О решениях некоторых краевых задач для общего уравнения КдФ Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Ульянов П. Л. A-интеграл и его применение к теории тригонометрических рядов // УМН. 1955. Т. 10, № 1. С. 189-191 [Ul'yanov P. L. The A-Integral and its Application in the Theory of Trigonometric Series // UMN. 1955. Vol. 10, № 1. P. 189-191.]

4. Ульянов П. Л. A-интеграл и сопряженные функции // Учен. зап. Моск. гос. ун-та. 1956. Т. VIII, вып. 181. С. 139-157. [Ul'yanov P. L. The A-Integral and Conjugate Functions // Uchen. Zap. Mosk. Gos. Univ. 1956. Vol. VIII, iss. 181. P. 139-157.]

5. Лукашенко Т. П. Об A-интегрируемости функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 6. С. 59-63. [Lukashenko T. P. On the A-Integrability of Functions // Vestn. Mosk. Gos. Univ. Ser. 1. Matem. Mekh. 1982. № 6. P. 59-63.]

6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физ-матгиз, 1961. 936 с. [Bari N. K. Trigonometric Series. Moscow : Fizmatgiz, 1961. 936 p.]

УДК 517.95 517.984

М. Ю. Игнатьев

Саратовский государственный университет E-mail: IgnatievMU@info.sgu.ru

В работе рассматривается общее уравнение иерархии Кортевега-де Фриза (КдФ). Изучаются краевые задачи для данного уравнения с неоднородными граничными условиями специального вида. Построен широкий класс решений изучаемых задач. Построение основано на идеях метода обратной спектральной задачи.

Ключевые слова: иерархия КдФ, краевые задачи, интегрируемость, метод обратной задачи.

ВВЕДЕНИЕ

7. Ефимова М. П. О свойствах Q-интеграла // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 3. C. 340-350. [Efimova M. P. On the Properties of the Q-Integral // Math. Notes. 2011. Vol. 90, № 3. P. 322-332.]

8. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М. : Факториал, 1998. 160 с. [D'yachenko M. I., Ul'yanov P. L. Measure and the Integral. Moscow : Faktorial, 1998. 160 p.]

9. Бонди И. Л. Замена переменной в A-интеграле // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. 1962. № 188. C. 3-21. [Bondi I. L. The Change of Variable in the A-Integral // Uchen. Zap. Mosk. Gos. Ped. Inst. 1962. № 188. P. 3-21.]

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. М. : Наука, 1976. 543 с. [Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Mineola; New York : Dover Publications, 1999.]

On Solutions of Some Boundary Value Problems for General KdV Equation

M. Yu. Ignatyev

This paper deals with the general equation of Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy. A boundary-value problem with certain inhomogeneous boundary conditions is studied. We construct the wide class of solutions of the problem using the inverse spectral method.

Key words: KdV hierarchy, boundary-value problems, integrability, inverse spectral method.

О РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КдФ

Известно, что исследование краевых и смешанных задач для интегрируемых нелинейных уравнений сталкивается со значительными трудностями принципиального характера. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в этой области в последние годы [1-4], в общем случае здесь не удается применить метода обратной спектральной задачи с той же эффективностью, как в случае задачи Коши на всей оси: процедура построения решения включает шаг, состоящий в решении нетривиальной существенно нелинейной задачи. Исключение составляют задачи с граничными условиями специального вида [5-7], которые часто называют интегрируемыми, или линеаризуемыми. В этом случае удается, используя идеи метода обратной задачи, построить широкие классы решений краевых задач [7,8], в ряде случаев дать (полное или частичное) решение смешанных задач [1-3,9], исследовать поведение решений на больших временах[4]. Отметим, что исследование краевых и смешанных задач существенным образом опирается на структуру матриц, входящих в представление нулевой кривизны для данного уравнения. Поэтому все полученные на данный момент результаты относятся к тому или иному конкретному интегрируемому уравнению и не могут быть непосредственно обобщены на какие-либо классы уравнений.

В настоящей работе подход, основанный на идеях метода обратной спектральной задачи, применяется к исследованию некоторых краевых задач для класса уравнений, являющегося подмножеством иерархии КдФ. Построен класс точных решений, включающий в себя, в частности, солитонные и конечнозонные решения.

© Игнатьев М. Ю., 2013

М. Ю. Игнатьев. О решениях некоторых краевых задач для общего уравнения КдФ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим общее уравнение КдФ (см., например, [10]):

я —^ с XV (я).

(1)

;=0

Здесь (я) — многочлены относительно я и ее производных, определяемые следующим образом:

Х — +1,

р1=- 2 я,

Р'+1 — ИР;,

1 й3 п й . 2 ах3 ах

Введем многочлены вп(х; я) относительно я и ее производных по следующим рекуррентным формулам:

п — 1

в1 — я, вп+1 — —вП — ^^ вивп — V-

; = 1

Определим Ьп(я) :— вп(0; я). Ясно, что Ьп(я) — многочлены относительно значений я и ее производных при х — 0.

Объектом изучения в данной работе является краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями:

Ьп(я) — ап, п — 1, 25 — 1, (2)

где ап — вещественные числа, которые определяются следующим образом.

1 5

Предположим, что все корни многочлена ^(р) — — 2р С (2р2у чисто мнимые, иначе говоря, ^ может быть записан в следующем виде:

=0

У(Р)— 45 ^(Р2 —

=1

где йп — — §П, 0 < < ... < 53. Введем многочлен /(Л) :— 16еЛ П (Л — ^)2 и рассмотрим уравнение

=1

Обозначим через д— точную нижнюю грань множества таких д, что все корни уравнения (3) ве щественны. Пусть выбрано произвольное д* е (д—, 0). Рассмотрим (3) с д — д* и обозначим его корни 0 > с0 > с1 > с1 > ... > се > с'3 (рисунок). Заметим, что /'(с,) <

< 0. Определим многочлен д(Л) :—

в

— 4е П (Л — ) и числа ап как ко-

V=1

эффициенты следующего ряда Лорана:

¿^(Р) — ¿Р + £ ап

п=

9 (Р2)

- (2*р)п.

/(Л) — д.

Корни уравнения (3)

(3)

в

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Напомним [11], что класс В(д), д е (—го, 0), определяется как множество быстро убывающих на ±го вещественнозначных безотражательных потенциалов, все собственные значения которых лежат на [д, 0). Класс В(д) определяется как замыкание В(д) в топологии равномерной сходимости на

Математика

47

компактных подмножествах вещественной оси, В := и В(д). Отметим, что помимо безотражатель-

^<0

ных потенциалов (соответствующих солитонным решениям уравнений иерархии КдФ) класс И + В содержит также все конечнозонные потенциалы.

Для заданной вещественной функции q(x), х е (—го, го), рассмотрим операторы Штурма-Лиувилля Ь±, порожденные на полуосях (-го, 0), (0, +го) дифференциальным выражением 1у = —у'' + я(х)у и краевым условием у(0) = 0. Через т±(А) обозначим функции Вейля-Титчмарша операторов Ь±.

Функцией Вейля-Марченко назовем функцию, построенную следующим образом:

/ ч |т+(р2), 1тР > 0, т(р) = < 2

I т—(р2), 1тр < 0.

Известно [11], что для функций класса В соответствующие функции Вейля-Марченко голоморфны вне некоторого отрезка мнимой оси. Более точно, заданная функция т является функцией Вейля-Марченко для некоторой q е В(—д2) тогда и только тогда, когда она допускает представление

( ) • + • Га ^(О

т( р) = гр + г --,

—а р — К

где а — неубывающая функция, а < д и /—а ) < д2. 3. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Теорема 1. Пусть Q — произвольная функция из класса B(д*), д* е (д*, 0) и пусть M(T, ■) — функция Вейля-Марченко для QT(t) := Q(t + T). Далее, определим w как решение задачи Коши:

w + w2 = Q(t) - д*, w(0) = w0 (4)

с произвольной w0 е (M(0, i у/|д* |), M(0, —i^J|д* |)). Тогда функция m(t, ■), определяемая равенством

m = MЫ - w(t) , (5)

g(p2)

является функцией Вейля-Марченко для некоторой q(^t) е B и функция q(x,t), —ж < x < ж, t > 0, является решением краевой задачи (1), (2) на каждой из полуосей x е (—ж, 0], x е [0, ж).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и и Национального научного совета Тайваня (проекты 10-01-00099, 10-01-92001-ННС).

Библиографический список

1. Fokas A. S. Integrable Nonlinear Evolution Equations 6. Adler V., Gurel B., Gurses M, Habibullin I. Boundary on the Half-Line // Comm. Math. Phys. 2002. Vol. 230. conditions for integrable equations // J. Phys. A. 1997. P. 1-39. Vol. 30, № 10. P. 3505-3513.

2. F°kas A. S, Its A. R., Sung L. Y. The Nonlinear 7. Адлер В. Э., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Кра-Schroedinger Equation on the Half-Line // Nonlinearity. еВая задача для уравнения КдФ на полуоси // Теорет. 2005. V°L 18. P. 1771-1822. и мат. физ. 1997. Т. 110, № 1. С. 78-90. [Adler V.,

3. Boutet de Monvel A., Fokas A. S., Shepelsky D. Khabibullin I., Shabat A. A boundary value problem for Integrable Nonlinear Evolution Equations on a Finite the KdV equation on a half-line // Theoret. and Math. Interval // Comm. Math. Physics. 2006. Vol. 263, № 1. Phys 1997 Vol 110 № 1 P 78-90 ]

P. 1-133.

4. Fokas A. S., Lenells J. Explicit soliton asymptotics 8. Ignatyev M Yu On solutions of an integrable

for the Korteweg-de Vries equation on the half-line // boundary-value problem for the KdV equation on the

Nonlinearity. 2010. Vol. 23. P. 937-976. semi-axis. Preprint SM-DU-732. Duisburg, 2001. 18 p.

5. Склянин E. К. Граничные условия для интегри- 9. Игнатьев М. Ю. О решении одной смешанной за-руемых уравнений // Функц. анализ и прил. 1987. дачи для уравнения КдФ на полуоси // Spectral and Т. 21. С. 86—87. [Sklyanin E. Boundary conditions for Evolution Problems : Proc. of the Twentieth Crimean integrable equations // Funct. Anal. Appl. 1987. Vol. 21. Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 20. P. 86-87.] Simferopol, 2010. P. 141-144. [Ignatyev M. On solution

48

Научный отдел

Б. А. Кац и др. О разрешимости задачи о скачке на негладкой дуге

of one initial boundary value problem for KdV equation on Sturm-Liouville Problems. Utrecht : VNU Sci. Press,

the semi-axis // Spectral and Evolution Problems : Proc. 1987. 240 p.]

of the Twentieth Crimean Autumn Mathematical School- 11. Marchenko V. A. 1991 The Cauchy problem for the

Symposium. Vol. 20. Simferopol, 2010. P. 141-144.] KdV equation with non-decreasing initial data // What is

10. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувил- integrability? Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1991.

ля. М. : Наука, 1984. 240 с. [Levitan B. M. Inverse P. 273-318.

УДК 517.544

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ

0 СКАЧКЕ НА НЕГЛАДКОЙ ДУГЕ

Б. А. Кац1, С. Р. Миронова2, А. Ю. Погодина3

1 Казанский (приволжский) федеральный университет E-mail: katsboris877@gmail.com

2Казанский научно-исследовательский технический университет

E-mail: srmironova@yandex.ru

3Саратовский государственный технический университет E-mail: apogodina@yandex.ru

Исследуется разрешимость краевой задачи о скачке на негладкой дуге в случае, когда скачок имеет особенность на одном из концов этой дуги.

Ключевые слова: негладкая дуга, интеграл типа Коши, задача о скачке.

Solvability of the Jump Problem on Non-smooth Arc

B. A. Kats, S. R. Mironova, A. Yu. Pogodina

We study solvability of the jump problem on non-smooth arc for the case, where the jump has a singularity at one of end points of the arc.

Keywords: non-smooth arc, Cauchy type integral, jump problem.

Пусть Г есть простая жорданова дуга с началом в точке О и концом в точке 1. Задача о скачке — это краевая задача о нахождении голоморфной в С \ Г функции Ф(г), имеющей в каждой точке * е Г \ {0,1} предельные значения слева и справа Ф+ (*) и Ф— (*) соответственно, связанные краевым условием:

Ф+ (*) — Ф—(£)— 9(£), * е Г \{0,1}, (1)

а также удовлетворяющей оценкам

|Ф(г)| < С|г|—7, |Ф(г)| < С|г — 1|—7, (2)

где 7 — 7(Ф) е [0,1). Эта задача имеет большое значение в теории краевых задач (см., напр., [1,2]).

В данной работе рассматривается случай, когда скачок 9 имеет в точке 0 особенность порядка р, т.е. 19(£)| < С|*|—р, 0 < р < 1, а вне любой окрестности начала координат удовлетворяет условию Гёльдера. В случае, когда дуга Г кусочно-гладкая, решение такой задачи дается интегралом типа Коши:

Ф(*) — — /9^, (3)

причем в точке 0 функция Ф также имеет особенность порядка р.

Здесь мы покажем, что на негладкой дуге порядок этой особенности может возрасти и получим достаточное условие разрешимости задачи о скачке на негладкой дуге.

Пусть А есть компактное множество на комплексной плоскости. Пространство Гёльдера И (А), V е (0,1], состоит из заданных на А функций /, для которых конечна величина

НV(/, А) :— : е А,*' — *''}.

Для демонстрации феномена повышения порядка особенности интеграла типа Коши за счет негладкости контура мы построим следующее двупараметрическое семейство дуг. Фиксируем зна-

те

чения а е (0,1) и в > 1 и положим ак — С—1 (а + 1)к—а—1, хп — ^ ак. Тогда х1 — 1, хп х п—а и ряд

к=п

те

^2 хп расходится. Далее, положим хп — хп — аЩ; очевидно, хп > хп+1. Рассмотрим вертикальные

п=1

© Кац Б. А., Миронова С. Р., Погодина А. Ю., 2013 49