Аналитическое решение граничных задач для семейства БГК-уравнений методом канонической матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. Сушков, А. В. Латышев

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЕМЕЙСТВА БГК-УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КАНОНИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ

Рассматривается граничная задача для семейства интегро-дифференциальных уравнений типа уравнения БГК, понимаемого как линеаризованное уравнение Больцмана с оператором столкновений в форме БГК (Бхатнагара—Гросса—Крука). Ядро уравнения задается как матрица-функция второго порядка, зависящая от параметра. Для получения точного решения используется обобщенный и модифицированный метод канонической матрицы. Исследуются необходимые свойства канонической матрицы, доказывается теорема о полноте системы собственных векторов характеристического уравнения. Доказательство основывается на решении векторной краевой задачи Римана—Гильберта с матричным коэффициентом, диагонализирующая матрица которого имеет точки ветвления в комплексной области.

В работе рассматривается семейство уравнений д

д 1 г '2

/—Н(х,/) + И(х,/) = I е~и К0 (р,ф')Н(хф')с1ц', (1)

дх ЫП л

в которых ядро задается как матрица-функция, параметрически зависящая от I:

где

К, (/) =

К,0//') = К, (/') + 2//ОД),

1 А/- 1/2)

у(/ - 1/2) /[(/ -1/2)2 +1]

"1 0"

, од= 0 0

К, (и),

относительно неизвестной вектор-функции Н(х,/) с элементами Н1(х,/) и И2 (х, /и). При этом величина у = у/2/(1 + 21), параметр I е (0,+да). В случаях

1 = 2 и I = 5/2 уравнение (1) является результатом линеаризации классического уравнения Больцмана с интегралом столкновений в форме БГК (Бхатнага-ра, Гросса, Крука) для двухатомных и полиатомных газов соответственно (см., например, [1-3]). Эти уравнения имеют исключительно важное значение в прикладных задачах кинетической теории газа и плазмы, теории аэрозолей, экологии, авиационной и космической промышленности (см. [4]). В частности, в данной работе в качестве элементарного приложения развитой теории

мы получим точное решение так называемой задачи о температурном скачке, впервые рассмотренной В. Смолуховским [5], для случая двухатомного и полиатомного газов.

Однако рассмотрение уравнения (1) для произвольного положительного I представляет и самостоятельный математический интерес, поскольку методика решения подобных задач в литературе до сих пор описана не была. В работах [1-3] решаются конкретные физические задачи, для описания которых используются уравнения, аналогичные (1), но с ядром, зависящим только от и. Целью же данной работы является применение так называемого метода канонической матрицы к целому семейству векторных уравнений. Впервые метод канонической матрицы был применен А. В. Латышевым [1] для решения задачи Смолуховского в случае одноатомного газа (I = 1). Суть метода состоит в построении матрицы канонических решений — «канонической матрицы» [6] — уравнения (1) и последующем ее применении для решения конкретных краевых задач. В данной статье мы модифицируем, упрощаем описанный метод, с тем чтобы его можно было использовать для решения не только отдельных физических, но и более общих математических задач. Рассматривается характер зависимости решения от параметра.

1. Постановка краевой задачи

Проведя замену переменной, перепишем (1) в виде

д 1 да и у(Х,М) + у(Х,М) = д(и) Га(М')У(х,м')еис/ дх у/п -да

+

2

+ ~ти

-4п

1 0 0 0

у (х,и')е-м" Ср',

(2)

здесь Q(и) =

У/-1/2) 1 у 0

а (/) =

у(М'2-1/2) !у 10

а У(х,и) = Q(и)h(х,и) — новая неизвестная вектор-функция. Следуя Кейзу [7], разделяем переменные в полученном уравнении: Уп(х,и) = е-х/пФ(п,и), П е С, и е Я. Приходим, таким образом, к характеристическому уравнению

1 2 (П- Й ф (п,Й = -¡=nQ (Й п (п) + ~1=МП

V П у/П

0 1 0 0

п (п), и е Я,

(3)

где векторы п(п) и п1(п) определяются как моменты нулевого и первого порядка:

да

п(п) = Г е"/2 Ql (и)Ф(п,

-да да

пх(п) = Ql (и)Ф(п,и)Си.

и

Вектор-функции Ф(п, и) будем называть собственными функциями, а соответствующие им значения п — собственными значениями характеристиче-

73

ского уравнения (3). Из условия нормировки для вектора п(п) получаем, что п1(п) равен тождественному нулю. Т. е., возвращаясь к (2), получаем:

(П-р) Ф (пР) = г,<2 (Р) п (п). (4)

Из (4) при п е Я найдем собственные векторы непрерывного спектра:

Ф(п,М) = F (п,м)п(п),

здесь

F (п,м) = 4= пП—1— Я(М) + Б(п)3(п-м) (5)

у/п п- М

есть собственная матрица непрерывного спектра, где символ Р — означает

х

распределение — главное значение интеграла по Коши от хч, 8 (х) — известная дельта-функция Дирака, а В(п) — произвольная матрица-функция, определяемая условием нормировки:

В(п) = е"20 (п)Л(п), п е Я.

Матрицу-функцию Л(г) = I I —-йм, где I — единичная

л/п! м- Ы

матрица, будем называть дисперсионной матрицей, а ее определитель Л( г) — дисперсионной функцией задачи. Выписав матрицу Л в явном виде, получим:

Л( г) = ЛС ((г)0( г) + Г

г ™ й

где Л (Ы) = 1 + —¡= I е~м - есть дисперсионная функция Черчиньяни [4].

л/п! м- г

Используя ее разложение в окрестности бесконечно удаленной точки, заметим, что

/(г2+1/2) 1 1 0

Л( г) = --1

(5 + 21 )/(2 + 4/) 1/л/2 + 4/ 1/л/2 + 4/ 1/2

+ о| -1 |, Ы ^да, (6)

а дисперсионная функция Л(г) = --+ о| — |, щ ^ да. Последнее раз-

13 + 2/ ( 1

-+ о|

4г 41 + 2/ ^ г4

ложение показывает, что бесконечно удаленная точка является четырехкратной точкой дискретного спектра, состоящего из нулей дисперсионного уравнения Л(ы) = 0 .

Лемма 1. Вне зависимости от величины параметра / > 0 конечных комплексных корней дисперсионное уравнение не имеет.

Утверждение леммы доказывается с помощью принципа аргумента. Для этого представим дисперсионную функцию в виде произведения

Л( ы) = 2/Ц( г)П2( ы), (7)

где Qa( z) = Лс (z) +

- z2 + (-!)"+' r( z)

а = 1, 2 .

r(z) = V(z2 -3/2)2 + 4l.

Функции г) испытывают разрыв на действительной оси. Выделим действительную и мнимую части функций (р) на линии разрыва:

(м) = ОЛм) ±, j е R.

(8)

Мнимые части Q ± (j) обращаются в нуль лишь в точке j = 0, в которой произведение 2f2Q± (j)Q ± (j) нулю не равно. Следовательно, число ее нулей в комплексной плоскости с разрезом по действительной оси вычисляется посредством обобщенного принципа аргумента (см. [8]):

N = [arg Л(z)]C /(2п) - 2,

или, учитывая (7), N = v1 + v2 - 2, где v а = [в а /(2п), в а = arg Q + — главное значение аргумента, С — замкнутый контур вокруг разреза по действительной оси, ориентированный по часовой стрелке, а выражение [...]. означает приращение на C функции, стоящей в квадратных скобках. Так как Qа (z) = Qа (-z) и Q (j) = Q- (j), j е R (черта над символом означает комплексное сопряже-2

ние), то vа= — \ва (j)] . Исследуя поведение функций ва (j), получаем, п

что v1 = 0 и v2 = 2 . Таким образом, дисперсионное уравнение Л(z) = 0 не имеет в комплексной плоскости конечных корней. Следовательно, бесконечно удаленная точка является единственной точкой дискретного спектра характеристического уравнения, которой соответствуют четыре собственных вектора:

fi(j) = q(j)

т "j2 -1/2"

0 = Y

1

и F3(x, j) = y(j - x)

¡М -1/2 1

"0" "1"

1 0

f2(j) = q(j)

Fa( x, j) = (j- x)

Из них первые два получаются непосредственно из уравнения (4), а третий и четвертый — с применением техники, разработанной Кейзом и Цвайфелем [7]. Исходя из физических соображений, граничные условия установим в виде:

Y (0,j) =

, М > 0,

У (х,р) = У^ (х,р), х ^<х>, р< 0, где Уш (х,р) задается как линейная комбинация частных решений:

Ys (Х,М) = A0

+ A1(j- x)

+ A

¡М -1/2 1

+ A3(x - j)

jJ2 - 3/2 1

(9') (9'')

(10)

2. Построение фактор-матрицы

Здесь мы сформулируем теорему о разложении решения краевой задачи по собственным векторам характеристического уравнения, которую и будем доказывать на протяжении нескольких последующих пунктов.

Теорема. Задача (2) с граничными условиями (9) имеет единственное решение, представляемое в виде разложения по собственным функциям соответствующего характерического уравнения:

да

Y (х, /и) = Ys (х, /и) +1F (п, и)а(п)ех''¿п, (11)

0

здесь коэффициент непрерывного спектра а(п) — векторная функция, непосредственно вычисляемая на основании формул (35), (37)-(38), F(",/) определяется формулой (5), а Yas (х,/) — соотношением (10), где А1, А3 — некоторые заданные коэффициенты дискретного спектра, а А0,А2 задаются формулами (39).

Положив в формуле (11) х = 0, при помощи граничных условий (9) можем записать:

= YaS(0,/) + |F(п,/)а(пМп, /> 0.

0

Воспользовавшись (5), после очевидных преобразований получим:

/ иа(0,и) + -Пме-/2б, (№(и)\ТШ¿п +

I— д«. Уг*'Кг4,7 1 /

4п 0 / при /> 0. (12)

Л(и)/а(и)

Введя новую вектор-функцию

А( *) = ±]ПпП- ¿п (13)

0п-2

и применяя к ней и к дисперсионной матрице Л(2) формулы Сохоцкого— Племели, перепишем (12) в виде:

Л+ (/)[[ (и) + б-1 (м)¥а (0,/)]= Л- (и)[А -(и) + б-1 (м)¥а (0,и)], и > 0. (14)

Применим к уравнению (14) транспонирование. Поскольку матрица Л(2) симметрична, то получится:

[(и) + (0,и)] (и) = [а-(и) + б'чмк,(0,и)]ГЛ-(и), и > 0, (15)

где символ [...]Т означает транспонирование. Домножив (15) справа на б~1(и)0~1(и) и введя обозначение

Ж ( 2) = Л( 2)6-'( 2)в-1( 2), получим следующую краевую задачу:

[[ (р) + б-1(ц)¥а,(0,р)]+ (р) = [л-(р) + б-'(р)Т„(0,р)]Ж(р), р > 0. (16)

Причем Ж (2) можем выписать в явном виде:

1 V

Ж(2) = ЛС (2)I +— I (2)

21

здесь I (2)=

" 1 -/(22 -1 -1/2) 1/у 1/2 - 22

Таким образом, для диагонализации матрицы Ж (2) достаточно привести к диагональному виду матрицу I (2). Очевидно, что диагонализирующая матрица S (2) существует и имеет вид

5 (2) =

2 (2 2+2+г(2) 12 (22+2- г(2)

1/у 1/у

Теперь 5 "'(2)Ж( 2)5 (2) = 0(2) = diag {Ц( 2), 02(2)}, где по-прежнему

0а( 2 ) = лс (2 ) + -

о

_ - 22 + (-1)-1 Г(2)

а = 1, 2,

, г(2) = ^(22 -3/2)2 + 41.

Матрица-функция 5 (2) является аналитической в комплексной плоскости за исключением точек ветвления ± а, ± а, (здесь а = д/0,75 + 0,25 л/9 + 167 + ^- 0,75 + 0,25 л/9 + 1бТ), в которых функция г(2) обращается в нуль. Соединим точки а и а с - а и - а соответственно, полученные разрезы обозначим через Г1 и Г2 (очевидно, разрезы не пересекают действительной оси). Теперь 5 (2) является однозначной аналитической матрицей-функцией в плоскости С с разрезом Г = Г1 иГ2.

Вернемся к нашей задаче. Краевые задачи (15) и (16) имеют один и тот же матричный коэффициент

О0(М) = Л-(р)[л+ (р)]-1 = Ж-(р)[Ж+ (р)]-1, р > 0.

Построим матрицу канонических решений для задачи, сопутствующей нашей, т. е. такую каноническую матрицу, для которой на берегах разреза (0, + <х>) выполняется условие (см., например, [6])

[х+ (р)] Л+ (р) = [х-(р)]-1 Л-(р), р > 0. Матричный коэффициент задачи (17) обозначим О(р):

О(р) = Л+ (р)[Л-(р)]-1, р > 0. 77

Кроме того, для однозначности матрицы-функции X (г) необходимо потребовать, чтобы на дополнительных разрезах

X+ (г) = X ^ (г), геГ. (18)

Будем искать решение задачи в виде

X (г) = 5 (2)и (2)5 "Ч 2), (19)

где и(2) = diag{U1(2),и2(2)} — новая неизвестная диагональная матрица-функция. Тогда (17) перепишется следующим образом:

и+(и) = о+(М)[п-(и)\и-(и), и> 0. (20)

Нетрудно заметить, что задача (20) в силу диагональности матриц и (и) и О(и) эквивалентна двум скалярным краевым задачам:

иа(и) = п+а(м)[о-а(и)]-1иа(и), и> 0, а = 1,2. (21)

Обратимся теперь к условию (18). Из формулы (19) следует, что условие однозначности для матрицы и (2) формулируется в виде

и + (г)Т (г) = Т (г)и - (г), геГ, где Т(г) =

01 10

т. е.

и+ (г) = и- (г), иГ (г) = и + (г), геГ, (22)

где и1(г) и и2(г) — соответствующие диагональные элементы матрицы-функции и(г).

Таким образом, матричная краевая задача (17)—(18) эквивалентна векторной краевой задаче (21)-(22), если рассматривать функции и1(г) и и2(г) как элементы некоторой векторной функции. Метод решения таких задач изложен в [1].

Заметив, что |о+ (и)| = (и)| (элементарно следует из (8)) и переписав

задачу (21) в показательной форме, после очевидных преобразований получим:

1п(и (и)и 2 (и))+ - 1п(и (и)и 2 (и))- = 2i(^1 (и) + в2 (и)) + 2П-,

1

-1п

( и (и) У 1 (и (и) V 2i (23)

__—1п и= 21 (Ж,,) +й (,,)) +

1п

г (и) I и2(и)) г (и) 1 и2(и)) г (и)

(01 (и) + д2(и)) + 2ят/',

при и > 0, где к, т е 2. Решение задач (23) будем искать в виде интегралов типа Коши при к = -2, т = 0. В конечном счете получим:

иа( 2) = (2 -А)иГ( 2), а = 1,2, (24)

где и(2) = ехр[А(2) + г(2)(В(2) - Я(2))], (25)

здесь и далее А(г) = [а(х) Сх , В(г) = — [Ь(х)-—-, а величина

2п 0 х - г 2п 0 г(х)(х - г)

л сх

К(г) = -7, Где а(х) = в(х) + в2(х) - 2л, Ь(х) = в2(х) -в,(х).

О г (х)(х - г)

Величина л выбирается таким образом, чтобы функции иа(г) имели конечный предел при |г| ^ да. Для этого разложим В(г) и Я(г) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки и потребуем выполнения условия

[^сх = ,

2п 0 г(х) 0 г(х)

т. е. величина л определяется из задачи обращения Якоби для эллиптических интегралов. В частности, для I = 1 она составляет 0,4232585948...

Таким образом, неизвестная матрица-функция и(г) полностью построена. Следовательно, в силу (19), найдена и фактор-матрица X (г). Однако очевидно, что она не является канонической, поскольку ее определитель

^X(г) = (г -л)2е2А(г>

имеет нули второго порядка в точках г = 0 и г = л. Но тогда каноническая матрица О (г) с нормальной формой на бесконечности должна иметь вид

О (г) = 2 ( 1 )2 X(г)Р0(г), (26)

где Р0( г) — некоторая полиномиальная матрица, такая, что

detР0(г) да г2 (г - л )2. При этом в силу (26), естественно, должны выполняться условия:

X (%)Р0(4) = 0 при 4 = 0 и 4 = л (27')

и

—[(4)Р)(4)]= 0 при 4 = 0 и 4 = л,. (27'')

ад

Следуя Мусхелишвили [6], запишем: О(г) ^ К diag{zг~Кг}, detК Ф 0, при |г| ^ да, где к1 и к2 > к1 — частные индексы задачи факторизации.

Лемма 2. Частные индексы задачи факторизации к1 = к2 = 1.

Действительно, заметим, что к1 + к2 = к, где к может быть найдено через det О(л); как показано в работе [2], к = 2 . Далее, используя равенство (26) наряду с точным выражением для S(г) и иа (г), можем утверждать, что при г ^ да

Р>(г) ^ г3

а11г к а12 г К2 а-22 г

откуда очевидно, что к1 > -2, поскольку в противном случае вторая колонка P(z) необходимо должна тождественно равняться нулю, что невозможно. Кроме того, из формул (24)-(25) видно, что U2(z) имеет в точке z = 0 нуль второго порядка, т. е. (27) переписывается в виде

"5 1" "5 1"

0 0 Р0(0) = 0 и 0 0

d

РД4) = 0 при 4 = 0

0 0 1 а

Р0(ц,) = 0 для формулы (27') в точке 4 = ц,,

где величина а = --^= ^г(ц,) + ц2 + а 5 = — ^г(0) - . Нетрудно проверить, что 5> 0, в то время как а< 0. Если предположить, что элементы второй колонки Р0(z) линейны по z, то из равенств, полученных для 4 = 0, автоматически следует отношение Р20)( z)/ Р2(20)( z) = -5-. Но это противоречит третьему выписанному равенству, полученному для 4 = ц, так как а Ф 5"1 . Следовательно, вторая колонка Р0( z) должна быть как минимум квадратична по z, т. е. к2 < 1. Таким образом, и к1 < 1, откуда окончательно получаем, что к1 = к 2 = 1, что и требовалось доказать.

3. Некоторые свойства канонической матрицы

Прежде чем перейти к непосредственному вычислению канонической матрицы задачи (17), сформулируем некоторые свойства, которым она в случае существования должна необходимо удовлетворять. Для этого рассмотрим задачу факторизации:

О+(ц) = в(ц)О- (ц), ц> 0, (28)

поставленную в предыдущем разделе. Ее матричный коэффициент

О(ц) = Л+ (ц)[л-(ц)]-1, ц > 0.

Лемма 3. Пусть О (z) — некоторое каноническое решение задачи (28). Тогда справедлива следующая факторизация дисперсионной матрицы:

Лф = Фф Р фФт (-2), (29)

где Р(z) — матричный полином, определяемый частными индексами задачи.

Действительно, введем в рассмотрение новую функцию:

= Л^)Ф-Т (-2),

где символ Ф-т (е) означает [фт (е)]-1 . Тогда, рассмотрев ¥(-z) и воспользовавшись четностью матрицы Л(z), можем утверждать, что граничные значения

и

у-(-л) = л+ (л)[ф+(л)]-Т, У+(-л) = Л- (л)[ф-(л)]-Т,

л > 0

равны между собой. Действительно, Л( г) = ЛТ (г), а из равенства (17) автоматически следует, что У- (-г) = У+ (-г), л> 0. Таким образом, У (г) анали-тична во всей комплексной плоскости, за исключением положительной действительной полуоси, имеет конечный порядок на бесконечности и удовлетворяет условию (28). Следовательно, У(г) представляется в виде:

Уф = Фф Р ф,

где Р^) — некоторая полиномиальная матрица. Возвращаясь к определению У (г), легко получаем требуемую факторизацию.

Поскольку любая матрица канонических решений задачи (17) Ф^) должна удовлетворять условию (26), то для нее верно:

Фф = Ф (2).

Утверждение. Существует матрица канонических решений задачи (28) Ф„(/), осуществляющая следующую факторизацию дисперсионной матрицы Л ( 2):

Л(2) = Ф0(7)ФТ( - 2).

Воспользовавшись разложением (29) и учитывая то, что Л(г) = Л(г) и Л( г) = Л(-г) = ЛТ (г), для соответствующей полиномиальной матрицы Р(г) получим:

Р(г) = Р'ф и Р(г) = Р (2).

Кроме того, по определению канонической матрицы [6], Ф^) ^ К diag{z,2}, detК Ф 0, при |г| ^ да, т. е. из равенства (29) с учетом (7) получаем соотношение:

Р (2) ^-Л

К-

5 + 21

2 + 41 1

■42 + 41

1

л/2 + 41 1

2

К

(-2)к 0

0

(-2) к

Положим

Ф „(2) = Ф(2)К-

3 + 21

1

2 + 41 л/1 + 21

0 -т-

л/2

0

ъ

0

к

ъ

ъ

Ф 0(/) — каноническое решение задачи (28) с нормальной формой на бесконечности, причем Ф 0(/) = Ф 0(7) . Поскольку по доказанному в предыдущем разделе к1 = к2 = 1, то для Ф0(/) получим:

Л(2) = Ф 0(7)ФТ( - 2)

и

Пш 7Ф 0(7) =

3 + 21 2 + 41 0

1

VI + 21 1

л/2

(30)

4. Построение и применение канонической матрицы

Вернемся собственно к доказательству теоремы о разложении решения краевой задачи. Сохраним и далее обозначение Ф 0( z) для канонического решения с нормальной формой на бесконечности, существование и свойства которого были показаны в предыдущем разделе. Тогда, как было показано в п. 2, матрица-функция Ф 0( z) представляется в виде:

А,( z) = -

1

-X (z)P°( г),

(31)

z 2 ( )2

здесь X (z) — фактор-матрица, построенная в п. 2, а Р0 (z) — полиномиальная матрица со свойствами, доказанными там же. Заметим, что из поведения Р0( z) на бесконечности следует, что

Р0( г) = А + Вг + Сг2,

где А, В, С — числовые действительные матрицы 2*2, причем матрица С автоматически находится из формулы (30):

С11^> С12 Р0 1 А = 0 С22Р0

С =

40 = и 20)(»)

здесь и далее с11 =

3 + 21

1

'2 + 4,' 12 Л+21 формулы (27')-(27'') перепишутся в виде:

с22 = —^ . В новых обозначениях 22 л/2

иг Ц*»-1

0

0

• А = 0,

в точке г = 0 и

(А + В/и,) = -/

0 0 1 а

00 1а

• В +

00 0 в

щ 2(,(0) - 2

0

0

0

(с12 + аС22 р

(А + В/) = -2/и,

0

сп^>

• В = 0

С12 +аС22 в/ IР0

(32)

в точке г = / .

0

с

0

Здесь и далее величины

а = -\Iги)2 + "21 в = -\

( 2и - 3и,

г (и)

+ 2 и

(34)

у( 1 1 1

Введем обозначение —I г(0)--I = —. Нетрудно проверить, что 5 > 0 . То-

2 ^ 2) 5

гда решение уравнений (32)-(33) запишется в виде:

здесь

А =

5а а 5а 12

в =

- 5ЬИ - 5Ь12

1 - а5

в5 . + . 1

ь,, = -

и:

1 -а5

1 - а5

в5 . + . 2

1 - а5 ц1

1 -а5

и:

С12 + аС22 5+ С12 + (а + Р)СХ 1 -а5

и,

1 -а5

+ 2| С12 + (а^)С22 С'2 +аС22 ^5+ 1 2 1 -а5

в

(35)

ь

ь

а

а

12

12

а11

а12

где а, в определяются по формулам (34), а ¡и1 — из задачи обращения Якоби для эллиптических интегралов.

Таким образом, искомая полиномиальная матрица найдена. В силу (31) можем утверждать, что окончательно построена и каноническая матрица решений краевой задачи (17) с нормальной формой на бесконечности.

Вернемся к исходной краевой задаче (15). После очевидной подстановки получаем:

[[(и) + б(0,и)]Тф+ (и) = [а-(и) + 6-/ш(0,и)]Тф-(и), и > 0.

Транспонируя уравнение и учитывая поведение на бесконечности входящих в него векторов и матриц, можем записать его общее решение:

А( 2) = -б\ ^ (0,2) + Ф-Т (2)

'С а

, и > 0,

(36)

где С1, С2 — произвольные постоянные. Вычислим первое слагаемое в формуле (36):

б -1( 2 ^ (х, 2) = (А + А*)

+

+ А3 2

- Ну

(37)

2

1

У

А построив матрицу, обратную к найденной полиномиальной, можем записать, что

Ф-Т ( 2 ) = — X -Т ( 2 )Е( 2),

(38)

где матрица

Е( 2) =

-^(а12 + Ь122) + С22Р02 2 ^К + Ь112) - а12 - Ь12 2 - С12 Р0 2 2 а11 + Ь112 + С11<?02 2

Разложим в ряд Лорана функции А(2), В(2), Я(2), и1 (2), и2 (2) в окрестности бесконечно удаленной точки:

1 1 1 -= — + Р ^ +... , -

их( 2) Р0 2 и2( 2)

1 1 1

— =--+ 4-1—+... , 2 ^ да,

40 2

здесь

40 = еВ-2-*2 , ад-1 = А-1-В-3 +4

-В , +Я , -А ,+В 3-Я 3

Р0 =е -2 -2 , 404-1 =е -1 -3 *

где Ак, Вк, Як — соответствующие коэффициенты разложения в ряд Лорана функций А(2), В(2) и Я(2).

Используя формулы (37) и (38), выпишем лорановское разложение в окрестности точки 2 = да правой части равенства (36). Приравнивая нулю коэффициенты при 2 и 22 в верхней и нижней строках, как результат получим:

т. е.

Здесь

С1 = А3, С 2 = С 22 А1,

У

А0 = А1

С = Aз,, С2 = ^ А и, + 404-1 + —(Рс(1 + Зг) - 40§г)

А

М + Р0Р-1 +—(Р0(1 + 5г) - 4$т) с,„

Ь

А2 = Д — 40ду- А3

Ь12 „ и + Р0 Р-1--40$

= ехр

1 да гЬ(г)

гг

2п 0 г(г) 0 г (г)

1 да гЬ(г)

Пг

¡т- dг + \

2п 1 г (г) 0 г (г)

404-1 = ехР

Р0 Р-1 = ехР

Р0 = ехР

г2Ь(г) ^ }г^г dг + I-

г(г)

1 П г Ь (г) ) 7

--II а(г) +-— dг +1

2п 01 г (г) 0

и 2

Л.'[[-а(г) + !*!) М

2п * 1 г (г) *

г dг г(г)

(39)

(40')

(40'')

С11С22

С

с

12

Коэффициенты непрерывного спектра разложения (11) также находятся однозначно на основании формул Сохоцкого для функции (13).

Таким образом, теорема полностью доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Латышев А. В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК-уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. матем. и механика. 1990. Т. 54. Вып. 4. С. 581-586.

2. Сушков В. В. О вычислении индекса задачи при решении некоторого семейства БГК-уравнений // Информатика и информационные технологии в образовании: Межвуз. сб. науч. тр. — СПб., 2002. Вып. 6. С. 43-46.

3. Latyshev A. V., YushkanovA. A. The temperature jump and slow evaporation in molecular gases // J. of experimental and theoretical physics. 1998. Vol. 87. № 3. P. 518-526 // Mathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, Dynamics and Control in Condensed Systems, and Other Media. Kluwer Academic / Plenum Publishers. — New York, 1999. P. 3-16.

4. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М., 1978.

5. Smoluchowski V. Über Warmeleitung in verdünnten Gasen // Ann. Phys. Chem. 1898. Vol. 64. P. 101.

6. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М., 1968.

7. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. — М., 1972.

8. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. — М., 1977.

V. Sushkov, A. Latyshev

ANALYTICAL SOLUTION OF BOUNDARY PROBLEMS FOR A FAMILY OF BGK EQUATIONS OBTAINED BY THE APPLICATION OF THE CANONICAL MATRIX METHOD

A family of equations (BGK equation) obtained as a linearization of the Boltzmann equation with the collision operator in the BGK form (Bhatnagar— Gross—Krooks) is considered. The kernel is defined as a matrix function depending on a parameter. The exact solution is based on a generalization and modification of the canonical matrix method. Properties of the matrix of canonical solutions are analyzed. A theorem on the completeness of the system of eigenvectors of the characteristic equation is proved. The proof is reduced to solving a vector boundary value Reed-man—Hilbert problem with a matrix coefficient, the diagonalizing matrix of the matrix coefficient having branch points in the complex plane.