Фейнмановские интегралы от функционалов экспоненциального вида с полиномиальным показателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тогда

1) Tq(x) ^ 0 для любого x;

q , , N NN q , N n

2 )Tq{x)= П 1 + sign Y, Iiw+r am,n) cos rkx) =1+ £ cos rkx sign £ +

k=1 ^ Vn—n / / i.—1 Vn—n /

4 n=0

4n=0

+ ^ C cos (т\ ± ... ± rp)x (из леммы 2 следует, что среди Т\ ± ... ± rp нет ни одного из (mk}fc=i); p=2

3) / Tq (x)dx = 2п. T

Теперь рассмотрим интеграл

gN(x)Tq(x)dx ^

T

gN (x)Tq (x)dx

T

< C J Tq (x)dx = 2nC,

T

но, с другой стороны, по равенству Парсеваля

q N

/ gN{x)Tq{x)dx = ^ ■

T k=i n=0

ЛГ-n + l N + 1

-ai(fc),'

Eq ^ N - n + 1

k=1 n=0

Так как

[Я]

OO I 2 >

[f]

те N

1 ^^ i i N — n + 1. . v-^ v-^ N — n + 1. . ^

ol^l^M n + i I^I^Z^Z^ ЛГ , 1 \ak,n\<c,

k=1n=0

k=1n=0

k=1n=0

N+1

то из того, что N — произвольное натуральное число, следует, что ^ ^ \ак,п\ < Теорема доказана.

к=1п=0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965.

Поступила в редакцию 28.12.2011

УДК 517.987.4

ФЕЙНМАНОВСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИОНАЛОВ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ВИДА С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

А. К. Кравцева1

Рассмотрено понятие интеграла Фейнмана в смысле аналитического продолжения в пространстве комплексных операторов. Доказано существование интеграла и получено его представление в виде гауссовского интеграла в случае, когда главный член подынтегральной функции является экспонентой от полинома.

Ключевые слова: интеграл Фейнмана, аналитическое продолжение, гауссовский интеграл.

The concept of Feynman integral in a sense of analytic continuation in the space of complex operators is considered. The existence of the integral is proved and its representation in the

1 Кравцева Анна, Константиновна — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

18 ВМУ, математика, механика, № 6

form of Gaussian integral is obtained for the case when the dominant term of the integrand is an exponent of polynominal.

Key words: Feynman integral, analytic continuation, Gaussian integral.

В работе доказано существование функционального интеграла [1] в смысле аналитического продолжения в пространстве комплексных операторов для специального класса функций и получено его представление в виде гауссовского интеграла. Ранее в статьях О. Г. Смолянова, Е. Т. Шавгулидзе [2, 3] был рассмотрен случай продолжения в C. Исследованные интегралы используются для описания и отыскания асимптотики решения широкого класса эволюционных уравнений, в частности включающих уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности.

Введем необходимые обозначения: H — вещественное сепарабельное гильбертово пространство, HC — его комплексификация, T — симметричный положительно-определенный ядерный оператор в H, а ei,e2,...,en,... — ортонормированный базис в H, состоящий из собственных векторов оператора T. Через Hn обозначим линейную оболочку векторов ei,e2,...,en, через Pn — ортогональный проектор из H в Hn. Далее, пусть ß — гауссовская мера на H с корреляционным оператором T и нулевым средним. Согласно терминологии, принятой в монографии [4], введем следующее определение. Определение 1. Пусть E — банахово пространство. Функция h: E ^ C называется аналитической в области U пространства E, если она локально ограничена и дифференцируема по Гато в этой области. В этой же монографии доказываются следующие два свойства аналитических функций. Теорема 1. Если функция аналитична в области, то она дифференцируема по Фреше в этой области.

Теорема 2. Пусть {hn— последовательность аналитических и равномерно ограниченных на области U функций. Если в этой области существует lim hn(■), то этот предел представляет собой

n—

аналитическую в U функцию.

Пусть B (Q) — пространство линейных ограниченных операторов на произвольном гильбертовом пространстве Q. Рассмотрим семейство гауссовских мер va с корреляционными операторами A-1T(A*)- , параметризованное обратимыми операторами A £ B(H).

Определение 2. Функция g: B(HC) х H ^ C называется интегрируемой по мере Фейнмана в смысле аналитического продолжения, если в некоторой непустой области V С B(H) х B(H) определена функция G(A, C) = f g(C, x)va(dx), т.е. данный интеграл существует, и эта функция обладает аналитическим H

продолжением в некоторую область W С B(HC) xB(HC). Интегралом Фейнмана от g называется значение

продолжения на комплексных операторах A, C, которое обозначается / g(C, х) exp {-\{T~lAx,Ax)} dx.

H2

Пусть q2i: H х ... х H ^ R — 21-линейная непрерывная симметричная форма, причем 1 ^ 2 и

q2i(x,..., х) >0 для любого х из Н, не равного нулю. Пусть, далее, р(х) = (q2i(%, • • •, %)) ™ ■ Предполагаем, что р(х + у) ^ р(х) + p(y) для всех х, у, лежащих в H, и существует число c > 0, такое, что неравенство |q2l(х1,... ,x2l)| ^ cp(x1).. .p(x2l) выполнено для всех х1,... ,x2l £ H.

Введем пространство F(H), состоящее из функций f: H ^ C, для каждой из которых существуют аналитическое продолжение /: HC ^ C и положительные константы C1, C2, е ^ 21, такие, что

|f(z)| < C1 exp{C2b(z)|2l-£}

для всех z, лежащих в HC. Теорема 3. Если

1) A, C £ B (HC) — обратимые операторы, AC-1 имеет вид Л/ + TB, где I — единичный оператор, B £ B(HC), Л £ C, и при этом |Л| > ||T||||B||;

2) ^>(t): [0,1] ^ C — аналитическая кривая, такая, что ^>(t) £ ct(C) для любого t £ [0,1], ^>(0) = 0,

№(1)| > |C||;

3) f (■) £ F(H),

то существует интеграл Фейнмана

f(Cx) exp |-(р(Сж))2г} exp j ~^(T~lAx, Ax) \ dx

н

При этом найдутся оператор Б £ ) и константа и > 0, такие, что этот интеграл равен гауссов-скому интегралу

где

[If (СА~хх + ш ^ exp I — (р (СА~хх + ш ^ |

I I V (р(5®)) У I V V (р(5®)) У У

х Ji(x)J2(x) + f (ж) exp < —(p(x))24

г» ДГ.-1Г ■ 2w

(p(

2

J!(ж) = lim det J + и " " 1 2РгаАС-^га + 2Pra

V (p(Snx))2 (p(Srax))2

) ®

(p(S„x))2l+2

J2(a:) = exp { -w^L (rUC-'S^a:) - -w2 (гМС-^ж^С-^ж) 1 .

Пределы существуют п.в. по мере ц, Sn = SPn.

Заметим, что в определении J2(■) используется продолжение по аналитичности скалярного произ-

го

ведения, заданного на H, на пространство HC, определяемое равенством (z, z) = ^ 2 для любого

fc=i

го

z = ^ Zfc efc, лежащего в HC. fc=i

Теорема 3 вытекает из следующей леммы.

Лемма. Существует симметричный положительно-определенный оператор S G B(H), такой, что — One«,, Y« ^ и для любого положительного и, для любых обратимых операторов A, C G B(HC) интеграл

|4

|4

[ |Ji(a;)|4exp <--——9 > a(dx) < 00.

/ \ (P(5®))2jm

н

Здесь 71 (ж) определяется так же, как и в теореме 3.

Доказательство. Для того чтобы доказать существование первого интеграла, рассматриваем интеграл / (71 (ж))4^(^ж), существование которого обеспечивается выбором чисел 7га. Эти числа находятся по н

индукции. Рассматривается последовательность функций дга(ж), равных п-й функции, стоящей под знаком предела в определении 71 (ж) при ж £ и нулю на дополнении. На (п + 1)-м шаге 7га+1 выбирается так, чтоб^^ (ж) — $га(ж)|^(^ж) был меньше 2-(га+1), затем применяется теорема Б. Леви. Лемма доказана. н

Схема доказательства теоремы 3. Вначале рассматриваются вещественные обратимые операторы А, С £ В(Н). Тогда путем замены гауссовской меры интеграл

1 <—1

н

заменяется интегралом

! ¡{СА~1у) ехр { - (р {СА-'у)}21} ехр | -± (Т"1у, у) } н

Последний интеграл в свою очередь равен

|2 \ Г / / II и 2

J |f ^CA-1x + и

2l -

1™ 1 ■ • ||Ж — j ехр < — I р I С А хх + w———^Sx 1 1 ^ х

(p(Sx))2 ) [ V \ (p(Sx))

H

х

х^(ж)72(ж) + /(ж)ехр{-(р(ж))21} (2)

Чтобы это доказать, следует от интеграла (1) перейти к соответствующему конечнократному интегралу по пространству Нп и сделать замену

1|Ж||2 -у(х) = х + и-ъРпАС 1Бх.

{Р{Бх))2

Отметим, что при малых и функция у(-) будет биекцией на Нп. Поскольку до замены интеграл не зависел от и, то и после нее в силу аналитичности этого интеграла он постоянен для любых положительных и. При достаточно большом и можно перейти к пределу по п как в исходной последовательности интегралов, так и в заключительной и получить равенство интегралов (1) и (2). Теперь, когда А и С — комплексные операторы, существование гауссовского интеграла (2) обеспечивается возможностью выделения в полиноме при достаточно большом и главного члена, равного и21 {||ж||41 /(р(£ж))41}^21 (5Ж,..., &ж) = и21 {||ж||41 /(р(£ж)Г },

неравенством Коши-Буняковского и леммой. Доказательство аналитичности этого интеграла осуществляется с помощью теорем 1 и 2, в которых в качестве пространства Е берется пространство В(Нс) х В(Нс). Следует заметить, что по теореме единственности [4] аналитическое продолжение определено однозначно. □

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору Е. Т. Шавгулидзе за полезные рекомендации и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд-во МГУ, 1990.

2. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами // Докл. РАН. 2003. 390, № 3. 321-324.

3. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Бесконечномерные уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами и интегралы Фейнмана по траекториям // Докл. РАН. 2006. 408, № 1. 28-33.

4. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

Поступила в редакцию 18.05.2011

УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84

ЗАКОНЫ КАТЯЩИХСЯ СИМПЛЕКСОВ (УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ПО ТИХО БРАГЕ)

Ю. П. Размыслов1

Обсуждаются восходящие к Рене Декарту модели центральных силовых полей, динамика которых квадратична. На этих примерах читатель постепенно подводится к пониманию базовых аспектов дифференциальной алгебро-геометрической теории Браге-Декарта-Уоттона, охватывающей центральные поля, динамику которых составляют плоские аффинные алгебраические кривые степени не выше N (N = 1, 2, 3,...).

Ключевые слова: поле, декартова плоскость, аффинная карта, роллинг, несжимаемость, квадратичная кривая, фокус, директриса, гравитация, промера, прометрика, дифференциальная алгебра.

Models of central power fields with quadratic dynamics suggested by Rene Descartes are studied. These examples gradually lead the reader to the understanding of base notions

1 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].