Нахождение решений неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с нагруженными свободными членами и с дополнительными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №1_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Р.Акбаров, Н.Каримова

НАХОЖДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Кулябский государственный университет им. А.Рудаки

(Представлено академиком АН Республики Таджикистана Л.Г.Михайловым 12.11.2012 г.)

В статье получены условия существования и единственности решения неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с нагруженными свободными членами и с дополнительными условиями.

Ключевые слова: неоднородное линейное дифференциальное уравнение - нагрузка - дополнительные условия.

В работе рассматривается неоднородно линейное дифференциальное уравнение (н.л.д.у.) первого порядка вида

у + p (x) y = q (x)+(x)

k=1

(1)

(2)

с дополнительными условиями типа

(X) у (X) дх = Нг, I = 1,2,..., т.

Здесь р(х), д(х), вк(х), ^ (х)е С (а, Ь), ^ _ некоторые заданные постоянные, ак - неизвестные параметры наряду с искомым решением у(х) .

Умножая правую и левую части уравнения (1) на ехр ^р (х) дх, получаем

Jp( x)dx

ye-

Интегрируя это равенство, получаем

q (х) + ^ак0к (x)

k=1

Jp( x)dx

у = e~!p(x)dx {С + J

q (x )+ZaA (x)

k=1

Jp( x)dx

dx\, (3)

где С -произвольная постоянная.

Эта формула доставляет общее решение уравнения (1). Равенство (3) можно переписать и так:

Адрес для корреспонденции: Акбаров Рахмат. 735360, Республика Таджикистан , г. Куляб, ул. С. Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: [email protected]

Доклады Академии наук Республики Таджикистан

2013, том 56, №1

-1 р(х

у = е х 0

х

Уо +\

д ( х) + л£ак6к ( х)

к=1

| р( х)& ехо dx

(4)

Здесь х0 и х1 произвольные, но такие, что интегралы существуют. Постоянная же у0 произвольная. Формула (4) сразу дает решение задачи Коши у(х0) = у0, если х1 = х0.

Теперь потребуем, чтобы решение н.л.д.у. (1) удовлетворяло дополнительным условиям (2). Тогда имеем:

& ( х ) е"'р( ^\С + {

д (х )+ТаА (х)

к=1

е'рх)Лёх I ёх = К

или

¿аА = В, , = 1,2,...,

т,

(4)

к=1

где

А1к = & (х) е' & (х)

р(х)Л:

ёх

ёх, (к = 1,2,...,п;, = 1,2,.,т)

В, = И, (х) е' С + \д (х)

ёх

ёх.

Равенство (5) представляет собой линейную алгебраическую систему уравнений, состоящую из п неизвестных ак и т уравнений. Возможны следующие случаи:

1) т = п; 2) т < п; 3) т > п.

Для существования и единственности решения уравнений (1)-(2) достаточно изучЬть случай 1). Пусть т = п и определитель системы (5): detAjk Ф 0, то н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет

и притом единственное решение, задаваемое формулой (3) или (4). Следовательно, имеет место

Теорема. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение (1) с дополнительными условиями (2) сводится к линейной алгебраической системе (5), состоящей из п неизвестных ак и т уравнений.

Если в (5) т = п и определитель системы (5) отличен от нуля, тогда н.л.д.у. (1) с дополнительными условиями (2) имеет и притом единственное решение задаваемое формулой (3) или (4).

Поступило 12.11.2012 г.

Математика

Р.Акбаров, Н.Каримова

ЛИТЕРАТУРА

1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. - Минск: Наука и техника, 1972, 664 с.

2. Михайлов Л.Г., Акбаров Р. - Докл. РАН, 2009, т.425, №5, с.1-5

Р.Акбаров, Н.Каримова ЁФТАНИ ХАЛЛИ МУОДИЛАИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТИИ ГАЙРИЯКЧИНСАИ ТАРТИБИ ЯКУМ БО САРБОРИИ АЪЗОХОИ ОЗОД ВА

ШАРТХОИ ИЛОВАГЙ

Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки

Дар макола шартх,ои мавчудият ва ягонагии хдлли муодилаи дифференсиали хаттии гайриякчинсаи тартиби якум бо сарбории аъзох,ои озод ва шартх,ои иловагй ёфта шудааст. Калима^ои калиди: муодилаи дифференсиали хаттии гайриякцинса - сарбори - шартуоииловагй.

R.Akbarov, N.Karimova

CONSTRUETING OF THE SOLUTIONS OF THE INHOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EGUATIONS OF THE FIRST ORDER WITH THE LOADED FREE MEMBERS AND WITH ADDITIONAL CONDITIONS

A.Rudaki Kulyab State University Solutions of homogeneouslinear differential equations of the first-order with loadedfree members with additional conditions are relieved in the paper.

Key words: inhomogeneous lineardifferential equation of the equation - load - additional conditions.