CC BY
46
УДК 517.927
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
НА ПОЛУОСИ
С НЕИНТЕГРИРУЕМОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА
А. Е. Федосеев
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
В статье исследуется обратная задача восстановления оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала по заданной функции Вейля. Получена процедура решения, доказана единственность такого восстановления, а также получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, оператор Штурма-Лиувилля, неинтегрируемая особенность, функция Вейля.
Inverse Problem for Sturm-Liouville Operator on the Half-line Having Nonintegrable Singularity in an Interior Point
A. E. Fedoseev
The inverse problem of recovering Sturm-Liouville operators on the half-line with a nonintegrable Bessel-type singularity in an interior point from the given Weyl function is studied. The corresponding uniqueness theorem is proved, a constructive procedure for the solution of the inverse problem is provided. Necessary and sufficient conditions of the solvability of the inverse problem are obtained.
Key words: inverse problem, Sturm—Liouville operator, nonintegrable singularity, Weyl function.
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
-У" +\t Щ + q(x4 У = АУ' x>
\(x - a)2 J
(1)
на полуоси с неинтегрируемой особенностью в точке а > 0. Здесь щ — комплексное число, д(х) — комплекснозначная функция. Положим щ = V2 — 1/4 и, для определенности, Ие V > 0, V = 1, 2,... Предположим, что д(х)1х — а|тт(0>1-2Кее Ь(0,Т) при некотором Т > а и д(х) е Ь(Т, ж). Класс таких функций д(х) будем обозначать через Ш.
В данной статье исследуется краевая задача С = С(д(х),Н) для дифференциального уравнения (1) с краевым условием:
и (у) := у' (0) — Ну( 0) = 0
и с дополнительным условием склейки решений около особой точки х = а. При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода А = [а^и]j,k=1,2^ которая связывает решения уравнения (1) в окрестности особой точки (подробнее см. параграф 2). В частном случае при = 0) рассматриваемые условия склейки соответствуют условию
(a + 0) = A
(a - 0).
Целью работы является исследование нелинейной обратной задачи восстановления С по заданной функции Вейля. Доказана единственность восстановления оператора Штурма-Лиувилля, получен алгоритм решения обратной задачи, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Метод оператора преобразования, используемый в [1,2] для классических операторов Штурма-Лиувилля, оказывается неудобным для задачи С. В данной статье используется другой метод, связанный с развитием идей метода контурного интеграла (см. [3,4]). В работе [5] данная обратная задача исследовалась в другой постановке и была доказана единственность и алгоритм решения обратной задачи. Для уравнения высшего порядка на полуси с регулярной особенностью единственность решения обратной задачи была доказана в статье [6].
2. ФУНКЦИЯ ВЕИЛЯ
Пусть А = р2 и Im р > 0. Рассмотрим функции
Cj (x, А) = (x - а)^ с]к(р(х - a))2k, j = 1, 2,
k=0
где ßj = (-1)jv +1/2, сюC20 = (2v)-1, Cjk = (-1)kCj0 П ((2s + ßj)(2s + ßj - 1) - vo)
s=1
— 1
Здесь и в дальнейшем z^ = exp(ß(ln |z| + i arg z)), arg z e (-При x > а и x < а функции Cj(x, А) являются решениями уравнения (1) при q(x) = 0. Пусть функции Sj(x, А), j = 1, 2, являются решениями следующих интегральных уравнений при x > а и x < а:
Sj (х, А) = С (х, А) + / (£,А)
J а
где д(х, А) = С (¿,А)С2(х, А) — С (х, А)С2(£, А). При каждом фиксированном х функции Sj(х, А) являются целыми по А порядка 1/2 и образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).
Пусть задана матрица А = [а^]^к=1,2, det А = 0 с комплексными ajk. Введем функции {о^ (х, А)}=1,2, х е J- и , = {±(х — а) > 0} по формуле
G (x,A) = <
sj(x,A),
x e J—,
а^Sk(x, A), x e J+.
k=1
Фундаментальная система решений {о (х, А)} будет использоваться для склейки решений в окрестности особой точки х = а.
Введем числа , з, к = 1, 2, по формуле
С11 ь 1 "-апе2™ + а22в—2niV -ifane™ - а22е—niV)
>1 С22 2 sin nv -ifaue™ - а22е—niv) а11 - а22
Поведение спектра краевой задачи £ зависит от величин ^к. Для определенности в дальнейшем будем рассматривать наиболее важный частный случай, когда |^ | > |^12| > 0 и а12 = 0. В этом случае, в отличие от классических операторов Штурма-Лиувилля, дискретный спектр является неограниченным, и возникают новые качественные эффекты при исследовании прямых и обратных задач спектрального анализа.
Обозначим
(х, А) = о2(0, А)о1 (х, А) — о1 (0, А)о2(х, А), (х, А) = о1 (0, А)о2(х, А) — о2(0, А)о1(х, А).
Функции (х, А), 3 = 1, 2, являются решениями дифференциального уравнения (1) при х е и удовлетворяют начальным условиям:
^т-1) (0, А) = 5гт, з,т =1, 2,
где 5jm — символ Кронекера.
Обозначим через П+ А-плоскость с двухсторонним разрезом П0 вдоль луча Л+ := {А : А > 0} и положим П := П+ \ {0}. Тогда при отображении р ^ р2 = А множества П+, П0 и П соответствуют множествам 0+ = {р : 1тр > 0}, О0 = {р : 1тр = 0} и О = {р : 1тр > 0, р = 0}. Пусть е(х,р), х > 0, 1т р > 0 — разрывное решение Йоста, введенное в [5], для уравнения (1). Обозначим Бко = {р : arg р е (к0п/2, (к0 + 1)п/2)}, к0 =0,1, и Д(р) = е'(0, р) — йе(0,р), 1т р > 0. Функция Д(р) называется характеристической функцией краевой задачи £. Функция Д(р) имеет счетное множество нулей вида
рк = р± + 0(к-1), к ^
X'
где р± = (к + 9±)п/а — нули функций Д±(р) = £12 + Щ ехр(2гра), р е S2-j, 3 = 1, 2,
= — 1п
ег2
+ 1 М12 + 2П8181-щ
(«—» при 3 = 1, «+» при 3 = 2). Ясно, что 1т0± > 0. Для определенности пусть ащ(—£12) е [0, 2п). Обозначим Л = (Л = р2 : р е О, Д(р) =0}, Л' = (Л = р2 : р е О+, Д(р) = 0}, Л'' = (Л = р2 : р е Оо, р = 0, Д(р) = 0}. Тогда Л = Л' и Л'', Л' — счетное неограниченное множество, Л'' — ограниченное множество. Положим
Ф(х, Л) = е(х, р)/Д(р), М(Л) := Ф(0, Л).
Функция Ф(х, Л) удовлетворяет уравнению (1) и условиям и(Ф) = 1, Ф(х, Л) = 0(ехр(грх)), х ^ ж, р е О и называется решением Вейля для С. Функцию М(Л) будем называть функцией Вейля для С. Пусть заданы фиксированные матрица А и число
Задача 1. По заданной функции Вейля М(Л) построить функцию д(х) и найти число к. Ясно, что
М(Л) = е(0, р)/Д(р), Ф(х, Л) = <(х, Л) + М(Л)<(х,Л), (2)
где <(х, Л) := ^1(х, Л) + к<2(х, Л). Функция Вейля М(Л) является аналитической в П+ \ Л' и непрерывной в П\Л. Множество особенностей М(Л) (как аналитической функции) совпадает с множеством Л0 := Л+ и Л. Введем область := (р : 1т р > 0, |р—рк | > рк е Л}. Функция Вейля при |Л| ^ ж, р е П S2-щ , 3 = 1, 2, имеет следующую асимптотику:
о±(Л)+ 0(р) ), (3)
М(Л) = ¡р(Мо±(Л)+ О) ,
М± (Л) =
г±М\ _ £12 — Щ ехР(2^а)
£12 + Щ ехр(2^ра) '
где «—» соответствует 3 = 1, «+» соответствует 3 = 2.
3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Для исследования обратной задачи условимся, что наряду с С будем рассматривать краевую задачу С того же вида, но с другими коэффициентами 7 и к. Если некоторый символ 7 обозначает объект, относящийся к задаче С, то соответствующий символ 7 с волной наверху будет обозначать аналогичный объект, относящийся к задаче С, а 7 := 7 — 7.
Теорема 1. Если М(Л) = М(Л), то д(х) = 7(х) почти всюду при х > 0 и к = к. Таким образом, задание функции Вейля однозначно определяет краевую задачу С.
Доказательство. Определим матрицу Р(х, Л) = [Рщк(х, Л)Щ>к=1>2 по формулам
Рк1(х,Л) = -Ц (Ук-1) (х,Л)Ф'(х, Л) — Ф(к-1)(х,Л)<7'(х,Л)) ,
1 / ~ ; (4)
Рк2(х, Л) = " ф(к-1) (х, Л)<7(х, Л) — (х, Л)Ф(х, Л)) , п(х) \ /
где п(х) = 1 при х е ^ и п(х) = det А при х е ^. Обозначим (у, г} := уг' — у'г. Так как (<(х, Л), Ф(х, Л)} = п(х), то
<(х, Л) = Р11 (х, Л)<7(х, Л) + Р12(х, Л)<7'(х, Л), Ф(х, Л) = Р11(х, Л)Ф(х, Л) + Р12(х, Л)Ф'(х, Л). (5)
Используя оценки из [5], получаем, что при х > 0, р е , |р| ^ ж:
Рщк(х, Л) — Щ = 0(р-1), 3 < к; Р21 (х, Л) = 0(1). (6)
Пусть М(Л) = М(Л). Тогда ввиду (4) и (2) заключаем, что при каждом фиксированном х функции Рщк(х, Л) являются целыми по Л. Учитывая (6), получаем Р11 (х, Л) = 1, Р12(х, Л) = 0. Подставляя это
и
в (5), выводим ((x, Л) = Л), Ф(х, Л) = Ф(х, Л) при всех x и Л и, следовательно, L = L. Теорема 1 доказана. □
Перейдем теперь к построению решения обратной задачи. Будем говорить, что L е V, если q(x) е W. Обратную задачу будем решать в классе V.
Выберем пару L = L(g(x),h) так, что M(Л) = O(p-2) (например, можно брать g(x) = 0, h = 0). Обозначим
D(x, Л, д) = (Ф^^Ф^)) r (x, Л, д) = D(x, Л, д)М(д). n(x) Л — д
При фиксированном x е J±, Л = р2, д = 02, 0 < Imр < C, 0 < Im0 < C имеют место следующие оценки (см. [5]):
C
|D(x, Л, д)| < |р ^ + 1, |((x, Л)| < C, ± ReрRe0 > 0.
Функции Ф и D определим по тем же формулам, но с (ф вместо (. Возьмем H > 0 так, чтобы Impk < H, Impk < H при всех pk е Л, pk е Л. Пусть 7 = {Л = u + iv : u = (2H)-2v2 — H2} — образ множества Imр = H при отображении Л = р2. Обозначим JY = {Л : Л е 7 U int 7}. Теорема 2. Справедливы соотношения
^(x, Л) = ((x, Л) +—— I r(x, Л, д)(^, д) йд, (7)
2ni J
Y
r(x Л, д) — фч Л; д) + 2L / r(x л, iМ* i,д) d£ = 0, (8)
Y
_1__Г (ф^А)^^, д))
2ni n(x) У Л — д
Y
Доказательство. Возьмем положительные числа rN = ((N + %)п/а)2 так, чтобы окружности 0N := {Л : |Л| = rN} лежали в G^ при достаточно малом 5 > 0. Обозначим 0N,O = {Л : |Л| < rN}, 7N = (7n0N,O)и{Л : |Л| = rN, Л е int7} (с обходом против часовой стрелки). Согласно интегральной формуле Коши имеем:
Г> f W а ,1 /"Pik (x,MK 1 f Pik (x, д) — w +
Pik (x, Л) = 5ik + — -- йд + ^ / -V^-йд, Л е int yn .
2ni J Л — д 2ni J Л — д
Yn ön
Ф(x, Л) = Ф^, Л) + I M(u)((x, д) йд, Л е J7. (9)
Используя (6), при N ^ го получаем
Pik(x, Л) = 5ik + ^ i Ф, Л е J7. (10)
2т J Л — д
Y
Здесь (и везде в дальнейшем, где это необходимо) интеграл понимается в смысле главного значения:
/= lim / . R^ttJ
Y Y R
В силу (5) и (10)
1 f y(x, Л^п^, д) + ф'(x, Л)Pl2(x, д) 2ni J Л — д
((x, Л) = 0(x, Л) + ^ / ^wjjw'^wrj йд, Л е Jy.
Отсюда, учитывая (4) и (2), вытекает (7), так как слагаемые с д) равны нулю в силу теоремы Коши.
Аналогичным образом получаются (8) и (9). Теорема 2 доказана. □
На соотношение (7) можно смотреть, как на уравнение относительно ^(ж, А) для любого фиксированного ж. Уравнение (7) называется основным уравнением обратной задачи.
Рассмотрим банахово пространство C(7) непрерывных ограниченных функций z(Л), Л е 7, с нормой ||z|| = sup |z(Л)|.
Теорема 3. При каждом фиксированном x > 0 основное уравнение (7) имеет единственное решение ((x, Л) е C(7).
Доказательство. При фиксированном x > 0 рассмотрим следующие линейные ограниченные операторы в C(7):
Аг(Л) = ¿(Л) + -—г f r(x, Л,д^(д) Аг(Л) = г(Л) - -—г f r(x, Л, д^(д) d^.
2пг J 2ni J
Y Y
Тогда
AAz^) = z(Л) — -—: f ( r(x, Л, д) — f(x, Л, д) + -—г I r(x, Л, £)r(x, д) d^ I z(^) d^. 2ni J I 2ni
В силу (8) это дает AAz^) = z^), z(Л) е C(7). Меняя местами L и L, получаем аналогично AAz(Л) = z^). Таким образом, AA = AA = E, где E — единичный оператор. Следовательно, оператор A имеет ограниченный обратный, и основное уравнение (7) однозначно разрешимо при каждом x > 0. Теорема 3 доказана. □
Таким образом, получем следующий алгоритм решения обратной задачи. Алгоритм 1. Пусть задана функция M(Л).
1. Выбираем L е V.
2. Находим ((x, Л) из основного уравнения (7).
3. Строим q(x) и h по формулам q(x) = Л + ( /(x,^) — 7—» , h = ('(0, Л).
((x, Л) (x — a)2
4. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Здесь мы приведем необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Для упрощения выкладок будем предполагать, что краевая задача L = £(g(x), h) выбрана так, что
М(Л) = О (1) . (11)
Обозначим
— — f — /
£о(x) = У ((x^Mx^)M(д) dд, e(x) = —2e0(x). (12)
Y
Теорема 4. Справедливы соотношения
q(x) = g(x) + e(x), (13)
h = h — eo(x). (14)
Доказательство. Дифференцируя (7) дважды по x, используя (12) и соотношение
d (((x, Л), ((x, д)}
dx Л — д
получаем
= ((x, Л)(^, д),
('(x, Л) — e0(x)((x, Л) = ('(x, Л) +/ r(x, Л,д)('(x, д) dд, (15)
2ni I
Y
— [ II [
(''(x, Л) = ( ''(x, Л) + -—: r (x, Л,д)( ''(x, д) dд + -—; 2((x, Л)^^, д)М(д)('(x, д) dд+
2ni J 2ni n(x) J
YY
/ (^fa^Mx д^ Mdд. (16)
Y
Заменяем в (16) вторые производные из уравнения (1), а затем заменяем ((x, Л), используя (7), получаем (13). Положив x = 0 в (15), получаем (14). □
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи. Через W обозначим множества функций M(Л) таких, что: а) M(Л) аналитична в П+, за исключением не более чем счетного множества полюсов Л' и непрерывна в П \ Л; б) при |Л| ^ ж имеет место (3).
Теорема 5. Для того чтобы функция M(Л) е W была функцией Вейля для некоторой пары L е V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) (асимптотика) существует L е V такое, что выполняется (11);
2) (условие Р) при каждом фиксированном x > 0 уравнение (7) имеет единственное решение ((x, Л) е C(7);
3) e(x) е W, где функция e(x) определяется формулой (12). При этих условиях q(x) и h строятся по формулам (13), (14).
Необходимость теоремы 5 доказана выше. Докажем теперь достаточность. Пусть дана функция M(Л) е W, удовлетворяющая условиям теоремы 5 и пусть ((x, Л) — решение основного уравнения (7). Тогда (7) дает аналитическое продолжение для ((x, Л) во всю Л-плоскость, причем при каждом x > 0 функция ((x, Л) является целой по Л порядка 1/2. Можно показать, что функции (x, Л), v = 0,1, абсолютно непрерывны на компактах при |x — a| > е для каждого фиксированного е > 0 и
|((v)(x, Л)| < C|p|v exp(|r|x), Л е y. (17)
Построим функцию Ф^,Л) из соотношений (9), а также L = L(q(x),h) по формулам (13)-(14). Ясно, что L е V.
Лемма 1. Справедливы соотношения
l((x, Л) = Л), №(x, Л) = ЛФ^, Л).
Доказательство. Дифференцируя (7) дважды по x, получаем (15) и (16). Из (16), (7) и (13)
вытекает
~ 1 (' 1 1 (' —
I ((x, Л) = l((x, Л) + -—г r(x, Л, д)^^, д) dд + -—; (((x, Л), ((x, д)}М(д^^д) dд. (18)
2ni J 2ni n(x) J
YY
Используя (9), выводим аналогично
Ф'^, Л) — ео(x)Ф(x, Л) = Ф '(x, Л) + ^П^-тЦ / ^(x,y(x,^} M(д)( '(x, д) dд, (19)
2ni п (x) J Л д
Y
&(x, Л) = №(x, Л) + i M^)l((x, д) dд+
2ni n (x) j Л д
Y
1 1 r ~ ^
+ ^(x^),((x^)}M(дМ^д) dд. (20)
Y
Из (18) следует, что
Л) = l((x, Л) + I r(x, Л, д)^^, д) dд + I (Л — д)г (x, Л, д)(^, д) dд. 2ni J 2ni J
YY
Учитывая (7), находим, что при фиксированном x > 0
n(x, Л) + -^ I r(x, Л, д)п^, д) dд = 0, Л е y, (21)
2ni I
где Л) = l<(x, Л) — Л). Согласно (17) при фиксированном x > 0 имеем:
|n(x,A)|< C|p|2, Л е 7- (22)
Используя найденную оценку (22) и (21) приходим к оценке |n(x, Л)| < C для Л е y .В силу условия Р теоремы 5 однородное уравнение (21) имеет только нулевое решение n(x, Л) = 0. Следовательно,
l<(x, Л) = Л^(х, Л).
Отсюда с учетом (20) и (9) получаем ^(x, Л) = ЛФ^, Л). □
Продолжим доказательство теоремы 5. Полагая x = 0 в (7), (15) и используя (14), получаем
<(0,Л) = <(0, Л) = 1, <'(0,Л) = 0(0, Л) — ео(0)^(0, Л) = h + h — h = h. (23)
Используя (9) и (19), вычисляем
Ф(0, Л) = Ф(0, Л) + [ ^^ dß, Ф'(0, Л) = Ф'(0, Л) — Ф(0, Л)ео(0) + [ ^^ dß. (24) 2пг J Л — ß 2ni J Л — ß
Y Y
Следовательно,
U(Ф) = Ф'(0, Л) — Л,Ф(0, Л) = Ф'(0, Л) — (ео(0) + ^Ф(0, Л) = Ф'(0, Л) — hd(0, Л) = U(Ф) = 1.
Зафиксируем Л е JY. Из (9), (23) с учетом оценок |<(m)(x, ß)| < C|0|m| exp(—¿0x)|, ß = 02, x > 0, m = 0,1, |Ф(т)(x, Л)| < Cs|p|m-1| exp(ipx)|, x > 0, p е Gs, получаем что верно Ф^, Л) = O(exp(ipx + 2Hx)), x ^ го. Отсюда и из того, что U(Ф) = 1, следует, что Ф^,Л) — решение Вейля. Далее, из (24) вытекает
Ф(0,Л) = SfW + sjs / Й dß.
Y
Согласно интегральной формуле Коши имеем:
ЛОД^ f Ш dß + f Ш dß, Л е int YN.
2ni J Л — ß 2ni J Л — ß
YN 0N
Тогда при N ^ го получаем
^ [M(ß) 2ni J Л — ß
M(Л) = I dß, Л e J7.
Y
Следовательно, Ф(0, Л) = M(Л) + M(Л) = M(Л), т. е. M(Л) является функцией Вейля для L.
Теорема 5 доказана. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).
Библиографический список
1. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их 5. Юрко В. А. О восстановлении сингулярных несамо-приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 330 с. сопряженных дифференциальных операторов с особен-
2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил- ностью внутри интервала // Дифференциальные урав-ля. М. : Наука, 1984. 239 с. нения. 2002. Т. 38, № 5. С. 645-659.
3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 1984. 384 с. 6. Fedoseev A. E. Inverse problems for differential
4. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the equations on the half-line having a singularity in an Inverse Problem Theory // Inverse and Ill-posed Problems interior point // Tamkang J. of Math. 2011. Vol. 42, № 3. Series. Utrecht : VSP, 2002. 303 p. P. 343-354.
