Восстановление дифференциальных операторов на графе с циклом и с обобщенными условиями склейки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФЕ С ЦИКЛОМ И С ОБОБЩЕННЫМИ УСЛОВИЯМИ СКЛЕЙКИ

В.А. Юрко

Саратовский государственный университет,

кафедра математической физики и вычислительной математики

E-mail: [email protected]

Получено решение обратной спектральной задачи для дифференциальных операторов второго порядка на графе с циклом и с обобщенными условиями склейки во внутренней вершине.

Recovering Differential Operators on a Graph with a Cycle and with Generalized Matching Conditions

V.A. Yurko

The solution of the inverse spectral problem is obtained for second-order differential operators on a graph with a cycle and with generalized matching conditions in the internal vertex.

ВВЕДЕНИЕ

В статье исследуются обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов Штурма - Лиувилля на графе с циклом. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Основные результаты по обратным спектральным задачам на интервале представлены в [1-6]. Дифференциальные операторы на графах (пространственных сетях, деревьях) часто возникают в естествознании и технике (см. [7]). Большинство работ в этом направлении посвящено так называемым прямым задачам изучения свойств спектра и корневых функций операторов на графе. Обратные спектральные задачи, в силу их нелинейности, являются более трудными, и в настоящее время есть только несколько работ в этой области. В частности, обратные спектральные задачи восстановления коэффициентов дифференциальных операторов на деревьях (т.е. на графах без циклов) по системе спектров и по функциям Вейля исследовались в [8] и других работах. Однако нет аналогичных общих результатов в теории обратных задач для графов с циклами.

В данной работе дана постановка и получено решение обратной спектральной задачи для операторов Штурма - Лиувилля на графе с циклом и с обобщенными условиями склейки во внутренней вершине. Доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура решения этого класса обратных задач.

Рассмотрим компактный граф Т в И,т с множеством вершин V = {г>о,...,^г} и множеством ребер Е = {е0,... ,ег}, где ..., vГ — граничные вершины, v0 — внутренняя вершина, ej = , v0],

і = 1,г, е0 П е1 П ... П ег = М, и е0 — цикл. Пусть Tj, і = 0,г — длина ребра ej. Каждое ребро ej Є Е параметризуется параметром Xj Є [0,Т]. Для нас удобно выбрать следующую ориентацию: при і = 1,г вершина Vj соответствует Xj = 0, а вершина v0 соответствует Xj = Tj; при і = 0 оба конца интервала х0 = +0 и х0 = Т0 — 0 соответствуют v0.

Интегрируемая функция У на Т может быть представлена в виде У = {yj}3=0“Г, где функция Уj(х3-), Xj Є [0,Т] определена на ребре ej. Пусть д = {д3-}3=0Т — интегрируемая вещественнозначная функция на Т; д называется потенциалом. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение на Т:

—У"(хз) + Яз (хз)Уз (хз) = ЛУз (хз^ і = (1)

где Л — спектральный параметр, а функции у3- , у' , і = 0,г абсолютно непрерывны на [0,Т3-] и удовлетворяют следующим условиям склейки во внутренней вершине v0:

Г

У0(0) = а Уз (Тз ), і = у0 (0) — ^0У0(0) = ^2 в' у' (Тз ), (2)

3=0

где , вз, ^0 — вещественные числа и вз = 0, а0 + в0 = 0. Предположим, что

Г ГГ

= («0 + 00)П О? + «0 І> П = 0.

3=1 і=1 3=1,3=і

© ВА Юрко, 2008

Это условие называется условием регулярности склейки. Дифференциальные операторы, которые не удовлетворяют этому условию, имеют качественно отличные свойства при постановке и исследовании обратной задачи и в данной работе не рассматриваются; они требуют отдельного исследования. Отметим, что если aj = Д? = 1, h0 = 0, то это условие называется стандартным условием склейки [7,8]. Для стандарной склейки zr = r + 2, и условие регулярности склейки очевидно выполняется. Отметим также, что

k

z0 = a0 + До, zk+1 = ak+1zk + Дк + 1 aj •

j = 1

Рассмотрим краевую задачу B0 (q) на T для уравнения (1) с условиями склейки (2) и с краевыми условиями в граничных вершинах v1,..., vr:

y? (0) = 0, j = 1~r.

Кроме того, рассмотрим краевые задачи Bk(q), k = 1,r на T для уравнения (1) с условиями склейки (2) и с краевыми условиями

yk(0) = 0, у? (0) = 0, j = 1,7 \ k.

Обозначим через Ak = {Akn}n>0 собственные значения (с учетом кратностей) задач Bk(q), k = 0, r. В отличие от задач на деревьях (см. [8]), здесь задание спектров Ak, k = 0,r не определяет однозначно потенциал, и мы нуждаемся в дополнительной информации. Пусть Sj(x?, A), Cj (x?, A), j = 0, r

— решения уравнения (1) на ребре e? при начальных условиях:

S? (0, A) = Cj (0, A) = 0, Sj (0, A) = Cj (0, A) = 1.

При каждом фиксированном x? e [0, Tj] функции Sjv) (x? , A), Cjv^ (x?, A), j = 0, r, v = 0,1 являются

целыми по A порядка 1/2, причем,

(Cj (x?, A), Sj (x? ,A)) = 1,

где (у, z) = yz' — y'z — вронскиан функций у и z. Обозначим

h(A) = So (To, A), H (A) = aoC0(To,A) — AoS0 (To ,A).

Пусть {vn}n>1 — нули целой функции h(A), и положим = signH(vn), О = (wn}n>1. Обратная

задача ставится следующим образом.

Обратная задача 1. По заданным Ak, k = 0, r и О построить потенциал q на T.

Отметим, что коэффициенты из условия склейки (3) предполагаются известными a priori. Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1. Для этого наряду с q рассмотрим потенциал q. Везде в дальнейшем, если некоторый символ a обозначает объект, относящийся к q, то a будет обозначать аналогичный объект, относящийся к q.

Теорема 1. Если Ak = Лk, k = 0, r, и О = О, то q = q. Таким образом, задание Ak, k = 0, r и О однозначно определяет потенциал q на T.

Эта теорема будет доказана в пункте 3. Кроме того, мы дадим конструктивную процедуру решения обратной задачи 1. В пункте 2 вводятся основные понятия и доказываются вспомогательные утверждения.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Фиксируем k = 1,r. Пусть Фk = {Ф^}j=o"r — решения уравнения (1), удовлетворяющие (2) и краевым условиям:

Ф^ (0, A) = j, j = 1, r, (3)

где j — символ Кронекера. Положим Mk(A) = Ф^(0, A), k = 1,r. Функция Mk(A) называется функцией Вейля относительно граничной вершины vk. Ясно, что

Фкк(х*,Л) = Ск(х*, Л) + Мк(А)£к(хк, А), Хк € [0,2*], к = 1,г, (4)

и следовательно,

(Фкк(хк, А), £к(хк, Л)) = 1.

Обозначим Мк-(Л) = Фк-(0, Л), Мк-(Л) = Ф--(0, Л). Тогда

Ф к-(х-, Л) = м1 (Л)С-(х-, Л) + Мко-(Л)5-(х-, Л), х € [0, Т-], ^ = 0^ к = 17^. (5)

В частности, М1к(Л) = 1, М0к(Л) = Мк(Л). Подставляя (5) в (2) и (3), получим линейную алгебраическую систему 5 к относительно Мк- (Л), V = 0,1, ] = 0, г. Определитель До (Л) системы 5 к не зависит от к и имеет вид

Г

До(Л) = й(Л) Ц а-5-(Т-, Л) + аой(Л)Я(Л), (6)

-=1

где

^(Л) = аоС0 (То, Л) + До50 (То, Л) + ао^о (То, Л) — (аоДо + ^ (7)

Л(Л) = £ в^5?(Т4 ,Л) П (Г,,Л) = П —-(Т, Л) £ . (8)

'=1 - = 1, -=' - = 1 '=1 1 ^

Функция До(Л) является целой по Л порядка 1/2, и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи Во (д). Решая алгебраическую систему 5 к, получаем по формулам Крамера М-(Л) = Д к-(Л)/До(Л), 5 = 0,1, ] = 0, г, где определитель Д^(Л) получается из До(Л) заменой столбца, соответствующего М|-(Л), на столбец свободных членов. В частности,

м* (л) = - Дщ, к =1г (9)

где

Г

Дк(Л)= ^(Л)акСк (Тк,Л) П а- (Т- ,Л) + ао й(Л)£к (Л), (10)

-=1,-=к

^к (Л)= ДкС' (Тк,Л) П а- 5- (Т- ,Л)+ акС (Тк,Л) ^ в (Т ,Л) П а- (Т- ,Л). (11)

- = 1, -=к '=1,'=к - = 1, -=', к

Отметим, что Д к(Л) получается из До(Л) заменой (Тк,Л), V = 0,1, на (Тк,Л). Функция

Д (Л) является целой Л порядка 1/2 и ее нули совпадают с собственными значениями краевой задачи Вк (д). Функции Д к (Л), к = 0,г называются характеристическими функциями задач В к (д).

Пусть Л = р2, 1тр > 0. Обозначим Л = {р : 1тр > 0}, А5 = {р : а^р € [5, п — 5]}. Известно

(см. [9]), что при каждом фиксированном ] = 0,г на ребре е- существует фундаментальная система

решений уравнения (1) {е-1.(х-,р),е-2(х-,р)}, х- € [0,Т-], р € Л, |р| > р* со свойствами:

1) функции е-^)(х-,р), V = 0,1, непрерывны при х- € [0, Т-], р € Л, |р| > р*;

2) для каждого х- € [0,Т-] функции е-^(х-,р), V = 0,1, являются аналитическими при 1тр > 0, |р| > р*;

3) равномерно по х- € [0,Т-] имеют место асимптотические формулы

е-1 (х-,р) = (гр)^ ехр(грх-)[1], е-^ (х-, р) = (—гр)^ ехр(—грх-)[1], р € Л, |р| ^ го, (12)

где [1] = 1 + 0(р-1).

Зафиксируем к = 1,г. Имеем

Фк-(х-, Л) = А к- (р)е-1(х-, р) + Ак- (р)е-2(х-, р), х- € [0, Т-]. (13)

Подставляя (13) в (2) и (3), получаем линейную алгебраическую систему я* относительно А к- (Л), V = 0,1, ] = 0,г. Определитель 5о(р) системы я к не зависит от к и имеет вид 5о(р) = 2(—2гр)ГДо(Л), р € Л. Кроме того,

Г

5о(р) = ^ ехр ( — гр^Т-) [1], р € Л5, |р| € го. (14)

- =о

Решая алгебраическую систему по формулам Крамера и используя (12) и (14), вычисляем Акк(Р) = [1], Акк(Р) = ехр(2ірТк)[1], р є Л5, |р| є го,

где ак — константа. Вместе с (12) и (13) это дает при фиксированном жк є [0,Тк):

Фкк(жк,Л) = (ір)^ехр(іржк)[1], р є Л5, |р| є го. (15)

В частности, Мк(Л) = (ір)[1], р є Л5, |р| є го. Кроме того, равномерно по жз є [0, 7}],

,Л) = -^((ір)^ехр(ірх^)[1] — (—гр)^ехр(—ірх)[1]), р є Л, |р| ^ го, (16)

■' 2гр V /

, Л) = ^((гр)^ ехр(ірхз)[1] + (—гр)^ ехр(—ірж)[1]^, р є Л, |р| ^ го. (17)

Пусть Лкп = (рПк)2, к = 0, г, — собственные значения краевых задач Вк(0) с нулевым потенциалом

j2

„0 )2

и h0 — 0, и пусть Ak(Л) — характеристические функции задач Bk(0). Согласно (6)-(В) и (10)-(11) имеем

A0(Л) — ((a0 + в0) cos PT0 — (a0в0 + 1^^ J^[ aj “—P^j +

j=1 p

sin pTo sin pTj , .

+ao------------ > в. cos pT. ] I aj------------------------------------------------------, (18)

pp .=1 j=1,j=*

r sin pTj +

j +

Ak (Л) — ((ao + в0) cos pTo — (aoв0 + 1)) ak cos pTk a

j=1, j=k p

sin pT0 (Q ( . ^ N tt sin pTj sin pTj

+ao---^ ^k (—P sin pTk) J] a?---------^ + ak cos pTk ^ в cos PT П a?-----------------------------. (19)

P j = 1, j=k P i=1,i=k j = 1, j=i,k P

Пусть т = Imp. Из (6)-(8), (10)-(11), (16) и (17) вытекает, что при |p| ^ го

Г

До(A) = A°(A) + o(p-r-1 exp (V^ ,

A0l/V^^^ CAP y\‘\/_^-Lj

j=o

r

Ak (л) — Ak (л)+°(p-r exp (|т ^ j) ’ k —1>.

j=0

(2O)

Используя (18)-(20), известным методом (см., напр. [10]), можно получить следующие свойства характеристических функций Дk(A) и собственных значений Ak краевых задач Bk(q), k = 0, r.

1) При p e A, |p| ^ го,

До(^ = o(|p|-rexp (V1 ^, Д(A) = o(|p|1-rexp (V1 ^, k = l~r\

j=° j=°

2) Существуют h > 0, Ch > 0, такие, что

IAo(A)I > ChM r exp (VI ^j’ IAk(A)I > ChH1 r exp (VI ^j,k — l,r,

j=0 j=0

при |т| > Л. Следовательно, собственные значения Лкп = рПк лежат в полосе |1т р| < Л.

3) Число ^к нулей функции Дк (Л) в прямоугольнике П = {р : |1т р| < Л, Ке р € [£,£ + 1]} ограничено по £.

4) Обозначим С5 = {р : |р — роп| > 5 Уп > 0}, 5 > 0. Тогда

Г

I Ao (A)I > C5 Ip— exp (|т I£ j, p Є G5

j

j=0

5) Существуют числа г^ ^ го такие, что при достаточно малом 5 > 0 окружности |р| = г^ лежат в С при всех N.

6) При п ^ го

Рп" = рПк + о( ) •

Хрпк/

Исследуем теперь восстановление характеристических функций по их нулям. Обозначим

лП1 , А°п, если Л^п =0,

АкП Ч „ (21)

1, если Лкп=о.

По теореме Адамара [11, с. 289] имеем

ГО

Д" (А)= АЩ Лкп5г^ , (22)

п=0 Л"п

где

= (г1)“( дЛк Д" (Л0,л=о (23)

,б>Л*к ^ 7У|Л=0

и 5" > 0 — кратность нулевого собственного значения.

Покажем, что

ГО Л _ Л

Дк (Л) = А2П Л°Т0Г~Л • (24)

п=0 кп

В самом деле, по теореме Адамара

ГО

х кп

Лкп г Л

где А" = 0 — константа,

Из (22) и (25) вытекает, что

Д" (Л)= ----, (25)

п=0 кп

I ""п если Лкп = 0,

Л1 =

Лкп

1, если Лкп = 0.

Д"(Л) = тг "Ц тг Л + Л"п г Лкп

до(Л) п=0 Л"п п=л Лкпг Л

цт "(Л) =1 Цт ТГ Г1 + — Л"п^\ = 1

лЛтго ДО (Л) 1 лЛтго 1=1 11+ Л" п г л) 1

п=0 п

следовательно,

О V V к п=0 кп п=0 "п

Используя свойства характеристических функций и собственных значений, получаем для больших отрицательных Л:

Д к(Л)=1 1™ ^ Л , Лкп г Лкп

0

1

А = Ак П# •

п=0 кп

Подставляя это соотношение в (25), приходим к (24).

Таким образом, задание спектра Лк = {Лкп}п>0 однозначно определяет характеристическую функцию Д к(Л) по формуле (24), где А" и {"0!} определены согласно (21), (23), (18) и (19).

3. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 1

В этом разделе мы даем конструктивную процедуру решения обратной задачи 1 и доказываем единственность решения. Сначала мы изучим вспомогательные обратные задачи.

Зафиксируем к = 1, г и рассмотрим следующую обратную задачу на ребре е к, которую назовем 1Р(к).

IP(k). По заданной Мк( Л) построить (к(хк), хк Є [0,Тк].

В обратной задаче 1Р(к) мы строим потенциал только на ребре є&. Однако функция Вейля Мк ( Л) несет глобальную информацию со всего графа. Другими словами, 1Р(к) не является локальной обратной задачей, относящейся только к ребру е&. Установим единственность решения задачи 1Р(к).

Теорема 2. Если Мк( Л) = ММк( Л), то (к(хк) = фк(хк) п.в. на [0, Тк]. Таким образом, задание функции Вейля Мк однозначно определяет потенциал (к на ребре ек.

Доказательство. Определим матрицу Рк(хк, Л) = [РД(ж&, Л)]^>в=і,2 по формуле

Рк (хк, Л)

Тогда (26) дает

Фкк (хк, Л) <Фк (хк, Л) Фкк (хк, Л) ^к(хк, Л)

1 Ф ?г- ^ ?г- х , ) Ф (хк, Л) _ ) ,к (х к Ф 1 ^к (хк,Л) _

(26)

(27)

Фкк(хк, Л) = Р&1 (хк, Л)фкк(хк, Л) + Рк2(хк, Л)Фкк(хк, Л),

£к(хк, Л) = Р^(хк, Л)І?к(хк, Л) + Рі2(хк, Л)І?к(хк, Л).

Так как (Фкк(х&, Л), £к(х&, Л)) = 1, то

Р^хк, Л) = (-1Г(фкк (хк, Л)^к2-^)(хк, Л) - Ф к2к-5)(хк, Л)^к (хк, Л)). (28)

Из (15), (16) и (28) вытекает, что

РІ5 (хк 5 Л) = ^ 1 в + 0(р І)5 Р Є Л 5 И ^ ГО, хк Є (0, Тк]. (29)

Согласно (4) и (28) имеем

Р^хк, Л) = (-1)*((Ск(хк, Л)^к2-в) (хк, Л) - (7к2-5) (хк, Л)$к(хк, Л)) +

+(Мк( Л) - ММк( Л))3к(хк, Л),§к2-5)(хк, Л)'

Так как М*( Л) = М^( Л), то при каждом фиксированном ж* функции Р^Дж*, Л) являются целыми по Л порядка 1/2. Вместе с (29) это дает Р^ (ж*, Л) = 1, Р^2(ж*, Л) = 0. Подставляя эти соотношения в (27), получаем Ф^(ж*, Л) = Ф(ж*, Л) и (ж*, Л) = (ж*, Л) при всех ж* и Л, следовательно,

0%(ж*) = с[к(ж*) п.в. на [0,Т*]. □

Используя метод спектральных отображений [5], можно построить конструктивную процедуру решения обратной задачи 1Р(к). Здесь мы дадим краткие пояснения; подробнее см. [5]. Возьмем

? §]_д рж* —

Л = 0. Тогда £& (ж*, Л) = -. Положим Л ' = г]а1п(Лог, Лог) и возьмем фиксированное 5 > 0.

В Л-плоскости рассмотрим контур 7 (с обходом против часовой стрелки) вида 7 = 7 + и 7- и 7', где 7± = {Л : ±1т Л = 5; Ке Л > Л'}, 7' = {Л : Л — Л' = 5ехр(га), а е (п/2, 3п/2)}. При каждом фиксированном ж* е [0, Т*] функция б* (ж*, Л) является единственным решением линейного интегрального уравнения:

^ (ж*, Л) = ». (ж*, Л) + В к (ж* Ад)»* (ж* , д) йд, (30)

где .О * (ж, Л, д) = ? (£, Л)? (£,д)М* (д) й£, Мk (д) = М* (д) — ММk (д). Потенциал д* на ребре е*

о

может быть построен из решения интегрального уравнения (30) по формуле

о* (ж*) = 2П] / (»* (ж*, Л)»?* (ж*, Л^'М* ( Л) йЛ

или по формуле д*(ж*) = Л+б'^ж*, Л)/»*(ж*, Л). Также возможно построить потенциал по дискретным спектральным данным. Для этого надо вычислить интеграл в (30) по теореме о вычетах и привести (30) к уравнению в пространстве последовательностей; подробнее см. [5].

Рассмотрим следующую вспомогательную обратную задачу на ребре е0, которую назовем 1Р(0).

№(0). По заданным й( Л),Л,( Л), О построить д0(ж0), ж0 е [0, Т0].

Эта обратная задача изучалась в [12-13] и других работах в несколько другой эквивалентной

Напомним, что H( Л) = a0C0(T0, Л) — во^о(Т0, Л), = sign H(vn), где {vn}n> 1 — нули функции h( Л).

Ясно, что

Множество {vn,an}n> 1 называется спектральными данными called для потенциала q0. Известно (см. [1-6]), что функция q0 однозначно строится по спектральным данным {vn,an}n> 1. Таким образом, IP(0) решена, и справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Задание d( Л), h(Л), О однозначно определяет потенциал q0(x0) на [0, Т0]. Функция q0 может быть построена по следующему алгоритму.

Алгоритм 1. Заданы d( Л), h(Л), О.

1) Находим {vn}n> 1 — нули функции h( Л).

2) Строим G( Л) по формуле (31).

3) Вычисляем H(vn) согласно (33).

4) Находим S0(T0,vn) по формуле (32).

5) Вычисляем {a}n> 1, используя (34).

6) Строим q0 по спектральным данным {vn,an}n> 1, решая классическую обратную задачу Штурма

- Лиувилля.

Перейдем теперь к решению обратной задачи 1. Сначала дадим доказательство теоремы 1. Предположим, что А* = Лk, k = 0, r и О = О. Тогда, согласно результатов пункта 2, имеем

Так как О = О, то из теоремы З вытекает q0(x0) = '0(x0) п.в. на [0,To], и теорема l доказана.

постановке. Для удобства опишем здесь кратко решение задачи 1Р(0). Обозначим С( Л) = а0С0(Т0, Л) + в0»0(Т0, Л). Имеем

G(a) — d( Л) — ao hoh( Л) + (ao^o + 1).

(3І)

(32)

Так как (Co(To, Л), So(To, Л)) — 1, то

H2( Л) — G2( Л) = —4ao^o(1 + C0(To, A)h(Л)),

следовательно,

H (v,) = шпЛ/ G'2(v„) — 4ao e,.

(33)

a, = h(v„ )S0 (To, v„), h(A) =

(34)

A* ( Л) — A k ( Л), k = 0,r.

Применяя теорему 2 при каждом фиксированном k = 1,r, получаем

qk(xk) = 'k(xk) п.в. на [0,T*], k = 1,r,

следовательно,

Ck (xk, Л) — Ck (xk, Л), Sk (xk, Л) — Sk (xk, Л), k 1,r, xk Є [0, Tk].

Учитывая (6) и (lO), имеем

d( Л) = d( Л), h( Л) = h( Л).

Решение обратной задачи 1 может быть построено по следующему алгоритму.

Алгоритм 2. Заданы Лк, к = 0, г и О.

1) Построим Дк( Л), к = 0, г по формуле (24), где А и {Лк П} определены в (21), (23), (18) и (19).

2) Находим Мк( Л), к = 1,г по формуле (9).

3) При каждом к = 1,г решаем задачу 1Р(к) и находим (к(хк), хк Є [0, Тк] на ребре ек.

4) При каждом к = 1, г строим Ск(хк, Л),^к(хк, Л), хк Є [0, Тк].

5) Вычисляем й( Л) и Л,( Л), используя (6) и (10).

6) Строим (0(х0), х0 Є [0, То] по й( Л),Н( Л), О, используя алгоритм 1.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 07-01-00003, 07-01-92000-ННС-а).

Библиографический список

1. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977.

2. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М.: Наука, 1984.

3. Beals R, Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line, Math. Surveys and Monographs. V.28. Amer. Math. Soc. Providence: RI, 1988.

4. Freiling G., Yurko V.A. Inverse Sturm - Liouville Problems and their Applications. N.Y.: NOVA Science Publishers, 2001.

5. Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

6. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

7. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004.

8. Yurko V.A. Inverse spectral problems for Sturm -Liouville operators on graphs II Inverse Problems. 200б. V. 21. P. 107б-1086.

9. Naimark M.A. Linear Differential Operators, 2nd ed., M.: Nauka, 1969; English transl. of 1st ed. P. I, II. N.Y.: Ungar, 1967, 1968.

10. Bellmann R, Cooke K. Differential-difference Equations. N.Y.: Academic Press, 1963.

11. Conway J.B. Functions of One Complex Variable, 2nd ed. V. I. N.Y.: Springer-Verlag, 199б.

12. Станкевич И.В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла II Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. З4-З7.

13. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла || Мат. сб. 197б. Т. 97. С. б40-606.