = С (х) *!+... + Сп (х) 7п '+ С ' (х) 71 + ... + Сп '(х)7п . (9)
Потребуем выполнения равенства
С/ (х) 71 +... + Сп ' (х) 2п =0 (10)
После этого
у" = С1 (х)¿х + С2 (х)г2 + . + Сп (х)г'п + С1 (х)71 +... + Сп (х)г'п. (11)
Теперь полагаем
С1' (х) 71' +... + Сп' (хК' =0. (12)
Продолжая так дальше, получим
С1' (х)+ . + Сп'(х)7п(к) = 0, к = 0,1,.,п -2, (13)
У(к) = С (X) 71(к) + . + Сп(х)7п(к), к = 1,...,п -1, (14)
у(п) =С1 (х ) Т* п) + . + Сп (х)г„(п) + С1 ' (х) 2п +... + Сп '( х) 7пП) . (15)
Подставляя эти значения у и у(к) из (8), (14) и (15) в уравнение (1), получим С,Ь (71) + ...+ СпЬ (^п) +С1( х) 7 п-1) + . + сп (х ) 7п(п-1) =
=/(х)+Х«л (х)
к=1
Так как ь( ) = 0, (к = 1,2,., п ), то последнее равенство имеет вид
п
С (х) ¿Л +... + СП (х) 2яп = /(х) + (х) (16)
к=1
Равенства (13) и (16) являются п алгебраическими линейными неоднородными уравнениями с п неизвестными С (х),..., Сп (х).
Так как определитель системы (13) и (16) отличен от нуля (это определитель Вронского Ж (х) = Ж(^, ,..., ^ )), то из неё однозначно определяются функции С1 (х),..., Си (х). Имеем
с; (х) = Жпк(х)/(х) + уа Жпк(х)вк(х), (17)
к ' Ж(х) 1 к Ж(х) ' 1 '
где Жпк (х) - алгебраическое дополнение элементов п-й строки определителя N(x). Все функции правой части (17) непрерывны в интервале (а, в). Из равенства (17) находим
С. (х ) = 1ЖП^ Л^ /М^ х+Ск,
; Ж(х) к=1 { Ж(х)
(к = 1,2,., П), где С - произвольные постоянные, а х0 - любая точка из интервала (а, Ь). Подставляя найденные значения функций С (х) в формулу (8), получим
У (х) = I I Жпк (х)/(х) * + * Г Жпк (х)в (х) * + (18)
У ( ) 1 { Ж (х) 1 * к £ Ж (х) 1кк ( )
Полагая здесь С = С2 =,..., = Си = 0, получим (частное) решение н.л.д.у. (1):
и
Так что (18) можно записать в виде (6) и, следовательно, решение , опре-деляемое формулой (18), есть общее решение уравнения (1) в области (7). Заметим, что частное решение (19), как нетрудно убедиться, удовлетворяет нулевым начальным условиям
у = 0, у\ = 0,..^у/"^ = 0 при х = хо.
В частности, для н.л.у. второго порядка
У + р (х ) у' + Ч (х) у = / (х) + (х)
к=1
имеем:
у = _г Г ьй*1 йх + ^ Г ^Ц*}- йх+са+с2г2 -
1 1 а 21 А 11 22
- г
Ж (х) 21 Ж (х)
1 ^ЖхГ йх + 2Ы'
-= 1 Х„ Ж (х) *=1 Х0
А ( х )
Ж ( х )
йх.
При этом
- г
} г2 / ( х К Г 2 / ( х ) у1 = _ г11 / ч йх + г2 I / ч йх -х0 Ж (х) ' Ж (х)
" }г2 вк (х ) А (х)
1 /ак I \ йх + г2уак | 1
^ к1 ш(А к1 ш(А
йх
- ^ Ж (х) 2 £ ^ Ж (х) есть частное решение (20), удовлетворяющее начальным условиям
Л = 0, у 1 = 0, при х = х0.
Для уравнения
п
у + Ч (х) у = / (х) + Х«Ак (х ) (Р (х ) = 0).
к=1
формулы (18)' и (19)' принимают более простой вид:
(20)
(18)'
(19)'
у =
Ж (
Чт ]Ч/ (х) йх + ч \г/ (х ) йх + С121 + С222 _
о) х0 ( о) х-.
п х ^ п
(х) + ТРк^Л(х)
Ж (х0) £
X X
у =_ Жы Ь-/ (х) Л+ПО ¡У (х)
или
п л 2 П л
1^ вк(х) ^^(^у 1(х)
Ж (х0) £
Теперь потребуем, чтобы решение н.л.д.у. (1) удовлетворяло дополнительным условиям (2). Тогда имеем
п х
1\7кФг (х)
к= х „
п х
17кФг (х)
к=1 х„
х
I
ЖЩМ <х
Ж ( х )
х
I
Жпк (х)вк (х) Ж ( х )
<х +
<х = К
где
Т*кАк = Бг , * = (,2,., m,
к=1
Л
4к = \2кФг (х)
х |
ЖЛ (х)вк (х) Ж ( х )
<х,(к = 1,2,., п\1 = 1,2,., т)
П х
Бг = Кг 7кФг (х)
к=1 х„
х |
Жпк ( х ) / ( х ) Ж ( х )
(21)
Равенство (21) представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений, состоящую из п неизвестных ак и т уравнений. Возможны следующее случаи: 1) m=n; 2) m<n; 3) m>n.
Для существования и единственности решения уравнений (1) и (2) достаточно изучить случай
(1).
Пусть m=n и определитель системы (21): det ^ 0, то н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18). Следовательно, имеет место
Теорема. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка (1) с дополнительными условиями (2) сводится к линейной алгебраической системе (21), состоящей из п неизвестных ак и т уравнений.
Если в (21) т=п и определитель системы (21) отличен от нуля, тогда н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение, задаваемое формулой (18).
Поступило 04.09.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. - Минск: Наука и техника, 1972, 664 с.
2. Матвеев Н.М. Методы и интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа , 1967, 564 с.
Р.Акбаров, Н.Каримова ОИДИ ХАЛЛИ МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТИИ ГАЙРИЯКЧИНСАИ ТАРТИБИ л-ум БО САРБОРИИ АЪЗОХОИ ОЗОД ВА
ШАРТХОИ ИЛОВАГЙ
Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки
Дар макола шартх,ои мавчудият ва ягонагии хдлли муодилаи дифференсиалии хаттии гайриякчинсаи тартиби n-ум бо сарбории аъзох,ои озод ва шартх,ои иловагй ёфта шудааст. Калима^ои калиди: муодилаи дифференсиалии хаттии гайриякцинса - сарборй - шартуои иловагй.
R.Akbarov, N.Karimova THE SOLUTIONS OF THE INHOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE n-ORDER WITH THE LOADED FREE MEMBERS AND
WITH ADDITIONAL CONDITIONS
A.Rudaki Kulyab State University On the Solutions of the homogeneous linear differential equations of the «-order with loaded, in free members and with additional conditions are studied relieved in the paper. Key words: inhomogeneous linear differential equation with the - load - additional conditions.
