CC BY
59
УДК 517.984
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОМПАКТНЫХ ГРАФАХ
В.А. Юрко
Саратовский государственный университет, кафедра математической физики и вычислительной математики
E-mail: [email protected]
Исследуется обратная спектральная задача для операторов Штурма - Лиувилля на произвольных компактных графах со стандартными условиями склейки во внутренних вершинах. Доказана теорема единственности восстановления потенциалов по спектрам.
Ключевые слова: операторы Штурма - Лиувилля, пространственные сети, обратные спектральные задачи.
Uniqueness of the Solution of the Inverse Problem for Differential Operators on Arbitrary Compact Graphs
V.A. Yurko
Saratov State University,
Chair of Mathematical Physics and Calculus Mathematics E-mail: [email protected]
An inverse spectral problem is studied for Sturm - Liouville operators on arbitrary compact graphs with standard matching conditions in internal vertices. A uniqueness theorem of recovering operator's coefficients from spectra is proved.
Key words: Sturm - Liouville operators, spatial networks, inverse spectral problems.
1. Исследуется нелинейная обратная задача восстановления потенциалов операторов Штурма -Лиувилля на произвольных компактных графах по спектрам. Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов на деревьях (т.е. на графах без циклов) изучалась в [1-7] и других работах. Для графов с циклами задача становится существенно более сложной. В частности, в работах [8, 9] решена обратная задача для графов, имеющих только один цикл. В данной статье исследуются компактные графы общего вида с произвольным числом циклов. Доказана теорема единственности решения обратной задачи по спектрам. Отметим, что обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на интервале достаточно подробно представлены в монографиях [10-16].
Рассмотрим компактный связный граф G в R1 с множеством ребер E = {ei,...,es}, с множеством вершин V = {vi,...,vm} и с отображением а, которое каждому ребру ej е E ставит в соответствие упорядоченную пару (возможно равных) вершин: a(ej) := [u2j-1, u2j], Uj е V. Вершины u2j-1 =: а_(ej) и u2j =: a+(ej) называются начальной и конечной вершинами ej соответственно. Будем говорить, что ребро ej начинается в точке u2j-1 и заканчивается в u2j. Точки U := {uj}j=^2s называются концевыми для E. Каждая вершина v е V порождает класс эквивалентности (который обозначается тем же символом v): v = {uj,..., ujv} так, что v = uj1 = ... = ujv. Другими словами, множество U разделяется на m классов эквивалентности vi,...,vm. Число концевых точек в классе vk называется валентностью вершины vk и обозначается val (vk). Вершина vk е V называется граничной, если val (vk) = 1. Остальные вершины называются внутренними. Пусть Vo = {v1,..., vp} — граничные вершины, а V1 = {vp+1,...,vm} — внутренние вершины. Ребро ej называется граничным, если одна из его концевых точек лежит в V0. Остальные ребра называются внутренними. Пусть E0 = {e1?..., ep} — граничные ребра и vk е ek при k = 1,p. Ребро ek е E называется примыкающим к v е V, если v е ek. Через R(v,G) обозначим множество ребер графа G, примыкающих к v. Пусть lj — длина ребра ej. Каждое ребро ej е E параметризуется параметром Xj е [0, lj] так, что начальная точка u2j_ 1 соответствует Xj =0, а конечная точка u2j соответствует Xj = lj.
Цепочка ребер {eVl,..., ekjVn} называется циклом, если она образует замкнутую кривую. Ребро ej е E называется простым, если оно не является частью цикла. В частности, все граничные ребра e15...,ep являются простыми. Занумеруем ребра следующим образом: E1 = {e1?...,er} — простые ребра, E2 = {er+1,..., es} — ребра, которые образуют множество циклов. Пусть для определенности p > 1 (случаи p = 0 и p =1 требуют небольших изменений; см. замечание в конце статьи). Возьмем граничную вершину vp в качестве корня. Соответствующее ребро ep будем называть корневым. Для
определенности условимся, что если ej е Ei — простое ребро, то u2j расположена ближе к корню, чем u2j-i. Стягивая каждый цикл в точку, получим новый граф G* с множеством ребер Ei. Ясно, что G* — дерево (т.е. граф без циклов). Зафиксируем ek е G*. Наименьшее число uk ребер G* между корневым ребром и ek (включая ek) называется порядком ребра ek. Порядок корневого ребра равен
нулю. Число u := max u>k называется порядком G*. Пусть E, д = 0,u — множество простых ребер
efe ее*
порядка д.
2. Интегрируемая функция Y на G имеет вид Y = {yj}j=rs где функция yj(xj), Xj е [0, j] определена на ребре ej. Обозначим У^,— := yj(0), Y\U2. := yj(j), d^j- := yj(0), := —yj(j).
Если v е V, то Y|v = 0 означает, что Y|Uj = 0 для всех Uj е v. Пусть q = {qj }j=is — интегрируемая вещественная функция на G; q называется потенциалом. Рассмотрим дифференциальное уравнение на G:
—yj'(xj) + qj(x)yj(x) = лу^(x^ x е [0, jL (1)
где j = 1,s, Л — спектральный параметр, функции yj, yj, j = 1,s абсолютно непрерывны на [0,j] и удовлетворяют следующим условиям склейки (УС) в каждой внутренней вершине v^ е Vi:
Y|ui = Yyuj для всех u¿, Uj е v5, дУ|^ = 0. (2)
Ui е«^
УС (2) называются стандартными УС. Зафиксируем ek е E2 и ek = 0 V1. Положим wk := u2k-efc. Если (2) верно для множества U\{wk}, то будем называть эти условия Wk-УС. Рассмотрим краевую задачу L0 (G) для уравнения (1) с УС (2) во внутренних вершинах Vi и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах V0:
YL. =0, j =TTP- (3)
Рассмотрим также краевые задачи Ьк(С), к = 1,р — 1, для уравнения (1) с УС (2) и с краевыми условиями дУ|„к = 0, У\у. = 0, 3 = 1,р \ к. Таким образом, Ьк(С) получается из Ь0(С) заменой краевого условия Дирихле в вершине Ук = (ек) на условия Неймана в Ук. Обозначим Лк = (Лкп}п>1, к = 0,р — 1 — собственные значения (с учетом кратностей) задач Ьк(С). Пусть 4 (С), £ = г + 1,5, V = 0,1 — краевые задачи для уравнения (1) с —-УС и с краевыми условиями дV= 0, У\у. =0, 3 = 1,р, где д0У := У, д1К := дУ. Через Л? = (Л^п}п>1 обозначим собственные значения (с учетом кратностей) задач Ь^(С). Обратная задача ставится следующим образом.
Обратная задача 1. Даны спектры Лк, к = 0,р — 1, Л?, £ = г + 1,5, V = 0,1, построить потенциал q на С.
Эта обратная задача является обобщением классических обратных задач для операторов Штурма -Лиувилля на интервале и на деревьях. Основным результатом статьи является теорема единственности решения обратной задачи 1. Для формулировки теоремы условимся, что наряду с q рассмотрим потенциал д. Везде в дальнейшем считаем, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к q, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к д.
Теорема 1. Если Лк = Лк, к = 0,р — 1, Л? = ЛV, £ = г + 1,5, V = 0,1, то д = д.
Эта теорема будет доказана в пункте 5. В п. 3-4 вводятся основные понятия и доказываются вспомогательные утверждения.
3. Пусть Sj (х,, Л), С, (х,, Л), 3 = 1,5, Xj е [0,,] — решения уравнения (1) на ребре е, при начальных условиях Sj (0, Л) = С, (0, Л) = 0, Sj (0, Л) = С, (0, Л) = 1. При каждом фиксированном х, е [0, ] функции Sj(v) (х,, Л), С.^ (х,, Л), 3 = 1, 5, V = 0,1 являются целыми по Л порядка 1/2, причем (С, (х,, Л), Sj (х,, Л)} = 1, где (у, г) := уг' — у'г — вронскиан функций у и г. Пусть У = {у, — решение уравнения (1) на С. Тогда
у,(х,, Л) = (Л)С,(х,, Л) + МОД(х,, Л), 3 = (4)
где од (Л) и а,2 (Л) не зависят от х,. Подставляя (4) в (2) и (3), получаем линейную алгебраическую систему 50 относительно а,1 (Л), а,2(Л), 3 = 1,5. Определитель Д0(Л, С) системы 50 является целой функцией порядка 1/2. Нули Д0(Л, С) совпадают с собственными значениями задачи Ь0(С). Функция Д0 (Л, С) называется характеристической функцией для Ь0(С). Аналогично определяются
характеристические функции Дк(Л, С), к = 1,р — 1 для задач ¿к(С). Так как хк =0 в вершине г>к, то Дк(Л, С) получается из До(Л, С) заменой (¿к, Л), V = 0,1 на С^^ (1к, Л). Через (Л, С) обозначим характеристическую функцию задачи ¿V(С).
Пусть ек, к = — фиксированное простое ребро графа С и пусть V = а-(ек) е V — начальная точка ребра ек. Вершина V делит граф С на две части: С = Q и С, где ф П С? = V, С? П Л^, С) = ек. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) на ф с УС (2) для ^ е VI \ {V} и с кра-
евыми условиями У^. = 0, V' е V0 и {V}. Пусть Д(Л, ф^) — характеристическая функция задачи ¿0(ф^). Разлагая определитель Д0(Л, С) системы ?о по столбцам, соответствующим а^Л) и %2(Л) для еу е С,, получаем следующие соотношения.
Случай 1. Пусть V — внутренняя вершина для ф. Тогда
До (Л, С) = До(Л, С)До(Л, ф) + Дк (Л, С)До(Л, ф, V). (5)
Аналогично
Д,-(Л, С) = До(Л,£)Ду (Л,ф) + Дк(Л, С)Ду(Л, ф, V), е,- е Ео П ф. (6)
Случай 2. Пусть V — граничная вершина для ф, т. е. Л^, ф) =: ег е Е1 состоит из одного простого ребра ег, и V = а+(ег). Тогда
До (Л, С) = До (Л, С)Дг (Л, ф) + Дк (Л, СС)До (Л, ф). (7)
Аналогично
Д,-(Л, С) = До(Л,С)Ду (Л,ф) + Дк(Л,£)Ду(Л,ф), е,- е Ео П ф. (8)
Здесь Ду (Л, ф) — характеристическая функция краевой задачи ¿у (ф), которая получается из ¿о (ф) заменой граничных условий Дирихле в граничных вершинах а-(еу) и а+ (ег) на условия Неймана. Поэтому Ду (Л, ф) получается из До(Л, ф) заменой (у, Л), V = 0,1 на С^^(у, Л) и заменой (1г, Л), Сг(¿г, Л) на (¿г, Л), Сг'(1г, Л) соответственно.
Зафиксируем к = 1,р — 1. Пусть Фк = {Фку}у=п — решение уравнения (1) на С, удовлетворяющее УС (2) и граничным условиям
= , 3 = 17^ (9)
где 5ку — символ Кронекера. Положим Мк(Л) := дФк|„к = Фкк(0, Л). Функция Мк(Л) называется функцией Вейля относительно граничного ребра .
Обозначим мо(Л) = Ф^- (0, Л), М^ (Л) = Ф^(0, Л), 3 = 17?. Тогда
Фк,- (х,-, Л) = МУ (Л)Су (х,, Л) + (Л)^ (х,-, Л), з = 17?. (10)
В частности, М°к(Л) = Мк(Л), М^.(Л) = 1,
Фкк(хк, Л) = Ск(х к, Л) + Мк(Л)^к(хк, Л), (11)
и, следовательно,
(Ф к к(хк,Л), (х к,Л)> = 1. (12)
Подставляя (10) в (2) и (9), получаем линейную алгебраическую систему ? к относительно Му (Л^Му (Л), 3 = 1,?. Определитель системы ? к есть До(Л, С). Решая систему ? к по формулам Крамера, получаем М^-(Л) = Д^-(Л,С)/До(Л, С), V = 0,1,3 = 1,?, где определитель Д^-(Л,С) получается из До(Л, С) заменой столбца, соответствующего М^- (Л), на столбец свободных членов. В частности,
Д
М(Л) = — , к = 1,р — 1, (13)
где Д к(Л,С) — характеристическая функция задачи ¿к(С). Из (13) следует, что функции Вейля Мк (Л) являются мероморфными по Л с множеством полюсов Ло и множеством нулей Л к.
Пусть Л = р2, 1тр > 0. Обозначим Л := {р : 1тр > 0}, Л5 := {р : а^р е [5, п — 5]}. При каждом фиксированном х к е [0,1 к) имеем
Фкк?(жк,А) = (грГ ехр(гржк)[1], р е А5, |р| ^ го. (14)
Кроме того, равномерно по ж е [0, ^]
^^ (ж^, А) = 7—— ехр(грж^-)[1] — (—гр)^ ехр(-¿рж^-)[1]), р е Л, |р| ^ го, ^ 2гр V /
1
C-v)(x-, А) = -((¿p)v exp(ipxj)[1] + (—ip)v exp(-ipxj)[l]j, p e Л, |p| — ro.
(15)
Пусть Akn = (pkn)2, n — 1 — собственные значения краевой задачи Lk(G) с нулевым потенциалом q = 0. Эту краевую задачу будем обозначать Lk(G.) Пусть ДД(А, G) — характеристическая функ-
sin px'
ция задачи Lk(G). Ясно, что ДД(A,G) имеет тот же вид, что и Дк(А, G), но с S- (x-, А) = --,
_ p
C-(x-, А) = cos px-, j = 1, s. Известным методом (см., например, [17, 18]), можно получить следующие свойства характеристических функций и собственных значений задач Lk(G).
1. Существует h > 0 такое, что числа Akn = pkn лежат в полосе |Imp| < h.
2. Число Njk нулей Дк(А, G) в прямоугольнике П = {p : |Im p| < h, Re p e [£,£ + 1]} ограничено по С.
3. При p e Л5, |p| —^ ro, Дк(А, G) = Дк(А, G)(1 + O(p-1)).
4. При n — ro, pkn = pkn + (pkn)-1).
Характеристические функции Д^ (A, G) имеют аналогичные свойства. Рассмотрим теперь восстановление характеристических функций по их нулям. Обозначим
0 = . Akn, если Akn =0, = f Akn если Akn =0,
Mkn ^ , Mkn Ч
1, если Akn =0. I 1, если Akn = 0.
Используя факторизационную теорему Адамара [19, с. 289] и свойства характеристических функций, можно показать, что задание спектра Лд = {Akn}n>1 однозначно определяет характеристическую функцию (А, G) по формуле
Д(А,G) = Ak Й ^, Ak = (-1)" ^ (^ Д(a, G)) |a=0 ,
где Sk — 0 — кратность нулевого собственного значения Lk (G). Аналогично задание спектра Л? = {AVn}n>1 однозначно определяет характеристическую функцию Д^(А,G).
4. Зафиксируем к = 1,р — 1 и рассмотрим следующую обратную задачу на ребре ек, которую назовем /Р(ек, С).
/Р(ек, С). Даны До (А, С) и Дк (А, С), построить потенциал q на ек.
В обратной задаче /Р(ек, С) мы строим потенциал только на ребре ек, но характеристические функции Д0 (А, С) и Дк (А, С) несут глобальную информацию со всего графа. Докажем теорему единственности для задачи /Р(ек,С).
Теорема 2. Зафиксируем к = 1,р — 1. Если Д0(А, С) = Д0(А, С) и Дк(А, С) = Дк(А,С), то qk(жк) = дк(жк) п.в. на [0,1к]. Таким образом, задание двух характеристических функций однозначно определяет потенциал qk на ребре ек.
Доказательство. В силу (13) имеем Мк(А) = Мк(А). Рассмотрим функции
Рк1 (жк, А) = Фкк(жк, А)/§к(жк, А) — Ф'кк(жк, А)^к(жк, А), 1
. . \ (16) Рк2 (жк, А) = Фкк(жк, А)$к (жк, А) — Фкк (жк, А)£к (ж*, А).
Из (14)-(16) вытекает, что
Pks(xk, А) = ¿1s + O(p-1), p e Л5, |p| — ro, xk e (0, lk], (17)
где 5кв — символ Кронекера. Используя (16), вычисляем
Рк1 (хк, Л)£к(хк,Л) + Рк2(хк, Л)/§к(хк,Л) = ^к(хк,Л)(Фкк(хк,Л)5к(хк, Л) — Ф^(хк,Л)£к(хк,Л)). Учитывая (12), выводим
£к(хк, Л) = Рк1(хк, Л)£к(хк, Л) + Рк2(хк, Л)£к(хк, Л). (18)
Подставляя (11) в (16), получаем
Рк1(хк, Л) = Ск(хк, Л)£к(хк, Л) — Ск(хк, Л)^к(хк, Л) + (Мк(Л) — Мк(Л))5к(хк, Л)£к(хк, Л), Рк2(хк, Л) = Ск (хк, Л)£к (хк, Л) — Ск (хк, Л)£к (хк, Л) — (Мк (Л) — Мк (Л))5к (хк, Л)£к (хк, Л). Так как Мк (Л) = Мк (Л), то при каждом фиксированном хк функции Ркв (хк, Л) являются целыми по Л порядка 1/2. Вместе с (17) это дает Рк1 (хк, Л) = 1, Рк2(хк, Л) = 0. Подставляя эти соотношения в
(18), получаем £к(хк, Л) = £к(хк, Л) при всех хк и Л, и, следовательно, дк(хк) = дк(хк) п.в. на [0,1к]. □
Зафиксируем £ = г + 1,?. Рассмотрим следующую вспомогательную обратную задачу, которую назовем 1Р (е«, С).
1Р(е«, С). Даны До(Л, С) и Д1 (Л, С), построить потенциал д на е«.
Сдвигая немного концевую точку —« в точку —о / С (без изменения других концевых точек С и без изменения длины е«), получим вместо графа С граф С с ребром ео вместо е«. Ребро ео является граничным ребром для С«, а —о — граничная вершина для С«. Тогда обратная задача 1Р(е«, С) равносильна обратной задаче 1Р(ео, С«). Поэтому задача 1Р(е«, С), £ = г + 1,? решается точно так же, как и задача 1Р(ек, С).
Зафиксируем к = р"г. Пусть ек е Е ^ — фиксированное простое ребро порядка р и пусть V = а-(ек) е V — начальная точка ребра ек. Вершина V делит граф С на две части С = ф и С, где ф П С = V, С П = ек. Тогда верны (5)-(6) или (7)-(8). Предположим, что потенциал д
известен на ф. Зафиксируем е, е Ео П ф. Пусть заданы До(Л, С) и Ду (Л, С).
1. Решая алгебраическую систему (5)-(6) или (7)-(8), вычисляем До(Л, С) и Дк(Л,СС).
2. Решая обратную задачу 1Р(ек, С), строим потенциал д на ек.
Эта процедура вычисления д на ек называется процедурой спуска.
5. Докажем теперь теорему 1, которая является основным результатом статьи. Пусть Лк = Л к, к = 0,р — 1, Л£ = Л^, £ = г + 1,?, V = 0,1. Так как задание спектров однозначно определяет их характеристические функции, то получаем Дк(Л, С) = Дк(Л, С), к = 0,р — 1 и (Л, С) = ДV(Л, С), £ = г + 1, V = 0,1. Далее действуем по следующей схеме:
1) для каждого фиксированного £ = г + 1, ? применяем теорему единственности решения обратной задачи 1Р(е«, С) и находим, что д = д на е«;
2) для каждого фиксированного к = 1,р — 1 применяем теорему единственности решения обратной задачи 1Р(ек, С) и находим, что д = д на ек;
3) при р = и — 1, и — 2,..., 1, 0 последовательно выполняем следующие операции: для каждого фиксированного простого ребра ек е Е, р < к < г, пользуясь процедурой спуска, находим, что д = д на ек. □
Замечание 1. Пусть р < 1 (т.е. р = 0 или р = 1). Тогда обратная задача ставится следующим образом: даны спектры Л^,, £ = г + 1, V = 0,1, построить потенциал д на С. Для р =1 все вышеприведенные рассуждения и результаты остаются верными; в частности, для доказательства теоремы единственности может быть использована та же схема, но без шага 3. Если р = 0, г > 0, то дерево С* не пусто. Тогда выбираем одну из граничных вершин С* в качестве корня и повторяем вышеприведенные рассуждения. Если г = 0, то дерево С* пусто, и мы опускаем шаг 3 в доказательстве теоремы.
Замечание 2. Доказательство теоремы 1 конструктивно и дает алгоритм построения решения обратной задачи.
Работа выполнена при поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).
Библиографический список
1. Belishev, M.I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method / M. I. Belishev // Inverse Problems. - 2004. - V. 20. - P. 647-672.
2. Yurko, V.A. Inverse spectral problems for Sturm -Liouville operators on graphs / V.A. Yurko // Inverse Problems. - 2005. - V. 21. - P. 1075-1086.
3. Brown, B. M. A Borg - Levinson theorem for trees / B. M. Brown, R. Weikard // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. - 2005. V. 461, № 2062. -P. 3231-3243.
4. Freiling, G. Inverse spectral problems for Sturm -Liouville operators on noncompact trees / G. Freiling, V.A. Yurko // Results in Mathematics. - 2007. - V. 50. - P. 195-212.
5. Yurko, V.A. Recovering differential pencils on compact graphs / V.A. Yurko // J. Diff. Equations. - 2008. -V. 244. - P. 431-443.
6. Юрко, В. А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях /
B. А. Юрко // Мат. заметки. - 2008. - Т. 83, вып. 1. -
C. 139-152.
7. Юрко, В. А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на некомпактных пространственных сетях / В. А. Юрко // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44, № 12. - С. 16581666.
8. Yurko, V.A. Inverse problems for Sturm - Liouville operators on bush-type graphs / V. A. Yurko // Inverse Problems. - 2009. - V. 25, № 10, 105008. - 14 p.
9. Юрко, В. А. Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов на графе-еже /
B. А. Юрко // Докл. АН. - 2009. - Т. 425, № 4. -
C. 466-470.
10. Марченко, В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения / В. А. Марченко. - Киев: Наук. думка, 1977. - 331 с.
11. Левитан, Б.М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля / Б.М. Левитан. - М.: Наука, 1984. - 240 с.
12. Freiling, G. Inverse Sturm - Liouville Problems and their Applications / G. Freiling, V.A. Yurko. - N.Y.: NOVA Science Publishers, 2001. - 305 p.
13. Yurko, V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory / V. A. Yurko. Inverse and Ill-posed Problems Series. - Utrecht: VSP, 2002. - 303 p.
14. Beals, R. Direct and Inverse Scattering on the Line / R. Beals, P. Deift, C. Tomei. - Math. Surveys and Monographs. - V. 28. - Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1988. - 275 p.
15. Yurko, V. A. Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications / V. A. Yurko. -Amsterdam: Gordon and Breach, 2000. - 253 p.
16. Юрко, В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В. А. Юрко. - М.: Физматлит, 2007. -384 с.
17. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Наука, 1969. - 526 с.
18. Bellmann, R. Differential-difference Equations / R. Bellmann, K. Cooke. - N.Y.: Academic Press, 1963. -548 p.
19. Conway, J. B. Functions of One Complex Variable. 2nd ed., V. I / J.B. Conway. - N.Y.: Springer-Verlag, 1995. - 445 p.
