Уравнение Кортевега-де Фриза в пределе малой дисперсии. Появление функций Эйри в асимптотике решения задачи Римана-Гильберта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4 2007 Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.593.2+517.957+517.955.8 В.Ю. Страздин

УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА В ПРЕДЕЛЕ МАЛОЙ ДИСПЕРСИИ. ПОЯВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЭЙРИ В АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

Введение. Уравнение Бюргерса для идеальной жидкости имеет вид:

ut-6uux = 0, и[=о=и0(х). (1)

Аналог этого уравнения в дисперсионной среде — знаменитое уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

и, - 6иих + е2г^ = 0, и[=о = и0 (х), (2)

здесь е2 —коэффициент дисперсии.

Мы будем рассматривать предел limw(x,/;e) для решения уравнения КдФ. Если

Е->0

в уравнении (2) пренебречь членом, содержащим третью производную, получим уравнение (1), которое может быть решено в определенном смысле явно:

x(u,t) = x0(u)-6ut, (3)

здесь х0(и) —функция обратная к и0(х), х(и,() —функция обратная к и(х,() при фиксированном времени (. Решение и(х,() уравнения Бюргерса остается однозначной функцией х лишь до определенного момента времени (b («breaking time»), которое определяется начальным потенциалом (ь = (6тах(«о(х)))-1. С другой стороны, хорошо

х

известно, что решение уравнения КдФ остается однозначной функцией х при любом (. Кроме того, компьютерные вычисления для уравнения КдФ показывают, что при t > tb решение и(х,(,г) начинает осциллировать при е—>0. Длина волны этих осцилляции порядка 0(e), а их амплитуда не зависит от е. Отсюда можно заключить, что при t>tb существует только слабый предел limw(x,/;e) (например, в смысле обобщенных функций).

Известно, что задача Коши (2) для уравнения КдФ может быть сведена к задаче рассеяния для оператора Шредингера

d2

L = -в2 —j + и0 (х), хе К, и0(х)еШ, J|«0(x)|-(1+| х|)с&<оо (4)

ах R

По известному потенциалу и0 (х) мы можем построить набор данных рассеяния, который состоит из:

• г(Х;е) —коэффициента отражения, отвечающего за непрерывный спектр оператора L;

• -Х1,...,-Хп —собственных значений оператора L;

• ci,...,cn —нормировочных констант собственных функций оператора L.

© В. Ю. Страздин, 2007

Обратная задача рассеяния заключается в восстановлении потенциала и0(х) по известному набору данных рассеяния. Если же данные рассеяния зависят от дополнительного параметра / следующим образом:

\(0 = \, С;(0 = С) • ехр/е} у = 1,..., п, г(Х;е,/) = г(Х;е)- ехр{8/Л /е},

то потенциал м(х,/;е), полученный в ходе описанной конструкции (метод обратной задачи рассеяния—МОЗР), будет решать задачу Коши (2) для уравнения КдФ.

Впервые предел малой дисперсии для уравнения КдФ рассмотрели Лаке и Ле-вермор [1, 2]. В качестве начальных данных они взяли потенциальную «яму» и0(х) < О

и показали, что в этом случае Ьшг(А,;е) = 0, а решение уравнения КдФ чисто соли-

£—>0

тонное. В безотражательном случае МОЗР сводится к решению конечной системы линейных уравнений. Порядок этой системы нарастает с убыванием е. Данную систему они привели к вариационной задаче нахождения максимума квадратичного функционала, зависящего от функции спектрального параметра X. Была показана единственность решения вариационной задачи и приведены необходимые условия, которым должна удовлетворять максимизирующая функция. При этом большое значение имел носитель этой функции, который состоял из //интервалов. Лаке и Левермор показали также, что при /</. —N=1 и существует сильный предел 1цпм(х,/;е) решения урав-

е->0

нения КдФ, который удовлетворяет уравнению Бюргерса. При / > ¡ь, предположив, что число интервалов N конечно, они нашли слабый предел м>—\ши(х,{;£) и выразили

е->0

его в терминах концов интервалов носителя максимизирующей функции.

Следующий шаг сделал Венакидес [3], рассмотрев начальный потенциал в виде

одного гладкого «горба» и0(х)> 0. В этом случае Шпг(А,;е)*0, но зато отсутствует

£-->0

дискретный спектр оператора Ь, а значит, отсутствуют солитоны в решении уравнения КдФ. Для решения обратной задачи рассеяния Венакидес рассмотрел интеграль-кое уравнение Гельфанда-Левигана-Марченко и показал, что в пределе е —> 0 вместо интегрального уравнения можно рассмотреть вариационную задачу, аналогичную той, которую изучили Лаке и Левермор. Он предъявил необходимый набор условий, которым должна удовлетворять максимизирующая функция, и выразил в терминах этой функции слабый предел и'-Нти(х,/;е). Однако в своих вычислениях Венакидес использовал два

предположения, которые, хотя и были объявлены очевидными, не были доказаны.

Дейфт, Венакидес и Зу в своих недавних работах [4, 5] предложили систематический подход к рассматриваемой асимптотической задаче. Была высказана уверенность, что в рамках этого подхода можно получить строгие оценки для погрешности вычисления асимптотики. Они рассмотрели начальный потенциал в виде одного гладкого «горба», а для решения обратной задачи рассеяния использовали матричную задачу Римана-Гильберта (РГ), которая состоит в поиске вектор-функции /(А,), такой что

т

, при | А,|—(5а) V 24 V / С 1 ■ ехр {-На (к) / е}4

ш=

/Л) =

(\

->

г(к;е) • ехр{2/а(А.) / е} 1-1 г(к;г) |2

ГО П

1 0

/_(*.), (5Ь)

Ш, АеМ. (5с)

где /+(А,) = lim f(X±ib), а(Х) = Х х +АХ t. В этом случае решение задачи Коши

6>0,6-»0

(2) для уравнения КдФ дается формулой

u(x,t;e) = -2i£-djli, (6)

где коэффициент fn определяется из разложения:

уда=1+/21-г1/2+о(г'), щ->оо.

Заменив коэффициент отражения г(Х,£) его ВКБ-асимгттотикой, авторы применили разработанный ими ранее метод наискорейшего спуска для матричной задачи Римана-Гильберта, чтобы найти асимптотику решения этой задачи. Они показали что при

N-1 N-1

O-j, ) решение экспоненциально растет или убывает, а при Х& [J (ау, ß^) —ос-

у=о J=о

циллирует (здесь 0 = а0 <ß0 <...<aN_l <ßw_, <1). Поведение решения в окрестности границ этих интервалов X = a.j, = j = 0,1,...,N-1 никак отдельно не обсуждалось. Поскольку для решения уравнения КдФ достаточно знать асимптотику /(А,) при |А,|—>°оз на конечный результат этот недочет никак не повлиял.

В данной работе мы также рассматриваем случай одного гладкого «горба» и0 (х) > 0 и решаем задачу Римана-Гильберта (5), считая, что t < tb. Поскольку известно, что до критического времени существует сильный предел limw(x,/;e) решения уравнения

Е->0

КдФ, который удовлетворяет уравнению Бюргерса, мы не претендуем здесь на новый результат для уравнения КдФ. Однако мы вносим некоторое уточнение в решение матричной задачи Римана-Гильберта, полученное Дейфтом, Венакидесом и Зу. Это уточнение должно быть существенным, если пытаться довести программу названных авторов до доказательного уровня.

Мы рассматриваем характерные решения / и g уравнения Шредингера

-е2у'(х) + и0 (х)у(х) = k2\\f(x), xeR, (7)

которые удовлетворяют условиям lim f (х,к) = ещ>Ькх/£.}, lim g(x,k) = ехр{-/£х/£}.

X—Х->-оз

Используя связь этих решений с задачей Римана-Гильберта, а также стандартные ВКБ-асимптотики, мы увидим, что в окрестности точки поворота асимптотика решения задачи РГ содержит функции Эйри.

Дальнейшее изложение будет следующим: вначале мы выпишем все необходимые свойства решений / и g уравнения Шредингера (7) и покажем их связь с задачей РГ; затем мы напишем ВКБ-асимптотику для коэффициента отражения г(Х',е) и выразим асимптотически и0(х) через г(Х;е), решив интегральное уравнение вольтерровского типа (к которому в этом приближении сводится обратная задача); затем мы запишем задачу РГ в квазиклассическом приближении и выпишем асимптотику ее решения, которая будет содержать функции Эйри. В заключение мы сделаем несколько замечаний о том, как можно было бы получить функции Эйри в асимптотике решения задачи РГ, не используя ее прямую связь с решениями fug уравнения Шр едингера (7).

Отметим, наконец, что наши вычисления не содержат никаких оригинальных асимптотических элементов (они во многом повторяют хорошо известные построения). С нашей точки зрения, основным результатом настоящей работы является выявление того факта, что поведение решений задачи РГ в окрестности точек поворота должно изучаться более внимательно, чем это делалось до сих пор.

Связь решений / и g уравнения Шредингера с задачей Римана-Гильберта.

Два характерных решения f, g уравнения Шредингера (7) определяются следующими условиями:

lim /(х, к) = exp \ikx / е}, lim g(x,k) = exp \-ikx / е}.

X—>+оо JC—»-«

Функции /, g также будут решениями уравнения Шредингера (7) и будут удовлетворять условиям:

lim /(х,к) = ехр{-/¿х/ в}, lim g(х,к) = ехр{/¿х/в}.

X—X—со

Эти решения довольно подробно изучены в литературе (напр., [6, 7]). Нам понадобятся следующие свойства этих решений:

t{k) ■ g(x,k) = fix,к) + r(k) ■ fix,к), к е

f(x,-k) = f{x,k), g(x,-k) = g(x,k), t(-k) = t(k),

(8a) (8b)

/(к)—коэффициент прохождения, г(к) — коэффициент отражения (|?(£)|2 + = 1). Для нас также будут важны следующие свойства аналитичности по переменной к.

/,g,/etf(C+), f,g,7eH(C_).

(9)

Кроме того, нам известно поведение этих решений на бесконечности по переменной к:

/(х,&)->ехр{/£х/е}, £(х,&)->ехр{-/£х/е}, /(&)->!, при|&|->°°, кеС+> (10а)

/(х,&)->ехр{-/£х/е}, #(х,&)->ехр{/£х/в}, Кк) -> 1, при | к |-> кеС_. (10Ь)

Сделаем замену переменной Х = к2, отобразив правую полуплоскость ^{к) > 0 на плоскость с разрезом С\(-°°,0]. Рассмотрим вектор-функцию /(X):

где с3 =

(\ 0

exp{-/'V/2xc3 /в} exp{-/'V/2xc3/в}

¿(k)-g(x,k)

t(k)-g(x,k)

fix,к)

XeC,

, XeC_

(И)

Зная свойства аналитичности решений / и g (9), их поведение

0 -1

ч

на бесконечности (10) и их связь на вещественной и мнимой осях (8), можно проверить, что эта вектор-функция решает задачу Римана-Гильберта (5) при / = 0. Если мы хотим включить

в наше решение зависимость от времени, то в уравнение Шредингера (7) вместо и0 (х) нужно подставить у(х,/) по формуле (3).

Асимптотическое выражение для потенциала и0(х) через коэффициент отражения е). В качестве начальных данных мы рассмотрим гладкий финитный потенциал «0(х)>0, и'о(Я2)^0, "о (Хгтх) =1 (Рис- !)• Пусть г(Х; в) будет коэффициентом отражения для уравнения (7).

i 1 U0(x) 1

R, х х 0 * R, "

Рис. 1. Начальный потенциал

Хорошо известны квазиклассические формулы, выражающие коэффициент отражения через потенциал:

где

КМ) - ■ ехр{-2/р(А) / е} •%[„_,, (А,), 1-1 г(Л.;е) |2« ехр{-2т(А) /е}, (12)

Л, д:+

р(А) = А1/2х++ | (А1/2-(А-и0(х))1/2)й, т(А,)= \{и0(х)-Х^п сБс. (13)

Величины хДА)<х+(А) определяются условием и0(х±(Х))-Х. %[01]—характеристическая функция интервала [0,1]. В подходящем приближении функции р(А), т(А) вместе полностью описывают коэффициент отражения асимптотически.

Пусть Х10(«) —функция обратная к и0(х) при *<хтах, а Х20(и) —функция обратная к и0(х) при х>хтах. Продифференцируем формулы (13) по А и сделаем замену переменной в интеграле

V" /г.

гт = Ъ • ^ + . 1г'(Х) = -1

% (Х-и) ( (и-Х)

.(х;0(й)-х'20(й))

с1й

(14)

Разрешая полученную систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций Х{0(и), Х20(и), получим

Х;0(и) =

ои

4 (и-цГ 'п{(ъ-иГ ^

¿(м--«)

1 г р'(М-)-р'(") ^ 2р'(м) 1 ¡■т,(ц)-т,(н)

п0 («-М-)

-с1\1 +

_ 1/2 'I / \3/2 Я-« П^ (ц-и)

2т'(к)

Я • (1 - ^ )

ди

(и-ц)

Ггр'ОО-р'С«) 2р'(ц)

/ \3/2 аМ- +

71 Ь

7ГИ

1/2

(15)

(16)

Проинтегрируем формулы (15), (16), учитывая начальные условия Х10 (1) = Х2 0 (1),

Х2,0(0) = Я2

^ , , 1 "г 2р'(д) , 1 Г 2т'(ц) , V- /- ч 1 Г 2Р'(Ю ^

Эти формулы понадобятся нам в дальнейшем для того, чтобы выразить решение задачи Римана-Гильберта только через коэффициент отражения (исключив из формул потенциал и0(х)).

Решение задачи Римана-Гильберта. Перепишем задачу Римана-Гильберта (5), заменяя коэффициент отражения его ВКБ-асимптотикой (12):

/+ (X; х, е) = в(Х; х, е) • /_ (X; х, е),

где

0(Х;х,е) = а1 =

^0

1 0

ч у

, при А<0, Сг(А;х,е) =

(\ 0' 0 1

0(Х;х,е) =

1 -7ехр{2/(р(А)-А1/2х)/е}^

-/ • ехр {-2/ (р(А) - А1/2х)/ е} ехр {-2т(А) / е}

при А>1,

, при 0<Л,< 1.

Мы намеренно исключили из задачи Римана-Гилъберта параметр чтобы подчеркнуть, что качественное поведение решения не меняется со временем пока (< 1Ь. Если бы мы захотели включить достаточно было бы во всех формулах заменить и0(х) на и(х,{), а р(Х)на р(Х,() = р(Х)-4Х3/2(.

В нашем распоряжении есть формула (11), связывающая решение матричной задачи Римана-Гильберта с характерными решениями уравнения Шредингера (7). Таким образом, вычисляя стандартную ВКБ-асимггготику для характерных решений /(х, к) и g(x,k), мы находим асимптотику решения матричной задачи Римана-Гильберта. Ниже мы приведем формулы для ее решения в верхней полуплоскости X е С+. Для того,

чтобы получить решение в нижней полуплоскости, достаточно заметить, глядя на формул}' (11), что /_(Х;х,е) = 0! ■/+(Х-,х,£).

Вначале мы зафиксируем х и найдем м0(х) с помощью формул (17). Асимптотические формулы для /+(^;х,£) будут различаться при х>хтах и при х<хтах. Область х > хтах: 1. О<Х<и0, Х<0, Х>1:

/+(Х-х,г) =

ХУ4 ■ ехр{?'Ф(^) • о3 / е}

2. ип <^<1:

/+(Х-х,е) =

(Х-и0) X1'4 ■ ехр{?'Ф(^) ■ о3 / е} '

(\ 1

V /

(Х-и0)

1 - / • ехр {¡ИХ) / е}

(1 + 0(е)> (18)

(1 + О(е)). (19)

3. \Х-и0 \<(К(е)) :

Г4-ехр{(р(?1)-Г2х)-а3/е}

Область х < х

(ВД)"

уи.

т)

ехр{-гп/4}у/2-у(^(Х))

(1 + 0(е»))

1. 0<^<«о, Х<0, Х>1:

/+(Х;х,е) =

Xй4 ■ ехр{/Ф(Х) • о3 / е} (Т

2. ип<Х< 1:

(Х-и0)

1 /А

(1 + 0(е)).

(20)

\1/4

- . X ■ ехр{?'Ф(^)■ о3/е} Г1-/-ехр{-ад/е}

У+(А;х,е)-----¡--— ■

{Х-щ)

3. \Х-и01<(АГ(е))12:

(1 + 0(е)). (21)

/+(Х;х,е) =

_ У" ■ ехр{'(рЩ - 1Х(Х)- Xй2х) о3 /е} (ехр{-т/4}. ■

1/4

(ад)

(1 + 0(е-))

Здесь щ , у(^)—стандартные функции Эйри [8], кроме того, мы должны подставить

(Х~ио) V_ „2/3 |.//„м2/3

ад

Ф (Я,) =

h(X) = Ф+ (X) + Ф_ (X) + 2Хтх - 2р (к),

[кмТ

КоМ"

(А - и0)]/2 "f 2p(|u.) - 2jj.1/2x ¿/ц.

и0(х)~

х> х„

X < X

2 га

1/2

2 га

Фазовая функция

f 2р(ц)-

J

• 2(i1/2x

[Х-Я,' dfi

1

Ol-H0),/a „{(ц

-2/'х(ц) d\a

■щГ

х > х„

х< х„

Ф(Я)= ](Г2-(Я-к0(х)),/2)<£

(23)

(24)

возникает естественным образом при вычислении ВКБ-асимптотик решений fug уравнения Шредингера (7). Формулы (23) были получены нами для того, чтобы сравнить наш результат со статьей [4].

Заключение. В статье [4] вместо неизвестной вектор-функции f(X) рассматривается строка т(Х). Наша функция Ф(А,) совпадает с функцией g(A,) при t < tb, функции р(1), х(А-), h(X)—те же самые. В старшем порядке асимптотики наше решение задачи Римана-Гильберта и решение, полученное в цитированной статье, совпадают вне малой окрестности точки Х = и0(х). Поведение решения в окрестности этой точки имеет большое значение, поскольку от него будет качественно зависеть временная динамика задачи Римана-Гильберта при t ~tb. Наше существенное уточнение состоит в том, что в окрестности точки Х-и0 (х) в асимптотике решения задачи Римана-Гильберта с необходимостью появляются функции Эйри.

Наконец, несколько слов о том, как исследовать окрестность точки поворота в контексте статьи [4]. Используя формулу (24) для функции Ф(А,) = g(X), можно найти

h(X) =

х

l\{X-u^x)f dx, Uq<x< 1; x > xmax;

x

2j(X-u0(x)f2dx, u0<X< 1. x<xmax.

(25)

Если в формулы (18), (19), (20) и (21) подставить выражения (24), (25) и сделать замену переменной (22) вблизи точки ?i = w0(x), то получим асимптотики при >±°° для функций Эйри w2 (q), v(q) с точностью до некоторой константы. Используя аналог оригинального метода из работы [9], можно доказать, что решение задачи Римана-Гильберта в окрестности точки поворота удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка—уравнению Эйри. Зная асимптотики на бесконечности, можно выразить это решение в окрестности точки поворота в терминах функций Эйри w2 (с,) и v(q).

Summary

Strazdin V.Y. The small dispersion limit of the Korteweg-de Vries equation. Emergence of the Airy functions in the asymptotic solution to the Riemann-Hilbert problem.

We consider small dispersion Korteweg-de Vries equation with initial data consisting of a single «hump». We investigate asymptotic solution to the Riemann-Hilbert problem arising from inverse scatter-

ing transformation. This problem was analyzed before by Deift, Venakides, and Zhou using steepest descent method. However, there was inaccuracy in their asymptotic formulae. Using standard WKB method for Schrftdinger operator we see that asymptotic solution contains Airy functions in the neighborhood of turning points.

Литература

1. Lax P.D., LevermoreC.D. //Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1979. N 76 (8). P. 3602-3606. 2. Lax P. D., LevermoreC.D. //Comm. Pure Appl. Math. 1983. N 36 (3, 5, 6). P. 253-290, 571-593, 809-829. 3. Venakides S. //Comm. Pure Appl. Math. 1985. N 38 (2). P. 125-155. 4. DeiftP., Venakides S„ ZhouX. IIProc. Natl. Acad. Sci. USA, 1998. N 95. P. 450-454. 5. DeiftP, Venakides S„ Zhou X. //Int. Math. Res. Not. 1997. N 6. P. 285-299. 6. Новиков С.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М., 1980. 7. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977. 8. Смирнов В. И. Курс высшей математики: В 5 т. М., 1974. Т. 3. Ч. 2. 9. DeiftP., ZhouX. Long-time behavior of the non-focusing nonlinear Schrddinger equation: A case study //New Series: Lectures in Mathematical Sciences. Vol. 5. Tokyo, 1994.

Статья поступила в редакцию 25 декабря 2006 г.