Достаточное условие аддитивности обобщенного Q-интеграла и точки интегрируемости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.518.126

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ АДДИТИВНОСТИ ОБОБЩЕННОГО ^-ИНТЕГРАЛА И ТОЧКИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ

М. П. Ефимова1

В работе изучаются функции, ^-интегрируемые в обобщенном смысле. Введено понятие точки интегрируемости, исследованы некоторые свойства множества таких точек. При помощи данных множеств получено достаточное условие ^-интегрируемости суммы двух ^-интегрируемых функций.

Ключевые слова: интеграл Лебега, обобщенный ^-интеграл, точки интегрируемости.

Functions integrable in the sense of generalized Q-integral are considered in the paper. The notion of points of integrability is introduced, some properties of such points are studied. Using such sets, a sufficient condition of Q-integrability of the sum of two Q-integrable functions is obtained.

Key words: Lebesgue integral, generalized Q-integral, points of integrability.

Понятие Q-интеграла было введено в работе [1] Е. Титчмаршем при изучении тригонометрических рядов и сопряженных функций.

Определение 1. Пусть действительнозначная функция f измерима на отрезке [a, b]. Тогдa f является Q-интегрируемой на [a,b], если для

if(x) при \f (x)\ < n,

[f (x)]u;0 = <

I 0 иначе,

b

lim i'[f (x)]n;o dx существует; этот предел будем называть Q-интегралом от функции f и обозначать

и^ж a '

b

(Q) f(x) dx

a

Введенный интеграл почти не изучался ввиду его неаддитивности по функциям. С другой стороны, сужение Q-интеграда, называемое A-интегралом, исследовалось довольно широко.

Определение 2. функция f является A-интегрируемой, если она Q-интегрируема и выполнено условие

¡л{х G [a,b] : \f(x)\ > п} = о ^ при п —> оо,

где ц — стандартная мера Лебега на отрезке.

Отметим, что A-интеграл обладает свойством аддитивности по функциям. Изучение различных

свойств и приложений этого интеграла можно найти, например, в работах [2-7]. Q

QQ

быть перенесено с отрезка на произвольные пространства с мерой. Далее будем считать, что задано фиксированное пространство с мерой (Q,

Определение 3. Пусть E С Q — измеримое множество, f: E ^ R — измеримая функция. Тогда f (x) является Q-мнтегрмруе^ой в обобщенном смысле на множестве E, если для

{—n при f (x) ^ -n, f (x) при — n < f (x) ^ n, n при f (x) > n,

Ефимова Маргарит,а Павловна — окончила в 2013 г. асирантуру по каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: efimova.margaritaQgmail.com.

имеем, что lim i'[f (x)}n dj(x) существует; этот предел будем называть обобщенным Q-интегралом

от функции f и обозначать (Q06) f fdj.

E

В работе [8]

показано, что ^0б~интеграл действительно обобщает понятие Q-интеграла, получен аналог критерия Лебега ф0б-интегрируемости функции, а также доказана следующая

Теорема 1. Пусть j(E) < ж, функция f является QoQ-интегрируемой на E, g — интегрируемой по Лебегу на E. Тогда, функция f + g также Qoft-интегрируема на E и верно равенство

(Qo6) j(f + g)dj = (Qo6) j fdj + J gdj.

В настоящей работе будет получено другое достаточное условие аддитивности для ф0б-интеграла. Через ф0б(Е) будем обозначать множество ф0б-интегрируемых функций на Е, через Ь(Е) множество интегрируемых по Лебегу функций на Е. Кроме того, будем считать, что на О задана структура топологического пространства.

Определение 4. Точку х € О будем называть точкой интегрируемости (по Лебегу) функции / на множестве Е, если существует и(х) — окрестность точки х, такая, что / € Ь(и(х) П Е). Если же для точки х € О такой окрестности нет, то будем называть х точкой неинтегрируемости; через Ь^ обозначим множество всех точек неинтегрируемости функции / на множестве Е.

Заметим, что в данном определении в множество точек интегрируемости входят также точки, в окрестности которых функция не определена, в силу того, что на пустом множестве любая функция интегрируема по Лебегу.

Нетрудно видеть, что множество Ь^ замкнуто. В самом деле, если х € Ь^ , то существует такое открытое множество и(х), что х € Е, / € Ь(и(х) П Е). Для любой точки у € и(х) положим и (у) = и (х), тогда / € Ь(и (у) П Е), откуда у € Ь®. Тем самым множество О \ Ь^ открыто и ЬЕ замкнуто.

Заметим также, что Ь® С Е, так как для любого х £ О, \ Е можно положить II(ж) = О, \ Е. Утверждение 1. Пусть множество Е С О предком,пакт,но, / — измеримая функция, и — некоторое открытое множество, ЬЕ С и. Тогда / € Ь(Е \ и).

Доказательство. Так как множество Е предкомпактно, то существует компакт К, Е С К. Положим

Лх) = [/(х), х€Е;

[0, х€К \ Е.

Заметим, что условия / £ Ь{11{х)ПЕ) и / £ Ь{11{х)ПК) эквивалентны. Следовательно, ЬЦ = Ь^ С

_ / ^

II. По определению для любого ж е 0 \ Ьу существует такая окрестность II(ж), что / € Ь(17х П К).

Обозначим К1 = К \ и. Тогда множество К1 замкнуто и К1 С К, откуда следует, что К1 — компакт. Кроме того, К \ = К \11 С Ьу. Таким образом, для любой точки х £ К \ существует окрестность II(ж), удовлетворяющая соотношению / € Ь(17(х) ПК). В силу компактности К \

к _ / к \ найдутся такие точки х\,..., Хк, что К\ С У II(х{). Следовательно, / € Ь I У II(х{) ПК), откуда

_ 1=1 \г=1 /

имеем / € Ь(К1). Тем самым / € Ь(К1 П Е) = Ь(Е \ и), что и требовалось доказать. Пример 1. Пусть Е = [—1,1],

Г 1

2

f (x) =

x 1

0 < x < 1;

-1 <x < 0; 0

x2'

Тогда / € фоб(Е), ЬЕ = {0} и при любом е, 0 < е < 1, верно соотношение / € Ь(Е \ (-е,е)).

Е

1. В самом деле, рассмотрим постоянную функцию /(х) = 1, а в качестве Е множество М с классической мерой и топологией. Тогда ЬЕ = 0, но / € Ь(Е).

Теорема 2. Пусть множество Е С О предкомпакт но, ц(Е) < ж, /,д € Об (ЕЕ), Ь^ П Ь^ = 0. Тогда / + д € Об(Е) и

(Об) ¡(/ + д)Лц = (Об) I /йц + (Об) I дйц. (1)

Е ЕЕ

Доказательство. Так как ЬЕ П ЬЕ = 0, то любая точка х € О является точкой интегрируемости, по крайней мере, одной из функций / и д. Будем обозначать через Uf (х) и ид(х) некоторые фиксированные окрестности, в которых соответствующие функции интегрируемы (или пустые множества, если таких окрестностей нет).

Для всех х € О имеем / € Ь(Uf (х) П Е), д € Ь(ид(х) П Е), Uf (х) и ид(х) = 0. Иными словами,

х € Uf (х) и ид(х) и и (Uf (х) и ид(х)) = О. хеп

Пусть Е С К, где К — некоторый компакт. Тогда К покрывается системой открытых множеств

к

{Uf (х) и Ug(х)}хеп и найдутся такие точки х1,... ,хк, что К С у (Uf (хг) и Ug(хг)).

г=1

к к

Обозначив Uf = У Uf (хг), Ug = У Ug(хг), получим Е С К С Uf UUg. Кроме того, / € Ь(Uf ПЕ),

г=1 г=1

д € Ь^д П Е) по построению множеств.

Далее, обозначим = Е \ Uf, Ед = Е \ Тогда П Ед = Е \ (IIи Ug) = 0, / € Ь(Е \ ), д € Ь(Е \ Ед). Положим

/0(х) = 1/(x), х € Е\ Ef; 9°{х) = [д{х1 х € Е\ Ед;

[0, х € Ef, х € Ед,

откуда /°,д° € Ь(Е).

Далее, пусть / 1(х) = /(х) — /°(х), д1 (х) = д(х) — д°(х). Тогда по утверждению теоремы 1 о суммируемости функций из множеств Об(Е) и Ь(Е) имеем / 1,д1 € Об(Е)- Заметим, что

У [/ 1(х)]пйц + ! [д1 (х)]пйц = ! [/г(х)]и йц + ! [д1 (х)]пйц =

[/ 1(х)+ д1(х)]п йц = У [/\х)+ д1 (х)]пйц

Е{ иЕд Е

для любого п € N. Тем самым, /1 + д1 € Об(Е)■

Следовательно, / + д = /1 + д1 + /0 + д0 € Об(Е)- Выполнение равенства (1) также легко проверить.

Е

оо

Пример 2. Рассмотрим множество О = У [к, к + 2-к], Хо(х) — характеристическая функция

к=1

О. Нетрудно видеть, что ц(О) = 1, где ц — классическая мера Лебега на прямой. Обозначим

й(х) = Хо(х) • ц([х, +ж) П О).

оо

Пусть О' = и [—к — 2-к, —к], Е = О и О1 и [—1,1]. Имеем ц(Е) = 4. к=1

Положим Ых) = при х ф 0, Ы0) = 0, х2

{Н(й(х)), х > 0; \Н(й(х)), х > 0;

—Н(й(—х)), х < 0; д(х) = 1—Н(—х), —1 <х< 0; 0, 0

Тогда Lf = 0, Lf = {0}, (Qo6) f fd/л = (Q06) f gdV = 0. С другой стороны, f + g £ Qo6(E). Для

E E

доказательства этого факта воспользуемся аналогом критерия Лебега из работы [8]. Обозначим F+ = {x£E | f (x) + g(x) > n}, F- = {x £ E | f (x) + g(x) < -n}.

Имеем

+ 2

KFrt) = Kix > 0 | 2h{d{x)) > n}) = ¡i{{x G D | -щ--^ > n}) =

= fi({x G D | d{x) < V2n~1}) = fi({x G D | ¿¿([ж, +oo) П D) < V2n"1}) = тт{/х(£>), V/2nrî},

V(F-) = v({x < 0 | -h(d(-x)) ^ -n}) + ц({-1 <x< 0 | -h(-x) ^ -n}) =

= min{//(.D), Vn~1} + Vn_1.

Таким образом, при n ^ 2 получаем ^(i7^) — ß(Fn ) = (л/2 — 2)\/n_1, и ряд ^ (//(F+) — ß(Fn ))

П=1

расходится.

Автор приносит благодарность научному руководителю, профессору Т. П. Лукашенко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Titchmarsh Е.С. On conjugate functions // Proc. London Math Soc. 1929. 29. 49-80.

2. Ульянов П.Л. Некоторые вопросы А-интегрирования // Докл. АН СССР. 1955. 102, № 6. 1077-1080.

3. Ульянов П.Л. A-интеграл и его применение к теории тригонометрических рядов // Успехи матем. наук. 1955. 10, № 1. 189-191.

4. Ульянов П.Л. А-иптеграл и сопряженные функции // Уч. зап. МГУ. 1956. 181, VIII. 139-157.

5. Лукашенко Т.П. Об A-интегрируемости функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1982. № 6. 59-63.

6. Лукашенко Т.П. A-интеграл и его применение в исследованиях П. Л. Ульянова и других математиков // Изв. вузов. Математика. 2008. № 5. 77-82.

7. Бари П.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

8. Ефимова М. П. О свойствах Q-интеграла // Матем. заметки. 2011. 90, № 3. 340-350.

Поступила в редакцию 14.05.2014

УДК 519.718.7

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА ДЛИНЫ ПОЛНОГО ПРОВЕРЯЮЩЕГО

ТЕСТА В БАЗИСЕ {x\y}

Ю.В. Бородина1

Доказывается, что для любой схемы в базисе "штрих Шеффера", реализующей функцию xi Vx2 V.. .Vxn, длина полного проверяющего теста в случае константных неисправностей типа"1" не меньше n+1 (n ^ 2). Приводится пример схемы, реализующей упомянутую функцию в указанном базисе, для которой длина полного проверяющего теста равна n +1.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, константные неисправности, проверяющие тесты.

It is proved that the length of the complete test is no less than n +1 (n > 2) for any circuit realizing the function x1 V x2 V ... V xn in the " Sheifer stroke" basis with possible constant faults of type "1". An example of such circuit is constructed so that the length of the complete test is exactly n +1.

Key words: curcuits of functional elements, constant faults, complete tests.

1 Бородина Юлия Владиславовна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. 1111X1 им. М. В. Келдыша, e-mail:

jborodinaQinbox.ru.