CC BY
29
где Ке - тащу, — х0]'|, следующую пл ие-рааенства (6), полученного в про-
цессе доказательства леммы 2. Ясно также, что р можно заменить на вычисляемую оценку снизу
Ре = V 1 ~ ?ЦП1 >'/ ~ Хо| ■
V 2
Легко видеть, что с1.: является оценкой сверху и для диаметра многогранника Ле . А поскольку И( ) < И( ГУг, Ок) и Д является одновременно внутренней аппроксимацией для Д.", то приходим в итоге к выводу, что справедлива
ТЕОРЕМА, При е е (0,рЕ(^£ - рЕ) 1) справедлива следующая оценка погрешности аппроксимаций:
- рЕ)(1 + (^-рЕ)(рЕ-в(4 - рЕ ))"') .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Половинкии Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М., 2004.
УДК 517.95
М. Ю. Игнатьев
О РЕШЕНИИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДФ НА ПОЛУОСИ С НЕОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ*
Рассмотрим смешанную задачу
и, =иххх - 6иих, х>0, />0, (1)
«(0,/) = а, и„(0,/) = А, (2)
и(х, 0) = <?(*), (3)
где а,Ь - вещественные константы. Известно, что задача (1) - (3) имеет бесконечно много интегралов движения и высших симметрий [1, 2]. Важный частный случай а = Ь = 0 подробно изучен в работах [3, 4], где построена процедура интегрирования такой задачи с помощью некоторой модификации метода обратной задачи рассеяния (МОЗР). Случай ненулевых а, Ь изучался в [2], где построены и исследованы конечнозонные, со-литонные и некоторые другие частные решения уравнения КдФ, удовле-
' Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), программы «Университеты России» (проект ур.04.01.376) и РФФИ (проект 04-01-00007).
творяющие краевым условиям (2). В настоящей статье предлагается способ применения к задаче (1) - (3) при нену левых а,Ъ схемы МОЗР, позволяющий свести решение данной задачи к решению ряда классических обратных задач Штурма - Лиувилля. Ключевым здесь является соотношение ("global relation" в терминах работы [5] и ряда других работ А. Фокаса), связывающее спектральные характеристики двух операторов Штурма Лиувилля, построенных по начальным и соответственно граничным значениям решения задачи (1) - (3).
Пусть и(х,г) - (вещественное) решение задачи (1) - (3) такое, что
производные ипих1, д 'и/дх-', j = 1,3, непрерывны в первой четверти х>0, t>Q и для каждой из функций ипд'и/dxJ ,j = 0,3, выполнено условие
ос
max í(l+ | х I) I F{x,t)\dx<oo для любых t¡, t2 :0 < tx < t-, < °o (4)
N'b'jLÍ;
(мы априори предполагаем, что такое решение существует, подробное изучение вопросов существования решения задачи (1) - (3) выходит за рамки настоящей статьи).
Введем в рассмотрение оператор Штурма - Лиувилля
L(t)y-~y" + u(x,t)y. (5)
Пусть e(x,t,p), Imp> 0 - решения Йоста для уравнения L(t)y = р2 v. Тогда при выполнении указанных выше условий для функции Ч'(х,/,р) := е(ж,/,р)ехр(-4/р3/) справедливо соотношение
<¥, =илЛ'-(4?1 + 2и)Ч/Д = р2. (6)
На прямой х = 0 при выполнении краевых условий (2) получается уравнение
¥„=(р(0 - МУ¥, (7)
где ц = 16 А.3 - 4(3а2 - Ь)к, p(t) = (;и2 + их.)\ + 4а3 - lab [2]. В дальней-
шем ограничимся рассмотрением случая За2 - Ь = 4с2, с > 0.
Пусть D = {X = a + ¿x: т2 <3сг -е2,ое(-оо,-с/л/3)}\[-с,-с/л/3].
Рассмотрим в D функцию /(А,):=16(А3 -с2Х.). Нетрудно видеть, что /(А.) конформно отображает область D на плоскость с разрезом по [0,+ао), обозначим через /~'(ц) функцию, осуществляющую обратное отображение.
Введем далее в рассмотрение оператор Штурма - Лиувилля
íz := -z + p(t)z. (8)
Обозначим через М (|i) функцию Вейля оператора I на полуоси i > О с краевым условием z(0) = 0, через т(Х) - функцию Вейля оператора ¿(0) с краевым условием j(0) = 0.
ТЕОРЕМА 1. Если функция р(г) ограничена снизу при t> 0, то при ц е С \ [0,+оо) справедливо соотношение
М(]х) = ívt(0,0) - (4л. -<- 2а)т{Х), где к = f~\n).
Доказательство. Пусть цеС\[0,+оо), Я. = /_1(ц), р2=Х, lmp>0, Lm¿r>0. Определим \}/(í, ц) := р). По построению
\\i(t, р.) - решение уравнения £\\i = цу, голоморфное по ¡а в области С\[0,+х), Рассмотрим асимптотику при ц-»оо функции exp(-/'¿/)y(í,|i). Заметим, что в силу XeD к может быть представлен в виде к = -4р/~0(Х),
где для функции f0(X):=\X2 —с2 берется регулярная ветвь, выделяемая в С\[-с,с] условием /0(Я.) е (0,+оо) при Хе(с,+ос). Тогда из очевидного /о(А.) = Х + 0(к~1) при X —>зо получаем при ц—>оо (и соответственно X—>°с) к = -4р3 + 0(р~ ). Теперь имеем ехр(-г'£г)\у(г,ц) = =ехр(-Ш - 4/p3í)e(0,í,p) = 1 + o(J) при ц-»оо и, применяя теорему 2(S) из [6], заключаем, что пропорциональна решению Вейля. Тогда функ-
ция Вейля есть А/(ц) = ф(0,ц)/ц/(0,ц) = lP;(0,0,p)/4J(0,0,p), откуда с уче-том (6), (2) и равенства ех(0,0,р)/е(0,0,р) = т(Х) получаем требуемое. Теорема доказана.
С учетом установленного в теореме 1 "global relation" решение задачи (1) - (3) сводится к выполняемым последовательно: нахождению из начальных условий функций Вейля т(Х),М(ji), восстановлению по М(ц) оператора £ и восстановлению при каждом фиксированном t > 0 оператора /-(/) по следам решений Иоста е(0,?,р), которые могут быть подсчитаны, например, из уравнения (7).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Adler К, Gtirel В. .Gürses М.. Habibullin I. Boundary conditions for integrable equations // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. Vol.30. P. 3505 - 3513. *
2. Адлер В. Э., Хабибуллин И. Т., Шабаш А. Б. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси // ТМФ. 1997. Т. 110, вып. 1. С. 98 - 113.
3. Хабибуллин И. Т. Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями // ТМФ. 2002. Т. 130, вып. 1. С. 31 - 53.
4. Habibullin I. Т. Integrable initial-boundary valué problems // Matematicheskaya fizika, analiz,geome1riya. 2002. Vol.9, № 2. P. 261 - 267.
5. Fokas A. S. Lax pairs and a new spectral method for linear and integrable nonlinear PDEs // Sel. Matb. New. ser. 1998. Vol. 4. P. 31 - 68.
6. Marchenkx) V. A. Characterization of the Weyl solutions // Letters in Mathematical Physics. 1994. Vo!. 31. P. 179- 193.
