CC BY
10Рассмотрим меры v(|cfw(j))) и (Id х Twj)A(\cfw(j))). Так как эти меры совпадают на множествах вида TZ1 Ej х Tz2Ej, то с учетом аппроксимации, фигурировавшей в определении действия ранга 1, получим, что слабые пределы последовательностей таких мер одинаковы. Следовательно,
n(Id х Tw(j))A(\cj°'w(j))) ^ nv = AxxX•
Теперь, уменьшая 5, с помощью диагонального метода получаем
n(Id х Tw(j))A ^ Axxx, (Id х Sw(j))Axxx ^ Axxx■
Это в точности означает, что Sw(j) I. Таким образом, вспоминая, что w(j) = 0, получаем, что фак-тордействие является жестким. □
Автор признателен Т. Довнаровичу и Ж.-П. Тувено за стимулирующие дискуссии.
список литературы
1. King J. The commutant is the weak closure of the powers, for rank one transformations // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1986. 6. 363-384.
2. Downarowicz T, Kwiatkowski J. Weak closure theorem fails for Z2-actions // Stud. math. 2002. 153. 115-125.
3. Goodson G.R., Ryzhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems //J. Dynamical and Control Systems. 1997. 3. 321-341.
4. Рыжиков В.В. Перемешивание, ранг и минимальное самоприсоединение действий с инвариантной мерой // Матем. сб. 1992. 183, № 3. 133-160.
5. King J., Thouvenot J.-P. A canonical structure theorem for finite joining-rank maps //J. Anal. Math. 1991. 51. 211-230.
Поступила в редакцию 16.11.2007
УДК 517.9
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ОПЕРАТОРОМ ВЛАДИМИРОВА
О. Г. Смолянов, Н. Н. Шамаров
В работе доказываются формулы Фейнмана-Каца для уравнений теплопроводности с оператором Владимирова (играющим здесь роль оператора Лапласа); при этом предполагается, что неизвестные функции определены на произведении вещественной прямой и пространства над полем р-адических чисел и принимают вещественные или комплексные значения. Аналогичные формулы можно получить и для уравнений типа Шредингера. Такие уравнения могут быть полезны при построении как математических моделей процессов, масштабы которых характеризуются планковскими длиной и временем, так и математических моделей, описывающих феноменологию в химии, механике сплошных сред, а также в психологии (см. [1-4] и имеющиеся там ссылки).
Формулой Фейнмана называется представление решения задачи Коши для эволюционного дифференциального или псевдодифференциального уравнения с помощью предела интегралов по декартовым степеням некоторого пространства Е; формулой Фейнмана-Каца называется представление решения той же задачи с помощью интеграла по траекториям в том же пространстве Е (далее роль Е играет пространство над полем р-адических чисел). При этом кратные интегралы в формулах Фейнмана совпадают с интегралами, являющимися конечномерными аппроксимациями интегралов по траекториям, так что фактически формулы Фейнмана-Каца — это следствия формул Фейнмана. Так как подынтегральные выражения в формулах Фейнмана являются элементарными функциями от коэффициентов рассматриваемых уравнений, то такой способ получения формул Фейнмана-Каца одновременно приводит и к методу вычисления интегралов по траекториям, содержащихся в этих формулах.
1. Постановка задачи Коши. Используемые в работе результаты р-адического анализа можно найти в книге [1]. Поле Qp считаем наделенным стандартной р-адической нормой Qp Э x ^ \x\p, такой, что \р\р = р-1; для каждого k £ Z пусть Bk = {x £ Qp : \x\p < рк} и
вдЛ1 Х £ Bo;
[0, x £ Qp \ Bo.
Борелевскую меру Хаара на Qp, принимающую значение 1 на Bo, обозначаем Haar, но в записях интегралов по этой мере вместо Haar(dx) используем dx.
Преобразование Фурье F в пространстве D комплексных основных функций на Qp задаем ядром (относительно Haar) Kf : Qp2 ^ C, таким, что Kf(x,y) = e2m{xy}p, где отображение Qp Э x ^ {x}p £ Q взятия дробной части р-адического числа является непрерывным гомоморфизмом абелевой топологической аддитивной группы поля Qp в аналогичную группу R/Z. Сопряженный оператор F' в пространстве D' обобщенных функций является расширением оператора F при каноническом вложении D ^ D' (относительно Haar). Таким образом, сужение Fi оператора F' на комплексное пространство L1 = Li(Haar) задается формулой (F f )(y) = JQ e2m{xy}p f (x) dx, сужение Fo на пространство конечно-аддитивных
борелевских мер конечной вариации на Qp — формулой (Fov)(y) = Jq e2ni{xy}p v(dx) и сужение F2 на
комплексное гильбертово пространство L2 = L2(Haar) является изометрическим линейным изоморфизмом пространства L2 на себя. Обратный оператор определяется формулой (F-1 f)(x) = (F f )(-x) для f £ D.
Далее а > 0 и Da — оператор Владимирова порядка а, самосопряженный в комплексном пространстве L2 = L2(Qp) с областью определения Da, содержащей плотное пространство D основных функций на Qp; v : Qp ^ C — ограниченная непрерывная функция и V — ограниченный и всюду в L2(Qp) определенный оператор поточечного умножения на v. Отметим, что —Da = F-1 Mm F2, где Mm — оператор поточечного умножения на функцию Qp Э x ^ m(x) = — \x\a, самосопряженный на области определения {f £ L2 : mf £ L2}.
Под задачей Коши для уравнения теплопроводности с оператором Владимирова далее будем понимать задачу отыскания функции Ф аргумента t, определенной на неотрицательной вещественной полуоси, принимающей значения в нормированном подпространстве Da С L2Q) и удовлетворяющей условиям
i(d/dt)^V(t) = (—Da + V )9(t), \Ф(0) = фо,
(1)
где (d/dt^(t) при каждом t > 0 вычисляется как предел в L2-норме функции [-t, Э т ^ т-1х
(Ф^ + т) — Ф(^) £ Da при т ^ 0 (для t = 0 предел понимается как правый). Эту задачу Коши далее называем задачей (1). Однозначная разрешимость задачи (1) при произвольном начальном условии (н.у.) фо £ Da вытекает из общей теории однопараметрических операторных полугрупп, так как сумма самосопряженного оператора —Da и ограниченного V является генератором сильнонепрерывной полугруппы {Gs}s^o с пространством Da векторов дифференцируемости.
Наша цель — получить формулу Фейнмана-Каца для задачи (1), т.е. выразить комплексное значение ф{Ь,т) = ^(t))(x) решения Ф^) при t > 0 и x £ Qp в виде интеграла по некоторой счетно-аддитивной мере Mберущегося по пространству некоторых отображений отрезка [0; t] в Qp от подынтегрального функционала, включающего данные V и фо задачи Коши. Для получения интегралов (по конечным степеням Qp), аппроксимирующих функциональный интеграл, воспользуемся формулой Троттера для суммы самосопряженного и ограниченного операторов: для каждой функции f £ L2 справедливо равенство
Ggf = Ит (e~™Dae™v)nf (2)
n
(предел по L2-норме). Нам потребуется более детальное описание участвующих в допредельном выражении полугрупп.
Экспонента esV от ограниченного оператора sV (s > 0) может быть представлена рядом Тейлора
ЕОО 1 пт ТП "
к=о п\ > схоДяЩимся в операторной норме, и совпадает с оператором умножения на ограниченную функцию es'v, обозначаемым далее Vs.
Полугруппа с генератором —Da описывается сложнее.
2. Полугруппа, порождаемая оператором Владимирова. Пусть Б3 = е-3&а (в > 0). Лемма. Справедливо равенство Б3 = Т-1 Б3 Т2, где (Б3/)(х) = е3'т(х) /(х) (/ € Ь2) для Нааг-п.в. х. При в > 0 и / € Ь2 элемент (класс эквивалентности) Б3(/) € Ь2 представляется непрерывной функцией Е3 * /, где неотрицательная непрерывная на (р функция Е3 принадлежит Ь2 П Ь\ и выражается 'равномерно сходящимся рядом,:
Г3(х) = £(е-3рка — е-яр(к+1)а)ркП(ркх) (3)
кеЪ
(ср. ряд (3.3) в [1, § 4, п. 3], дающий другое представление той же функции, если положить /(г) = /3(г) = е-вга. сМ. также [5]).
Доказательство. Поскольку —Оа = Т-1 Мт Т2, оператор Т2 изометричен и {Б3 : в > 0} — полугруппа с генератором Мт, то формула е-3®а = Т-1 Б3 Т2 (= Б3) справедлива.
Ввиду того что при в > 0 Б3 — оператор умножения на быстро убывающую непрерывную функцию /3 = е3'т, зависящую только от р-адической нормы аргумента, докажем, что Б3 — оператор свертки с непрерывной функцией Т1(е3'т), обозначаемой далее
Положим /3(х) = /3(\х\р) = е3'т(х) (х € (р), эта функция, очевидно, непрерывна и принимает значения из полуинтервала (0; 1] вещественной оси. Докажем, что /3 € Ь^ Так как /3 не превосходит единицы и
^р : \х\р
постоянна на сферах, принимая на сфере Б к = {х € Qp : \х\р = рк} = В к \ Вк-1 значение е 3'р а (к €
то ряд, составленный из интегралов от функции /3 по шару Во и всем сферам Бк при к = 1, 2, 3,... , сходится, поскольку его слагаемые, занумерованные значениями к € {0,1, 2, 3,... }, мажорируются частью слагаемых сходящегося ряда 1 + Ега^1 а ПРИ п = Рк Для к > 0. Включение ¡3 £ Ь\ доказано (из него при учете области значений функции вытекает и включение /3 € Ь2). Следовательно, Е3 = Т1 /3 — непрерывная функция.
Далее, для каждого у € Qp имеем Е3(у) = (Т1 /3)(у) = /( е2жг{х'у}р/3(\х\) йх = (в силу счетной аддитивности интеграла) = Ее2жг{х'у}р /3(рк) йх. Используя в каждом слагаемом формулу (3.2) книги [1], находим Г3(у) = Е^^ /3(рк) ' (рк^(У ' рк) — рк-1&(у ■ рк-1)). Покажем, что к полученному двустороннему ряду можно применить преобразование Абеля Ек ак(Ьк — Ьк-1) = Ек Ьк(ак — ак+{). Для этого достаточно проверить, что сходится двойной ряд Е^^ /3(рк) ■ рк, почленно мажорирующий ряды
Ек афк = Екеъ /3(рк) ■ ркМ(у ■ рк) и Ек акЬк-1 = Екеъ /3(рк) ■ рк-1^(у ■ рк-1), получаемые раскрытием скобок в правой части последнего равенства для Р3(у). Поскольку /3(г) < 1 при любом г > 0, то ряд Ек<о /3(рк) ■ рк мажорируется геометрической прогрессией, а оставшаяся часть ряда сходится в силу оценки Ек=1 /3(рк) ■ рк < ЕПП=1 п/е3П". Таким образом, доказана законность применения преобразования Абеля: Е3(у) = Е^ъ(е-3"рк°' — е-3р^к+1)а)рк0,(рку). Далее, так как у ^ ркО,(рку) является плотностью вероятностной меры на (р и сходящийся ряд из положительных слагаемых Еке^(е-31рка — е-3р^к+1)а) суммируется к числу Ншк^-п> е-3^^ — Ншк^+п е-3\р\ка = 1, то по теореме Б. Леви ^ ^3(х) йх =
^ке^(е-3рка — е-3р(к+1)а) рк0-(ркх) йх = Еке^(е-31р1ка — е-3р1(к+1)а) = 1, т.е. Г3 € Ь1 и является плотностью вероятностной меры. Кроме того, из включения /3 € Ь2 вытекает включение (Т'/3 = Т2/3 =) Р3 € Ь2.
В силу формулы (Т2/)(х) = /(—х) (/ € и того, что Е3 и /3 зависят только от р-адической нормы аргумента, получаем, что и /3 = Т2Е3. Для произвольной функции / € Ь2 при каждом аргументе х € Qp свертка (/ * Е3)(х), задаваемая формулой / * Р3(х) = /(^ /(х — у)Е3(у) йу, определена и в силу
принадлежности функции у ^ \/ (х — у)Р3(у)\ классу Ь1 по теореме Лебега может быть представлена в виде
/ * Г3(х) = £(е-3рка — е-3р(к+1)а)рк ( /(х — у)П(рку) йу = кеЪ (
= £ (е-3рка — е-ар(к+1)а)рк ( /(уЩрк(х — у)) йу (х € (р). кеЪ (
Покажем, что интеграл в каждом слагаемом последнего ряда является непрерывной функцией по х. Вследствие того что, каков бы ни был элемент у € (р, функция (р Э х ^ &(рк(х — у)) не меня-
— к
ет значения, когда х меняется в пределах произвольного шара радиуса р к, в пределах того же шара постоянен и интеграл; будучи локально постоянным, он непрерывен. Далее, покажем, что последний двусторонний ряд непрерывных функций сходится равномерно, доказав тем самым непрерывность функции / * Найдем мажоранту для интеграла: | fQ /(у)0,(рк(х — у))\ < (по неравенству Коши-
Буняковского) < ||/||l2 ' \/Нааг(!3_д.) = ||/||l2 откуда для самого слагаемого мажорантой является
число (e-spka — e-sp^k+1)a)pk/2\\f \\l2. Ряд из таких чисел с неположительными индексами k мажорируется суммой ^^z(e-spka — e-sp^k+1)a)p°\\f \\l2 = \\f \\l2 < ж, а ряд с положительными индексами k мажорируется рядами \\f \\l2Y. fc=1 pk/espka < \\f ||l2 n/esn,a; сходимость последнего уже отмечалась.
Наконец, аналогично случаю функций вещественного аргумента из включений f £ L2, Fs £ L2 П L1 легко выводится равенство (F(f) • fs) = F(f) • F(Fs) = F(f * Fs), откуда Ssf = (F-1 SsF)(f) = F-1(fs • (Ff)) = F-1F(Fs * f) = Fs * f. Лемма доказана. □
3. Формула Фейнмана. Пусть для каждого s > 0 ms — мера с плотностью Fs относительно Haar; пусть m0 = ö, где ¿(А) = 1 при 0 £ A и ö(A) = 0 иначе. Положим еще ms,x(A) = m(s, x, A) = ms(A — x) для каждого x £ Qp и каждого борелевского множества A С Qp. При этом Jq f (x)ms,x0(dx) = JQ f (x)Fs(x —
xo) dx = (так как Fs зависит только от р-адической нормы аргумента) = Jq f (x)Fs(xo—x) = (f *Fs)(xo) =
(f * ms)(xo).
Воспользуемся полученными в предыдущем пункте явными выражениями для экспонент от оператора —Da и от оператора (v(q)• ) умножения на ограниченную функцию в пространстве L2. Напомним, что однопараметрические семейства операторов {Ss = (esv(q • ) : s > 0} и {Ws = (ms*) : s > 0}, где мера ms описана выше, являются сильнонепрерывными полугруппами операторов в L2 и имеют генераторы v(q)• и —Da соответственно; здесь (ms*) — оператор свертки L2 Э f ^ ms * f, где
(ms * f )(xo)= f (xo — x)ms(dx)= f (xo — x)Fs(x) dx = f (x)Fs(xo — x) dx =
Jqp JQp JQp
= / f (x)Fs(x — xo) dx = f (x)ms,xo(dx) = f (x)m(s, xo,dx)).
JQp JQp JQp
Пусть t > 0. Из формулы Троттера (2) для разрешающей полугруппы Gs задачи (1) вытекает, что для всех Фo £ Da решение Ф(t) имеет вид
Ф(t) = GtФo = lim (St/nWt/n)^o (предел в L2).
Выберем некоторую строго возрастающую последовательность натуральных чисел Пк (к £ N),
для которой последовательность измеримых функций (St/nk Wt/nk )nk Фo сходится почти всюду относительно меры Хаара. Тогда для почти каждого xo £ Qp справедливы равенства
(Ф(£))(ж0) = Ит / m(—,x0,dxi]e"kv(-x^ / m(—,е™^^2-1 х ...
JQ3xi \Пк / Jq^x2 Knk J
...x / m(—,xnk-2,dxnk-i)e~v(Xnk-1"> / m(—, хПк-Ъ dxnk] e"kv(-Xnk)^0(xnk) =
jQ3xnk-1 Knk / JQ3xnk Knk '
(производим замену yj = xj — xo в каждом из nk интегралов)
f t п 1 \ ^rl"(x0+yi) I ( t \ -f-v(x0+у2)
lim / m(—,0,dyi) enkv(-x°+yi^ / m(—,2/1,^2) е.Пк> * x...
k JQ3y 1 ^nk ' JQ3y2 nk '
' Q3ynk-i Knk J JQ3yn, nk J
...x / ml—,y„,_5,cfy„,_i ] e"k / m(—,%1Пк_л,йуп,„ ] e«'
Полученное представление для (Ф(Ь))(хо) = ф(Ь,Хо), выполняющееся для почти всех хо, и является искомой формулой Фейнмана.
4. Мера Винера на пространстве функций, принимающих значения в поле р-адических чисел. Далее для всякого топологического пространства X обозначим через В(Х) ст-алгебру его боре-левских подмножеств. Фиксируем Ь > 0.
Зададим меру mt,n ■ B (Qpn) ^ R формулой
mt,n(Ai х ... х Ап) = / m(-,0,dyi) m(-,yi,dy^\ х
JäiBvi Vn J JA23V2 Vn J
• ••x / m(—> dyn-2, dyn-i) / m(-,yn-i,dyn).
JAn-iBvn-i Kn ' JAn3Vn Vn '
n\
Такая мера существует, единственна и счетно-аддитивна на B(Qpn) по теореме И. Тульчи.
Тогда из полученной выше формулы Фейнмана вытекает, что
4)(t,xо) = lim / е2^1 ^ь{хо+У])Я>о(уПк) • mt,nk(dyi, ■ ■ ■,dynk)
(QP)"k
для почти всех xo Е Qp. Далее найдем меру M_ в подходящем пространстве отображений отрезка [0,t] в Qp, для которой mt,n будет образом относительно некоторой проекции. Для краткости далее вместо Qp пишем Q.
Пусть для каждого t > 0 Cyl ([0,t],Q) — (так называемая цилиндрическая) алгебра подмножеств пространства Q[0_ (всех отображений отрезка [0,t] в (радоновскую) группу Q), порожденная всеми множествами вида {f Е Q[0,_ ■ f (s) Е A} при s Е [0,t] и A Е B(Q).
Отметим, что справедливо равенство Чепмена-Колмогорова для системы {ms,q ■ s Е [0,t], q Е Q} "переходных" вероятностных мер: оно вытекает из поточечного на P мультипликативного равенства f si+s2 (p) = fsi (p)fs2 (p) для преобразований Фурье мер msi+s2, msi и ms2, откуда msi+s2 = msi * ms2 и, более того, msi+s2, qi+q2 = msi,qi * ms2,q2. Тогда по теореме Колмогорова о согласованных распределениях эта система порождает некоторый однородный по времени и пространству марковский процесс с независимыми приращениями в Q на отрезке времени [0,t]. Другими словами, существует вероятностная (счетно-аддитивная нормированная) мера M_ на алгебре Cyl ([0,t],Q), связанная с переходными вероятностями {ms,q ■ s Е [0;t], q Е Q} следующим образом. Если заданы: натуральное число n, для каждого целого k Е Z П [0,n] борелевское множество Ak Е Q и разбиение 0 = to < ti < ■ ■ ■ < tn-i <tn = t отрезка [0,t] на n отрезков [tk-i,tk ] с длинами Atk = tk - tk-i (k = 1, 2,... ,n) и если Ct0,Ao_i,Äi,-_n,Än = {y ■ [0,t] ^ Q ■ Y(tk) Е Ak (k = 0,1,..., n)} (такое множество называется цилиндрическим), то
M- (C_o ,Ao_i,Äi,..,tn ,An ) = S(Ao) m(Ati, 0,dyi) m(At2,yi,dy2) x ...
JÄi3vi JÄ2 BV2
/ m(Atn-i,dyn-2, dyn-i) m(Atn,yn-i,dyn).
J An — 1 Э Vn- i J An Э Vn
... X
I Лп-1Эуп-1 ¿АгЭУп
Стохастическую непрерывность полученного однородного процесса можно проверить с использованием формулы (3); для этого достаточно проверить, что Е3(д)йд ^ 0 при в ^ +0, каково бы ни
было число ]о Е По теореме Б. Леви или Лебега интеграл от ряда в (3) можно брать почленно. Однако легко заметить, что ненулевыми оказываются только слагаемые с к < —о. Проверим, что полученный ряд интегралов от ненулевых слагаемых сходится равномерно по переменной в, пробегающей интервал (0; шш(1,Ь)). Интеграл от каждого ненулевого слагаемого равен (е_арка — е_зр^к+1)а) . рк Нааг(В_к \ В^0) и мажорируется числом 1 — е_3Р^к+1)а < 1 — е_р^к+1)а (так как рк Нааг(В_к \ В^0) = рк(р_к — ) < 1). Последняя мажоранта 1 — е_р задает знакоположительную последовательность, асимптотически при к ^ —сю эквивалентную величине р(к+1)а, т.е. члену бесконечно малой геометрической прогрессии. По мажорантному признаку Вейерштрасса наш ряд интегралов сходится равномерно, и осталось проверить, что найденная выше мажоранта 1 — е_зр^к+1)а (для интеграла от неотрицательного слагаемого) при в ^ +0 стремится к нулю, но последнее очевидно.
Благодаря стохастической непрерывности процесса М_ является цилиндрическим образом некоторой вероятностной меры М_ на цилиндрической алгебре в пространстве С1 отображений [0,Ь] ^ Qp без
разрывов второго рода [6], т.е. выполнено равенство M-(Ct0,Ao,ti,Ai, ... , tn,An) = M(Cj ПCt0,a0,ti,Ai, ... , tn,An), каково бы ни было цилиндрическое множество Cto, a0, ti, Ai,...,tn,An.
5. Формула Фейнмана-Каца. Теорема. Задача (1) с н.у. фo имеет единственное решение, при каждом t £ (0; T] определяемое равенством
ФШя) = Ш q)= [ efo v(q+Y(t))dt ^o(q + Y(t)) Mt(dy). (4)
JCty
Доказательство. Поскольку мера mt,n при каждом n £ N является образом меры Mt при линейном отображении
C1 Э z ^ (z(0),z(t/n), z(2t/n),..., z((n — 1)t/n), z(t)) £ Qn+1, то справедливо равенство (для п.в. xo £ Q)
(ЩЩх0) = lim [ е^=^:и{хо+х{1к/пк))Ч!0{х0 + z(t))M\dz). (5)
k JC\3z
Далее для применения мажорантной теоремы Лебега используем неравенство
i-v(x0+z(tk/nk))
Фо(жо + z(t))
<
et sup{Re ъШт\Ъо(Хо + Z(t))\
и тот факт, что цилиндрическая функция С} Э г ^ |Фо(хо + г(£))| интегрируема по мере Ы1 (это вытекает из равенств /сгЭ2, |Фо(хо + г(ЩЫг(йг) = ¡дЭд |Фо(хо + д)\ш1:(йд) = |Фо(хо + я)^г(д) йд и того, что Фо и — элементы Ь<2). Используем также тот факт, что в силу отсутствия у элементов г пространства С} разрывов второго рода интегральная сумма Римана + ¿(^к/пк)) сходится к интегралу
Римана /ц у(хо + г(в))йв (к
Сказанное позволяет применить к пределу в (5) теорему Лебега для обоснования (при п.в. хо ) равенства (4). Теорема доказана. □
Формула (4) является формулой Фейнмана-Каца для решения задачи (1).
Замечание. Аналогичные результаты могут быть получены для уравнений Шредингера [7] как с оператором Владимирова, так и с более общими гамильтонианами (при этом вместо теоремы Троттера придется использовать более общую теорему Чернова [8]). Во втором случае оказывается необходимым использовать интегралы по траекториям в фазовом пространстве над полем р-адических чисел (аналогично [9] либо комбинируя подходы работ [9] и [10]). В некоторых случаях можно использовать вместо интегралов по траекториям в фазовом пространстве интегралы по траекториям в конфигурационном пространстве, определив подходящим образом стохастические интегралы по случайным процессам в пространствах над полем р-адических чисел.
Кроме того, с помощью хронологических интегралов можно получать формулы Фейнмана-Каца и в случае значений потенциала в некоммутативной матричной алгебре (как в [11] и [12] для комплексного поля).
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-01-00761.
e
список литературы
1. Владимиров В.С., Волович И.В., Зеленов Е.И. р-Адический анализ и математическая физика. М.: Наука: Физ-матлит, 1994.
2. Козырев С.В. Всплески и спектральный анализ ультраметрических псевдодифференциальных операторов // Матем. сб. 2007. 198, № 1. 103-126.
3. Аветисов В.А., Бикулов А.Х, Осипов В.Ал. р-Адические модели ультраметрической диффузии в конформа-ционной динамике макромолекул // Тр. Матем. ин-та РАН. 2004. 245. 55-64.
4. Хренников А.Ю. Неархимедов анализ и его приложения. М.: Физматлит, 2003.
5. Varadarajan V.S. Path integrals for a class of p-adic Schroedinger equations // Lett. Math. Phys. 1997. 39, N 2. 97-106.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. М.: Наука, 1971.
7. Смолянов О.Г, Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд-во МГУ, 1990.
8. Chernoff R. A note on products formulas for operator semigroups //J. Funct. Anal. 1968. N 2. 238-242.
9. Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula //J. Math. Phys. 2002. 43. 5161-5171.
10. Маслов В.П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана для нелинейных уравнений. М.: Наука, 1976.
11. Shamarov N.N. Matrix-valued cylindrical measures of Markov type and their Fourier transforms // Rus. J. Math. Phys. 2003. 10, N 3. 1-16.
12. Шамаров Н.Н. Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, вып. 6. 193-211.
Поступила в редакцию 23.11.2007
УДК 517.52.7
О ВЗАИМОСВЯЗИ НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЙ ТАУБЕРОВА ТИПА
С. А. Степанянц
В данной работе будут рассматриваться лакунарные условия тауберова типа и "о-условия" тауберова типа для методов суммирования числовых рядов.
Везде в дальнейшем {ап}+=0 — последовательность действительных чисел, Е ап — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до +с), {сп}+=^ — последовательность неотрицательных чисел, к и г — целые неотрицательные числа.
Пусть Р и Q — методы суммирования числовых рядов. Суммируемость ряда Е ап к числу А методом Р обозначается кратко: Е ап = А(Р). Метод Р называется аддитивным, если из того, что Е ап = А(Р) и Е Ьп = В(Р), следует, что £ (ап + Ьп) = А + В (Р).
Будем говорить, что имеет место включение Q С Р, если из того, что Е ап = Аследует, что Еап = А(Р).
Условие Я на последовательность {ап} называется Тд (Р)-условием, если любой ряд Е ап, суммируемый методом Р и такой, что {ап} удовлетворяет условию Я, суммируем и методом Q. Метод Р при этом будем называть "верхним" методом, Q — "нижним" методом.
Далее в качестве нижнего метода Q будут рассмотрены методы Чезаро (С, к), включая и классический тауберов случай к = 0 (определение и основные свойства методов (С, к) см. в [1, § 5.4, 5.5, 5.7]).
Зафиксируем целое неотрицательное число к. Пусть С — любая, но фиксированная константа, такая, что С > к + 1. Пусть {пг}+=0 — последовательность целых чисел, такая, что По = —1 и иг+\ — пг > С для всех г.
Пусть ^г] (г целое, г > 0; ] целое, 0 < ] < к) — некоторые фиксированные, отличные друг от друга целые числа, такие, что ^г] Е (пг+\ —С; пг+-]]. Для определенности будем считать, что ^го < 1г1 < ... < 7гк.
Рассмотрим два утверждения общего вида — И и V — и изучим вопрос о связи этих утверждений.
И (лакунарная теорема тауберова типа). Пусть Р — данный метод суммирования и пусть фиксированы: целое неотрицательное число к, последовательность {пг} и числа 7г], удовлетворяющие указанным выше условиям. Тогда условие
ап = 0 при и = тг], где г целое, г > 0; ] целое, 0 < ] < к,
является Т(С,к)(Р)-условием.
V (о-теорема тауберова типа). Пусть Р — данный метод суммирования и пусть фиксированы: целое неотрицательное число к, последовательность {пг} и числа 7гудовлетворяющие указанным выше условиям. Пусть {сп} — последовательность неотрицательных чисел, такая, что
~ ^ (Пг+1 -и+1)кс, = 0(1) при г +оо. (1)
Г пг <V^nr+1
v=Yrj при всех
Тогда условие ап = о(сп) является Т(С,к)(Р)-условием.
