Научная статья на тему 'Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала'

Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
238
46
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ОПЕРАТОР ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ / НЕИНТЕГРИРУЕМАЯ ОСОБЕННОСТЬ / ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ / INVERSE PROBLEM / STURM-LIOUVILLE OPERATOR / NONINTEGRABLE SINGULARITY / WEYL FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Федосеев А. Е.

В статье исследуется обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала по заданной функции Вейля. Получена процедура решения, доказана единственность такого восстановления, а также получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Inverse Problem for Sturm-Liouville Operator on the Half-line Having Nonintegrable Singularity in an Interior Point

The inverse problem of recovering Sturm-Liouville operators on the half-line with a nonintegrable Bessel-type singularity in an interior point from the given Weyl function is studied. The corresponding uniqueness theorem is proved, a constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions of the solvability of the inverse problem are obtained.

Текст научной работы на тему «Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала»

УДК 517.927

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

НА ПОЛУОСИ

С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА

А. Е. Федосеев

Саратовский государственный университет E-mail: fedoseev_ae@mail.ru

В статье исследуется обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала по заданной функции Вейля. Получена процедура решения, доказана единственность такого восстановления, а также получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Штурма-Лиувилля, неинтегрируемая особенность, функция Вейля.

Inverse Problem for Sturm-Liouville Operator on the Half-line Having Nonintegrable Singularity in an Interior Point

A. E. Fedoseev

The inverse problem of recovering Sturm-Liouville operators on the half-line with a nonintegrable Bessel-type singularity in an interior point from the given Weyl function is studied. The corresponding uniqueness theorem is proved, a constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions of the solvability of the inverse problem are obtained.

Key words: inverse problem, Sturm—Liouville operator, nonintegrable singularity, Weyl function.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

-У" +\t Щ + q(x4 У = АУ' x>

\(x - a)2 J

(1)

на полуоси с неинтегрируемой особенностью в точке а > 0. Здесь щ — комплексное число, д(х) — комплекснозначная функция. Положим щ = V2 — 1/4 и, для определенности, Ие V > 0, V = 1, 2,... Предположим, что д(х)1х — а|тт(0>1-2Кее Ь(0,Т) при некотором Т > а и д(х) е Ь(Т, ж). Класс таких функций д(х) будем обозначать через Ш.

В данной статье исследуется краевая задача С = С(д(х),Н) для дифференциального уравнения (1) с краевым условием:

и (у) := у' (0) — Ну( 0) = 0

и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода А = [а^и]j,k=1,2^ которая связывает решения уравнения (1) в окрестности особой точки (подробнее см. параграф 2). В частном случае при = 0) рассматриваемые условия склейки соответствуют условию

(a + 0) = A

(a - 0).

Целью работы является исследование нелинейной обратной задачи восстановления С по заданной функции Вейля. Доказана единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля, получен алгоритм решения обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Метод оператора преобразования, используемый в [1,2] для классических операторов Штурма-Лиувилля, оказывается неудобным для задачи С. В данной статье используется другой метод, связанный с развитием идей метода контурного интеграла (см. [3,4]). В работе [5] данная обратная задача исследовалась в другой постановке и была доказана единственность и алгоритм решения обратной задачи. Для уравнения высшего порядка на полуси с регулярной особенностью единственность решения обратной задачи была доказана в статье [6].

2. ФУНКЦИЯ ВЕИЛЯ

Пусть А = р2 и Im р > 0. Рассмотрим функции

Cj (x, А) = (x - а)^ с]к(р(х - a))2k, j = 1, 2,

k=0

где ßj = (-1)jv +1/2, сюC20 = (2v)-1, Cjk = (-1)kCj0 П ((2s + ßj)(2s + ßj - 1) - vo)

s=1

— 1

Здесь и в дальнейшем z^ = exp(ß(ln |z| + i arg z)), arg z e (-При x > а и x < а функции Cj(x, А) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj(x, А), j = 1, 2, являются решениями следующих интегральных уравнений при x > а и x < а:

Sj (х, А) = С (х, А) + / (£,А)

J а

где д(х, А) = С (¿,А)С2(х, А) — С (х, А)С2(£, А). При каждом фиксированном х функции Sj(х, А) являются целыми по А порядка 1/2 и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).

Пусть задана матрица А = [а^]^к=1,2, det А = 0 с комплексными ajk. Введем функции {о^ (х, А)}=1,2, х е J- и , = {±(х — а) > 0} по формуле

G (x,A) = <

sj(x,A),

x e J—,

а^Sk(x, A), x e J+.

k=1

Фундаментальная система решений {о (х, А)} будет использоваться для склейки решений в окрестности особой точки х = а.

Введем числа , з, к = 1, 2, по формуле

С11 ь 1 "-апе2™ + а22в—2niV -ifane™ - а22е—niV)

>1 С22 2 sin nv -ifaue™ - а22е—niv) а11 - а22

Поведение спектра краевой задачи £ зависит от величин ^к. Для определенности в дальнейшем будем рассматривать наиболее важный частный случай, когда |^ | > |^12| > 0 и а12 = 0. В этом случае, в отличие от классических операторов Штурма-Лиувилля, дискретный спектр является неограниченным, и возникают новые качественные эффекты при исследовании прямых и обратных задач спектрального анализа.

Обозначим

(х, А) = о2(0, А)о1 (х, А) — о1 (0, А)о2(х, А), (х, А) = о1 (0, А)о2(х, А) — о2(0, А)о1(х, А).

Функции (х, А), 3 = 1, 2, являются решениями дифференциального уравнения (1) при х е и удовлетворяют начальным условиям:

^т-1) (0, А) = 5гт, з,т =1, 2,

где 5jm — символ Кронекера.

Обозначим через П+ А-плоскость с двухсторонним разрезом П0 вдоль луча Л+ := {А : А > 0} и положим П := П+ \ {0}. Тогда при отображении р ^ р2 = А множества П+, П0 и П соответствуют множествам 0+ = {р : 1тр > 0}, О0 = {р : 1тр = 0} и О = {р : 1тр > 0, р = 0}. Пусть е(х,р), х > 0, 1т р > 0 — разрывное решение Йоста, введенное в [5], для уравнения (1). Обозначим Бко = {р : arg р е (к0п/2, (к0 + 1)п/2)}, к0 =0,1, и Д(р) = е'(0, р) — йе(0,р), 1т р > 0. Функция Д(р) называется характеристической функцией краевой задачи £. Функция Д(р) имеет счетное множество нулей вида

рк = р± + 0(к-1), к ^

X'

где р± = (к + 9±)п/а — нули функций Д±(р) = £12 + Щ ехр(2гра), р е S2-j, 3 = 1, 2,

= — 1п

ег2

+ 1 М12 + 2П8181-щ

(«—» при 3 = 1, «+» при 3 = 2). Ясно, что 1т0± > 0. Для определенности пусть ащ(—£12) е [0, 2п). Обозначим Л = (Л = р2 : р е О, Д(р) =0}, Л' = (Л = р2 : р е О+, Д(р) = 0}, Л'' = (Л = р2 : р е Оо, р = 0, Д(р) = 0}. Тогда Л = Л' и Л'', Л' — счетное неограниченное множество, Л'' — ограниченное множество. Положим

Ф(х, Л) = е(х, р)/Д(р), М(Л) := Ф(0, Л).

Функция Ф(х, Л) удовлетворяет уравнению (1) и условиям и(Ф) = 1, Ф(х, Л) = 0(ехр(грх)), х ^ ж, р е О и называется решением Вейля для С. Функцию М(Л) будем называть функцией Вейля для С. Пусть заданы фиксированные матрица А и число

Задача 1. По заданной функции Вейля М(Л) построить функцию д(х) и найти число к. Ясно, что

М(Л) = е(0, р)/Д(р), Ф(х, Л) = <(х, Л) + М(Л)<(х,Л), (2)

где <(х, Л) := ^1(х, Л) + к<2(х, Л). Функция Вейля М(Л) является аналитической в П+ \ Л' и непрерывной в П\Л. Множество особенностей М(Л) (как аналитической функции) совпадает с множеством Л0 := Л+ и Л. Введем область := (р : 1т р > 0, |р—рк | > рк е Л}. Функция Вейля при |Л| ^ ж, р е П S2-щ , 3 = 1, 2, имеет следующую асимптотику:

о±(Л)+ 0(р) ), (3)

М(Л) = ¡р(Мо±(Л)+ О) ,

М± (Л) =

г±М\ _ £12 — Щ ехР(2^а)

£12 + Щ ехр(2^ра) '

где «—» соответствует 3 = 1, «+» соответствует 3 = 2.

3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Для исследования обратной задачи условимся, что наряду с С будем рассматривать краевую задачу С того же вида, но с другими коэффициентами 7 и к. Если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче С, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче С, а 7 := 7 — 7.

Теорема 1. Если М(Л) = М(Л), то д(х) = 7(х) почти всюду при х > 0 и к = к. Таким образом, задание функции Вейля однозначно определяет краевую задачу С.

Доказательство. Определим матрицу Р(х, Л) = [Рщк(х, Л)Щ>к=1>2 по формулам

Рк1(х,Л) = -Ц (Ук-1) (х,Л)Ф'(х, Л) — Ф(к-1)(х,Л)<7'(х,Л)) ,

1 / ~ ; (4)

Рк2(х, Л) = " ф(к-1) (х, Л)<7(х, Л) — (х, Л)Ф(х, Л)) , п(х) \ /

где п(х) = 1 при х е ^ и п(х) = det А при х е ^. Обозначим (у, г} := уг' — у'г. Так как (<(х, Л), Ф(х, Л)} = п(х), то

<(х, Л) = Р11 (х, Л)<7(х, Л) + Р12(х, Л)<7'(х, Л), Ф(х, Л) = Р11(х, Л)Ф(х, Л) + Р12(х, Л)Ф'(х, Л). (5)

Используя оценки из [5], получаем, что при х > 0, р е , |р| ^ ж:

Рщк(х, Л) — Щ = 0(р-1), 3 < к; Р21 (х, Л) = 0(1). (6)

Пусть М(Л) = М(Л). Тогда ввиду (4) и (2) заключаем, что при каждом фиксированном х функции Рщк(х, Л) являются целыми по Л. Учитывая (6), получаем Р11 (х, Л) = 1, Р12(х, Л) = 0. Подставляя это

и

в (5), выводим ((x, Л) = Л), Ф(х, Л) = Ф(х, Л) при всех x и Л и, следовательно, L = L. Теорема 1 доказана. □

Перейдем теперь к построению решения обратной задачи. Будем говорить, что L е V, если q(x) е W. Обратную задачу будем решать в классе V.

Выберем пару L = L(g(x),h) так, что M(Л) = O(p-2) (например, можно брать g(x) = 0, h = 0). Обозначим

D(x, Л, д) = (Ф^^Ф^)) r (x, Л, д) = D(x, Л, д)М(д). n(x) Л — д

При фиксированном x е J±, Л = р2, д = 02, 0 < Imр < C, 0 < Im0 < C имеют место следующие оценки (см. [5]):

C

|D(x, Л, д)| < |р ^ + 1, |((x, Л)| < C, ± ReрRe0 > 0.

Функции Ф и D определим по тем же формулам, но с (ф вместо (. Возьмем H > 0 так, чтобы Impk < H, Impk < H при всех pk е Л, pk е Л. Пусть 7 = {Л = u + iv : u = (2H)-2v2 — H2} — образ множества Imр = H при отображении Л = р2. Обозначим JY = {Л : Л е 7 U int 7}. Теорема 2. Справедливы соотношения

^(x, Л) = ((x, Л) +—— I r(x, Л, д)(^, д) йд, (7)

2ni J

Y

r(x Л, д) — фч Л; д) + 2L / r(x л, iМ* i,д) d£ = 0, (8)

Y

_1__Г (ф^А)^^, д))

2ni n(x) У Л — д

Y

Доказательство. Возьмем положительные числа rN = ((N + %)п/а)2 так, чтобы окружности 0N := {Л : |Л| = rN} лежали в G^ при достаточно малом 5 > 0. Обозначим 0N,O = {Л : |Л| < rN}, 7N = (7n0N,O)и{Л : |Л| = rN, Л е int7} (с обходом против часовой стрелки). Согласно интегральной формуле Коши имеем:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Г> f W а ,1 /"Pik (x,MK 1 f Pik (x, д) — w +

Pik (x, Л) = 5ik + — -- йд + ^ / -V^-йд, Л е int yn .

2ni J Л — д 2ni J Л — д

Yn ön

Ф(x, Л) = Ф^, Л) + I M(u)((x, д) йд, Л е J7. (9)

Используя (6), при N ^ го получаем

Pik(x, Л) = 5ik + ^ i Ф, Л е J7. (10)

2т J Л — д

Y

Здесь (и везде в дальнейшем, где это необходимо) интеграл понимается в смысле главного значения:

/= lim / . R^ttJ

Y Y R

В силу (5) и (10)

1 f y(x, Л^п^, д) + ф'(x, Л)Pl2(x, д) 2ni J Л — д

((x, Л) = 0(x, Л) + ^ / ^wjjw'^wrj йд, Л е Jy.

Отсюда, учитывая (4) и (2), вытекает (7), так как слагаемые с д) равны нулю в силу теоремы Коши.

Аналогичным образом получаются (8) и (9). Теорема 2 доказана. □

На соотношение (7) можно смотреть, как на уравнение относительно ^(ж, А) для любого фиксированного ж. Уравнение (7) называется основным уравнением обратной задачи.

Рассмотрим банахово пространство C(7) непрерывных ограниченных функций z(Л), Л е 7, с нормой ||z|| = sup |z(Л)|.

Теорема 3. При каждом фиксированном x > 0 основное уравнение (7) имеет единственное решение ((x, Л) е C(7).

Доказательство. При фиксированном x > 0 рассмотрим следующие линейные ограниченные операторы в C(7):

Аг(Л) = ¿(Л) + -—г f r(x, Л,д^(д) Аг(Л) = г(Л) - -—г f r(x, Л, д^(д) d^.

2пг J 2ni J

Y Y

Тогда

AAz^) = z(Л) — -—: f ( r(x, Л, д) — f(x, Л, д) + -—г I r(x, Л, £)r(x, д) d^ I z(^) d^. 2ni J I 2ni

В силу (8) это дает AAz^) = z^), z(Л) е C(7). Меняя местами L и L, получаем аналогично AAz(Л) = z^). Таким образом, AA = AA = E, где E — единичный оператор. Следовательно, оператор A имеет ограниченный обратный, и основное уравнение (7) однозначно разрешимо при каждом x > 0. Теорема 3 доказана. □

Таким образом, получем следующий алгоритм решения обратной задачи. Алгоритм 1. Пусть задана функция M(Л).

1. Выбираем L е V.

2. Находим ((x, Л) из основного уравнения (7).

3. Строим q(x) и h по формулам q(x) = Л + ( /(x,^) — 7—» , h = ('(0, Л).

((x, Л) (x — a)2

4. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Здесь мы приведем необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Для упрощения выкладок будем предполагать, что краевая задача L = £(g(x), h) выбрана так, что

М(Л) = О (1) . (11)

Обозначим

— — f — /

£о(x) = У ((x^Mx^)M(д) dд, e(x) = —2e0(x). (12)

Y

Теорема 4. Справедливы соотношения

q(x) = g(x) + e(x), (13)

h = h — eo(x). (14)

Доказательство. Дифференцируя (7) дважды по x, используя (12) и соотношение

d (((x, Л), ((x, д)}

dx Л — д

получаем

= ((x, Л)(^, д),

('(x, Л) — e0(x)((x, Л) = ('(x, Л) +/ r(x, Л,д)('(x, д) dд, (15)

2ni I

Y

— [ II [

(''(x, Л) = ( ''(x, Л) + -—: r (x, Л,д)( ''(x, д) dд + -—; 2((x, Л)^^, д)М(д)('(x, д) dд+

2ni J 2ni n(x) J

YY

/ (^fa^Mx д^ Mdд. (16)

Y

Заменяем в (16) вторые производные из уравнения (1), а затем заменяем ((x, Л), используя (7), получаем (13). Положив x = 0 в (15), получаем (14). □

Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Через W обозначим множества функций M(Л) таких, что: а) M(Л) аналитична в П+, за исключением не более чем счетного множества полюсов Л' и непрерывна в П \ Л; б) при |Л| ^ ж имеет место (3).

Теорема 5. Для того чтобы функция M(Л) е W была функцией Вейля для некоторой пары L е V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) (асимптотика) существует L е V такое, что выполняется (11);

2) (условие Р) при каждом фиксированном x > 0 уравнение (7) имеет единственное решение ((x, Л) е C(7);

3) e(x) е W, где функция e(x) определяется формулой (12). При этих условиях q(x) и h строятся по формулам (13), (14).

Необходимость теоремы 5 доказана выше. Докажем теперь достаточность. Пусть дана функция M(Л) е W, удовлетворяющая условиям теоремы 5 и пусть ((x, Л) — решение основного уравнения (7). Тогда (7) дает аналитическое продолжение для ((x, Л) во всю Л-плоскость, причем при каждом x > 0 функция ((x, Л) является целой по Л порядка 1/2. Можно показать, что функции (x, Л), v = 0,1, абсолютно непрерывны на компактах при |x — a| > е для каждого фиксированного е > 0 и

|((v)(x, Л)| < C|p|v exp(|r|x), Л е y. (17)

Построим функцию Ф^,Л) из соотношений (9), а также L = L(q(x),h) по формулам (13)-(14). Ясно, что L е V.

Лемма 1. Справедливы соотношения

l((x, Л) = Л), №(x, Л) = ЛФ^, Л).

Доказательство. Дифференцируя (7) дважды по x, получаем (15) и (16). Из (16), (7) и (13)

вытекает

~ 1 (' 1 1 (' —

I ((x, Л) = l((x, Л) + -—г r(x, Л, д)^^, д) dд + -—; (((x, Л), ((x, д)}М(д^^д) dд. (18)

2ni J 2ni n(x) J

YY

Используя (9), выводим аналогично

Ф'^, Л) — ео(x)Ф(x, Л) = Ф '(x, Л) + ^П^-тЦ / ^(x,y(x,^} M(д)( '(x, д) dд, (19)

2ni п (x) J Л д

Y

&(x, Л) = №(x, Л) + i M^)l((x, д) dд+

2ni n (x) j Л д

Y

1 1 r ~ ^

+ ^(x^),((x^)}M(дМ^д) dд. (20)

Y

Из (18) следует, что

Л) = l((x, Л) + I r(x, Л, д)^^, д) dд + I (Л — д)г (x, Л, д)(^, д) dд. 2ni J 2ni J

YY

Учитывая (7), находим, что при фиксированном x > 0

n(x, Л) + -^ I r(x, Л, д)п^, д) dд = 0, Л е y, (21)

2ni I

где Л) = l<(x, Л) — Л). Согласно (17) при фиксированном x > 0 имеем:

|n(x,A)|< C|p|2, Л е 7- (22)

Используя найденную оценку (22) и (21) приходим к оценке |n(x, Л)| < C для Л е y .В силу условия Р теоремы 5 однородное уравнение (21) имеет только нулевое решение n(x, Л) = 0. Следовательно,

l<(x, Л) = Л^(х, Л).

Отсюда с учетом (20) и (9) получаем ^(x, Л) = ЛФ^, Л). □

Продолжим доказательство теоремы 5. Полагая x = 0 в (7), (15) и используя (14), получаем

<(0,Л) = <(0, Л) = 1, <'(0,Л) = 0(0, Л) — ео(0)^(0, Л) = h + h — h = h. (23)

Используя (9) и (19), вычисляем

Ф(0, Л) = Ф(0, Л) + [ ^^ dß, Ф'(0, Л) = Ф'(0, Л) — Ф(0, Л)ео(0) + [ ^^ dß. (24) 2пг J Л — ß 2ni J Л — ß

Y Y

Следовательно,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

U(Ф) = Ф'(0, Л) — Л,Ф(0, Л) = Ф'(0, Л) — (ео(0) + ^Ф(0, Л) = Ф'(0, Л) — hd(0, Л) = U(Ф) = 1.

Зафиксируем Л е JY. Из (9), (23) с учетом оценок |<(m)(x, ß)| < C|0|m| exp(—¿0x)|, ß = 02, x > 0, m = 0,1, |Ф(т)(x, Л)| < Cs|p|m-1| exp(ipx)|, x > 0, p е Gs, получаем что верно Ф^, Л) = O(exp(ipx + 2Hx)), x ^ го. Отсюда и из того, что U(Ф) = 1, следует, что Ф^,Л) — решение Вейля. Далее, из (24) вытекает

Ф(0,Л) = SfW + sjs / Й dß.

Y

Согласно интегральной формуле Коши имеем:

ЛОД^ f Ш dß + f Ш dß, Л е int YN.

2ni J Л — ß 2ni J Л — ß

YN 0N

Тогда при N ^ го получаем

^ [M(ß) 2ni J Л — ß

M(Л) = I dß, Л e J7.

Y

Следовательно, Ф(0, Л) = M(Л) + M(Л) = M(Л), т. е. M(Л) является функцией Вейля для L.

Теорема 5 доказана. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

Библиографический список

1. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их 5. Юрко В. А. О восстановлении сингулярных несамо-приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 330 с. сопряженных дифференциальных операторов с особен-

2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил- ностью внутри интервала // Дифференциальные урав-ля. М. : Наука, 1984. 239 с. нения. 2002. Т. 38, № 5. С. 645-659.

3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 1984. 384 с. 6. Fedoseev A. E. Inverse problems for differential

4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the equations on the half-line having a singularity in an Inverse Problem Theory // Inverse and Ill-posed Problems interior point // Tamkang J. of Math. 2011. Vol. 42, № 3. Series. Utrecht : VSP, 2002. 303 p. P. 343-354.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.