Векторно-матричная задача сопряжения с нагруженными свободными членами и с дополнительными условиями на искомые вектор-функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №11_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

Дж.Мирзоев

ВЕКТОРНО-МАТРИЧНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ С НАГРУЖЕННЫМИ СВОБОДНЫМИ ЧЛЕНАМИ И С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

НА ИСКОМЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Кулябский государственный университет им. Рудаки

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 30.06.2012 г.)

Ключевые слова: краевая задача - нагрузка - сопряжение - главные части.

В статье исследуется векторно-матричная задача сопряжения с нагруженными свободными членами и дополнительными условиями на искомую вектор-функцию.

1. Пусть на компактной части комплексной плоскости С задан контур L, состоящий из простых непересекающихся гладких замкнутых кривых Жордана L0, L1, ... Ln, из которых L0 содержит внутри себя остальные. Обозначим через D+ область, заключённую внутри L0 и вне L1, L2.... Ln, а через D- = С \ D+ - дополнение D+ до полной плоскости. На L задаётся матрица-функция G(t) = |^ар(0||, (а,р = 1,2,...,п), удовлетворяющая условию Гельдера и неособенная, то есть её определитель detG(t)^0 всюду на L; кроме того, на L задаются вектор-столбцы g(t)=(g1,g2,...,gn) класса Н и 6^), 62п(^),..., 6пп(^) - линейно-независимые вектор-функции, удовлетворяющие условию Гельдера. Пусть F={F1,F2,...,Fn} - конечное множество заданных особых точек искомой вектор-функции (полюсов и существенно особых), не лежащих на L. Обозначим через иьи2,...,ип малые окрестности точек F1, F2,...,Fn соответственно. Говоря о малости окрестностей иу точек Fv, мы имеем в виду, что множество и„ попарно не пересекается, и все лежат в С/Ь. В проколотых окрестностях и„ ^у зададим Н-непрерывные вектор-столбцы

^ (е) =(£"1, (е) <Г2 (е),..., ^п (е)), гСйу \ Fу; (V =1,2,...п).

При каждом V = 1,2,..., п заданная вектор-функция £ (е) голоморфна всюду вне С^у. Тогда можно ввести вектор-функцию

п Г /+ (г )=££ (^),

$(2) = (2) = | (г)=Ё^ (г)■ ^

кусочно-голоморфную всюду вне точек F1,F2,...,Fn и Н-непрерывно продолжимая через контур Ь. Обозначим через F=F+UF., где F+(F_) - множество особых точек вектор-функции / (е), лежащих в

Адрес для корреспонденции: Мирзоев Джумахон. 735360, г.Куляб, ул. С.Сафарова 16, Республика Таджикистан, Кулябский государственный университет им. А.Рудаки, E mail; kgurektoe @ mail.ru

Д+(Д-), а через / +(/) (/ .(z)) сумму главных частей вектор-функции р + (е) (р по всем особым точкам F+(F-), лежащим в D+(D-). Вектор-функции / +(z) и / -(z) голоморфны всюду вне соответствующих особых точек. В частности, / + (z) голоморфна в D-, а / - (z) в D+.

Рассмотрим следующую векторно-матричную краевую задачу сопряжения: Задача:

п

Найти все вектор-функции столбцов р (2) = (р ¡,р 2,-, р п), голоморфные на (С^ (и йу),

имеющие конечный порядок с заданной главной частью Р(2) = (Р1,Р2,...,Рп ) на бесконечности, Н-непрерывно-продолжимые слева и справа на L, где должно выполняться краевое условие:

р+ (г ) = С (г )р+ (г) + ъ (г)+¿«X (г), г е 1.

(1)

к=1

п

Искомые вектор-функции должны быть Н-непрерывно продолжимыми на и дЦ,, а разность

У=1 7

(р (2) должна быть голоморфной в соответствующих окрестностях иу; а1п,а2п,...,апп - некоторые комплексные постоянные векторы, подлежащие определению наряду с искомой вектор-±

функцией ( (2)). Дополнительно требуется подобрать а1,а2,...,ап так, чтобы существовало многообразие решений (I) из которых затем надо выделить подкласс решений, которые бы удовлетворяли условиям:

|£1 (1)р+- (1)Л =Ь], ] = +1,2, ...,Ш1,

I

|£1 фр" (1;)Л =Ь„ ]=Ш1 + 1, Ш1 +2,...,Ш1+Ш2=Ш

(2) (3)

Нагруженные свободные члены и дополнительные условия на искомой вектор-функции (заданные главные части и условия (2)-(3) отличают сформулированную задачу сопряжения от классических постановок [1,2]. Решение этой задачи в случае = 0 и когда отсутствуют дополнительные условия

(2)-(3) дано в [3].

Сформулированная задача обобщает результаты [4] и [5]. 2. Обозначим через

Х( 2 ) = х/ ( 2 )

1 2 п

Х1 Х1- ■Хх

1 2 п

х х п ■ ■Х п

каноническую матрицу, соответствующую однородной задаче, полученной из (1) при g(t) = 0 и а к = 0. X (z) голоморфна на C/L и нигде не вырождается, Н - непрерывно продолжима слева и справа на L до невырждающихся матриц X (t) и X (t), удовлетворяших условию

X+ (t) = G(t)х (t) . (4)

Порядок на бесконечности det l|x( z )|| равен re, где re вычисляется по формуле:

1 n

re = — X (arg G(t)}L = rei, + re2, +..., + ren

и, кроме того, lim det z '*%(z) Ф 0. В дальнейшем будем считать, что каноническая матрица известна. Используя представление (4), задачу (1) можно привести к задаче определения кусочно-голоморфной вектор-функции [x+ (Z)] . [ф(Z) — f (Z)] по заданному скачку. Решая её в классе голоморфных вектор-функций, ограниченных на бесконечности, получим:

p(Z) = f (Z) + X(Z) f [x+ (т)Г g(т) dT + m (5)

2m ' т — z 2m

f ix' (41 f—(т) + [X' (т)Г f (т) ai - Xz) f tx' (т>Г^ (т) dT + x(z)-P(z),

J т — z r=i 2m Jr т — z

К=1 ь

где Р(2) = (р1, р2, ..., рп), причём ра (2) - некоторые полиномы. Вектор р^), определённый формулой (5), удовлетворяет условиям задачи при произвольном выборе полиномов

Ра= С« + С« (2) + С« 22 + ... + Сж гж, ( а = 1,2,...п)

с произвольными комплексными коэффициентами. Находя из (5)

V (t) + X1 (t) i± 1

(\_x~ (t) ]—1 f— (t)—[x+ (t) ]—1 f+ (t)+S (x-1—1 f— — [x+ ]—1 f+ )|+

+X x± (t r ■ CaK +x+- (t) {+1 (_x+ (t)]—1 g (t)+S ([x+]—1 g))]

к=0 l 2

X ank J±1 x1 (t )([x+(t) ]—1 e(t)+s ([x+ ]—1 enk)) ]

+

^ к I 2

к=0 I 2

и вставляя в (2), (3), получим две векторные линейные алгебраические системы (л.а.с.) с двумя группами комплексных неизвестных векторов

Га г^а г^а __n__n __,

,Ц ,...,С , и а ,а2,...а,

П

к£ = ], j = 1,2, ..., т (6)

К] к к=1 о=1

+

а7к =

I

Р%=\Н(1)Х+-(/)|± (0]"©К(О + ф+]-1 ©/) ]} ^ = р -1 И] (/)/± (/) ± 11Н] (/) V (/)([Л- (/)]"1 /_ (/) - [V (/) ]"1 / (/))4 +

Ь 2 Ь

+{|Н]Ц)Б([л-]-1 /- -[^+]-1 /+ +11Н](О^)]-1 *(04Т +

2 Ь 2 Ь

+11Н] (/V (/)£ ([V]-1 * )4;

2 Ь

1 гф(т)йт „ оф = — I--сингулярным интеграл Коши

2 Ь т-1

Заметим, что при знаке (+) в (6) надо брать j = 1,2, ...ть при знаке (-) надо брать j = т^1, ..., Ш1+т2 = т.

Теорема 1. Нагруженная векторно-матричная краевая задача сопряжения (1) с дополнительными заданиями граничных моментов (2)-(3) сводится к векторной линейной алгебраической системе (6), состоящей из двух подсистем, определяемых (+) либо (-), с неизвестными

/-^а /-^а /-^а п п п .

, ,•••, и а1 ,а2'---аП •

Пусть в (1) будет ж = ЗпйьО(С) > 0. Тогда:

1) если т < ж + п+1, то векторно-матричная задача (1), (2), (3) безусловно разрешима, а её общее решение содержит ж + 1+п-т произвольных комплексных постоянных векторов;

2) если т = ж + п+1 и определитель из (6) отличен от нуля, то векторно-матричная задача (1), (2), (3) имеет и притом единственное решение;

3) если т > ж + п+1 и ранги основной и расширенной матрицы из (6) совпадают и обозначены через г, тогда общее решение векторно-матричной задачи (1), (2), (3) имеет ж + п+1 - г произвольных комплексных векторов.

Рассмотрим случай ж < 0, тогда надо взять всюду Р^) = 0, так, что вместо векторной л.а.с. (6) получим две отдельные системы (как и ранее в (6) при знаках (+) и (-)

п

а = < ] = 1,2,т (7)

к=1

п

Ъг а=л, у=1,2,.., (8)

к=1

ж

7т, = \¥+ (т)0кШт, /г =\[щ+ (т)/+ (т)-¥-(т)/_(т)я(т^т,

ь ь ь

где 2) - любое решение векторной задачи (2) = \о1(1)] ^) , союзной к однородной векторной задаче (2) = G(Y )р" ^).,

Теорема 2. Пусть в (1) будет ж < 0. Тогда:

1) если т + £.' < п, то векторно-матричная задача (1), (2), (3) безусловно разрешима и ее общее содержит п-(т+ £.') произволных комплексных постоянных векторов;

2) если т+ £.' = п и опредлелить системы (7)-(8) отличны от нуя, то векторно-матричная задача (1), (2), (3) имеет и притом едиственное решение;

3) если т+ £.' >п, то для разрешимости векторно-матричной задачи

(1), (2), (3) необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной объединяющей матрицы (7)-(8); тогда общее решение содержит п-г произвольных комплексных постоянных векторов.

Пользуясь, случаем, выражаю благодарность моему научному руководителю профессору Р.Акбарову за постановку задачи и внимание к работе.

Поступило 30.06.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1970, 379 с.

2. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968, 511 с.

3. Акбаров Р. Краевые задачи теории аналитичнских функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения - Душанбе: Дониш, 2006, 245с.

4. Акбаров Р. - ДАН РТ, 1985, т. XXVIII, №9, с. 489-492.

5. Михайлов Л.Г., Акбаров Р. - ДАН России, 2009, т.423, №2, с.3-5.

Ч,.Мирзоев

МАСЪАЛАИ ВЕКТОРЙ-МАТРИТСАГИИ ^АМБАСТАГИИ ФУКСИЯ^О БО САРБОРИИ ИЛОВАГИИ АЪЗО^ОИ ОЗОД ВА ШАРТ^ОИ ИЛОВАГЙ ДАР

ВЕКТОР-ФУНКСИЯИ МАТЛУБ

Донишго^и давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки

Дар макола масъалаи вектори - матритсагии хдмбастагии функсияхо бо аъзох,ои озоди иловагй ва шартх,ои иловагй дар вектор-функсияи матлуб тадкик шудааст. Калима^ои калиди: масъалаи канори - сарбори - уамбастаи функсияхо - цисмуои асоси.

Dg.Mirzoev

ABOUT raE VEKTOR-MATRIX JOINT TEST WITH LOADED FREE MEMBERS AND ADDITIONS KONDITIONS ON RESEARCHING FUNCTON

A.Rudaki Kulob State University In clause the vector-matrix task of interface with the loaded free members and additional conditions on required vector-function is investigated

Key words: boundary value problem - loading - conjuction - dominant part.