Восстановление дифференциальных операторов на графе-кусте Текст научной статьи по специальности «Математика»

жащими на одной прямой, и ее применение к пучкам дифференциальных операторов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 69-72.

УДК 517.984

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФЕ-КУСТЕ

В.А. Юрко

Саратовский государственный университет, кафедра вычислительной математики и математической физики E-mail: [email protected]

Исследуется обратная спектральная задача для операторов Штурма - Лиувилля на произвольном графе с циклом. Приведена конструктивная процедура решения и установлена его единственность.

Ключевые слова: операторы Штурма - Лиувилля, пространственные сети, обратные спектральные задачи.

6. Рыхлое В.С. О полноте собственных функций одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2009. № 6. С. 42-53.

Recovering Differential Operators on a Bush-Type Graph V.A. Yurko

Saratov State University,

Chair of Mathematical Physics and Numerical Analysis E-mail: [email protected]

An inverse spectral problem is studied for Sturm - Liouville operators on arbitrary graphs with a cycle. A constructive procedure for the solution is provided and the uniquenness is established.

Key words: Sturm - Liouville operators, spatial networks, inverse spectral problems.

ВВЕДЕНИЕ

Исследуется обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на так называемом графе-кусте, т.е. на произвольном графе с циклом. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении коэффициентов операторов по их спектральным характеристикам. Основные результаты по обратным спектральным задачам на интервале представлены в [1]. Обратные задачи на графах являются более трудными, и в настоящее время есть только несколько работ в этой области. В частности, обратные задачи восстановления коэффициентов дифференциальных операторов на произвольного вида деревьях (т.е. на графах без циклов) исследовались в работах [2-6] и других. Обратные задачи на графах с циклом изучались в работах [7-9], но только для весьма частных случаев. В данной статье рассматриваются более общие графы, чем в работах [7-9], а именно произвольные графы с циклом. Для этого класса графов дается постановка и решение обратной задачи спектрального анализа. Доказана соответствующая теорема единственности и получена конструктивная процедура построения решения этого класса обратных задач.

Рассмотрим компактный граф Є в И1 (I > 2) с множеством ребер Е = (во,..., вг} и множеством вершин Ш = Vи и, где V = (г^,..., гг}, и = (щ,..., иN}. Граф имеет вид Є = в0 иТ, где в0 — цикл, щ Є в0, і = 1, N V] / в0, і = 1, г, Т П в0 = и, Т = Т1 и ... и Тт, Т — дерево с корнем из множества и и с одним корневым ребром из Е. Множество T состоит из N групп деревьев: T = ^1 и ... и QN, Яі П є0 = щ, т.е. все деревья из Яі имеют общий корень щ. Пусть ші — число деревьев в блоке ^і; т.е. ш1 + ■ ■ ■ + шN = ш. Обозначим з0 = 1, ві = ш1 + ■ ■ ■ + ші, і = 1, N. Тогда

Si Яі

Яі = У Т], , Р| Т] = иі, і = 1,Ж.

]=Яі-1 +1 ]=ві_і+1

Зафиксируем і = 1,Ж, і = 1,ш и рассмотрим дерево Т] Є Яі . Для двух точек а,Ь Є Т] будем писать а < Ь, если а лежит на единственном простом пути, соединяющем корень иі с Ь. Будем писать а < Ь, если а < Ь и а = Ь. Отношение < определяет частичную упорядоченность на Т]. Если а < Ь, то обозначим [а, Ь] := (г Є Т] : а < г < Ь}. В частности, если в = [г, ад] — ребро, то мы будем называть г его начальной точкой, ад — его конечной точкой, и будем говорить, что в выходит из V и заканчивается

© В.А. Юрко, 2009

59

в ад. Для каждой вершины V Є Т] мы обозначим через Л(г) := (в Є Т] : в = [г, ад], ад Є Т]} множество ребер, выходящих из г. Для каждой г Є Т] через |г| обозначим число ребер между щ и г. Для любой г Є V число |г| является целым неотрицательным числом, которое называется порядком г. Порядок ребра в Є Т определяется как порядок его конечной точки. Число а := шах]=— || называется

Здесь и иг+1 — начальная и конечная точки для е0 соответственно. Для определенности занумеруем вершины г? € V следующим образом: Г := (г?,...,гр} — граничные вершины С, а г?, з > р + 1 занумерованы в порядке возрастания |г? |. Аналогично занумеруем ребра, а именно: е? = [г?к, г?],

Пусть — длина ребра е?, з = 0, г. Каждое ребро е?, з = 0, г, рассматривается как отрезок [0, ]

и параметризуется параметром х € [0, ]. Для нас удобно выбрать следующую ориентацию на ребрах:

для з = 1,г конечной вершине г? соответствует х? =0, а начальной вершине соответствует х? = ;

для цикла е0 оба конца х0 = +0 и х0 = ¿о — 0 соответствуют точке и1. Пусть й0 — длина е0. Тогда й0 = + ••• + ^ • Каждая часть е0 (г = 1,^) цикла е0 параметризуется параметром € [0, ],

причем =0 соответствует точке Иг, а = й0 соответствует точке .

Интегрируемая функция У оп С может быть представлена в виде У = (у?}?=0"г, где функция у?(х?), х? € [0, ] определена на ребре е?. Функция у0 имеет вид у0 = (у0}г=^^> где функция у0(£г),

& € [0,^0], определена на е0.

Пусть q = (д?}?=0"г — интегрируемая вещественная функция на С; д называется потенциалом. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение на С:

где з = 0, г, А — спектральный параметр, функции у? , у? абсолютно непрерывны на [0, ] и удовле-

творяют следующим условиям склейки во внутренних вершинах и, г = 1,Ж и г&, к = р + 1,г: для

где y0 := y0, := dN> Yj := {Y. Условия склейки (2)-(3) называются стандартными условиями.

Рассмотрим краевую задачу L0 (G) для уравнения (1) с условиями склейки (2)-(3) и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах vi,..., vp: yj (0) = 0, j = 1,p.

Пусть Ao = {Ano}n>i — собственные значения (с учетом кратностей) задачи L0(G). Рассмотрим также краевые задачи LV1 ,...>Vy (G), y = 1,p, l < vi < ... vY < p для уравнения (1) с условиями склейки (2)-(3) и краевыми условиями у-(0) = 0, i = vi,..., vY, yj(0) = 0, j = 1,p, j = vi5..., vY.

Через AV1),..)Vy := {An)Vl)...)VY}n>i обозначим собственные значения (с учетом кратностей) краевой задачи Lv1,...,vY (G).

Пусть Sj(xj, A), Cj(xj, A), j = 0, r, Xj e [0, dj] — решения уравнения (1) на ребре ej с начальными условиями Sj (0, A) = Cj (0, A) = 0, Sj (0, A) = Cj (0, A) = 1. При каждом фиксированном Xj e [0, dj] функции Sjv^(xj, A), Cjv)(xj, A), j = 0, r, v = 0,1 являются целыми по A порядка 1/2. При этом (Cj (xj, A), Sj (xj, A)} = 1, где (y,z) := yz- — y-z — вронскиан функций y и z. Положим h(A) := S0(d0, A), H(A) := C0(d0, A) — SO(d0, A). Пусть {zn}n>i- нули целой функции h(A), а

:= sign H(zn), О = {шп}n>i.

высотой Т. Пусть V:= (г € V : |г| = д}, д = 0, а — множество вершин порядка д, и пусть

Е:= (е € Т : е = [г, ад], г € V(^-1), ад € V}, д = 1, а — множество ребер порядка д.

Цикл е0 состоит из N частей:

е° = е°, е° = [ui,Ui+i ], i = 1,N, UN+1 := Ui.

3 = 1, г, Зк < 3. В частности, Е := (е?,..., ер} — множество граничных ребер С. Ясно, что е? € Е тогда и только тогда, когда г? € V.

y"(x) + qj(х^)у^(х^) = Ayj(х^), х^ Є [0, dj],

(1)

k = p + 1, r,

yj (dj)= yk(0) при всех ej Є R(vk),

(2)

ej GR(ufc)

и для i = 1, N,

y0(0) = y0-i (d°-i) = (Yj )|ui пРи всех Tj Є ,

(3)

Tj EQi

Выберем и зафиксируем по одной граничной вершине Є ^ из каждого блока і = 1,Ж. Через £ := {к : к = £1,... , £м} обозначим множество индексов £, і = 1, N. Обратная задача ставится следующим образом.

Обратная задача 1. Даны 2м + р — N спектров Л-, і = 0,р, А^1 , 7 = 2, Ж, 1 < ^1 < ... <

< < р, V- Є £, и О, построить потенциал д на С.

Пример 1. Пусть N = 1. Тогда мы задаем р + 1 спектров Л-, і = 0,р и О. Эта обратная задача

решена в [9].

Пример 2. Пусть а = 1, N = г. Тогда мы задаем 2м спектров Л0, , 7 = 1,Ж, 1 < ^1 <

< ... < < N и О. Эта обратная задача решена в [8].

Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1. Для этого наряду с д рассмотрим потенциал д. Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к д, то а обозначает аналогичный объект, относящийся к д.

Теорема 1. Если Л- = Л-, і = 0,р, = Ли1, 7 = 2, N 1 < ^1 < ... < < р, V- є £ и

О = О, то д = д.

Эта теорема будет доказана в разделе 2. Кроме того, мы дадим конструктивную процедуру решения обратной задачи 1.

1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Зафиксируем к = р +1,г. Обозначим ^к := {г Є Т : г>к < г}, Ск := С \ ^к. Тогда

^к = иЄієДК) Ткі, где Ты - дерево с корнем г>к и с одним корневым ребром Єі.

Обозначения. Если Б с С — некоторый граф, то через Ь0(Б) будем обозначать краевую задачу для уравнения (1) на Б со стандартными условиями склейки во внутренних вершинах и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах. Пусть {У}д := {у- }е.єд. Если V- — граничная вершина Б, то Ь- (Б) обозначает краевую задачу для уравнения (1) на Б со стандартными условиями склейки во внутренних вершинах, с условием Неймана У^. =0 в вершине V- и с краевыми условиями Дирихле во всех остальных граничных вершинах. Например, Ь0(Ск) — краевая задача на С к с краевыми условиями ук(0) = 0, ут(0) = 0, ет Є ЕпСк, а Ьк(Ск) — краевая задача на Ск с краевыми условиями ук (0) = 0, ут(0) =0, ет Є (Е П Ск) \ єк. Рассмотрим также краевую задачу Ь1 (Т-) для

уравнения (1) на Т- Є ^ с краевыми условиями У^. = 0, У^. =0, і = Г П Т-.

Зафиксируем к = 1,р. Пусть Фк = {Фк-}-=^ — решение уравнения (1) на С, удовлетворяющее условиям склейки (2)-(3) и краевым условиям

где 5^- — символ Кронекера. Положим Мк(Л) := Фкк(0, Л), к = 1,р. Функция Мк(Л) называется

функцией Вейля относительно вершины .

В частности, М0к(Л) = Мк(Л), Мкк(Л) = 1, М— (Л) = 0 для і = 1,р \ к. Следовательно,

Фкк(жк, Л) = Ск(хк, Л) + Мк(Л)£к(хк, Л).

Подставляя (5) в (2)-(4), получаем линейную алгебраическую систему Б к относительно М0-(Л), Мк- (Л), і = 0, г. Определитель Д0(Л, С) этой системы не зависит от к и имеет вид [7]

Фк- (0, Л) = 4-, і = 1,р,

(4)

Обозначим М°-(Л) = Ф'к-(0, Л), М^.(Л) = Ф -(0, Л), і = 0, г. Тогда

Фк-(ж-, Л) = Мк-(Л)С-(х-, Л) + М° (л)£- (х-,Л), і = °т.

(5)

N

к = 1 1<^і <...<^к

где

¿(Л) = Со(¿0, Л) + £0№, Л) — 2, а1 (Л) = й(Л) = £0(¿0, Л),

(8)

а Д0(Л,Тк), А1 (Л,Тк) — характеристические функции краевых задач Ь0(Тк), Ь1 (Тк) соответственно, которые определены в [6]. Отметим, что коэффициенты ¿(А), а^...^(Л) в (6) зависят только от до. Функция Д0(А, С) является целой по Л порядка 1/2, и ее нули (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями задачи Ь0(С). Функция Д0(Л, С) называется характеристической функцией краевой задачи Ь0(С). Пусть Д^1)...,^7(Л, С), 7 = 1,р, 1 < ^1 < ... < < р получена из Д0(Л, С)

заменой , Л) на (¿-, Л) при з = ^1,..., , V = 0,1. Функция Д^,...,^(Л, С) является целой

по Л порядка 1/2, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи Ь^1 (С).

Функция Д^,...,^(Л,С) называется характеристической функцией краевой задачи (С). Ясно,

что

N

Д-, V, (Л,С)= а, )(Л)( ¿(Л) + Е Е а^1...^*. (Л)^1,^1,...,^)(Л) . . . ,^1,...,^)

(Л) ,

& = 1 1<^1 <...<^

. * (9)

где ,...,^) (Л), ^,(^,...,^)(Л) получены из а(Л), (Л) заменой , Л) на (¿-, Л) при

3 = v1,..., ^, V = 0,1.

Решая систему Бк, находим по формулам Крамера: М|-(Л) = Д-—(Л, С)/Д0(Л, С), 5 = 0,1,3 = 0, г, где Д-— (Л, С) получен из Д0(Л,С) заменой столбца, соответствующего М|- (Л), на столбец свободных членов. В частности,

М(Л) = -ДШ- *=^' (10)

Зафиксируем k = p + 1, r. Пусть Д0(Л, Gk) и Дк(Л, Gk) - характеристические функции для L0(Gk) и Lk(Gk) соответственно. Используя (6)-(8) и формулы для Д0(Л, Tj), Д^Л, Т-) из [6], получаем

До (Л, G) = До(Л, Qk)До (Л, Gk) + ( П До (Л, Ты)) Дк (Л, Gk), (11)

ei £R(vfc)

где Д0(Л, Qk) и Д0(Л, Tki) — характеристические функции для задач L0(Qk) и L0(Tki) соответственно, которые определены в [6]. Аналогично для e- е E П Tks,

Д- (Л, G) = Д- (Л,0к )До (Л,Ск)+ (д,- (Л,Ткв) П До (Л,Ткг ))Дк (Л^), (12)

ei GR(vfc), г/s

где Д-(A,Qk) и Д-(Л,Ткг) получены из Д0(A,Qk) и До(Л,Ткг) заменой S'jv)(dj,Л), v = 0,1, на

Cf )(dj ,Л).

Пусть Л = р2, т := Imр, Л := {р : т > 0}, А5 := {р : argр е [5, п — 5]}, и пусть ЛП0 = (рПо)2, п > 1

— собственные значения краевой задачи L0(G) с нулевым потенциалом q = 0. Будем обозначать эту краевую задачу через L (G.) Пусть ДО (Л, G) — характеристическая функция L (G). Тогда ДО (Л, G) имеет вид (6) с Sj (х-, Л) = sinppXj, С- (х-, Л) = cos рх-, j = 0, r. Используя (6) и результаты из [6], получаем следующие свойства характеристической функции Д0 (Л, G) и собственных значений Л0 краевой задачи L0(G).

1) При р е Л, |р| —> ^ имеет место оценка Д0(Л, G) = |р|-г exp ^|т| / d-^.

2) Существуют h > 0, Ch > 0 такие, что |Д0(Л, G)| > Ch|р|—r exp Г|т| ^ при |т| > h. Соб-

v -/0 7

ственные значения Лп0 = рПо лежат в полосе |т| < h.

3) Число Nj нулей Д0(Л^) в прямоугольнике П = {р : |Imр| < h, Reр е [С, С + 1]} ограничено по С.

4) При п — ^ рпо = рПо + О((рПо)-1).

5) Справедливо представление

До (Л, G) = Л>П Л ’ (13)

Лп0

n=1

л 01 J —n0, если —n0 = 0, л / -, \ 1 / Qa л0/\ /'у\ \ \ п

где Ап0 = < л0 A0 = (-1Г;М A0(—,G)L . a > 0 - кРатн°сть нулевого

1, если —n0 =0, ' v 7 |x=0

собственного значения задачи L0(G).

Функции AV1 (А, G) имеют аналогичные свойства. В частности,

Г

AV1 (—,g) = o(|p|7-r exp (jT^ , p e A, |p|^^,

j=0

^ А - А

Avi,...,Vy (А, G) = Avi,...,v^ ----- , (14)

n = 1 -n,v1

где {—n,Vl}n>1 — собственные значения задачи L^1 ,...,Vy (G) с нулевым потенциалом,

01 _ / An,Vl,...,V7 , ЄСЛИ An)v1,...,V7 _ 0,

[і, если А° ..vy _0,

/'n,vi,...,v7

і / da(vi,...,°7)

Avi,...,v, _ (-1)’<..................°Y ^-----------------------------------------------— Lx ..° (/,G)

(vi ,...,VY )V dAa(Vl’---’vY) 7 |A=0

a(vi,...,v7) > 0 — кратность нулевого собственного значения задачи LVb...,VY (G), и А^1 (A, G)

— характеристическая функция для L°°1(G).

2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 1

В этом разделе приводится конструктивная процедура решения обратной задачи 1 и устанавливается его единственность. Зафиксируем k = 1,p и рассмотрим сначала вспомогательную обратную задачу на ребре е*, которую будем называть IP(k).

IP(k). Дана M*( A), построить q*(ж*), ж* Є [0, d*].

В задаче IP(k) потенциал строится только на ребре е*, но функция Вейля M*( A) несет глобальную информацию со всего графа. Другими словами, IP(k) не является локальной задачей на е*. Справедлива следующая теорема единственности решения задачи IP(k).

Теорема 2. Фиксируем k = 1,p. Если M*( A) = M*( A), то q*(ж*) = q*(ж*) п.в. на [0, d*]. Таким образом, задание функции Вейля M* однозначно определяет потенциал q* на ребре е*.

Используя метод спектральных отображений [1] для оператора Штурма - Лиувилля на ребре е*, можно построить конструктивную процедуру решения обратной задачи IP(k). Здесь мы дадим краткие пояснения [1]. Возьмем q = 0. Тогда S*(ж*, A) = р sinрж*. Фиксируем k = 1,p. Обозначим A' = min(A¿0, A¿0) и возьмем фиксированное 5 > 0. В A- плоскости рассмотрим контур в (с

обходом против часовой стрелки) вида в = в+ U в- U в', где в± = {A : ±ImA = 5; Re A > A '},

в' = {A : A — A' = 5exp(ia), а Є (п/2,3п/2)}. При каждом фиксированном ж* Є [0, d*] функция S*(ж*, A) является единственным решением линейного интегрального уравнения:

S* (ж*, A) = S* (ж*, A) + ID* (ж* ,A,^)Sfc (ж* ,д) d^, (15)

2ni J Q

где D * (ж, A, д) = f0x S* (t, A)? (^д)М* (д) dt, M* (д) := M* (д) — M* (д). Потенциал q* на ребре е*

может быть построен из решения уравнения (15) по формуле

q*(ж*) = [(S*(ж*, A)^?*(ж*, A))'M*( A) d A,

2ni JQ

или q*(ж*) = A + S*'(ж*, A)/S*(ж*, A).

Обозначим a( A) := d( A) + 2, т.е. a( A) = C0(d0, A) + S0(d0, A). Рассмотрим следующую вспомога-

тельную обратную задачу на ребре е0, которую будем называть IP(0).

IP(0). Даны а( A),a1 ( A), О, построить q0^0), ж0 Є [0, d0].

Эта обратная задача изучалась в работах [10-11] и других. Для удобства читателей приведем здесь решение задачи 1Р(0). Ясно, что

¿0(^0, ¿п) = (а(*п) - Н(¿п))/2. (16)

Так как (С0(¿0, Л), ¿0(¿0, Л)} = 1, то Н2( Л) — а2( Л) = -4(1 + С0(й0, Л)а1(Л)), и следовательно,

Н (¿п) = а2(^п) — 4. (17)

Обозначим ап := £2(£,гп) ¿£. Тогда (см. [1])

ап = а і (гп)^^ (¿0 ,гп), а 1 (Л) := ^(Л). (18)

Числа (гп, ап}п>1 называются спектральными данными для потенциала д0. Известно [1], что функция до однозначно строится по спектральным данным (гп,ап}п>1. Таким образом, задача 1Р(0) решена, и справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Задание а( Л),а1( Л),О однозначно определяет потенциал д0(х0) на [0,¿0]. Функция до может быть построена по следующему алгоритму.

Алгоритм 1. Даны а( Л),а1( Л), О.

1. Находим (гп}п>1 - нули а1 ( Л).

2. Вычисляем Н(,гп) по формуле (17).

3. Находим $0(¿0, ¿п) по (16).

4. Вычисляем {ап}п>1, используя (18).

5. Строим д0 по спектральным данным {гп,ап}п>1, решая классическую обратную задачу Штурма - Лиувилля.

Перейдем теперь к решению обратной задачи 1. Пусть даны Л-, і = 0,р, А^...^, 7 = 2, Ж,

1 < ^1 < ... < < р, V- є £, и О. Решение обратной задачи 1 состоит в реализации так называемых

-процедур последовательно при д = а, а — 1,..., 1, 0 где а — высота Т. Опишем — процедуры.

Б -процедура

1. Строим Д0(Л, С) и Д^1 ( Л, С), 7 = 1,Ж, 1 < v1 < ... < ^ < р, V- є £ по формулам (13)

и (14).

2. При каждом к = 1,р вычисляем функцию Вейля М&( Л) по формуле (10).

3. Для каждого ребра е^ є Е(а) решаем обратную задачу 1Р(к) и находим (ж&), є [0,^] на

ребре е^.

4. Для каждого ребра е^ є Е(а) строим , Л), > №, Л), V = 0,1.

5. Для каждой фиксированной вершины є V(а-1) \ Г выберем и зафиксируем 5 и і так, чтобы

е- є Е П Т^. Решая линейную алгебраическую систему (11)-(12), находим Д0( Л, С) и Дй(Л, С).

6. Для каждой є V(а-1) \ Г строим функцию Вейля Мй( Л) для С по формуле

М‘ (Л) = — ^ТГ#)) • (19)

Д0 ( Л, )

Теперь выполним Б^-процедуры при д = 2, а — 1 по индукции. Зафиксируем д = 2, а — 1 и предположим, что ,..., Б^+1-процедуры уже выполнены. Выполним Б^-процедуру.

-процедура

1. Для каждого ребра ей є Ерешаем обратную задачу 1Р(к) на С и находим дй(хй), є [0, ^] на ребре ей.

2. Для каждого ребра ей є Евычисляем >(^, Л), №, Л), V = 0,1.

3. Для каждой вершины є V(^-1) \ Г выберем и зафиксируем 5 и і так, чтобы е- є Е П Т^. Решая линейную алгебраическую систему (11)-(12), находим Д0(Л, С) и Дй( Л, С).

4. Для каждой вершины є V(^-1) \ Г вычисляем Мй( Л) для С по формуле (19).

Б1-процедура

1. Для каждого ребра ей є Е(1) решаем обратную задачу 1Р(к) на С и находим дй(хй), є [0, ^] на ребре ей.

2. Для каждого ребра ей є Е(1) вычисляем С^>(^й, Л), (^, Л), V = 0,1.

3. Находим ¿( Л) и а1 ( Л), используя (6) и (9).

4. Строим а( Л) = ¿( Л) + 2.

Б0-процедура

Используя а( Л), а1 ( Л) и О, строим д0(х0), х0 є [0, ¿0] на е0 по алгоритму 1.

Таким образом, последовательно выполнив ,Ба-1 ,...,Б0-процедуры, получили решение обратной задачи 1 и доказали его единственность.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).

Библиографический список

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

2. Belishev M.I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by the BC method // Inverse Problems. 2004. V. 20. P. 647-672.

3. Yurko V.A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. V. 21. P. 1075-1086.

4. Yurko V.A. Recovering differential pencils on compact graphs // J. Diff. Equations. 2008. V. 244. P. 431-443.

5. Юрко В.А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях // Мат. заметки. 2008. Т. 83, вып.1. С. 139-152.

6. Yurko V.A. Recovering Sturm-Liouville operators on

trees from spectra. Schriftenreiche des Fachbereichs Mathematik, SM-DU-684. Duisburg: Universitaet

Duisburg-Essen, 2009. 8 p.

7. Yurko V.A. Inverse problems for Sturm-Liouville operators on graphs with a cycle // Operators and Matrices. 2008. V. 2, № 4. P. 543-553.

8. Юрко В.А. Об обратной спектральной задаче для дифференциальных операторов на графе-еже // Докл. АН. 2009. Т.425, № 4. С. 466-470.

9. Yurko V.A. Spectral analysis for Sturm-Liouville operators on a graph with a rooted cycle. Schriftenreiche des Fachbereichs Mathematik. SM-DU-686. Duisburg: Universitaet Duisburg-Essen, 2009. 10 p.

10. Станкевич И.В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 34-37.

11. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб. 1975. Т. 97. С. 540-606.