CC BY
32
идемпотента есть вторичный идемпотент. Более того, транзитивно-рефлексивное замыкание всякой квадратной матрицы является идемпотентом, причем, учитывая теорему 4.1, вторичным. Наоборот, всякий вторичный идемпотент совпадает со своим транзитивно-рефлексивным замыканием. Таким образом, указанные в теореме 3.7 свойства делимости для вторичных идемпотентов становятся свойствами транзитивно-рефлексивных замыканий.
Замечание. Пусть А — транзитивно-рефлексивное замыкание произвольной булевой квадратной матрицы А в частичной полугруппе (М(Б), П). Тогда уравнение X и X/т = А разрешимо.
Действительно, так как транзитивно-рефлексивное замыкание А есть вторичный идемпотент, то в качестве решения X уравнения X и X/т = А можно взять любую матрицу, порождающую тот же правый идеал в частичной полугруппе (М(Б), П), что и идемпотент А (см. теорему 3.2).
Аналогично, решением уравнения X/т и X = А может быть любая матрица, порождающая тот же левый идеал, что и идемпотент А.
Следующий пример показывает, что решения уравнения X и X/т = А (или X/т и X = А) и матрица А могут порождать разные односторонние идеалы.
~ ^/ооо\„/оо\
Пример 4.2. Легко проверить, что матрицы X = I о о 1 / и А =1^ о I удовлетворяют
равенству X и X/т = А. Причем матрицы X и А порождают один и тот же правый идеал (у них
одинаковые столбцовые пространства, см. [1]). Однако матрицы X и А = ^ 1 1
разные односторонние идеалы.
Библиографический список
порождают
1. Поплавский В. Б. О рангах, классах Грина и теории определителей булевых матриц // Дискретная математика. 2008. Т. 20, вып. 4. С. 42-60.
2. Бисли Л. Б., Гутерман А.Э., Канг К.-Т., Сонг С.-З. Идемпотентные матрицы и мажорирование // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 1. С. 11-29.
3. Кумаров В. Б. Решетка идемпотентных матриц над дистрибутивными решетками // Фундаментальная и
прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 4. С. 121-144.
4. Luce R. D. A note on Boolean matrix theory // Proc. Am. Math. Soc. 1952. Vol. 3. P. 382-388.
5. Rudeanu S. Boolean functions and equations. Amsterdam; London : North-Holland Publishing Company; N.Y. : American Elsevier Publishing Company, Inc. 1974. 442 p.
6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1972. 287 с.
УДК 517.984
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОРЯДКОВ НА НЕКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ
В. А. Юрко
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов произвольных порядков на некомпактных графах. Доказана теорема единственности восстановления потенциалов по матрицам Вейля.
Ключевые слова: некомпактные графы, обратные спектральные задачи, матрицы Вейля.
Uniqueness of Recovering Arbitrary Order Differential Operators on Noncompact Spatial Networks
V. A. Yurko
An inverse spectral problem is studied for arbitrary order differential operators on noncompact graphs. A uniqueness theorem of recovering potentials from the Weyl matrices is proved.
Key words: noncompact graphs, inverse spectral problems, Weyl matrices.
1. Исследуется нелинейная обратная спектральная задача восстановления потенциалов дифференциальных операторов произвольных порядков на некомпактных графах. Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на графах изучалась в [1-8] и других
© Юрко В. А., 2012
33
работах. Дифференциальные операторы высших порядков на компактных графах исследовались в [910]. В данной статье исследуются дифференциальные операторы высших порядков на некомпактных графах без циклов (деревьях). Доказана теорема единственности решения обратной задачи восстановления потенциалов по заданным матрицам Вейля. Отметим, что обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на интервале достаточно подробно представлены в работах [11-16].
Рассмотрим некомпактное дерево Т в с множеством вершин V = {г>1,...,гг} и множеством ребер Е = {е1 ,...,ег}, где е- = [гк., г- ], ] = 1,г — 1, к- > ] — конечные отрезки, а ег = (г0 , гг ]
— бесконечный луч, г0 := го. Пусть Г := {г1,... } — множество конечных граничных вершин, а
Е := {е1,... ер} — множество компактных граничных ребер. Для двух точек а, 6 € Т будем писать а < 6, если а лежит на единственном простом пути, соединяющем г0 с 6. Будем писать а < 6, если а < 6 и а = 6. Если а < 6, то обозначим [а, 6] := {г € Т : а < г < 6}. В частности, если е- = [гк., г-], ] = 1,г — 1, г*. < г- — ребро, то мы будем называть г*. его начальной точкой, г- — его конечной точкой и будем говорить, что е выходит из и заканчивается в г-.
Пусть д.- — число ребер между вершинами г- и г.. Обозначим о. := тах д.-. Ясно, что о < д.- <
з
< о., Дее = о, д.- = д-.. Фиксируем г.. Будем называть д.- порядком г- относительно г.. Пусть := {г- : д.- = д} — множество вершин порядка д относительно г..
Фиксируем г. и е-. Пусть е.- — максимальный порядок концов ребра е- относительно г.. Число е.- называется порядком ребра е- относительно вершины г.. Ясно, что е.. = 1, 1 < е.- < о.. Через := {е- : е.з = д} обозначим множество ребер порядка д относительно г.. Пусть г+ и г- — концы ребра е- такие, что порядок г + относительно г . больше, чем порядок г -з. Будем называть г + (г -) дальним (ближним) концом е- относительно г ..
Каждое компактное ребро е- = [гк., г-] Є Е, і = 1,г — 1 рассматривается как отрезок [0, -] и
параметризуется параметром х- Є [0, -]; - — длина е-. Выберем следующую ориентацию: х- = 0
соответствует конечной точке г-, а х- = - — начальной точке ребра е-. Бесконечное ребро ег = (г0,гг] параметризуется параметром хг Є [0, го) так, что хг = 0 соответствует гг.
Интегрируемая функция У на Т может быть представлена в виде У = (у-}-є7, где 1 := (і :
І = 1,г}, и функция у-(х-) определена на ребре е-.
Зафиксируем п > 2. Пусть = (ду-}-=—, V = 0, п — 2 — интегрируемые комплекснозначные функции на Т. Рассмотрим дифференциальное уравнение Т:
п — 2
у(п)(х-) + X! ^(х-)(х) = Ау-(х-), і = Т7г, (1)
^=0
,(^)(
где А — спектральный параметр, и у- ;(ж-) Є АС[0,1-], і = 1,г, V = 0, п — 1 при всех > 0. Через д = (о^}^=о п—2 обозначим множество коэффициентов уравнения (1); д называется потенциалом.
Пусть А = рп. Тогда р — плоскость разбивается на сектора Б раствора П ( ащ р Є (—, ,
п V V п п /
V = 0, 2п — 1^, в каждом из которых корни Ль Д2,.. ., Дп уравнения Дп — 1 = 0 могут быть
занумерованы так, что
Ие (рДі) < Ие (рД2) < ... < Ие (рДп), р Є Б. (2)
Пусть р* := 2птах ||^(е.). Известно (см. [17]), что при каждом фиксированном і = 1,г на ребре е-
существует фундаментальная система решений (Е-(х-, р)}к=іп уравнения (1) такая, что в каждом секторе Б со свойством (2) функции Е-- 1)(х-, р), к, V = 1,п аналитичны при р Є Б, |р| > р*, непрерывны при р Є Б, |р| > р*, и при |р| ^ го, р Є Б,
—1) (х- ,р) = (рДк )V—1 ехр(рдк)[1], (3)
где к, V = 1, п, і = 1, г, [1] = 1 + 0(р—1).
Зафиксируем внутреннюю вершину гт, т = р + 1, г. Через Д(гт) := (е Є Е : е = [гт, ад], т Є V}
обозначим множество ребер, выходящих из гт, а через Д+(гт) — множество ребер, примыкающих к гт. Пусть Дт := (і : е- Є Д(гт)} и пусть — число ребер, выходящих из гт. Если
йт {а-т}- = 1,шт , то положим е(-т) : еа.т , у(-т) : Уа.т , 1(-т) : 1а.т , Х(-т) : Ха.т . Рассмотрим
линейные формы
V
^га(У) ^ ^ Т-^ту—т) (1(-т)) , т р +1,г? 3 1,^т? ^ о,п 1,
^=0
где 7з>^т — комплексные числа, причем 7з>т := 7-^т = о и выполняются условия регулярности склейки (см. [10]). Пусть Ф.к = {^Ау}з=т7, ^ = 1,р, к = 1,п — решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям склейки
Й?т(о, А) + и?>т(Ф.к) = о, 3 =1,шт, V = о, к — 1,
^т
А) + X из^т(Ф.к) = о, V = к,п — 1
з=1
(4)
в каждой внутренней вершине гт, т = р + 1,г, а также граничным условиям
Й-11 (о, А) = 5*„, V = ТТк,
^2-11 (о, А) = о, £ = 1,п — к, з = 17Р \«,
(хг, А) = 0(ехр(рЛкхг)), р € Б, хг ^ го,
(5)
в каждом секторе Б со свойством (2). Здесь и далее, 5^ — символ Кронекера. Решение Ф.а называется решением Вейля порядка к относительно граничной вершины г.. Условия (4) называются условиями склейки порядка к. Введем матрицы
М.(А) = [М.^ 5 = 1,Р!
где М.ы(А) := 1)(о, А). Ясно, что М.^(А) = 5^ при к > V, и det М.(А) = 1. Матрица М.(А)
называется матрицей Вейля относительно граничной вершины г.. Пусть М = {М.}.=^ — множество матриц Вейля. Обратная задача ставится следующим образом.
Обратная задача 1. Дано М, построить q на Т.
Понятие матриц Вейля М является обобщением понятия функции Вейля для классического оператора Штурма-Лиувилля и обобщением понятия матрицы Вейля, введенной в [14,15] для уравнений высших порядков на интервале.
2. Обозначим вк := ^к-1 ^/Т1, к = 1,п, := det[RV_1 ]? V=^, ^0 := 1.
Лемма 1. Фиксируем т = р + 1,г, к = 1,п — 1 и сектор Б со свойством (2). Пусть У = {у-}-е7
— решение уравнения (1) на Т, удовлетворяющее условиям склейки порядка к. £сли при р € Б, |р| ^ Х(зт) € (о,1(-т)], 3 = 1, ^т, V = о, П — 1
п
У-1!) (х(зт),р)= X А^3 (Р)(РЙ^Г ехР(РЙ^х(зт))[1], (6)
^=п-А+1
то при р € Б, |р| ^ го, хт € (о, 1т], V = о, п — 1
п
у^)(хт ,р)= X А^(р)(рД^ ехр(рД^Жт)[1]. (7)
^=п-А+1
Доказательство. Используя фундаментальную систему решений {Е^т (хт ,р)}^=^ и учитывая (3), вычисляем
п
уто (Хт ,р) = ^ АДрХрй^ ехр(рй^хт )[1], Хт € [о, 1т], V = о, П — 1. (8)
^=1
Подставляя (6) и (8) в условия склейки, получаем линейную алгебраическую систему стк0т порядка к^т + п - к относительно {Ам(р)}м=ТТП—к и {А^ (р)}^=п —к+1,п 3 = 1,^т ({Ди(р)}^=п-к+1,п рассматриваются как параметры). Определитель ^к0т(р) системы стк0т имеет асимптотику
^к0т (р) — ^кт ехр(р(Яп — к+1 + ' ' ' + Яп)(11т + ' ' ' + 1шт,т ))[1], р е Б, И—ГО
где йкт — 0. Решая стк0т, по формулам Крамера находим
(р) — 2_^ (а°;т^ + °(Р ))А(р), р — 1,п - к (9)
5=п—к+1
где «0т^ — константы. Подставляя (9) в (8), получаем (7). □
Следующая лемма доказывается аналогично.
Лемма 2. Фиксируем т — р + 1,г, к — 1,п — 1, 5 — 1,^т и сектор Б со свойством (2). Пусть у — {у} О-е7 — решение уравнения (1) на Т, удовлетворяющее условиям склейки порядка к. Если при р е Б, |р| —^ ^о, V — 0, п — 1, 3 — 1, от \ 5
п
Уот) (хОт),р)— X (р)(рД<“ Г ехр(рД^х(^-т) )[1], Х(От) е (0, 1(От)],
^=п—к+1 к
УЙТ) (Хт,р) — X АДрХрЯ^ ехр(рД^Хт)[1], Хт е [0,1т),
^=Т
то при р е Б, |р| — го, V — 0, п — 1
к
У(Г1)(х( вт),
р) — А/ив(р)(рЯ/и) ехр(рЯ/и Х(вт))[1], Х(вт) е [0,1(вт)). (10)
^=Т
Лемма 3. Фиксируем сектор Б со свойством (2). При е (0,), к, V — 1,п, 5 — 1,р, верна следующая асимптотическая формула:
^(к—Т)(хв, А) — -к—т (рякГ—1 ехр(рДкХв)[1], р е Б, |р| — го. (11)
р
Доказательство. Покажем, что при р е Б, |р| — го, V — 1,п
п
^кО 1)(хо,А)— X (р)(рД^Г—1 ехр(рД^Хо)[1], Хо е (0,О], если го — г+> (12)
^=п—к+1 к
^(%о 1)(хо,А) —^ (р)(рД^Г—1 ехр(рД^Хо)[1], Хо е [0,О), если го — ^О. (13)
^=Т
Если 3 = г, то гг = гаг, и (13) очевидно. Докажем (12)—(13) для і = 1,г — 1. Разделим все ребра (ез-на классы £(^, д = 1,... аа. Докажем (12)-(13) индукцией по д = аа, аа-1,..., 1.
1. Пусть д = аа, ез- Є £(аз). Тогда ез- — граничное ребро и гз- = г++. Применяя лемму 1 из [10], получаем (12)—(13).
2. Фиксируем д < аа. Предположим, что (12)-(13) уже доказаны для всех ез- Є £(^+1) и ... иЕ(ак\ Пусть теперь ез- Є . Обозначим Даз- := (£ : е^ Є Д+(г++) \ ез-}. Тогда Я+ (г++) \ ез- := (е^}{ед,3-.
Ясно, что е^ Є £(^+1) при всех £ Є Яаз-.
Случай 1. Если гз- = г++, то по предположению индукции (12) верно при всех £ Є Яаз:
П
1}(Х,А) = X (Р)(РЯ^)^-1 ехр(рЯ^х5)[1], а* Є (0,/{], (14)
^=п—к+1
V = 1,п, р Є Б, |р| ^ го. Применяя лемму 1, получаем (12) для ребра е
з ■
П
Случай 2. Если гз- = , то существует п Є Яаз- такое, что
к
^кп 1)(хп,Л) = X (Р)(РЯ^Г-1 ехР(РЯ^хп)[1]> хП Є [°Л^
^=1
V — 1,п, р е Б, |р| — го, и (14) верно при всех £ е Яаз, 5 — п. Применяя лемму 2, получаем (13). Так как еа е Е^Т), га — , то из (13) вытекает, что при р е Б, |р| — го,
"0(ка 1)(Ха,Л)^^ Л^а(р)(рЯ^)^ 1 вхр(рЯ^Жа)[1], Ха Є [0,1а), V, к = 1, П. (15)
^=1
Согласно (5) имеем
^ (к 7Т)(0, А) — <5к„, V — 1,к. (16)
Подставляя (15) в (16), получаем линейную алгебраическую систему относительно коэффициентов {Ац а(р)}^=т“к. Определитель Бак(р) этой системы имеет вид Бак(р) — Ок[1]. Решая систему по формулам Крамера, вычисляем а(р) — (аЦ7 + 0(р— Т))рТ—к[1], аЦк — вк. Вместе с (15) это дает (11). Лемма 3 доказана. □
Аналогично получаем, что при р Є Б, |р| ^ го, 5 = 1,р, к = 1, п — 1, д = к + 1, п,
МакДЛ) = <Р^ - к [1],
где < = МЯП 1]п,5=^) 1 йв_^[ЯП 1]п=1к,5=м-1 ^ .
Пусть (С^- (х, Л)} т“п, і = 1,г, — фундаментальная система решений уравнения (1) на ребре ез-
при начальных условиях 1) (°, Л) = 5^, д, V =1, п. При каждом хз- Є [0,3] функции 1)(хз-, Л), д, V = 1,п, являются целыми по Л порядка 1/п и
ав*[с<3-1) (х, л)]^^=ттп = 1. (17)
Используя фундаментальную систему решений (С^-(хз-, Л)} т~п, получим
П
^акз (хз ,Л) = £ Макз^(Л)С^з (хз, Л), 5 = 1,р, к = 1,П, і = 1, г, (18)
^=т
где коэффициенты Макз-^(Л) не зависят от хз-. В частности, Мака^(Л) = Мак^(Л) и
П
"0ака (ха, Л) Ска(ха, Л) + ^ ^^ак^(Л)С^а(ха, Л). (19)
^=к + 1
Из (17) и (19) вытекает, что
^[^к-Т) (ха,Л)]к,^=^ = 1. (20)
3. Зафиксируем 5 = 1,р и рассмотрим следующую вспомогательную обратную задачу.
Задача №^). Дана матрица Вейля Ма, построить функции д^а, V = 0,п — 2, на ребре еа. Докажем теорему единственности решения обратной задачи 1Р(б). Для этого, наряду с д, рассмотрим потенциал д. Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к д, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к д.
Теорема 1. Фиксируем в = 1,р. Если Ма = Ма, то д^а = с[1/а, V = 0, п — 2. Таким образом,
задание матрицы Вейля Ма однозначно определяет потенциал на ребре еа.
Доказательство. Обозначим
^а(ха,Л) := [^- 1)(ха ,Л)Цк=1^ Са (ха,Л) := [Ска-1)(ха ,Л)Цк=ТП .
Тогда соотношение (19) может быть записано в виде
■0а (ха, Л) = Са(ха, Л)МаТ(Л), (21)
к
где Т — знак транспонирования. В силу (17) и (20) имеем
det ’ (х7, А) — det (х7, А) = 1.
Определим матрицу Р(х, А) — [Ро(х, А)о,к=т-п по формуле
Р(х, А) — -07(х, А)(’(х, А))
—1
Учитывая (22), вычисляем
(22)
(Х'„ А) — ^ А) " • , 07£7(Х», А). Й, Т) (Жг, А). 2) (Жг. А). . . . . ^ А)] ^ =гп
Е
V = 1
(—1)"+к—п—Т) (жв,А)х
х det
(П)в (Х ,А). . . . ,0 ^ + М (х7. А).’ в," — 1,в (х7. А). . . . ,0 ,А)] £=0^^ — Т .
:(0
(5)
Из (23) и леммы 3 следует, что при е (0,1), к — 1,п, |А| — го, ащ А — 9 — 0, п,
Рв1к (х, А) — 5тк — 0(р 1).
Преобразуем матрицу (х7, А), используя (21):
Р(Х,А)— ’в(жв, А)(’(х, А)) 1 — Св(Хв,А)Мт (А)(МТ (А)) 1 (Св(жв,А)) 1 — С(жв, А)(Св(жв,А)) 1.
Т (А))—1 (С(Х ,'"—1
(23)
(24)
1
В силу (22) заключаем, что при каждом фиксированном , матрица-функция Р7(х7,А) является целой по А порядка 1/п. Вместе с (26) это дает Рв11(жв,А) = 1, Рв1к(х7,А) = 0, к — 2, п. Так как Р(х, А)’(х, А) — Ч(х, А), то Чкв(Х, А) = Чвкв(ж5, А) при всех х, А, к и, следовательно, ^
V — 0, п — 2. □
4. Зафиксируем «т / Г (т.е. т — р + 1,г). Обозначим Т0 :— {г е Т : «т < г}, Тт :— Т \ Т0• Ясно, что Т0 — компактное дерево, а Тт — некомпактное дерево с бесконечным ребром ег. Пусть Гт — множество конечных граничных вершин Тт и пусть Ет — множество граничных ребер Тт. Положим 7т :— {3 : ео е Тт}. Если У — {у-}ое7 — функция на Т, то {У}т :— {УоЬе7т — функция
на Тт.
Зафиксируем «т / Г, к — 1,п. Пусть Фтк — {’тко-}ое7т — решение уравнения (1) на Тт, удовлетворяющее условиям склейки порядка к и краевым условиям
Ч^—Т’ (0, А) — 5к", V — 1,к,
(0,А)—0, £ — 1,п — к, «о еГт \ «т,
’ткг(хг, А) — 0(ехр(рЯкхг)), р е Б, хг — го,
(25)
в каждом секторе Б со свойством (2). Решение Фтк называется решением Вейля порядка к относительно внутренней вершины «т. Введем матрицу Мт(А) — [Мтк"(А)]к "=т~п, где Мтк"(А) :—
— ЧЙГЙМа). Тогда Мтк" (А) — 5к" при к > V и det Мт(А) = 1. Матрица Мт (А) называется матрицей Вейля для Тт относительно вершины «т.
Лемма 4. Фиксируем «т / Г и к — 1,п — 1. Пусть ев — [гт,] е #(«т). Тогда
Мтк" (А) —
A-4.lv(А) — Ч’;1т ((0()АА)), V — 2. п,
Чв1т(0, А)
det[’Sцm(0, А),... ,’(Цт2) (0, А),’(Цт1)(0, А)]ц=1-к
^[’(Ц т ) (0, А)]5,ц=Т-к
(26)
(27)
к — 2, п — 1, V — к + 1, п.
Доказательство. Обозначим гт1о-(хо-, А) :— ’а1о-(хо-, А)/’а1т(0, А), 3 е ^. Функция гт1о-(хо-, А) является решением уравнения (1) на ребре ео-. В силу (25) функция гт1о- (хо-, А) удовлетворяет тем же краевым условиям, что и ’т1о-(хо-, А); следовательно, гт1о-(хо-, А) = ’то(хо-, А). Итак,
^mlj(жз, А) = ^1j ^ , j Є Jm. (28)
^lm (0, А)
Аналогично вычисляем
det[^.^m(0, А),..., ^.km2) (0, А), (®j, А)]^!'
det[^.^m)(0, А)];,^=ї-к
^mkj^,а) -........•••••; T::-........ik, (29)
k = 2,n - 1, j e Jm. Так как Mmkv(A) := (0, , т0 из (28) и (29) следует, что верны (26)
и (27). □
Используя фундаментальную систему решений {C^j(xj, A)} щ, получаем, что (18) верно при s = 1,r, k = 1,n, j e Js, где Js := J for s = 1,p, и коэффициенты Mskj^(A) не зависят от Xj. В частности, MakS(U(A) = Mak(U(A), и (19) верно при s = 1,r, k = 1,n. Поэтому имеем
n
^fcj Y) (j ,A) = ^ M.kj>(A)CS ^ (j ,А), k,v s j Є J, (30)
n
1)(і.,Л)= с'.- 1)((г,Л)+ £ M.^A)^-Y> (і.,Л), k,v = 1,n, s = 1,r. (31)
^=k + 1
Зафиксируем «т (т — р + 1,г). Предположим, что потенциал д известен на дереве Т0. Тогда можно вычислить решения Ско (хо-, А) при к — 1,п, ео- е Тт. Зафиксируем еа — [гт, «а] е Д(гт)
и е» — [гт, г»] е Я(гт) \ еа. Рассмотрим дерево Т»1 :— Т° и {е»}. Положим 7г1 :— {3 : ео- е Т/}. Предположим, что функции аак^(А) :— ’вк—1)(I», А), V — 1,к, известны.
Задача ^к(Т/,гт, {аак^}"=т-к). Рассмотрим решение Вейля Фак на дереве Т»1. Тогда Фак удовлетворяет условиям склейки и краевым условиям
’вк—(I», А) — авк » V(А), V — 1Л ]
> (32)
’вк—Т)(0,А) — 0, £ — 1,п — к, 3е^1 \*. )
Положим Мвко>(А) :— ’7о—1) (0, А), 3 е ^ 1. Тогда
n
^акз (хз , Л) — ^ ^ ^^акз^ (Л)СД7 (хз , Л), 3 Є Зі 1. (33)
^=т
Подставляя (33) в (32) и условия склейки на Тгт, получаем линейную алгебраическую систему относительно Макз^(Л), і Є Зі і. Решая эту систему по формулам Крамера, находим матрицу
Макз> (Л), і Є Зі і, д = 1, п. (34)
Задачу вычисления матрицы (34) будем обозначать ^к(Тгт,гт, (аакі ^}^=^).
5. Пусть заданы матрицы Вейля М = (Ма}а=тр. Решение обратной задачи 1 состоит в последовательном выполнении так называемых А^-процедур при £ = а, а — 1,..., 1, где а := а0. Опишем А^ -процедуры.
Ла-процедура. 1. Для каждого ребра еа Є Е(а) (ясно, что еа — граничное ребро) решаем вспомогательную обратную задачу 1Р(э) и находим коэффициенты д^а(ха), ха Є [0,1а], V = 0,п — 2, уравнения (1) на ребре еа.
2. Для каждого ребра еа Є Е(а) строим С^а(ха,Л), ха Є [0,1а], д = 1,п, и, используя (31), вычис-
ляем функции
^(k-Y) (і.,A), k,v = 17n (35)
3. Для каждой фиксированной вершины vm e V(а-1) \Г, k = 1,n, и для всех ei5es e R(vm), i = s, выполняем следующие операции:
а) используя (35) и условия склейки в vm, вычисляем
(A) := ^(b-1) (li, A), v =1,k, (36)
где askiv (A) строятся как линейные комбинации функций (35) при v = 1,k;
б) рассмотрим дерево Tj1 := ^}, которое в данном случае состоит из одного ребра e^ Решая задачу Zk(T/,Vm, {askiv(A)}v=x-k), вычисляем {Mski^(A)}, д = 1,n.
4. Для каждой фиксированной вершины vm e V(а-1) \ Г и для всех ej, es e R(vm), j = s, строим функции
1)(j,A) k,v = 1n (37) по (30). Далее, используя (35), (37) и условия склейки, находим A), k, v = 1,n.
5. Для каждой vm e V(a-1) \ Г вычисляем матрицу Вейля Mm(A) по (26)-(27).
Выполним Aj-процедуры при £ = 1,ст — 1 по индукции. Фиксируем £ = 1,ст — 1 и предположим, что Aa,..., Aj+1 — процедуры уже выполнены. Выполним теперь Aj-процедуру.
Aj-процедура. Для каждой вершины vs e V(j) дана матрица Вейля Ms(A). В самом деле, если vs e V(j) П Г, то Ms(A) известна априори, а если vs e V(j) \ Г, то Ms(A) вычислена ранее по Aa, Aa-1,..., Aj+1 -процедурам.
1. Для каждого ребра es e E(j) решаем вспомогательную обратную задачу IP(s) и находим коэффициенты qvs(xs), xs e [0, is], v = 0,n — 2, уравнения (1) на ребре es. Если £ = 1, то обратная задача 1 решена и мы заканчиваем вычисления. Если £ > 1, то переходим к следующему пункту.
2. Для каждого ребра es e E(j) строим C^s(xs, A), xs e [0, is], д = 1,n, и вычисляем функции (35), используя (31).
3. Для каждой фиксированной вершины vm e V(J-1) \ Г, k = 1,n и для всех ei5es e R(vm), i = s выполняем следующие операции:
а) используя (35) и условия склейки в vm, получаем (36), где askiv (A) строятся как линейные комбинации функций (35) при v = 1,k;
б) Рассмотрим дерево Tj1 := Tj0 U {ej} с корнем vm. Решая алгебраическую задачу
Zk(Tj1, Vm, {askiv(A)}v=x-k), находим матрицу {Msj(A)}, д = 1,n, j e Jn, где Ja := {j : ej e T1}.
4. Для каждой фиксированной вершины vm e V(J-1) \ Г и для всех ej,es e R(vm), j = s, строим функции (37), используя (30). Далее, используя (35), (37) и условия склейки, находим функции
^т^м^ k,v = м.
5. Для каждой vm e V(J-1) \ Г вычисляем матрицу Вейля Mm(A) по (26)-(27).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Задание матриц Вейля М = {Ms}s=i-p однозначно определяет потенциал q на Т. Решение обратной задачи 1 может быть получено последовательным выполнением Aa, Aa-1,..., A^^-процедур.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).
Библиографический список
1. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on operators on bush-type graphs // Inverse Problems. 2009. a class of graphs (trees) by the BC method // Inverse Vol. 25, № 10, 105008. 14 p.
Problems. 2004. Vol. 20. P. 647-672. 5. Yurko V. A. An inverse problem for Sturm-Liouville
2. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm- operators on A-graphs // Applied Math. Letters. 2010. Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 23, № 8. P. 875-879.
Vol. 21. P. 1075-1086. 6. Yurko V. A. Inverse spectral problems for differential
3. Brown B. M., Weikard R. A Borg-Levinson theorem operators on arbitrary compact graphs // J. of Inverse
for trees // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. and Ill-Posed Proplems. 2010. Vol. 18, № 3. P. 245-261. Sci. 2005. Vol. 461, № 2062. P. 3231-3243. 7. Юрко В. А. Обратная спектральная задача для
4. Yurko V. A. Inverse problems for Sturm-Liouville пучков дифференциальных операторов на некомпакт-
ных пространственных сетях II Диф. уравнения. 200В. Т. 44, № 12. С. 1б5В-1ббб.
В. Герасименко Н. И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе II ТМФ. 19ВВ. Т. 74, № 2. С. 1В7-200.
9. Yurko V. A. An inverse problem for higher-order differential operators on star-type graphs II Inverse Problems. 2007. Vol. 23, № 3. P. В93-903.
10. Юрко В. А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях Ц Мат. заметки. 200В. Т. В3, вып. 1. С. 139-152.
11. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977.
12. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил-ля. М. : Наука, 19В4.
13. Beals R, Deift P., Tomei C. Direct and Inverse
Scattering on the Line // Math. Surveys and Monographs. Vol. 28. Amer. Math. Soc. Providence : RI, 1988.
14. Yurko V. A. Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications. Amsterdam : Gordon and Breach, 2000.
15. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-Posed Problems Series. Utrecht : VSP, 2002.
16. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 2007.
17. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.
18. Freiling G., Yurko V. A. Inverse problems for differential operators on graphs with general matching conditions // Applicable Analysis. 2007. Vol. 86, № 6. P. 653-667.
