Обратная спектральная задача для дифференциальных операторов на некомпатных пространственных сетях Текст научной статьи по специальности «Математика»

где^1(а), Ф2(а) суть О (а4).

Доказательство. Подставляем выражение для B(x,t) и (2) в (3), обозначаем внутренний интеграл в (3) через J. Получаем

( (1 _ cha1(1-x)sha1t) t < x

т _ j af V sha1 '' — '

J j chaixshai(l-t) t > X \ afshai '

Отсюда получаем A 1(Ta,MB) _ sup {[4—h— (ch2а1 (1 — x)sh2a1x+

0—x—1 ais ai

+ ch2a1 xsh2a1(1 — x)) — xch ai(1—^^x)ch2aix ](1 + O(a))} 2.

Далее, заменяем гиперболические функции их выражениями через экспоненты, а1 выражаем через а, учитываем, что 1 + О(а)2 _ 1 + О(а), а

max \xe—2aix + (1 — x)e—2ai(1—x)] _ e—ai,

xe[0,1]

и приходим к утверждению теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (прект 10-0100270) и гранта Президента РФ (проект НШ-4888.2010.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

2. Хромова Г.В. О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов, сер, 2001, Т. 1, Сер, Математика, Механика, Информатика, вып. 2, С, 75-78,

3. Хромова Г.В. Об одном способе нахождения приближенных решений операторных уравнений первого рода / / Дифференциальные уравнения и вычислительная математика: межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1973. Вып. 3. С. 58-79.

4. Хромова Г. В. О модулях непрерывности неограниченных операторов j j Изв. вузов. Сер. Математика. 2006. № 9(532). С. 71-78.

5. Хромова Г. В. Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода // ДАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.

УДК 517.984

В.А. Юрко

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА НЕКОМПАТНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТЯХ

1. Исследуется обратная задача восстановления операторов

Бесселя на некомпактных звездообразных графах. Доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура решения

обратной задачи. Отметим, что обратные задачи на компактных графах исследовались в [1-3] и других работах.

Рассмотрим некомпактный звездообразный граф Т в с

множеством вершин V = {^о,..., ур} и множеством ребер Е = = {е0,...,ер}, где вц = [гц, г>0], $ = 1,р — конечные отрезки, а е0 = [^0,^р+1 ) — луч, ^р+1 := то. Пусть /ц — длина ребра вц ] = 1,р. Каждое ребро вц ] = 1,р, параметризуется параметром Xj Е [0,/ц] так, что начальная точка ^ соответствует Xj = 0, а конечная точка г>0 соответствует Xj = /ц Л у ч е0 = [г>0, то) параметризуется параметром х0 Е [0, то) так, что х0 = 0 соответствует вершине у0.

Интегрируемая функция У па Т имеет вид: У = {уц}=0~р, где функция у (хц) определена па ребре вц Пусть я = {яц} =0тр — интегрируемая функция на Т; Я называется потенциалом. Рассмотрим

Т

-у/(х?) + + Яц (х Л у (х) = Хуц (х), $ = (1)

чх? 7

со стандартными условиями склейки в вершине-и0 (см. [2]). Здесь ыц = = V2 —1/4, Яе^ц > 0, V' Е N = 1/2, и комплекснозначные функции Яц (хц)х* интегрируемы па вц Введем линейные формы:

\к-1

j(yj) := (-1) (yj(xj), Sj,3-k(xj, А))х=о, к = 1 2, j = ^

где (y,z) := yZ — y'z, a {Sjm(xj, A)}m=i;2 — фундаментальная система решений Бесселя уравнения (1) на ребре ej такая, что Sjm(xj, A) —

- Cjm j", Xj ^ 0, j = ( —1)mVj + 1/2, Cjij = (2Vj) —\ (Sj ij = 1

[4]. Рассмотрим вектор h = [hj]j=rp, где hj — комплексные числа. Положим Uj (yj) = oj (yj) — hj Oj i(yj), Vj (yj) = Oj i(yj ). Пусть A = = p2, Imp > 0, и пусть e(x0,p) — решение Йоста [1] на ребре e0, a ^j (xj, A) — решение на pебре ej при условиях Vj- (^j) = 1, Uj (^j) = 0. Зафиксируем k = 1, p. Пусть Фк = {^kj }j=op _ решение

уравнения (1) на T, удовлетворяющее условиям склейки

p

^(j,A) = Ы0,А), j = 1P, £>kj(j,A) = ^ko(0,A) (2)

j=i

и граничным условиям

и(^) = ^, $ = 1,Р, ^0(х0,Х) = 0(ехр(^рх0)), х0 ^ то, (3)

где — символ Кронекера. Функцию Мк(Х) := Ук(^кк) будем называть функцией Вейля относительно вершины -ик, а вектор М(Х) = = [Мк(Х)]к=1,р — вектором Вейля.

Обратная задача. Дан вектор Вейля М(А) построить потенцнал д на графе Т и вектор к.

2. Функции Вейля имеют вид

М (А) = А (р)

где

Д(р)'

Д(р) = Go(A)e'(0, р) — go(A)e(0, р), Дк(р) = Gk(A)e'(0,р) - дк(A)e(0,p),

(4)

p ij(j,A)

Go(A) = Ц di,A), go(A) = Go(A)E Бта] , (5)

j = 1 j = 1 ' j ^ j' '

(л)

a Gk(A) и gk(A) получаются из G0(A) и g0(A) заменой ik)(lk,A) на

/л)

Sf£(lk, A), С = 0,1. Обозначим = {р : argр G [ö, n — ö]}. Зафиксируем

k = 1,p, С = 0,1 и xk G (0, lk). Тогда при |р| ^ ж, р G справедливы асимптотические формулы:

if (xk, A) = (2i)-1bkрик-1/2(—1р) exp(—грхк)[1], ^¡(xk, A) = (bk)-V-Vk-1/2(гр)« exp(грхк)[1], Mk (A) = b°k (bk )-1р-2ик [1], [1] = 1 + 0(р-), ö = min(1, 2Revi,..., 2Revp).

(6)

где константы Ьк и Ьк вычисляются по Ск1, ск2- Используя условия склейки (2) и граничные условия (3), вычисляем:

Фкк(хк, А) = ^(жк, А) + Мк(А)<(хк, А), (7)

■фк](х3, А) = Мк3(А)<(х3,А), з = к, фко(жо, А) = Мко(А)е(хо, р), (8) где

М (А) = е(0,Р)<1(11,А) ••• <р(1р,А) (9)

^ (А)= А(р)<(/к,А)<(13, А) , (9)

Mko(A) =

ii(li, A) • • • ip(lp,A)

А(р)< (/к, А) М(А)

потенциал д на Т и вектор к.

Решение обратной задачи строится следующим образом. 1) Для каждого фиксированного к = 1,р решаем вспомогательную обратную задачу: по заданной функции Вейля Мк (А) построить потенциал дк на ек и число кк- При этом используются асимптотические формулы (6), соотношение (7) и метод спектральных отображений [1].

2) Строим решения (хк, Х) и 5к2(хк, Х) та ребре ек, а затем (хк, Х) по формуле (7).

3) Используя условия склейки (2), вычисляем^? (/ц, Х), ] = 1,р:

^ (/ц, Х) = ^кк(/к, Х).

4) Строим Мц (Х) из соотношений (8):

Мц (Х) =

5) Находим Go (А) и go (А) из (5).

6) Вычисляем из (9):

Д(р) cpi(Zi, А) ••• (1p,А)

e(0,p) Mkj(A)^k(1k,A)^j(j, А) ' e'(0, p)

7) Строим М0(А) := ' , используя (4):

6(0,p)

м0<а' = ¿y ( go(4

8) Решая обратную задачу на ребре e0, строим потенцпал q0 по известной функции Вейля М0(А) (см. [1]).

Таким образом, мы установили единственность решения обратной задачи на графе T и указали конструктивную процедуру построения этого решения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099 и 10-01-92001-ННС).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит, 2007.

2. Yurko V.A. Inverse spectral problems for Sturm—Liouville Operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 21. P. 1075-1086.

3. Юрко В.A. Обратная задача для операторов Штурма—Лиувилля на произвольных компактных пространственных сетях // ДАН. 2010. Т. 432, 3. С. 318-321.

4. Freiling G., Yurko V.A. Inverse problems for differential operators with singular boundary conditions // Mathematishe Nachrichten. 2005. Vol. 278, № 12-13. P. 1561— 1578.