Алгоритм решения обратной задачи Штурма - Лиувилля на звездообразном графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Согласно предложению 1 и определению функции р имеем

р—1 р—1 р—1

^ = £ Рл^/л = £ - £ е—¥^(г—1,9—1)—Х'(т—1,9—1 Г/л = А=0 л=0 - *=0

= - £ е-? —> £ -1_е—? /А = Е -_е *—</) = /—а, V- *=0 л=0 V- *=0 V-

откуда и следует предложение 2, так как разность V—а в /—а понимается как вычитание по mod2. □

Замечание. Если ключ к есть произвольный вектор, принадлежащий множеству [0,- — 1]р, то зашифрованное сообщение С = (ск )|=0 не обязано быть перестановкой исходного сообщения. Например, при - = 11,

/ = (сое//%с%еп^) зашифрованное сообщение С = (9 Ь,к9%99] ос1).

-

-

одинаково независимо от его положения в сообщении. Детальное изучение криптоустойчивости данного и близких к нему алгоритмов предполагается в дальнейшем.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1) и РФФИ (проект 10-01-00097-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А гаев Г. //.. Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981.

2. Лукомский С. Ф. Кратномаештабный анализ на нуль-мерных абелевых группах и веплеековые базисы // Мат. сб. 2010. Т. 201, № 5. С. 41-46.

3. Саломаа А. Криптография с открытым ключом. М. : Мир, 1995.

УДК 517.984

Т. В. Мазур

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ НА ЗВЕЗДООБРАЗНОМ ГРАФЕ

В статье предлагается алгоритм решения обратной задачи Штурма — Лиувилля на звездообразном графе, использующий ряд соотношений метода спектральных отображений и требующий относительно небольшого количества операций.

Пусть Т - граф-звезда с множеством вершин {у }р=0 и множеством рёбер {е^}р=1, = ,Vj]. Предположим, что длина каждого ребра равна 1. Каждое ребро рассматривается как отрезок [0,1] и параметризуется параметром х £ [0,1]. Для пас удобно выбрать следующую ориентацию на каждом ребре: x = 1 соответствует вер шине у0.

Функция У на Т может быть представлена как вектор У(х) = = [Уj(х)]р=1, х £ [0,1]. Пусть д = ^(х)]рР=1 - веществеппозначная функция на Т такая, что qj(х) = о?(х), о? £ Ь2[0,1]. Назовём функцию а = [аj (х)]Р=1 потенциалом. Дифференциальный оператор Штурма — Лиувилля на ребре ej определяется следующим выражением [1]:

^ Уj = —(У?1])' - а (х)У^] - а2(х)У,

,[1] .

где у? := Уj — о?yj - квазипроизводная, и

¿ОШ(/?) = у |у £ [0,1], у]1] £ ^[0,1],1?У? £ Ь2[0,1].

Т

у? = аУ? , х £ [0,1], 3 = (1)

где у? £ ), и функции у? удовлетворяют следующим условиям

склейки во внутренней вершине -и0:

У? (1)= Ук (1), 3,к = 1,р, (2)

£ у?1](1) = 0. (3)

Обозначим и у (У) := у|1](0), 3 = 1,р, и рассмотрим краевую задачу В0 для уравнения (1) с условиями склейки (2), (3) и с краевыми условиями

и?(У) = 0, 3 = 1,р.

Мы также будем рассматривать краевые задачи Вк, к = 1,р, для уравнения (1) с условиями склейки (2), (3) и с краевыми условиями

Ук (0) = 0, и (У) = 0, 3 = 1,р\к.

Пусть Фк(х,А) = [Ф^(х,А)]р=1, к = 1,р - решения уравнения (1), удовлетворяющие (2), (3) и краевым условиям

и (Фк) = 6?ь , (4)

59

где ^ - символ Кронекера. Обозначим Мк(Л) := Фкк(0,А), М(А) = = [Мк(А)]к=1- Функция Мк(А) называется функцией Вейля для уравнения (1) относительно вершины Ук. М(А) называется вектором, Вейля. Рассмотрим следующую обратную задачу.

Задача. По заданному вектору Вейля М определить потенциал а. Отметим, что понятие вектора Вейля является обобщением понятия функции Вейля (ш-функции) для классического оператора Штурма — Лиувилля на интервале [2]. Как и в классическом случае, можно показать, что функции Мк(А) являются мероморфными по А:

«<■>*=ш,

где Дк(А) являются характеристическими функциями краевых задач Вк. Нули Лк := {Акп}п>о целой функции Дк(А) вещественны и совпадают с собственными значениями В

Наряду с Т рассмотрим дерево Т того же вида, но с другим потенциалом Т. Всюду далее, если символ а обозначает объект, относящийся к Т, то а будет обозначать аналогичный объект, относящийся к Т, и а := а — а.

М

циал а на Т. Решение обратной задачи может быть получено по формуле

Тк(х) = —шк(х) — — I фк(х,А)фк(х,А)Мк(А)^А, (5)

пг,/ г

где

шк(х) = — Ит рМк(р2) сое 2ржф, (6)

пг N^с» у^

а фк (х, А) - решения уравнения (1) на ребре бк при начальных условиях

Фк(0, А) = 1, (к1](0,А) = 0. (7)

^ _ контур в р-плоскости, 7 = 7(т) := (—» + гт, +» + гт), где т > 0 такое, что гп/{Лк и Лк} > —т2. Г - контур в А-плоскости, являющийся отображением 7 при А = р2.

М

модельный оператор с потенциалом Т. Введём отображение S: по заданному а построим для каждого А решения фк(х, А) задачи Коши (1), (7). Подставляя найденные таким образом фк (х, А) в правые части соотношений (5), (6), получим новый потенциал Т Определим S как отображение,

60

ставящее потенциалу а в соответствие полученный указанным способом потенциал а. Из предыдущего ясно, что потенциал а0, являющийся решением обратной задачи для данного М, является неподвижной точкой отображения £ Наряду с отображением £ рассмотрим отображение SN, определяемое так же, как и £ но с заменой в правой части (6) бесконечного контура на = 7N(т) := (—N + %т, N + %т). Предлагаемый численный метод решения обратной задачи состоит в том, что в качестве приближённого решения принимается неподвижная точка отображения которая ищется с помощью метода последовательных приближений [3]. При этом число N должно быть выбрано до начала итераций, исходя из предварительного анализа данных, а также из имеющейся априори информации о решении.

Алгоритм. Дан вектор Вейля М(Л).

1. Выбираем модельную задачу В. Например, ак(х) = 0. Выбираем N.

2. Выбираем начальное приближение: а'0'1 := Гк(х).

3. Для каждого г = 0,1, 2,... выполняем следующие шаги:

(!) для ак = акг 11 находим р(х, Л) как решение задачи Коши (1), (7).

(11) находим следующее приближение из соотношений

a(r)(x) = -mk(x) - — I (x, Л) - фк(x, A))<£jfe(x, A)Mk(A)dA,

J г

1

mk(x) = —: pMk(p2) cos 2pxdp.

рмк (р2'

'7 N

Для прекращения итераций можно использовать любой из общепринятых критериев.

Проведённые численные эксперименты показали, что метод сходится достаточно быстро (для широкого класса задач при выборе 20 < N < 50 для достижения хорошего качества восстановления оказалось достаточно 10 - 20 итераций).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Fretting G., Ignatiev Л/.. Yurko V. An inverse spectral problem for Sturm — Liouville operators with singular potentials on star-type graphs // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 2008. Vol. 77, P. 397 - 408.

2. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М, : Физматлит, 2007. 384 с.

3. Ignatiev Л/.. Yurko V. Numerical Methods for Solving Inverse Sturm — Liouville Problems // Result. Math. 2008. Vol. 52. P. 63 - 74.