CC BY
12
М. Ю. Игнатьев
УДК 517.95
О РЕШЕНИИ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДФ НА ПОЛУОСИ С НЕОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ *
Рассмотрим смешанную задачу
q,-6qqx+qxxx= 0,X>0,t>0; (])
q(0,t) = a,qxx(0,t) = b- (2)
q(x,0) = qt(x), (3)
где a,b — вещественные константы.
Известно, что задача (1) - (3) имеет бесконечно много интегралов движения и высших симметрии [1, 2]. В [2] построены и исследованы ко-нечнозонные, солитонные и некоторые другие частные решения уравнения КдФ, удовлетворяющие краевым условиям (2).
В настоящей статье предлагается способ применения к задаче (1) — (3) схемы метода обратной спектральной задачи, позволяющий свести решение данной задачи к решению ряда классических обратных задач Штурма - Лиувилля. Введем в рассмотрение функцию
/(А.) = 16А,3 - 4(3а2 - Ь)1 + 2аЪ - 4а3.
Далее предполагаем для определенности, что а > О, Ъ < 0. В этом случае функция /(X) имеет 3 вещественных корня c¡ <с2 <с3, причем с2=-а/ 2, и 2 локальных экстремума dx=-c / y¡3, d2 = с/>/з, где За2-Ъ = 4с2, с > 0. Обозначим ц =f(dt), \x,=f{d2). Рассмотрим разбиение комплексной X-плоскости вещественной осью и ветвями гиперболы Г = = а + (X: т2 =3а' - с2} на области Gv,v = l,6 (нумерация идёт в положительном направлении от положительной части вещественной оси). Каждая из этих областей конформно отображается функцией f(k) на верхнюю или нижнюю полуплоскость (С, отображается на верхнюю полуплоскость, G2 - на нижнюю и т.д.). Пусть у,, у2 - ветви Г, лежащие в 1 -й и 2-й четвертях соответственно, G = G] и у, и62.
ТЕОРЕМА 1. Пусть задача (1) - (3) имеет вещественное решение q(x,t) такое, что <},Ях'Яхх ограничены при x>0,t>0 и функция
pit) \= ( qxi + 1х )| *=о определена и ограничена снизу при t > 0. Тогда
1) при ÁeG справедливо соотношение
А/,°(ДА)) = -,¡(0) + (4Я + 2а)т0(Я), (4)
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00007).
50
где maiX) ~ функция Вейля оператора L0y =-у" + q0(x)y с условием >,(0) = 0, М]°(ц) - функция Вейля оператора £0z = —z + p(t)z с условием z(0) = 0;
2) p(t) может быть продолжена на всю ось t е R так, что p(t) ер + В (класс В подробно описан, например, в [3]); при этом справедливо соотношение
М2°(ДА.)) = -д'о(0) + (4Х + 2а)т0(Х),Х е G3, (5)
где Mji^i) - функция Вейля оператора £0z = -z + p(t)z на полуоси (<0 с условием z(0) = 0;
3) оператор £0z = —z + p(t)z на полуоси t > Ос условием z(0) = 0 неотрицателен;
4) эволюция функции Вейля m(t,Х) оператора L(t)y = -у" + q(x,t)y с условием _у(0) = 0 даётся равенством
m(f Д) = - wit)), (6)
4А. + 2 а
где М,(т,ц), М2(т,ц) - функции Вейля операторов £(x)z = -z + p(t)z с условием z(t) = 0 на полуосях t > т и t <х, v = 1 при X е G, v = 2 при X е G3, w(t) - решение уравнения w + w2 = pit) с условием vv(0) = -q'0{0).
Теорема 1 дает процедуру решения задачи (1) - (3) при условии, что решение существует. Однако, как известно [4], задача (1) — (3) является переопределенной, и существование решения априори не очевидно. Неясно даже, насколько широк класс решений уравнения КдФ, удовлетворяющих условиям (2). Описание некоторого такого класса дается в следующей теореме, причем условия, найденные в теореме 1 (условия 2 и 3), оказываются в некотором смысле характеристическими.
ТЕОРЕМА 2. Пусть:
1) pit) е ц —Ъ + В при некотором 5>0, нижняя грань оператора £0 z = -z + p(t)z на полуоси t> Ос условием z(0) = 0 не меньше 6';
2) н'0>Л^,(0,0) - произвольное число, w(t) - решение уравнения w + w2 = pit) с условием w(0) = w0;
3) функция m(t,X) определяется при t > 0, ImA > 0 равенством (6), где А/,(т,ц), М2(т,р.) - функции Вейля операторов i(x)z = -z + p(i)z с условием z(t) = 0 на полуосях f > т и t < т, v = l при X е G, v = 2 при XeG3. Тогда функция m(t,K) при каждом t > 0 является функцией Вейля некоторого оператора L(t)y = -у" + q{x,t)y с условием >'(0) = 0; при этом потенциал q(x,t) удовлетворяет уравнению КдФ (1) и краевым условиям (2).
Опишем теперь условия на функцию q0(x), гарантирующие существование решения задачи (1) - (3).
ТЕОРЕМА 3. Пусть q0(x) - вещественная, непрерывно дифференцируемая функция, ограниченная снизу на полуоси i>0 и удовлетворяющая условию ¡7o(0) = а. Определим функцию
где та(Х) - функция Вейля оператора L0y = -у" + q0(x)y с условием
ЛО)=о.
Пусть, далее, выполнены условия:
1)приЯе(у, Imcp(À,) = 0;
2) точка Х = -а/2 является изолированным собственным значением оператора L0;
3) спектральная функция а0(Х.) оператора L0 абсолютно непрерывна в некоторой окрестности точки X = dx, и для некоторого е > 0 при Xe(dl,di +е) справедливо
ср(А.) = ф(Х),
где X < d{, f(X) = f(X). Тогда равенство
M°(f(X)) = cp(X), X е G,
определяет функцию М|°(ц), являющуюся функцией Вейля некоторого оператора £0z = -z + p(t)z, z(0) = 0 на полуоси í>0 с потенциалом, удовлетворяющим условию 1 теоремы 2. При этом процедура, описанная в теореме 2 с w0 =-q'0(0), приводит к функции q(x,t), являющейся решением задачи (1)-(3).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Adler V.,Güre¡ B.,Giirses M., Habibullin I. Boundary conditions for integrable équations//J. Phys. A: Math. Gen. 1997. Vol. 30. P. 3505-3513.
2. Адлер В. Э., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси //ТМФ. 1997. Т. 110, вып. 1.С. 98-113.
3. Marchenko V. A. The Cauchy Problem for the KdV Equation With Non-Decreasing Initial Data// What is Integrability? Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. P. 279 - 318.
4. Фаиинский A. В. Смешанные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1999. Т. 190, №6. С. 127- 160.
