Об эквивалентности двух определений хронологического интеграла Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.9

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИИ ХРОНОЛОГИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА

А. С. Пляшечник1

Хронологический интеграл представляет собой обобщение обычного интеграла по траекториям на случай, когда значения меры или интегрируемой функции не коммутируют между собой. В данной работе приведены два определения хронологического интеграла по пространству функций вещественного аргумента для случая, когда значения счетно-аддитивной меры интегрирования и интегрируемого функционала матричные и не коммутируют между собой, и доказаны достаточные условия эквивалентности этих определений.

Ключевые слова: функциональный интеграл, хронологический интеграл.

Chronological integral is a generalization of the path integral when the values of the measure or integrated function do not commute with each other. Two definitions of a chronological integral over the space of functions with real argument are formulated. Measures and integrated functions have not commuting matrix values. Sufficient conditions for the equivalence of these definitions are proved.

Key words: functional integral, chronological integral.

Хронологический интеграл отличается от обычного интеграла по траекториям [1] тем, что значения меры и интегрируемой функции могут не коммутировать. В данной работе рассматривается случай, когда мера и интегрируемая функция принимают матричные значения. Впервые такие интегралы появились в работе Н.Н. Шамарова [2], где они использовались в формулах типа Фейнмана-Каца для решений эволюционных уравнений в случае, когда коэффициенты уравнения не коммутируют (например, уравнений Дирака). До этого в хронологических интегралах использовались лишь скалярные меры.

1. Определения хронологических интегралов. Пусть Mi — множество квадратных комплексных матриц размера l; F — некоторое пространство функций на отрезке [0, т] со значениями в X, где X — топологическое пространство. Будем считать (как обычно бывает в приложениях), что F состоит из функций без разрывов второго рода2. Обозначим семейство борелевских множеств в X через B(X). Назовем цилиндрической ст-алгебру подмножеств в F, порожденную множествами вида (£ £ F: £(ii) £ Bl,...,i(tn) £ Bn), где n ^ 1, ti,...,tn принадлежат отрезку [0,т], 0 ^ t i < ... < tn ^ т; Bi,...,Bn £ B(X). Множества такого вида будем называть цилиндрами и обозначать Cti,...,tn,Bi,...,Bn. Переходная мера ^(ti,... ,tn,xi,..., xn-i, B) есть функция со следующими свойствами:

1) она определена при 0 ^ ti < ... <tn ^ т, xi,..., xn-i £ X, B £ B (X) и принимает значения в Mi;

2) при фиксированных ti,...,tn,B она является измеримой функцией относительно переменных

x1, xn— i ;

3) при фиксированных ti,...,tn,xi,..., xn— i она является счетно-аддитивной мерой на B(X) .

Пусть M — некоторая счетно-аддитивная мера со значениями в Mi , заданная на цилиндрической

ст-алгебре, причем значения меры задаются при помощи переходных мер следующим образом:

M (Cti ,...,tn,Bi ,..,Bn )=/ v(ti,dxi) v(ti ,t2,xi ,dx2)... v(ti ,...,tn,xi,...,xn—i,dxn),

JBi Jb 2 JBn

где интегралы берутся покомпонентно. В случае вероятностной меры можно сказать, что y(ti,...,tn, xi,..., xn—i, B) есть вероятность того, что траектория в момент времени tn попадет в множество B, если в моменты ti,..., tn— i она прошла через точки xi,..., xn—i.

В остальной части раздела полагаем to = 0 и tn = т.

1 Пляшечник Андрей Сергеевич — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: a_plyashechnik@mail.ru.

2

В каждой точке отрезка [0, т] существуют односторонние пределы этих функций.

Если область интегрирования не указана, то она считается равной всему пространству, на котором заданы интегрируемая функция и мера.

Дадим теперь определения хронологических интегралов двух типов, обозначаемых далее символами Т^ и Т2/ соответственно. Отметим, что в этих определениях термин "интеграл" оправдывается явной линейностью соответствующих пределов относительно меры интегрирования, тогда как подынтегральные выражения имеют специфический вид (включающий экспоненту) и не обязаны пробегать линейное пространство.

Определение 1. Пусть (0,(1, V : X ^ М1 — некоторые функции. Тогда положим ту У( (£(т))М= Иш У ^(жоМЬь^х

хуеУ(х1)д*1 ^(г0,г1 ,х0,(1x^1 еу(х2)ИЬ2^(í0,í1 ^хо^ ,(х2) х ...

, tn, х0 ,■■■, хп— 1, (хп),

где АЬк — длины интервалов разбиения отрезка [0,т], Ьк — отмеченные точки разбиения, А — диаметр разбиения. Если этот предел существует, то его значение назовем хронологическим интегралом в смысле Шамарова.

Аналогичные пределы возникают при решении эволюционных уравнений с помощью формул Фейн-мана [2-5], основанных на применении формул Чернова или Троттера. Следующее определение соответствует методу "теории возмущений", т.е. разложению экспоненты в ряд, а затем изменению порядка суммирования и интегрирования.

Определение 2. Для тех же ( ,ф1,У положим

Т2/ оШ^ У т^ (£(Т ))М №) = = ^ / (Ь1 ■■■Мп—1 (0(х0)ц,(Ь0,(х0) V(х1 )^(Ь0,Ь1,х0,(х1) х ...

■■■ х (ч(хп)^(Ь0, ■ ■

■ t"n, x0, ■ ■ ■, хп— 1, (хп).

Если эта сумма определена, то полученное значение назовем хронологическим интегралом в смысле Дай-сона, а ряд в правой части — рядом Дайсона.

2. Эквивалентность двух определений. Лемма. Пусть V,Т,S € М и АЬ1,АЬт — набор положительных чисел, такой, что ^ ™1 АЬ = т и АЬ ^ 5 для всех I. Тогда

Atpi AtPs

\imYvk У ^ 0,

^ ^ pi ! ps !

k=l pi+...+ps=k, ii<...<is

где внутренняя сумма берется по таким наборам, что есть хотя бы одно число pi > 1. Доказательство. Воспользуемся формулой

rk ŒXiA^)fc _ 1 v kl ±fl AfPs =

kl kl kl ^ pil...psl 11 ls

pi+...+Ps=k, i^ii<...<is^m

y

p\i "' psi

pi+...+Ps=k, i^ii<...<is^m

Пусть £ > 0. Существует такое N, что

^ T,k V- Atp! ^tp ~ Tk Vk £

> Vk > —--^^ > -<-.

^ ^ Pli Psi ^ kl 2

k=N+i pi+...+pe=k, ii<...<is k=N +i

Докажем индукцией по к, что при произвольных к, т, 5, таких, что к5 ^ т, сумма ^ АЬг1 ■ ... ■ АЬгк по таким наборам, что все ,...,%к разные, не меньше (т — к5)к. При к = 1 эта сумма равна т. Пусть доказываемое выполнено для к. Тогда для к + 1

АЬп ■... ■ А^+1 = А*1 Aíil ■... ■ Аик + ...

1^г1,...,гк+1^ш, га=гр 1^1 га =гр, га = 1

... + Агт ^ Aíil ■... ■ Аик ^

1^г1,...гк ^т, га=гв, га=т

^ АЬ1(т — АЬ1 — к5)к + ... + АЬт(т — АЬт — к5)к ^ АЬ1(т — (к + 1)5)к + ... + АЬт(т — (к + 1)5)к =

= т(т — (к + 1)5)к ^ (т — (к + 1)5)к+1. Отсюда выводится оценка для суммы упорядоченных слагаемых

Далее,

А^ ^ г* (т — к5)к ^ тк~1к25

^ //|! '•••' //,! ~ к\ ^ ^Ч! к\ к\ '

р1+...+ре=к, 1^г1<...<ге^т, 31р1>1 1^11<...<гк^т

так как

ы

т

<

т

Следовательно, сумма

^ V- AtPl1 АЬр " тк-1к2 > > ——•...--— -

^ ^ р^. р8! ^ к!

к=1 р1+...-+р3=к, 1^%1<...<га^т, Лр1>1 к=1

может быть сделана меньше | выбором 5. Лемма доказана.

Далее под мерой понимается счетно-аддитивная функция с матричными значениями, определенная на ст-алгебре. Выберем на алгебре матриц Ме некоторую норму со свойством \ЛБ\ ^ |А||В|. Эта норма будет всюду использоваться в дальнейшем. При помощи нее можно определить вариацию матричнозначной меры обычном способом. Если V — мера, то ее вариация

^|(Л) = вир / ^ ^(Лэ)|,п е с Л,Лэ р|Лк = = к|.

I э=1 )

Легко показать, что ^\ конечна и является обычной счетно-аддитивной мерой. Кроме того, если В(х) — измеримая ограниченная матричнозначная функция, то | / В(х^^х^ ^ / |В(х)11V|(^х).

В следующей теореме используются ранее описанная мера М и функции ро,Р1 ,У. Для простоты будем рассматривать случай р1 = 1. Функцию ро будем обозначать просто р.

Теорема. Будем считать Ьо =0. Пусть функции р,У : X —► М1 ограничены и непрерывны, а цилиндрическая мера М на Е со значениями в М\ обладает следующим свойством:

! ^(Ьо^хо )| У ^(Ьо,Ь1 ,хо ^х^ ^(Ьо, ...,Ьп,хо,.. .,хп-1^хп^ ^ Сп, где 0 ^ Ь1 ^ ... ^ Ьп ^ т, а С не зависит от п. Предположим, что функции

! р(хо )у(Ьо, йхо) У У (х1)ц(Ьо,Ь1 ,хо, йх1) У (х,п )у(Ьо,... , ^ х0 хп-1, ^'хп)

интегрируемы по Риману как функции от Ь1,...,Ьп на множестве 0 ^ Ь1 < ... < tn ^ т. Тогда существуют хронологические интегралы как в смысле Шамарова, так и в смысле Дайсона и они совпадают.

Доказательство. Сначала докажем, что существует интеграл в смысле Дайсона. Обозначим V = 8ир{^(х)\,х € М},( = 8ир||((х)|,х € М}. Тогда

У ((х)^(Ь0, (х0) J V (х1)у(Ь0,Ь1,х0, (х1) ... ^ V (хп Ж^, ■ ■ ■ , ^ х0 ■■■, хп—1, (хп)

< ( ■ Vп ■ сп

Отсюда

/

^ 0<Ь1<...<Ьп<т

(Ь1 ■■■dtnJ ((х)^(Ь0,йх0)! V (х1)^(Ь0,Ь1 ,х0,(х1) х ...

■ ■■ х V(хп)м(^0, ■ ■ ■ , tn, х0, ■ ■ ■, xn—1, (хп) Поэтому сходится ряд

< <р ■ Уп ■ Сп [ (И1...(Ип = —ш-Уп-Сп- тп.

Jo<tl <...<гп<т п!

У^ / (Ь1 ...(Ьп ((х0)^(Ь0,(х0) V(х1 )/л(Ь0,Ь1,х0,(х1) х

п=0^0<11 <...<гп<т ■> ■>

... х V (хп)м(^0, ■ ■ ■ , Ьп, х0, ■■■, хп— 1, (хп) ■

Тем самым хронологический интеграл в смысле Дайсона существует.

Теперь покажем, что предел из определения интеграла в смысле Шамарова существует и совпадает с интегралом в смысле Дайсона.

Возьмем произвольное е > 0. Зафиксируем N так, чтобы ^ п\ ° ^ Оценим остаток ряда

Дайсона:

У^ / (Ь1 ...(Ьп ((х)^(Ь0,(х0) V(х1 )^(Ь0,Ь1,х0,(х1) х ...

_лг,1 ■> 0<и <...<гп<т ■> ■>

п=м+1 ~'0<*1 <...<гп<т

■ ■■ х V (хп)м(^0, ■ ■ ■ , Ьп, х0, ■■■, хп— 1, (хп)

^ (VптпСп

^ / -;-^

^ п!

п=М +1

Теперь рассмотрим первые N+1 членов ряда Дайсона. Существует А > 0, такое, что при взятии разбиений множества [0, т]п с диаметром, не превышающим А, интегральные суммы Римана для интегралов

/ ...(Ьп ((х)^(Ь0,(х0) V(х1 )^(Ь0,Ь1 ,х0,(х{)... V(хп)у(Ь0,■■■ , Ьп, х0, ■■■, хп— 1, (хп)

■1г1<...<гп .1.1 J

отличаются от значений интегралов по норме менее чем на при п = 1,..., N.

Зафиксируем разбиение Ь1,..., Ьт, АЬ1,..., АЬт отрезка [0, т], где АЬ^ — длины отрезков разбиения 1 Аи = т, а ^ — отмеченные точки, так, чтобы диаметр разбиения 5 был меньше и чтобы выполнялось следующее неравенство:

м АЬР1 АЬр"

р1! р3!

к=1 pl+...+ps=k, <...<гs, 31:р1>1

Такой выбор возможен в силу леммы. Тогда диаметр разбиений множества [0, т]п, полученных как степень этого разбиения, будет меньше А для 1 ^ п ^ N и интегральные суммы

У] АЬг1 .Аи^ ((х0 )^0 ,(х0) ! V (х1)^(Ь0,Ьг1 ,х0,(х1) х ...

1^1 <...<гп^т

■ ■■ х V (хп)м(^0, ■ ■ ■

, ^Ъи , х0 ■■■, хп— 1, (хп)

будут отличаться от интегралов менее чем на при п = 1,..., N.

В интеграле

У р(хо )^о,<хо) ! в*1 У {х1)^(Ьо,Ь1,хо,(1х1) вАи>¥ (х" )^(Ьо ,...,Ьп,Х0,...,Хп-1,йХп) разложим экспоненты в ряд. Если раскрыть произведение, то получим слагаемые вида

[ / л / , г Агк1 V(х1)к1 . , . г АгПп V(хп)к" . , .

п 1 х01 хп-11 <хп) •

Нормы указанных слагаемых меньше соответствующих членов в числовом ряде, получаемом при разложении

Поэтому мы имеем абсолютную сходимость и можем перегруппировать слагаемые. Объединим слагаемые в группы по степеням. Первая группа

! р(хо)у,(Ъо,<хо).

Из всех разложений экспонент взята единичная матрица. Вторая группа

т

^А^ / р(хо )^(Ьо,йхо) V (хг)^0,и ,хо,йхг).

г=1

Из одного разложения берем первый член, из остальных разложений — нулевой. Третья группа

У] АЬг А^ р(хо )^(Ьо ,<хо) V (х г )^(Ьо,и,хо,<хг) V (х^ ,хо ,хг,йх^)+

1^г<j^m .У .У .У

+ А^2 [ <р(хо)^о,(1хо) [ У(Хг)21А,(г0,и,Х0,(1Хг).

Она состоит из двух частей: первая часть — произведения пар из разных сомножителей, вторая — квадраты.

Аналогично группа с номером к будет состоять из слагаемых с произведением различных множителей и слагаемых, в которых есть степени. Эту группу можно представить как член разложения в ряд выражения е^к=° ; Т-е_ У(хк)А1к)к в котором после возведения в степень множители в

слагаемых переставлены в хронологическом порядке, а затем добавлено интегрирование. Отсюда видно,

7 (тУО)к ,т .

что норма группы с номером к не превышает р-—¡¿р-, поэтому норма суммы всех групп начиная с N +1 не превышает

^ (^О)к

к=Ы+1

в соответствии в выбором е и N.

Рассмотрим группу с номером к (1 ^ к ^ N). Из нее можно выделить часть, содержащую слагаемые с различными множителями, т.е.

У] АЬг1 ...Аик р(хо)^(Ьо,<хо) V (х^^о,^ ,хо ,<х{)... V (хк )^о ,---,ик ,хо,... ,хк-1,г!хк).

<...<гк ^т .У .У .У

Она будет интегральной суммой для интеграла

J <1Ь1 ...сМ^ р(хо )^(Ьо ,dxо) J V (х1 ,хо ,йх{) ...Jv (хк ,Ь,...,Ьк ,хо ,х1,... ,хк-1,<хк)

о^ <...<Ьк ^Т

Г'ГТТЭ ТТ ТТ Г- ТЭ И ТГЛ/-~Л"Г\/"~Л Л /Г ТТО ТЧО Л/ГОГПТЧГЧТЭ Г\лттлат\ ГЛ гр ТТ ТТ Т Т О гг И Г' СГ гчгр ипгл и О (~\Г\ ТТОО ТТОЛ/Г и о _

N

и в соответствии с выбором параметров будет отличаться от него не более чем на 4т. Оценим слагаемые

с совпадающими множителями:

N

Е Е

АС1 АЬр

—^ ■ ...--^х

Р1! Рв!

к=1 р1+...+ре=к, 11<...<ге, 31р1>1

J ((xo)ß(to,dxo) j V(xi1 )P1 ß(to,ti1 ,xo,dxi1)... J V(xs)Psß(to,th. .,tis ,xo,xh,.. .,Xis-1 ,dxis)

<

N

<

k v k

E

k=1

P1+...+Ps=k, i1<...<is, 3lpi>1

AC

Pi\

AtP

Ps!

По требованию, наложенному на диаметр разбиения, эта сумма не превышает е.

Вычитая из одного представления хронологического интеграла другое, оценим сверху разность

У (р(х0)р(Ь0,(х0) J еУ (х1)ИЬ1 ^(Ь0,Ь1,х0,(х1) еУ (Хи)Аи> к,...,Ьп,х0,...,хп—1 ,(хп)-

У^ / dtl ...dtn ((xo)ß(to,dxo) V(xl)ß(to,tl,xo,dxl) x

n=0Jo<t1<...<tn <т J J

... x V (xn)ß(to,.. . tn—l ? tni x01 xn— 11 dxn)

суммой четырех слагаемых, первое из которых имеет вид

N

Ath ...AUn (p(xo)ß(to,dxo) V(xi)ß(to,ti1 ,xo,dxi)...

n=0 l<ii <...<i„<m J J

/ dti...dtn / ip(xo)ß(to,dxo) / V(xi)ß(to,ti,xo,dxi)... < V]

Jo<t1 <...<tn<T J J n=l N

= e,

второе — вид

E

n=N+l

/o<t1<...<tn <т

dtl ...dtnJ ((xo)ß(to,dxo) j V (xl)ß(to,tl,xo,dxl)...

< e,

третье — вид

N

E

E

AtP1 At

Ps

i1

k=l p1+...+ps=k, i1<...<is, 3lpi>l

Pl!

Ps!

((x)ß(to,dxo) V(xl)P1 ß(to,ti1 ,xo,dxl) x

... x j V (xs)Ps ß(to ,ti1 ,...,tis ,xo ,xi,..., xs—l,dxs)

< e.

И наконец, четвертое слагаемое есть сумма групп с номерами начиная с N+1, получаемых при разложении экспонент, ее норма также не превышает е.

Тем самым доказано, что хронологический интеграл в смысле первого определения существует и оба интеграла равны. Теорема доказана.

Рассмотренный экспоненциальный множитель аналогичен множителям, появляющимся под знаком функционального интеграла в работах [2-6].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00761-а).

Автор приносит благодарность О. Г. Смолянову и Е. Т. Шавгулидзе за внимание к данной работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд-во МГУ, 1990.

2. Шамаров Н.Н. Функциональный интеграл по счетно-аддитивной мере, представляющий решение уравнения Дирака // Тр. Моск. матем. о-ва. 2005. 66. 263-276.

3. Смоляное О.Г., Трумен А. Гамильтоновы формулы Фейнмана для уравнения Шредингера в ограниченных областях // Докл. РАН. 2004. 399, № 3. 310-314.

х

s

х

4. Смолянов О.Г., Шамаров Н.Н. Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова // Докл. РАН. 2008. 420, № 1. 27-32.

5. Шамаров Н.Н. Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, вып. 6. 193-211.

6. Шамаров Н.Н. Poisson-Maslov type formulas for Schrodinger equations with matrix-valued potentials // Infinite dimensional analysis quantum probability and related topics. 2007. 10, N 4. 641-649.

Поступила в редакцию 16.07.2008

УДК 517.5

ПРИМЕР РАСХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННОЙ СИСТЕМЕ УОЛША-ПЭЛИ

И. В. Поляков1

В работе рассматривается специально выделенный класс шипповских перестановок системы Уолша. Для полученных систем строится пример расходящегося почти всюду ряда Фурье из класса L(ln+ ln+)1-eL.

Ключевые слова: ряды Фурье, система Уолша, кусочно-линейные перестановки системы Уолша, шипповские перестановки, расходимость почти всюду.

A specially chosen class of Shipp's rearrangements of the Walsh system is considered in the paper. An example of a Fourier series from the class L(\n+ ln+)1-eL divergent almost everywhere is conctructed for the systems obtained here.

Key words: Fourier series, Walsh system, rearranged Walsh system, Shipp's rearrangments of Walsh system, divergence almost everywhere.

Для тригонометрической системы хорошо известен классический результат Карлесона [1] о сходимости почти всюду ряда Фурье функции из L2[0, 2п] по тригонометрической системе к этой функции. Не менее известен классический пример Колмогорова [2], который доказал существование функции из L1[0, 2п], ряд Фурье по тригонометрической системе которой расходится почти всюду. Усилением теоремы Карлесона является результат Антонова [3]. Он показал, что для всякой функции из класса L ln+ L ln+ ln+ ln+ L([0, 2п\) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду. Это наилучший результат, касающийся сходимости для данной системы. Аналогичный результат получен для системы Уолша в нумерации Пэли Сьелином и Сориа [4]. В то же время многие авторы обобщали пример Колмогорова. Например, Конягин [5] показал, что для всякой функции р: [0, +ж) ^ [0, +ж) и последовательности {ф(т)} со следующими свойствами: функция p(u)/u является неубывающей на (0, +оо), tp(m) ^ 1 (m = 1, 2,...) и выполнено p(m)ip(m) = о(т\/\пт/л/lnInт) при т оо — найдется функция f £ L[-n,n], такая, что

/п

p(\f(x)\)dx < ж

-п

и limsupm^00 Sm(f,x)/^(m) = ж для всех x £ [—п,п], где Sm(f) — m-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f.

Для системы Уолша последний результат в этом направлении принадлежит Бочкареву [6], который доказал, что для всякой функции F(u) = uf (u), где f (u) — неубывающая, непрерывная на [0, ж) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию

/(■и) = о(л/log и) при и —> оо, существует функция g £ F(L), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду на [0,1).

1 Поляков Игорь Викторович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

igorp86@mail.ru.