Интегрирование банаховозначных функций и ряды Хаара с банаховозначными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. 4, № 2. 267-277.

8. Есина А.И., Шафаревич А.И. Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом // Матем. заметки. 2010. 88, № 2. 229-248.

9. Esina A.I., Shafarevich A.I. Semiclassical asymptotics of eigenvalues for non-selfadjoint operators and quantization conditions on Riemann surfaces // Acta Polytechn. 2014. 54, N 2. 101-105.

УДК 517.518.43

ИНТЕГРИРОВАНИЕ БАНАХОВОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ХААРА С БАНАХОВОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Показано, что для любого банахова пространства каждый всюду сходящийся ряд Хаара с коэффициентами из этого пространства является рядом Фурье-Хаара в смысле интеграла типа Хенстока относительно двоичного дифференциального базиса. В то же время сходимость почти всюду ряда Фурье-Хенстока-Хаара банаховозначной функции существенно зависит от свойств пространства.

Ключевые слова: ряды Хаара, ряды Уолша, двоичный дифференциальный базис, интеграл Хенстока, интеграл Петтиса, банаховозначные функции, свойство Орлича.

It is proved that for any Banach space each everywhere convergent Haar series with coefficients from this space is the Fourier-Haar series in the sense of a Henstock type integral with respect to dyadic derivation basis. At the same time convergence of Fourier-Henstock-Haar series Banach-space-valued functions is essentially dependent on properties of a space.

Key words: Haar series, Walsh series, dyadic derivation basis, Henstock integral, Pettis integral, Banach-space-valued functions, Orlicz property.

1. Введение. В последние годы ряд исследований в области векторнозначного анализа Фурье был посвящен вопросу о том, в каких случаях классические результаты о действительных функциях могут быть перенесены на случай банаховозначных функций. Некоторые результаты остаются справедливыми для любых банаховых пространств. Но чаще всего оказывается, что возможность такого обобщения зависит от структуры и геометрии рассматриваемого пространства. Укажем в качестве интересного примера обобщение известной теоремы Карлесона о поточечной сходимости рядов Фурье функций с интегрируемым квадратом. Это обобщение возможно лишь для пространств со свойством 1,'.\!1) ("безусловность мартингальных разностей"), и в недавних работах оно было доказано для широкого класса 1Л\'ГО-пространств в случае тригонометрической системы (см. [1]) и системы Уолша (см. [2]). Другой пример связан с неравенством Хаусдорфа-Юнга и возникающими в этой теории понятиями типа и котипа банаховых пространств. К этому роду характеризаций относится и понятие свойства Орлича, которое нам понадобится.

Определение 1. Скажем, что пространство Банаха X обладает д-свойством Орлича, <7^1, если существует константа С ^ 0, такая, что для любого конечного набора элементов х\,...,хп пространства X выполняется неравенство

Заметим, что каждое пространство котипа q ^ 2 обладает ^-свойством Орлича (см. [3]).

1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vaskvor2000Qyahoo.com.

Поступила в редакцию

18.05.2016

В. А. Скворцов

1

В настоящей работе мы рассмотрим задачу восстановления банаховозначных коэффициентов рядов по системам Хаара и Уолша с помощью обобщенных формул Фурье по суммам рядов и вопросы, связанные с поточечной сильной и слабой сходимостью рядов Фурье в смысле обобщенных интегралов по этим системам.

Известно (см. [4]), что в скалярном случае каждый всюду сходящийся ряд Хаара или Уолша является рядом Фурье в смысле двоичного интеграла Хенстока (//¿-интеграла). В то же время легко проверяется, что каждый ряд //¿-Фурье по системе Хаара сходится почти всюду, а в случае системы Уолша сходящейся почти всюду является подпоследовательность частных сумм с номерами 2га.

Здесь мы покажем, что в банаховозначном случае вопрос о восстановлении коэффициентов для любого пространства и для поточечной (сильной) сходимости ряда решается путем непосредственного обобщения определения //¿-интеграла, а в случае слабой сходимости — с помощью двоичного интеграла Петтиса.

Вопрос же о сходимости почти всюду ряда //¿-Фурье оказывается более сложным. Мы покажем, что известное для числовых коэффициентов утверждение о сходимости почти всюду каждого ряда //¿-Фурье по системе Хаара (или по подпоследовательности частных сумм с номерами 2п в случае системы Уолша) переносится лишь на случай конечномерных пространств, причем скорость расходимости этих рядов в бесконечномерном случае зависит от свойств пространства.

В силу известной связи между системами Хаара и Уолша (см. [5]) достаточно рассмотреть случай системы Хаара.

2. Двоичные интегралы Хенстока и Хенстока—Петтиса. Рассмотрим интеграл типа Хенстока относительно двоичного дифференциального базиса на [0,1], обобщающий классический интеграл Хенстока-Курцвейля (см. [6]).

Напомним необходимые определения.

Пусть обозначает семейство двоичных интервалов на [0,1]

J_ i±1

2«.' 2п

п = 0,1,2,

При фиксированном п интервалы J^ назовем интервалами ранга п. Через Jобозначим интервал

ранга п, который содержит точку t. Заметим, что двоично-рациональная точка вида ^ является

общим концом двух таких интервалов, а для двоично-иррациональной точки t интервал Jопределяется однозначно. Длину интервала J обозначим через \J\.

ПУСТЬ fa := {(/,*) : / € Xd : t € / С (f - 5(f),t + 5(f))} ,

где 5 — положительная функция на [0,1], называемая масштабной функцией или просто масштабом. Тогда двоичный дифференциальный базис на [0,1] определим как

B:={f3s: 5 : [0,1] —>■ (0, оо)} . Заметим, что базис В обладает свойством базы фильтра: 0 ф. В и для каждых f3s1,f3¿2 € В существует fa € £>) такое, что (3g С Д^ П (3$2. Достаточно взять 5(t) ^ min{<5i(i), (i)}- Таким образом, базис является направленным множеством, где отношение порядка задано включением. Иные примеры дифференциальных базисов в различных пространствах можно найти в [4, 6-9]. В частности, базис, в определении которого вместо двоичных интервалов используются всевозможные замкнутые интервалы, называется полным базисом интервалов.

Для каждого масштаба 5 конечное семейство тт элементов из (3s, такое, что для любых двух различных элементов (I',t') и (I",t") из тт интервалы /' и I" не перекрываются, назовем 5-разбиением. Пусть L € Id. Если (J^ х)етт ^ = L, то тт называется 5-разбиением интервала L. Легко проверить, что для каждого интервала L € Xd и для любого масштаба 5 существует ¿-разбиение интервала L.

Интеграл Хенстока для банаховозначных функций рассмотрен, например, в [6, 10]. Мы перенесем это определение на случай двоичного базиса.

Определение 2. Пусть L € Xd и /: L —> X, где X — банахово пространство. Скажем, что / интегрируем,а на L по Хенстоку относительно двоичного базиса (или Н¿-интегрируема) и значение Hd-интеграла равно А € X, если для любого е > 0 найдется такой масштаб 5, что для каждого ¿-разбиения тт интервала l выполняется неравенство

Е fw\-A

(/,t)€7T

< е.

Значение А //¿-интеграла запишем в виде (//¿) fL /.

Если функция / определена лишь почти всюду, то скажем, что она //¿-интегрируема, если она становится //¿-интегрируемой после доопределения ее нулем в точках, где она не была определена. При этом интеграл функции / определим равным интегралу доопределенной функции.

Заметим, что //¿-интеграл является непосредственным обобщением интеграла Хенстока-Кур-цвейля (//-интеграла), определение которого получится из определения 2, если в нем базис из двоичных интервалов заменить полным базисом интервалов.

Легко проверить, что класс //¿-интегрируемых на интервале функций является линейным пространством и выполняется соответствующее соотношение для интегралов. Нетрудно также показать, что если функция / //¿-интегрируема на интервале L € X¿, то она //¿-интегрируема также на любом двоичном подынтервале J С L. При этом функция F : J > (//¿) fj / аддитивна на алгебре, порожденной семейством интервалов из 1'¿, содержащихся в L, и определяет неопределенный Н¿-интеграл функции /.

Функцию F : Id —> X назовем В-непрерывной в точке t, если

lim F(jt(n)) = 0.

п—>оо V /

Если в этом определении сильный предел в X заменить на слабый, то получим определение слабой В-непрерывности в точке t.

Скажем, что функция F : Id —> X В-дифференцируема в точке t, если существует и конечен сильный предел

.. F(4n))

lim Y ,

п—>оо |jW|

определяющий ее сильную B-производную в точке t, которую обозначим DßF(t). Для вещественной функции это определение совпадает с обычным определением двоичной производной (см., например, [5]).

Функция F : Id —> X скалярно B-дифференцируема в точке t, если для любого функционала х* € X* вещественная функция x*F В-дифференцируема в этой точке. Если функция F скалярно В- дифференцируема в in существует такой элемент xt € X, что для каждого х* € X* имеет место равенство DßX*F(t) = x*(xt), то скажем, что F слабо В-дифференцируемав t, и назовем этот элемент Xt слабой B-производной функции F в точке t, обозначив ее w-D^F{t).

Напомним определение интеграла Петтиса.

Определение 3 (см. [10]). Пусть /: [а, Ъ] —> X, где X — банахово пространство. Скажем, что функция / интегрируема, по Петтису (или Р-интегрируема) на [а,Ь], если для каждого функционала х* € X* функция х* / интегрируема по Лебегу на [а,Ь] и для любого измеримого множества

Е С [а, Ь] существует такой элемент хЕ € X, что

® / ® /•

Je

Тогда элемент хЕ € X называется интегралом Петтиса функции / по Е, и мы пишем

(Р) I f = xE.

Je

Напомним, что функция /: [а,Ь] —>■ X называется простой, если она принимает конечное число значений х\,... ,хп, причем каждое множество /-1(жг) измеримо.

Определение 4 (см. [10]). Функция /: [а, Ъ] —> X сильно измерима, если существет последовательность простых функций, сходящаяся к / почти всюду.

Итегрируемую по Петтису и сильно измеримую функцию назовем Ps-интегрируемой.

Утверждение 1 (см. [10]). Если функция / Р3-интегрируема, то она Н-интегрируема и значения, интегралов совпадают.

Отсюда и из того факта, что //¿-интеграл является обобщением //-интеграла, следует

Утверждение 2. Если функция / Р3-интегрируема, то она Н¿-интегрируем,а, и значения интегралов совпадают.

Определение 5. Пусть /: [а, Ь] —>■ X, где X — банахово пространство. Скажем, что функция / интегрируема в смысле двоичного интеграла Хенстока-Петтиса (или НР^-интегрируема) на

[0,1], если для каждого х* € X* функция ж*/ //¿-интегрируема на [0,1] и для любого интервала ■] € Х& существует такой элемент XJ € X, что

х*(х.;) = (НРЛ) ^Х*/.

Тогда элемент XJ € X называется интегралом Хенстока-Петтиса функции / по и мы пишем

Справедлива следующая теорема о восстановлении функции по ее производной. Теорема 1. Если аддитивная функция Р : Х^ —> X В-дифференцируема всюду на [0,1], кром,е, быть может, счетного множества, в точках которого она В-непрерывна, то ее производная, / = Дв/1 Н¿-интегрируема на [0,1] и / является ее неопределенным Н¿-интегралом.

Доказательство. Доопределим функцию / нулем в точках исключительного счетного множества N = {гк}, где она не определена и где функция Р £>-непрерывна. Зафиксируем произвольное

е > 0 и найдем для каждой точки Гк такое число Пк, что ||/Х</г^)|| < е2~к_1 при п ^ Пк- Положим 5(гк) = 2~Пк. В каждой точке где функция /■' В-дифференцируема, найдем такое щ, что

\Ып))-т\4п)\\\<е\4п)\

при п ^ щ, и положим в этой точке ¿(¿) = 2~пь. Для так определенного масштаба 5 рассмотрим произвольное ¿-разбиение тт интервала ■] € Х&. Получим

Е < Е У№\-р(1)\\ =

(/,i)€7r

(/,t)€7T

оо

£

Е \\m\I\-F(i)\\+ Е \\f№\-Fm<e Е и +

(/,i)€7r, t£N (I,t)£TT,t£N (I,t)eir,t<£N k=1

Таким образом,

F(j) = (tfrf) J f.

Справедлив также аналог этой теоремы для слабой производной.

Теорема 2. Если аддитивная функция Р : Х^ —> X слабо В-дифференцируема всюду на, [0,1], кром,е счетного множества, в точках которого она, слабо В-непрерывна, то ее производная, / = из-РвР НР^-интегрируема на [0,1] и для каждого 3 € Х&

F{J) = {HPd) j' f.

Доказательство. Из слабой £>-дифференцируемости F следует, что при любом х* € X* к функциям x*F и х*/ применима теорема 1 при X = R. Поэтому x*F(J) = (Hd) J х*f для каждого

х* и для каждого J € Xd. А это и значит, что F( J) € X является //Р^-интегралом функции / по J.

В случае пространства конечной размерности для //¿-интеграла справедливо следующее обобщение так называемой леммы Колмогорова-Хенстока (см. [4]).

Лемма 1. Пусть X — конечномерное банахово пространство. Если функция /: Р —> X Hd-интегрируема на Р € Xd, то для любого е > 0 найдется такой мactum,а,б 5, что для, каждого 5-разбиения тт интервала Р выполняется неравенство

Е |/(*)и- ¡j

(/,t)€7T

< е.

Доказательство проводится так же, как и в классическом случае полного базиса интервалов (см. [6]). При этом, как и в классическом случае, справедливость леммы равносильна конечномерности пространства.

3. Восстановление коэффициентов сходящегося ряда Хаара по его сумме. Определим функции Хаара на [0,1]. Пусть Хо(%) = 1- Если п = 2к + г, к = 0,1,..., г = 0,..., 2к — 1, положим

Г2*/2 при ^ е Хп&) := < -2к/2 при г € 2Щл),

[о при* € (0,1)\

В точках разрыва значения функции %га положим равными среднему арифметичному пределов слева и справа, а в точках 0 и 1 — пределу изнутри интервала [0,1].

Пусть X — банахово пространство. Каждому ряду по системе Хаара

оо

О-аХп (1)

п=0

с коэффициентами ап € X и частными суммами Бт :— ^пХп поставим в соответствие функ-

цию Р : Та —> X, определенную на каждом интервале равенством

рЦп))-.= т [ з2п(1). (2)

Эта функция обычно называется квазимерой, ассоциированной с рядом, (1) (см. [11]). Поскольку суммы ¿>2" постоянны внутри каждого интервала то, обозначая эти постоянные значения через 5*2" (4^), мы, очевидно, имеем

рЦп)) = з2П(4п))\4п)\- (з)

(ть) (п I 1)

Проверим, что является аддИТИВН0й фуНКцИец на В самом деле, пусть

■ч = -Ч Г и

/ , ч (5>2"+1 ~~ $2") = 0. Р(4П)) = [( . ^ = [ (¿^ + (52П+1 - ЗД) = [ + 1 =

г г г

= и + - ^Г") + П-&.

^ - ^ Ло • I 1

Легко проверить, что

2г 2г+1

Из равенства (3) следует, что

= > (4)

\4п)\

по крайней мере в каждой двоично-иррациональной точке отрезка [0,1]. Следующая лемма немедленно следует из равенства (4).

Лемма 2. Частные суммы ¿>2™ ряда, (1) сходятся, (сильно или слабо) к функции / в двоично-иррациональной, точке £ тогда и только тогда, когда ассоциированная, с рядом, квазимера, Р, определенная в (2), В-дифференцируема (соответственно сильно или слабо) в £ и ее В-производная, равна f(t).

Лемма 3. Если ряд Хаара, сильно (слабо) сходится, в точке то соответствующая ква,зи,м,ера, сильно (слабо) В-непрерывна в

Доказательство. Рассмотрим последовательность вложенных интервалов стягивающихся к точке В случае двоично-рациональной точки имеем две такие последовательности, для которых £ является общим концом начиная с некоторого номера. В этом случае рассмотрим отдельно

каждую из них. Из сходимости ряда в точке t следует, что anXn(t) —> 0. Тогда в случае сильной сходимости

2П

И4га))||= ||^(4ra))||l4ra)| <2-»f32||afcXfc(t)IH0.

к=0

Последняя сумма стремится к нулю как последовательность средних арифметических последовательности, стремящейся к нулю (фактически в этой сумме не более чем 2п ненулевых членов). В случае слабой сходимости оценки аналогичны.

Замечание 1. В случае ряда Уолша сходимость в одной двоично-иррациональной точке гарантирует стремление к нулю коэффициентов и тем самым ^-непрерывность всюду соответствующей квазимеры.

Следующее утверждение играет существенную роль при доказательстве того, что данный ряд Хаара является рядом Фурье в смысле того или иного интеграла.

Утверждение 3. Пусть дан некоторый процесс интегрирования Л, определяющий интеграл, аддитивный на Х^. Тогда ряд (1) является рядом, Фурье-Хаара некоторой А-иптегрируемой функции / : [0,1] —> X тогда и только тогда, когда ассоциированная, с рядом, ква,зи,м,ера, F, определенная в (2), удовлетворяет равенству F(J) = (Л) fjf для каждого J € Xd.

Доказательство проводится так же, как в действительном случае (см. [12]).

Теорема 3. Если ряд Хаара, сильно (слабо) сходится к функции / всюду на, [0,1], то / Hd-интегрируема (соот,вет,ст,вен,н,о НР^-интегрируема) на [0,1] и коэффициенты ряда, являются коэффициентами Фурье функции / в смысле указанных интегралов.

Доказательство. Результат непосредственно следует из леммы 2, леммы 3, примененной к двоично-рациональным точкам, и теорем 1 и 2.

Теорема 4. Если ряд Хаара, сильно (слабо) сходится к функции / всюду на, [0,1], кром,е счетного множества, где

lim S2n(An))2-n = 0, (5)

п—>оо

то / Н¿-интегрируема (соответственно Н Р^-интегрируема) на [0,1] и коэффициенты ряда, являются коэффициентами Фурье функции / в смысле указанных интегралов.

Доказательство. Из (3) и (5) следует, что F сильно ß-непрерывна в точках исключительного множества, и остается применить теоремы 1 и 2.

Замечание 2. Для выполнения условия (5) достаточно предположить, что для коэффициентов ряда справедливо соотношение ап = о(п1//2), т.е. условие, которое выполнено для коэффициентов Фурье любой суммируемой функции.

Замечание 3. В случае ряда Уолша в силу замечания 1 аналог теоремы 4 справедлив без дополнительных предположений о поведении частных сумм в точках исключительного счетного множества.

4. Расходимость рядов Фурье—Хаара. Вопрос о дифференцируемости неопределенного интеграла Хенстока относительно того или иного базиса существенно зависит от справедливости леммы Колмогорова-Хенстока для этого базиса. Поэтому в силу леммы 1 по аналогии с соответствующим утверждением для полного базиса интервалов (см. [6]) доказывается

Теорема 5. Пусть X — конечномерное банахово пространство и функция / : [0,1] —> X Н¿-интегрируема на [0,1]. Тогда, ее неопределенный интеграл F(I) = (На) fjf В-дифференцируем почти всюду и DßF(t) = f(t) почти всюду на, [0,1].

В бесконечномерном случае несправедливость такой теоремы может быть получена из невозможности переноса на этот случай леммы 1. Мы здесь, однако, предпочтем воспользоваться некоторыми известными результатами из теории интеграла Петтиса. В [13] доказаны следующие утверждения.

Теорема 6. Для любого бесконечномерного банахова пространства X и для любого е > 0 существует Ps-интегрируемая функция / : [0,1] —> X, такая, что для любого интервала I С [0,1] выполняется неравенство

"Psjf

Теорема 7. Для любого бесконечномерного банахова пространства X, обладающего q-свой-ством Орлича, 2 ^ q < оо, и для любой Р3-интегрируемой функции / : [0,1] —> X почти всюду

выполняется неравенство

рг+н

Р*] / =0^) (6)

при И —у 0.

Мы применим эти утверждения для изучения поведения частных сумм рядов Фурье-Хаара. Теорема 8. Пусть X — конечномерное банахово пространство и функция / : [0,1] —> X Н^-интегрируема на [0,1]. Тогда ее ряд Н^-Фурье-Хаара сходится, к ней почти всюду на, [0,1].

Доказательство. Из определения функций Хаара легко понять, что в зависимости от точки сумма при 2п~1 < к ^ 2п совпадает либо с 52п-1 (/;£), либо с ¿>2п(/;^)- Тогда утверждение

теоремы является следствием утверждения 3, теоремы 5 и леммы 2.

Теорема 9. Пусть X — любое бесконечномерное банахово пространство. Тогда, для, любого е > 0 существует такая Р3-интегрируемая, а значит,, и, На-интегрируемая функция / : [0,1] —> X, что в каждой, двоично-иррациональной, точке £ € [0,1] частные суммы ее ряда, Р3-Фурье-Хаара удовлетворяют неравенству

||ЗД;*)|| >Секъ~е, (7)

причем в случае к = 2п неравенство справедливо при Се = 1.

Доказательство. Пусть / — Р8-интегрируемая функция, существующая в силу теоремы 6. Тогда из этой теоремы с учетом утверждения 3 следует, что для квазимеры Р, ассоциированной с рядом Фурье функции /, в каждой точке £ € [0,1]

Отсюда в силу равенства (4) в каждой двоично-иррациональной точке отрезка [0,1] получаем для частных суммы ряда Р^-Фурье функции / оценку

Пусть 2п~1 < к ^ 2п. Как уже отмечалось при доказательстве теоремы 8, сумма совпадает

либо с 52п-1(/;£), либо с ¿>2™ (/;£)• Отсюда

Вытекающий из этой теоремы факт сильной расходимости рассматриваемого ряда можно усилить, установив также возможность слабой расходимости. А именно справедливо

Следствие. Для любого бесконечномерного банахова пространства X существует Р3-интегрируемая, а значит,, и, На-интегрируемая функция / : [0,1] —> X, такая, что в каждой, двоично-иррациональной, точке £ € [0,1] ее ряд На-Фурье Хаара слабо расходится.

Доказательство. Возьмем функцию из теоремы 9. Если бы ее ряд Р^-Фурье-Хаара слабо сходился в некоторой точке, то к последовательности его частных сумм в этой точке можно было бы применить теорему Банаха-Штейнгауза и мы пришли бы к противоречию с оценкой (7).

Полученная в теореме 9 оценка (7) близка к описанию наибольшей возможной скорости расходимости ряда Р^-Фурье-Хаара в классе всех бесконечномерных банаховых пространств, что видно из следующей теоремы.

Теорема 10. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, обладающее 2-свойством Орлича. Тогда для, любой Р3-интегрируемой функции / : [0,1] I в каждой, двоично-иррациональной точке £ € [0,1] частные суммы ее ряда Т3-Фурье-Хаара удовлетворяют неравенству

Доказательство. Из оценки (6) и равенств (2) и (4) следует, что в каждой двоично-иррациональной точке £ € [0,1] справедливо соотношение

=мт=<тр.=^^=«*•*).

К I 1Л( I

Отсюда, рассуждая, как при доказательстве теоремы 9, при 2п~1 < к ^ 2п получаем ¿)|| =

о[2п/2) = о{к{/2).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 17-01-00286.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hytonen Т., Lacey М. Pointwise convergence of vector-valued Fourier series // Math. Ann. 2013. 357. 13291361.

2. Hytonen Т., Lacey M. Pointwise convergence of Walsh-Fourier series of vector-valued functions // ArXiv: 1202.0209vl [math. С A] 1 Feb 2012.

3. Blasco 0., Signes T. Q-concavity and q-Orlicz property on symmetric sequence spaces // Taiwan. J. Math. 2001. 5. 331-352.

4. Skvortsov V.A. Henstock-Kurzweil type integrals in P-adic harmonic analysis // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi. 2004. 20. 207-224.

5. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

6. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2010.

7. Ostaszewski К.М. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63, N 353.

8. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.

9. Скворцов В.А., Тулоне Ф. Р-ичный интеграл Хенстока в теории рядов по системам характеров нульмерных групп // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 25-29.

10. Sehwabik S., Ye Guoju. Topics in Banach space integration // Series in Real Analysis. Vol. 10. Hackensack, NJ: World Scientific, 2005.

11. Плотников М.Г. Квазимеры, хаусдорфовы р-меры и ряды Уолша и Хаара // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. 74, № 4. 157-188.

12. Skvortsov V., Tulone F. Multidimensional dyadic Kurzweil-Henstock- and Perron-type integrals in the theory of Haar and Walsh series // J. Math. Anal, and Appl. 2015. 421, N 2. 1502-1518.

13. Dilworth S.J., Girardi M. Nowhere weak differentiability of the Pettis integral // Quaest. Math. 1995. 18, N 4. 365-380.

Поступила в редакцию 27.04.2016

УДК 519.21

ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ЛУНДБЕРГА ДЛЯ СЛУЧАЯ АКЦИОНЕРНОЙ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ

А. А. Муромская1

Изучается вероятность разорения страховой компании, выплачивающей дивиденды согласно барьерной стратегии со ступенчатой функцией барьера. Получены оценки сверху для вероятности разорения в рамках моделей риска Спарре Андерсена и Крамера-Лундберга.

Ключевые слова: модель риска Спарре Андерсена, вероятность разорения, выплата дивидендов, ступенчатая функция уровня барьера, модель риска Крамера-Лундберга.

The ruin probability of an insurance company paying dividends according to a barrier strategy with a step barrier function is considered. Upper bounds for the probability of ruin are obtained within the framework of Sparre Andersen and Cramer-Lundberg risk models.

Key words: Sparre Andersen risk model, ruin probability, dividend payments, step barrier function, Cramer-Lundberg risk model.

Рассмотрим страховую компанию, процесс изменения капитала которой описывается с помощью модели риска Спарре Андерсена. А именно пусть

т

U(t) =x + ct - 1 ^ °>

г=1

1 Муромская Анастасия Андреевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasia.muromskaya.msuQgmail.com.