CC BY
31
М. П. Ефимова. Достаточное условие замены переменной в обобщенном Q-интеграле
УДК 517.518.126
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В ОБОБЩЕННОМ Q-ИНТЕГРАЛЕ
М. П. Ефимова
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]
В работе получено достаточное условие замены переменной в обобщенном Q-интеграле в одномерном случае.
Ключевые слова: обобщенный Q-интеграл, замена переменной.
Sufficient Condition for a Change of Variable in Generalized ^-integration
M. P. Efimova
A sufficient condition for a change of variable in generalized Q-in-tegration in one-dimensional case is proved.
Key words: generalized Q-integral, change of variable.
ВВЕДЕНИЕ
В 1929 году в работе [1] Е. С. ТИсИтагвИ был определен ^-интеграл от функции. Определение 1. Измеримая действительнозначная функция / Q-uнmегрuруемa на отрезке [а, Ь], если, полагая
/(ж), при |/(х)| < п 0, иначе,
[/(x)]n;0 =
имеем, что lim Г [f (x)]n-0 dx существует; этот предел назовем Q-интегралом от функции f и обо-
n—а '
значим (Q) /а f (x) dx.
Введенный интеграл не обладает свойством аддитивности по функциям. В той же работе было рассмотрено следующее сужение Q-интеграла:
Определение 2. Измеримая действительнозначная функция f A-интегрируема на отрезке [а, b], если она Q-интегрируема и выполнено условие: ß{x е [а, b] | |f (x)| > n} = o(1/n) при n ^ те, где ß — стандартная мера Лебега на R. Тогда (A) J^ f (x) dx = (Q) /аЬ f (x) dx.
Полученный A-интеграл аддитивен по функциям.
Его изучению посвящено множество работ (см. [2-5]). Основные результаты об A-интеграле содержатся в монографии [6].
Заметим, что исходный Q-интеграл E. C. Titchmarsh почти не исследовался в силу его неаддитивности. С другой стороны, свойства Q-интеграла также представляют некоторый интерес. Поэтому Т. П. Лукашенко предложил автору рассматривать другую, более естественную срезку. Полученный интеграл оказался обобщением исходного Q-интеграла и обладал рядом интересных свойств.
Определение 3. Измеримая действительнозначная функция f Q-интегрируема в обобщенном смысле на отрезке [а, b], если, полагая
[/(X)]n =
/(x), при |/(x)| < n nsgn/(x), иначе,
имеем, что lim Г [f (x)]n dx существует; этот предел назовем обобщенным Q-интегралом от функ-
n — TO а
ции f и обозначим (Q^) fa f (x) dx.
В работе [7] были получены некоторое условие аддитивности Qоб-интеграла и следующий аналог критерия Лебега (см. [8, теорема 17.4]):
Теорема 1 [7]. Пусть — пространство с мерой, E измеримо, ß(E) < те, и f (x) изме-
рима на E. Тогда f (x) е Qоб(E), если и только если сходится ряд
то
X>(F+(f)) - ß(F-(f))] ,
n=0
где F+(/) = {x G E | /(x) > n}, F-(/) = {x G E | /(x) < -n}.
© Ефимова М. П., 2013
43
С этого момента через ц будем обозначать стандартную меру Лебега на К. Будем называть Е С [а, в] множеством полной меры, если ц,([а, ¡3] \ Е) = 0.
Вопрос о замене переменной в А-интеграле исследовался в работе [9]. Полученный результат формулируется следующим образом:
Теорема 2 [9]. Если ф(Ь) абсолютно непрерывна, строго возрастает и отображает отрезок [а, 3] на отрезок [а, Ь], и некоторое множество Е С [а, 3] полной меры можно представить в виде Е = Е1 и Е2 таким образом, чтобы для всех Ь е Е1 выполнялось 0 < т < ф'(Ь) < М < ж, а для всех £ е Е2 выполнялось ф'(Ь) = 0, то для любой функции /(х), А-интегрируемой на отрезке [а,Ь], функция /(ф(Ь))ф'(Ь) также А-интегрируема и выполняется равенство
г Ь гв
(А) /(х) йх = (А) /(ф(ьу)ф' (£)й£.
■у а -у а
В настоящей работе получен аналогичный результат для ^об-интеграла и доказана достаточность:
Теорема 3. Пусть ф: [а,3] ^ [а,Ь] — абсолютно непрерывная и строго монотонная функция, ф([а,3]) = [а,Ь]. Тогда для того чтобы функция /(ф(£))|ф'(£)| была Цоб-интегрируема на [а, 3] и выполнялось равенство
г Ь гв
(Яоб) /(х) йх = (Яоб) /(ф(£))|Ф'(т (1)
J а -у а
для любой функции /(х) е Qоб([а, Ь]), достаточно, чтобы некоторое множество Е С [а, 3] полной меры можно было представить в виде Е = Е1 и Е2, ф'(Ь) = т при £ е Е1, ф'(Ь) = 0 при £ е Е2, где т е К \ {0} — константа.
Кроме того, в работе доказано, что для Qоб-интеграла определения через дискретную и непрерывную срезки эквивалентны (лемма 1). Приведен пример нелинейной функции ф(Ь), удовлетворяющей условию теоремы 3, а также пример, показывающий существенность условий, налагаемых на функцию ф(Ь).
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Обозначим Еп(/) = {х е [а,Ь] | |/(х)| > п}.
Лемма 1. Пусть [а,Ь] С К, /(х) измерима на [а,Ь]. Тогда /(х) е Qоб([а,Ь]), если и только если существует Нш [Ь[/(х)]в йх, где в е К+.
в^+ж а
Доказательство. Пусть существует Нш [Ь[/(х)]в йх. Тогда существует и Нш [Ь[/(х)]п йх,
в^+ж а п^+ж а
п е М, т.е. /(х) е Qoб([a,Ь]).
Обратно, пусть /(х) е Qоб([a1Ь]). Обозначим через [в] целую часть в и рассмотрим выражение hs(x) = [/(х)]в - [/(х)]м. Нетрудно видеть, что hs(х) = 0 при х е (/), ^(х)| < в - [в] < 1 при х е Е[3](/). Через хп(х) обозначим характеристическую функцию множества Еп(/), п > 0. Тогда |^(х)| < хм(х). Следовательно,
<-ъ
hs (x) dx
ъъ
< \hs(x)\ dx < / X[s](x) dx = ß(F[s](f))■
Но lim ß(F[s] (f)) = lim ß(Fn(f)) = 0, откуда lim j'b hs(x) dx = 0. Тем самым,
s—n —s —a
li^ I / [f (x)]s dx — [f (x)][s] dx \ = lim / hs(x) dx = 0.
s — ++ ж \ . a . a s—+ж/ a
Так как
lim / [f (x)] [s] dx = lim / [f (x)]n dx = (Qоб) f (x) dx,
s — + ttf n — + I I
1 .In 1 •In .In
то существует ^ Н+ж ¡0Ь[/(х)]5 йх = (Qоб) ¡^ /(х) йх. □
Доказательство основного результата. Имеем:
ЬЬ
^об) /(х) йх = [в е К, по лемме 1] = Нш / [/(х)]в йх = I в^+ж I
■у а -у а
44 Научный отдел
ъ
ъ
ъ
Л1. П. Ефпмова. Достаточное условие замены переменной в обобщенном Q-пнтеграле__
= [замена переменной в интеграле Лебега] = lim / [f (0(t))]s|ф (t)|dt =
J a
= lim f/ [f (0(t))]e .|m|dt + / [f Ш)Ь ■ =
'Ei J E2
rß
= Нт / [/(ф(*))|ш|Ьм^ = Нт / [/(ф(*))|т|]в dt = Нт / [/(ф(*))|ф' (*)|]в
Откуда /(ф(*))|ф'(*)| е фоб([а,в]) и выполнено (1). □
Пример 1. Построим пример нелинейной функции ф(*) на [0,1], абсолютно непрерывной, строго возрастающей и удовлетворяющей условию существования множеств Е\ и Е2, Е = Е\ и Е2 С [0,1], д([0,1] \ Е) = 0, ф'(*) = 1 при * е Еь ф'(*) = 0 при * е Е2.
оо , 1
Занумеруем все рациональные числа, г п — п-е рациональное число. Положим Е0 = и (гп — 2п+2,
1 \
rn + • Тогда ^(E0 П [a,b]) > 0 для любого отрезка [a,b] Ç R ненулевой длины, и ^(E0) < 1/2.
Обозначим E1 = E0 П [0,1]. Тогда ^(Ei) > 0, д([0,1] \ Ei) = 1 - ^(Ei) > 1/2 > 0.
Пусть -0(s) = xEl (s) — характеристическая функция множества E1, ф(-) = J^ -0(s) ds. Отсюда, ф(-) абсолютно непрерывна. Тогда для любых t1 < t2 имеем ф(-2) — ф(-1_ ) = J^2 -0(s) ds = ] ПE1 ) > 0.
Значит, функция ф(-) строго возрастает.
Так как ^(s) суммируема, то — Jq ^(s) ds = -0(t) почти всюду на [0,1] (см. [10, гл. VI, § 3, теорема 1]). Тем самым, ф'(-) = ^(t), ф'(-) = 1 почти всюду на E1, ф'(-) = 0 почти всюду на [0,1] \E1.
Рассмотрим^множества E = {- е [0,1] | ф'(-) = 1}, E2 = {- е [0,1] | ф'(-) = 0}. Тогда д([0,1] \ (El U E2)) = 0. Нелинейность функции ф очевидна. □
Пример 2. Рассмотрим функции
g(x) =
n /11
—, x е . , —=
2 I vnr^ Vn
h(x) = g(x) - g(-x).
0, х е 0] и (1, Пусть, кроме того, ф: [—1,1/2] ^ [—1,1] задана следующим образом:
14 * < 0, ф(*) = 1 [2*, * > 0.
Тогда ^ж) е доб([— 1,1]), но й(ф(*))|ф'(*)| е ^об ([—1,1/2]).
Имеем (^об) Л,(ж) ¿ж = 0. Отметим, что д({ж е К | #(ж) > п/2}) = 1/\/п. Рассмотрим
= ^ [Л(ф(*))ф'(*)]:
д(Еп+) = (Л(2*) ■ 2)) = д({* е [—1,1] | 2Л(2*) > п}) = ({* е К | ВД > п/2}) = 1
д(Е-) = MF-(h(i))) = ß ({t е [-1,1] | h(t) < -2n/2}) =
2^VL 1 7 J/ ^vn' 1
д(Е+) - ME-) = ^1 - , и (t)| ^ Qo6 ([-1,1/2]) по теореме 2. □
Автор благодарит своего научного руководителя профессора Т. П. Лукашенко за постановку задачи и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 11-01-00321).
Библиографический список
1. Titchmarsh E. C. On conjugate functions // Proc. // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 6. С. 1077-1080. London Math Soc. 1929. Vol. 29. P. 49-80. [Ul'yanov P. L. Certain Questions of A-Integration //
2. Ульянов П. Л. Некоторые вопросы A-интегрирования Sov. Phys. Dokl. 1955. Vol. 102, № 6. P. 1077—1080.]
Математика
45
3. Ульянов П. Л. A-интеграл и его применение к теории тригонометрических рядов // УМН. 1955. Т. 10, № 1. С. 189-191 [Ul'yanov P. L. The A-Integral and its Application in the Theory of Trigonometric Series // UMN. 1955. Vol. 10, № 1. P. 189-191.]
4. Ульянов П. Л. A-интеграл и сопряженные функции // Учен. зап. Моск. гос. ун-та. 1956. Т. VIII, вып. 181. С. 139-157. [Ul'yanov P. L. The A-Integral and Conjugate Functions // Uchen. Zap. Mosk. Gos. Univ. 1956. Vol. VIII, iss. 181. P. 139-157.]
5. Лукашенко Т. П. Об A-интегрируемости функций // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 6. С. 59-63. [Lukashenko T. P. On the A-Integrability of Functions // Vestn. Mosk. Gos. Univ. Ser. 1. Matem. Mekh. 1982. № 6. P. 59-63.]
6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физ-матгиз, 1961. 936 с. [Bari N. K. Trigonometric Series. Moscow : Fizmatgiz, 1961. 936 p.]
УДК 517.95 517.984
М. Ю. Игнатьев
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
В работе рассматривается общее уравнение иерархии Кортевега-де Фриза (КдФ). Изучаются краевые задачи для данного уравнения с неоднородными граничными условиями специального вида. Построен широкий класс решений изучаемых задач. Построение основано на идеях метода обратной спектральной задачи.
Ключевые слова: иерархия КдФ, краевые задачи, интегрируемость, метод обратной задачи.
ВВЕДЕНИЕ
7. Ефимова М. П. О свойствах Q-интеграла // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 3. C. 340-350. [Efimova M. P. On the Properties of the Q-Integral // Math. Notes. 2011. Vol. 90, № 3. P. 322-332.]
8. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. М. : Факториал, 1998. 160 с. [D'yachenko M. I., Ul'yanov P. L. Measure and the Integral. Moscow : Faktorial, 1998. 160 p.]
9. Бонди И. Л. Замена переменной в A-интеграле // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. 1962. № 188. C. 3-21. [Bondi I. L. The Change of Variable in the A-Integral // Uchen. Zap. Mosk. Gos. Ped. Inst. 1962. № 188. P. 3-21.]
10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд. М. : Наука, 1976. 543 с. [Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Mineola; New York : Dover Publications, 1999.]
On Solutions of Some Boundary Value Problems for General KdV Equation
M. Yu. Ignatyev
This paper deals with the general equation of Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy. A boundary-value problem with certain inhomogeneous boundary conditions is studied. We construct the wide class of solutions of the problem using the inverse spectral method.
Key words: KdV hierarchy, boundary-value problems, integrability, inverse spectral method.
О РЕШЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КдФ
Известно, что исследование краевых и смешанных задач для интегрируемых нелинейных уравнений сталкивается со значительными трудностями принципиального характера. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в этой области в последние годы [1-4], в общем случае здесь не удается применить метода обратной спектральной задачи с той же эффективностью, как в случае задачи Коши на всей оси: процедура построения решения включает шаг, состоящий в решении нетривиальной существенно нелинейной задачи. Исключение составляют задачи с граничными условиями специального вида [5-7], которые часто называют интегрируемыми, или линеаризуемыми. В этом случае удается, используя идеи метода обратной задачи, построить широкие классы решений краевых задач [7,8], в ряде случаев дать (полное или частичное) решение смешанных задач [1-3,9], исследовать поведение решений на больших временах[4]. Отметим, что исследование краевых и смешанных задач существенным образом опирается на структуру матриц, входящих в представление нулевой кривизны для данного уравнения. Поэтому все полученные на данный момент результаты относятся к тому или иному конкретному интегрируемому уравнению и не могут быть непосредственно обобщены на какие-либо классы уравнений.
В настоящей работе подход, основанный на идеях метода обратной спектральной задачи, применяется к исследованию некоторых краевых задач для класса уравнений, являющегося подмножеством иерархии КдФ. Построен класс точных решений, включающий в себя, в частности, солитонные и конечнозонные решения.
© Игнатьев М. Ю., 2013
