CC BY
11
Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4
Посвящаяется 60-летию X. П. Дзебисова
УДК 517.958, 533.72
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНО СТАТИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
А. В. Латышев, А. А. Юшканов
Развивается метод аналитического решения полупространственных граничных задач для эллипсоидально статистического уравнения с частотой, пропорциональной скорости молекул. Решена классическая задача Смолуховского о скачке температуры в разреженном газе и о слабом испарении (конденсации). Проведены численные расчеты полученных выражений. Проводится сравнение с предыдущими результатами.
1. Введение.
Постановка задачи и основные уравнения
Известное кинетическое БГК-уравнение (Бхатнагар, Гросс, Крук) обладает тем недостатком, что оно приводит к неправильному числу Прандтля. Чтобы избежать этого недостатка прибегают к моделям (при аналитическом решении) более высокого порядка — уравнению Шахова и эллипсоидально статистическому уравнению (ЭС-уравнению), или прибегают к полному уравнению Больцмана при численном решении.
Для всех модельных уравнений с постоянной частотой столкновений v = const были развиты аналитические методы [1-4] решения граничных задач.
Наряду с кинетическими уравнениями с v = const применяются и уравнения с частотой столкновений, пропорциональной молекулярной скорости. Такие уравнения отвечают более адекватной гипотезе о постоянстве длины свободного пробега молекул I = const.
В [5] показано, что ЭС-уравнение при I = const в задачах скольжения приводит к результатам, наиболее близким к полученным с использованием полного уравнения Больцмана для молекул — твердых сфер. Там же в [5] был разработан метод аналитического решения ЭС-уравнения в применении к задачам скольжения. Отметим, что до сих пор отсутствует метод аналитического решения общих граничных задач для ЭС-уравнения. К таким задачам относится и задача Смолуховского, объединяющая задачи о температурном скачке и о слабом испарении (конденсации). Цель настоящей работы — восполнить этот пробел.
В настоящей работе развивается аналитический метод решения полупространственных граничных задач для ЭС-уравнения с частотой столкновений v = isqV, V = \/l'f' + \ 'г + I'f' — модуль молекулярной скорости. Получено точное решение задачи Смолуховского.
© 2002 Латышев А. В., Юшканов А. А.
Задача о скачке температуры в газе относится к числу важнейших во всей проблематике взаимодействия газа с твердым телом (или конденсированной фазой). Этой задаче посвящен целый ряд работ, основанных на использовании как численных, так и аналитических методов. Отметим, что в связи с фундаментальным характером рассматриваемой проблемы интерес к аналитическим методам остается высоким (см. статью [6] и цитируемые в ней работы).
Отметим, что имеющиеся по данной проблеме аналитические результаты получены с использованием БГК-уравнения (с постоянной и переменной частотой столкновений) и ЭС-уравнения cv = const. Представляется актуальным развить аналитический метод для ЭС-уравнения в случае I = const и применить его в задаче Смолуховского. Важно иметь ввиду, что именно аналитические методы дают полное решение задачи, так как позволяют получить не только величины скачков макропараметров (температуры и концентрации), но и полную функцию распределения.
Возьмем стационарное линеаризованное ЭС-уравнение с частотой v = v0V (см. [1, 7]) в безразмерных переменных
CV<P + CV(r, С) = ^С I р(С')к(С, С')ф, С) d3C'. (1.1)
При этом используется безразмерная скорость молекул С = у/т/2кТ8 V (Т, температура поверхности, к — постоянная Больцмана) и безразмерная координата г' = щг. Здесь и далее штрих у безразмерной координаты опускается. Ядро уравнения (1.1) определяется выражением
ЦС,С) + + т £ (сгсз - (С/С/ - ^С'2^ ,
р{С) = 7Г_3//2Сехр(^С2), 7 — параметр, который можно найти из определения числа Прандтля, 8ij — символ Кронекера (8ц = 1; Sij =0, г ф j).
Отметим, что при 7 = 0 уравнение (1.1) переходит в БГК-уравнение, ибо ЭС-ядро к переходит в БГК-ядро к0( С, С') = 1 + f С С' + \{С2 - 2 ){С'2 - 2).
Будем рассматривать класс задач, в которых функция распределения зависит от одной пространственной переменной х и обладает изотропией в плоскости С\ = const, Сг,Сз. Для этих задач все недиагональные компоненты тензора вязких напряжений (i ф j)
1
з(
р(С)(СгС3 - -8гзС2)ф, С) d3C
равны нулю. Кроме того, при данных предположениях функция (р(х, С) зависит только от х, С и ¡л = С\/С. Следовательно, уравнение (1.1) упрощается:
1 оо
р-^-+ <р(х, р,С) = У йр! J ех.-р(^С'2)С'3к(р, С; //, С')<р(х, //, С) (1-2)
-1 о
где
*(С, С') = МС, с') + ^7С2С'2 ^ - 0 - 0 .
Воспользуемся определением числа Прандтля: Рг = Ъкг]/(2тж). Здесь тгь масса молекулы, г] — коэффициент вязкости, ж — коэффициент теплопроводности. Выражая коэффициенты вязкости и теплопроводности через параметр 7, получаем
40(9 Рг —8)
7 =
288 Рг ^256 + 75тг
При часто используемом значении числа Прандтля Рг = 2/3 из этой формулы следует 7 = ^0,466148.
В задаче Смолуховского газ занимает полупространство х > 0 над плоской стенкой, с которой происходит испарение (конденсация) молекул газа (пара), а также происходит теплообмен между конденсированной фазой и газом (паром). Предполагая, что вдали от поверхности существует градиент температуры, перпендикулярный поверхности (и соответствующий поток тепла), а также некоторая среднемассовая скорость газа, направленная от или к поверхности (испарение или конденсация), т. е. Т(х) = Т0 + Ktx, п(х) = п0 - (nQKt/Ts)x, Kt = (dT/dx)ос, и(ж) = {С/ооДО}, х ^ +оо. Задача Смолуховского состоит в нахождении относительного скачка температуры et = (То — Ts)/Ts как функции относительного градиента температуры kt = Kt/T\ и скорости испарения (конденсации) U = ^/m/2fcTs?700. Учитывая линейный характер задачи, можно записать: et = Ttkt + TUU. Безразмерные величины Tf, Ти называются коэффициентами скачка температуры. Другой важнейшей характеристикой газа является величина относительного скачка концентрации е„ = (щ — ns)/n. (ns — концентрация насыщенного пара, соответствующая температуре Ts), для которой: en = Ntkt + NUU, Nt, Nu — коэффициенты скачка концентрации.
Предполагая отражение молекул от стенки чисто диффузным, сформулируем граничные условия в задаче Смолуховского:
S
(р(0,/л,С) =0, 0 < ¡л < 1,
9?(0, С) = has(0, С) + о(1), х +00, —1 < ¡л < О,
где
(1.3)
has =еп + 2ИцС + ( С2 - | ) et + kt
('-"Hc-f)-^
Уравнение (1.2) имеет четыре Частных решения: три — это инварианты столкновениц 1 ^ 12С\ С ; четвертое решение (ж — ¡л){С2 — 5/2) — 2//С/(Зу/7г) описывает перенос тепла в неоднородно нагретом газе.
Учитывая структуру ядра уравнения (1.2), будем искать решение задачи (1.2), (1.3) в виде
<р(х, ¡л, С) = /г1 (ж, ¡л) + СНг(ж, ¡л) + (С2 — 2)/13(ж, ¡л). Получим задачу, состоящую из уравнения
1
дк 1 [ , , ¡л-—Ь/¿(ж, ¡л) = — / К(ц, [л')}1(х, ц) с1[л' (1-4)
дх v 2
-1
и граничных условий:
/г(0, ¡л) = 0, 0<ц<1;
h(x, ¡л) = has(x, ¡л) + о(1), х —У +оо, —1 < ¡л < 1.
(1.5)
Здесь Н = со\{к\{х, //), /12 (ж, //), /13 (ж, //)} — вектор-столбец, К (/л, ¡л,') — ядро уравнения,
Г
К (/л, ¡л ) = К0 + З/л/л К1 + 371//
3
,2 1 \ 3 г
"1 4а 0" ' 0 0 0" "2 10а 2"
К0 = 0 0 0 , Кг = 2а 1 а , К2 = 0 0 0
0 а 1 0 0 0 1 5а 1
Ке{х,ц) = со1 { еп + -ег - -кг(х - /л), 211
к )//,£* + кг(х - /л)
2. Разделение переменных.
Собственные векторы и собственные значения
Разделение переменных в уравнении (1.4) согласно общему методу Фурье приводит к решениям кп{х,ц) = ехр(—ж/т7)Ф(т7,//), в которых г/ — спектральный параметр, или параметр разделения, а вектор Ф является решением характеристического уравнения
(77 -/л)Ф(т],1л) = ^г]Р(ц,г])п(г]), п(г]) = со\{п1(г]),п2(г]),п3(г])} = I
-1
Здесь £>(//, 77) = АД/л?) - -у{ц2 - с!{г}) = 1 + 3с?72,
Р() =
1 4а О О '&сцг} О О а 1
2 Юаф) 2'
000
1 5аё(г]) 1
с = 1 — 9а2.
При г/ е (—1,1) решение характеристического уравнения возьмем в пространстве обобщенных функций [8]: Ф(?7, /л) = Р(г], р)п(г]), где
1 1
Р(г,,ц) = -0(ц,г,)Р-
2 Л ~ №
А(т] Щи-ц)
собственная матрица-функция, символ Рх 1 означает распределение — главное значение интеграла от ж-1, д(х) — дельта-функция, А(г) — дисперсионная матрица,
А(г) = А0(г) -= ^ + (г2 - ^ | Л0(г),
Ло(г) =
Л0(г) 4 аТ(г) О' О ш{г) О О аТ(г) О
Ло(г) = 1 +Т(г),Т(г) = / -^г, ш(г) = 1 + Зсг2Ло(г), Ао(г) — дисперсионная функ-
-1
ция Кейза [9].
1
1
Ниже понадобится представление дисперсионной матрицы в следующем виде: 1
Л(г) = Хо(г)Б(г) — \М(г), где
М{г) =
27 2а(6 + 57ф)) 27' О ^3 О
7 а(3 + Б'уё(г)) 7
Дисперсионная функция данной задачи имеет вид
А(г) = с1е1;Л(;г) =
где Ш1 (г) = 7_1Ло(г) — Ъш*{г) = Л0(г)5(г) — 1, «(г) = ^Зг2 + 1 + 7-1.
По определению (см., например, [1, 10]), дискретный спектр задачи составляет множество нулей дисперсионной функции. Нулем \о(г) является (см. [9]) точка г = оо кратности 2, нулями оо{г) являются (см. [1, 7]) две точки ±770(770 = 1 + 1,12 • Ю-48). Из разложения
До/ _ К 8о/ _ 7
(г оо)
7^1 (г) = _ „ + , +
35г4
видно, что и>1 (г) имеет нуль кратности 2 в точке г = оо. Применение принципа аргумента [11] показывает, что других нулей ш\{г) не имеет. Нулю щ отвечает собственное решение
1 1
Мж,//) = ехр(^ж/т7)-77о1)(//,77о)-п(т70).
2 770 - ц
Подставляя это решение в уравнение (1.4), получаем, что вектор п{щ) определяется из уравнения
Л(т7о)п(77о) = 0. (2.1)
Используя равенства
= 1 + Зс77оАО(Т7О) = 0, й{щ)\0{щ) = Т{щ), А0(т7о) - = 7^1(770),
матрицу Л(г) в точке щ представим в виде:
Л(т7о) =7
<¿1 (770) +ш*(т]о) 4а<],(г]0) [0^1(770) +ш*(т]о)/2] ^2ш*(г]0) ООО
о>й{щ)[ш1{щ) - 2ш*{щ)\ 0^1(770) + 2ш*{щ)
Возьмем «2(770) = Ло(т7о). Тогда из уравнения (2.1) получаем два уравнения: [<¿1(770) + ^*Ы)]п1(щ) ~2ш*{щ)пз{щ) = -АаТ{щ)[ш1{щ) + ш*{щ)/2],
-ш*{щ)гц{щ) + [0^1(770) + 2ш*{щ)]пз{щ) = -аТ{щ)[ш1{щ) - 2ш*{щ)\.
Из этих уравнений получаем: «1(770) = ^4аТ(щ),щ(г]а) = —аТ{щ). Итак, вектор 71(770) построен:
п(г70) = со1{^4аТ(77о),Ло(77о),^аТ(77о)}.
Заметим, что -Di(%)n(^o) = 0, следовательно,
1
D(n,r¡o)n(rio) = [Do(firio) — j(fJ,2 - g)I>i(%)]«(%)
= DQ(fir]Q)n(r]Q) = col {4a, -ц/щ,о).
Таким образом, последнее частное решение построено:
1 ехп (—х J и п)
h0(x,fj.) = --col {4 ar)0,-fj,,ar)0}.
2 щ - z
Отметим, что линейная комбинация четырех частных решений уравнения (1.4), отвечающих точке z = оо, составляет вектор has{x,ji).
3. Однородная краевая задача
Ниже нам понадобится решение векторной однородной краевой задачи Римана Гильберта:
Х+(ц) = G(n)X~(n), G(n) = [Л+(^)]-1Л"(^), 0 < ц < 1
(3.1)
с матричным коэффициентом (?(//), который можно представить в виде (?(//) = [Р+ Р~ (у), где Р{г) = г); Х{г) — неизвестная матрица, Х±(ц) —
граничные значения сверху/снизу в интервале (0,1).
Ясно, что Р{г) = Ао{г)Е — |М(г)1)_1(г, г), Е — единичная матрица, или Р{г) = Ао(г)В - щ^Ег(г), где
Ei{z) =
2 ei(z) 2
0 e2(z) О
1 e3(z) 1
ei(z) = 2a(5 - 2e2(z)),
e2(z) = ~s(z)/cz2, e3(z) = a(5 - e2(z)).
Матрица Р(г) аналитична в комплексной плоскости, за исключением точек разреза [0,1], а также простых мнимых полюсов ±¿771, 771 = ^/—1/37 —1/3, являющихся нулями «(г)• При 7 0 (когда ЭС-уравнение переходит в БГК) полюсы ±¿771 исчезают, убегая в бесконечность вдоль мнимой оси.
Для приведения к диагональному виду матрицы Р(г) достаточно диагонализовать матрицу Е\{г). Рассматривая задачу на собственные значения для матрицы Е\{г), построим диагонализирующую матрицу Б,
Б =
1 ^4а 2 О 1 О -1 ^а 1
Ч~1 — -ь "3
1 2а ^2
0 3 0
1 5а 1
Из определения матрицы Б вытекает, что Б~гЕ \{г)Б = diag {0, е2(г), 3}. Будем искать решение задачи (3.1) в виде Х{г) = БХ0(г)Б~1, где Х0(г)= diag{?7(г), У(г), УУ{г)} — неизвестная матрица. Учитывая проведенную диагонализацию, получаем матричную краевую задачу:
= О </*<!, (3.2)
где Щг) = 5_1Р(г)5 = diag (Л0(г),сф)/Зсг2,ил{г)/«(г)}.
Матричная краевая задача (3.2) эквивалентна теперь трем скалярным краевым задачам:
и+(р) = [Ао (Л*)/А+ (Л*), 0 < ц < 1,
= 0 < ц <1.
Первые две задачи уже были решены в [7], третья задача решается аналогично первой. Приведем решения сразу всех задач:
и {г) = гехр(—«(г)), = гехр(—?;(.г:)), = г ехр(—го(г)),
111 1 /* Со(и)ёи . . 1 Г ((и)ёи . . 1 Г Сх «¿гл «(«) = - / , «(«) = - / , Цг) = - / ,
здесь
7Г У и — г о
Со(«) = -ам^ СП«) = -амя
7Г У и — г о
7Г
и — £
2Л0(и)
жи
7Г
2
(АоЫ
1
2сф) ЗсТО3
_7та «(и;
Таким образом, матрица Х(г) построена и в явном виде определяется равенством:
А"(г) =
/' + 211' 2п(Г - (¡V + 5И') + 21V
О 2^ О
^и + Ш а(-2и~ЗУ + ЫУ) 21' + IV
Заметим, что А"(г) = гЕ + Х^ + о( 1), г оо, где 1
Здесь
3
Г, + 211', 2п(Г, - (¡V, + IV,) 2(-Г, + IV,)
О V! О
-£/1 + IV, п(-2Г, - 31', + Г)IV,) 2Г, + IV,
=
7Г
Со(«)<& = 0,710446,
V, =
7Г
С(«)йи = 0,997747,
=
7Г
Напомним, что зависит от параметра 7, т. е. от числа Прандтля. При числе Прандтля Рг = 2/3 значение = 0,812276. При 7^0 —> ибо (1(11) —> (о(и)-
о
1
1
о
1
1
о
1
1
о
4. Разложение по собственным векторам
Будем искать решение задачи (1.4), (1.5) в виде разложения по собственным векторам характеристического уравнения:
1
к(х, ¡л) = Ла8(ж, ¡л) + АоИо(х, ¡л) + / е
Здесь Ао — неизвестная постоянная, А(г/) — неизвестная вектор-функция с элементами Aj{r¡),j = 1,2,3; неизвестными также являются величины входящие в
Используя граничные условия (1.5), сведем разложение (4.1) к векторному сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:
1 [ t¡D(H,T¡)
MO,/Í) + AoMO,/Í) + 2 J J A(ri)drl + A(rl)A(rl) = 0, 0 < f, < 1.
о
Введем вспомогательную вектор-функцию
i
N(z) = l [ r,D(z,r,)A(r,)^- (4.2)
2 J r¡ - z
0
и сведем сингулярное уравнение к неоднородной векторной краевой задаче:
P+(n)[N+(n) + has(0, ¡л) + A0/iq(0, fi))
= p-(n)[N~(n) + hae(0,n) + A0h0{0,ii)], 0 < /л <1.
С помощью соответствующей однородной задачи (3.1) сведем неоднородную задачу к задаче определения аналитической вектор-функции по ее нулевому скачку на разрезе:
[^МГ^+М + МО^ + ЛМСЫ]
_i I4-3)
= [Х~(ц)] [JV-(/í) + /iee(0,/í) + A0/i0(0,/í)], 0 < /л<1.
Учитывая особенности матриц и векторов, входящих в (4.3), получим его общее решение:
N(z) = ^has(0, z) - AQho(0, z) + X(z)[C + (z - щ)"1S], (4.4)
где С, В неизвестные векторы с постоянными элементами Cj, b3 (j = 1, 2, 3). Устраним полюс у решения (4.4) в точке щ условием:
1
Х{щ)В + А0-щ col {4а,-1, а} = 0,
откуда
В = -А^щХ г(щ) col {4а, — 1, а} = -^j^y col {4а,-1, а}.
о
Вспомогательная вектор-функция (4.2) и общее решение (4.4) имеют полюс в точке z = оо. Выделим главные части разложений этих функций в окрестности точки z = оо. Представим (4.2) в виде
i i nh = i / «m м - 7 - ±) ■ i / з£Ммч)
о о
Нетрудно проверить, что Di{rj)A{rj) = a{r¡) col {2,0,1}, где
a{q) = 01(77) + 5ad(i])a2(r]) + 03(77). Следовательно, функция (4.2) имеет разложение
N(z) = zN{l) + N(q) + о(1), 2^00, (4.5)
здесь
дг(1) = j( 1) со112,0,2}, = J(2) col {0,1,0} - 42) col {0,1,0},
1 1
jC?) = Ь1 /rfaWd'n (i = M), 42) = у/^a^di],
o o
Теперь разложим правую часть (4.4)
N(z) = -/iee(0,z) -A0h0(0,z) + zC + В + X(Q)C + o(l), z 00. (4.6)
Сравнивая разложения (4.5) и (4.6), получаем две системы уравнений
5 2
Cl = 2c3 + -ku с2 = 2Í7 — —=kt, с3 = J(1) - kt (4.7)
2 оу 7Г
11 2 2-/(2) = - е„ - -ег + 61 - -Г,(г, + 2ас2 - 2с3) + 1пг-_> V, - -IV,(г, + 5ас2 + с3),
= -\а0 + Ь2-с2У1, (4.8)
1 1
,/(2) = - £1 + ь3 + -Г, (г, + 2ас2 - 2с3) + ПГ-Л ', - -IV, (г, + 5ас2 + с3).
Из систем уравнений (4.7) и (4.8) находятся все неизвестные коэффициенты решения (4.4) и разложения (4.1). Неизвестная вектор-функция А(г]) находится из формулы Сохоцкого, примененной к вектор-функции (4.2), после подстановки в нее решения (4.4):
7^(77,77)^(77) = [Х+М-Х-Ь)] [С + (г/^ гюГ1 В]. (4.9)
Таким образом, все неизвестные из разложения (4.1) найдены.
5. Скачки температуры и концентрации
Найдем в явном виде все параметры решения (4.4) и разложения (4.1). С учетом того, что
1 5
С1 + с3 = 3,/(1) - -кг, с 1 - 2с3 = -кг,
г>1 + ЪоЬ2 + Ь3 = 0, + 2аЪ2 - 2Ь3 = О, равенство (4.9) представим в виде трех скалярных:
1мг][а1(г]) + 4аа2(г]) - 2р(г])а(г])} = + ^«с2 | [и+{г]) - и~(г])}
2 - ^ + |ас2^) [Ш+(г/) - Ш-(г/)] - 4а (с2 +
Ь2
■П-'По 1
шфо]3а2(г]) = ( с2 +-— ) [У+(г]) - V (г])}, р(г]) = 7(г]2 - -
т) — т)0/ а
(5.1)
(5.2)
игг][аа2{г]) + а3(г/) - р{г])а{г])} = - + ^«сг^ [и+(г/) - II (г/)]
+ (</(1) - \кг + |ас2^) [Ш+(г]) - Ш~(г,)] - а (с2 + [Т^) - Т^)]. (5.3)
Согласно (5.2) находим:
7(2) _ «О -
2ти
Ь
'2
ц-щ) V
д,г]
Для вычисления этого интеграла образуем функцию
¿ф) = [У(г) - г + V!]
с2
+
Возьмем трехсвязную область 1)е, ограниченную сложным контуром, состоящим из окружности 7д достаточно большого радиуса Д = 1/е, е > 0, окружности 70 радиуса е с центром в точке щ, и контура 7е, проходимого по часовой стрелке, отстоящего от разреза [0,1] на расстоянии е и переходящего в окружность радиуса 2е с центром в начале координат.
По теореме Коши для многосвязных областей
7Я
70
7е
Перейдем к пределу в этом равенстве при е ^ 0. В силу асимптотики У{г) = г — + о(1), г оо, интеграл по окружности 7д исчезает. В результате приходим к равенству
1 1 ¿-/- г-М]л, = ¿-/[!'-+(.,) - (2 +
о о
д,г]
^ = Иея + Иея 0¿ф).
1
1
о
Вычисляя эти вычеты, получаем:
42) = V(0)(c2 - Ъ2/щ) + FlC2 + У(щ)Ь2/щ - Ь2.
Сравнивая это равенство со вторым из (4.8), имеем: Ь2 = щс2, AQ = 2У{щ)с2. Следовательно, вектор В окончательно построен:
В = —щс2 col {4а, — 1, а}.
Сложим уравнение (5.1) с уравнением (5.3) и с уравнением (5.2), умноженным на 5а. В результате получаем
inr]^s{r])a{r]) = ( З«/^1-® — -kt + 5ас;
W+(r¡) - W~(r¡)
Следовательно,
jü) = ( 3J(1) - ^kt + 5ас2) Jj, J3 =
W+(u) — W~(u)
i? 1du s{u) '
i = 1,2. (5.4)
Для вычисления интегралов «7^ образуем функции
= ^ 1 3 =
Эти функции аналитичны в четырехсвязной области 1)е, ограниченной сложным контуром. Этот контур состоит из окружности 7д достаточно большого радиуса Я = 1/е, е >0, двух окружностей 71 : \г — Щх \ = е и 7_1 : \г + гщ | = е, и контура 7е, охватывающего разрез [0,1] по часовой стрелке, и отстоящего от него на расстоянии е. По теореме Коши для многосвязных областей
i
о
„ . , РЛг) (1/4? - 1^/68 27?! (¿»у | 1^/68 _1711
(г)--/ РЛг)йг.
2т У 2жг }
7 Я Те
Перейдем в этом равенстве к пределу при е ^ 0. В силу асимптотики Fj{z) = о(г-?_3),У = 1,2, получаем, что интеграл в левой части предыдущего равенства исчезает. Имеем:
i
1
2ni J 1 1 о
[Ff(r]) - Fr¡ Ш di] = Jj = Res irilFj(z) + Res _irilFj(z).
Следовательно,
Ji = Res im-^-+ Res -^-= [W(ir]1)^W(-vr]1)^2vr]1}
72 = Иея
\¥(г) - г + И7!
гг!1 / ч " \ —гт
Теперь из уравнений (5.4) находим:
7« =
1-371
5ас
2
т(2) _ _^2
2 / ' и "1
Этими равенствами заканчивается нахождение всех параметров решения (4.4). Из первого и третьего уравнений (4.8) выведем формулы для вычисления скачка температуры и концентрации:
= ас2
2 5 VI - т + -т -
5
72 + 7^1 1-371
+ Л*
'5 + 372
6 1 6(1-37-1)
3 5
е» = -е* + 2ас2(У1 - щ - Л{) - -кг11г.
Граничная задача (1.4), (1.5) полностью решена.
(5.5)
6. Численные расчеты и обсуждение результатов
Представим формулы (5.5) в стандартном виде: = Т¿А^ + Ти(211), еп = + Ж„(2?7). Коэффициенты скачков температуры и концентрации вычисляются по следующим формулам:
3^1 + 18111 + ЮР^
Щ),
1
Ъ = 24(3 г/о
(У
ти = — [—->//() + 31', + 2Г, - ШИ', + 511','].
(6.1)
Щ = —[7гю - 71', - 18Г, + ШИ', - IV','].
(У
= ^К'/о + "V, - 2Г, - ШИ', + И','].
В этих формулах
= -щ 1
+ ¿Г71)
причем —> при 7^г>0.
Отметим, что при 7 ^ 0 (когда ЭС-уравпепие переходит в БГК-уравнение) формулы (5.5) переходят в соответствующие формулы, выведенные на основе БГК-уравнения:
1
е* = Ь^о - V + ВД + {2и)а{-щ +у1~и1),
1 7а
еп = кг — (7гю - 7Уг - 9Щ) + (2и)-(-щ + Т^ - Щ).
16 2
Отметим, что число Прандтля несколько отличается от значения 2/3. Для модели молекул — твердых сфер Рг = 0,66072 [13]. При этом 70 = ^0,483427. Численные расчеты по приведенным формулам, выполненные при значении 70, отвечающем данному числу Прандтля, приводят к следующим результатам:
Т4(7о) = 0,826285, Та(7о) = -1,09308,
ЛГ4(7о) = —0,35851, ЛЦ7о) = ^0,93760
Для сравнения приведем результаты из [7] для БГК-модели с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул (т. е. с постоянной длиной свободного пробега молекул): Т* = 0,79954, Ти = -1,0239, Щ = ^0,39863, Ни = ^0,82905.
Перейдем к размерным переменным. Отметим, что в задаче о скачке температуры принято использовать определение длины свободного пробега молекул через коэффициент теплопроводности (температуропроводности) [12]. Будем использовать определение длины свободного пробега, совпадающее с соответствующим определением согласно [1] при Рг = 2/3:
При этом полученный в данной работе коэффициент скачка температуры имеет следующую величину: С\ = 2,06571. Напомним, что ЭС-уравнение с постоянной частотой столкновений [4] дает: = 2,20576.
Приведем для сравнения результат, полученный численно с использованием полного уравнения Больцмана [12] для модели молекулы — твердые сферы: Ct = 2,1133, а также приведем результат из [14], где использовалась 13-моментная кинетическая модель с постоянной частотой столкновений молекул. В этой работе получен следующий результат: С г = 2,20576. В работе [6] было проведено численное исследование с использованием метода дискретных координат БГК-модели с частотой столкновений, соответствующей модели молекулы — твердые сферы. При этом был получен следующий результат С\ = 2,0421. Отметим, что результаты, приведенные в указанных работах пересчитаны с учетом принятого в данной работе определения длины свободного пробега молекул газа.
Таким образом, рассматриваемая ЭС-модель приводит к более точному результату, нежели ЭС-уравнение с постоянной частотой столкновений или другие известные модели.
Остановимся на отличительных особенностях изложенного аналитического решения. Декомпозиция функции распределения сводит задачу Смолуховского к типичному векторному уравнению переноса с матричным 3x3 ядром. Точные решения уравнений с такими ядрами отсутствуют. Исключение составляет наша работа [7], в которой рассматривалась эта же задача для БГК-уравнения. Одним из центральных моментов, обеспечивающих аналитическое решение, является диагонализация матричной векторной краевой задачи Римана — Гильберта, к которой сводится исходная граничная задача. Матричный коэффициент задачи Римана — Гильберта имеет особенности — простые полюсы на мнимой оси. Когда ЭС-уравнение переходит в БГК-уравнение (7 ^ 0) эти полюсы пропадают — убегают в бесконечность по мнимой оси. Впервые для аналитических методов в условиях разрешимости для общего решения
здесь х — коэффициент температуропроводности.
Тогда выражение для скачка температуры запишется в виде
Т. Заключение
задачи Римана — Гильберта пришлось использовать значения фактор-матрицы не только в точках дискретного спектра, но и в упомянутых полюсах.
Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе поведения аэрозольных частиц в неоднородно нагретых газах, а также в самых разнообразных проблемах кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике и других областях.
Благодарности. Свыше десяти лет назад А. В. Бобылев призвал нас не ограничиваться развитым аналитическим методом для БГК-уравнения и обратил наше внимание на важность разработки аналитических методов для кинетических уравнений высшего порядка. Выражаем ему свою признательность.
Литература
1. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // В сб. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. Под ред. Дж. Л. Либовица и Е. У. Монтролла.—М.: Мир, 1986.
2. Латышев А. В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. математика и механика.—1990.—Т. 54, вып. 4,—С. 581-586.
3. Латышев А. В. Аналитическое решение уравнения Больцмана с оператором столкновений смешанного типа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.—1991.—Т. 31, № 3.—С. 436-447.
4. Латышев А. В. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана // Известия АН СССР. Сер. МЖГ,—1992,—№ 2,—С. 151-164.
5. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса для эллипсоидально статистического уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.—1997.—Т. 37, № 4,—С. 483-493.
6. Baricheüo L. В., Bartz А. С. R., Camargo М., Siewert С. Е. The temperature jump problems for a variable collision frequency model // Physics of Fluids.—2002.—V. 14, No. 1.—P. 383-391.
7. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Изв. РАН. Сер. МЖГ.—1996.—№ 3.—С. 140153.
8. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики.—М.: Физматлит, 2001.
9. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.—М.: Мир, 1972.
10. Гермогенова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения переноса // Ин-т прикл. мат-ки им. М. В. Келдыша. Препринт № 103.—1976.
11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.—640 с.
12. Loyalka S. К. Kinetic theory of planar condensation and evaporation // Transport theory and statist, phys.—1991.—V. 20, No. 2-3.—P. 237-249.
13. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.—М.: ИЛ, 1960.
14. Soga Т. A kinetic analysis of thermal force on a spherical particle of high thermal conductivity in a monoatomic gas // Physics Fluids.—1986.—V. 29, No. 4,—P. 976-985.
г. Москва
Статья поступила 16 сенября 2002 г.
