Законы катящихся симплексов (уравнения поля по Тихо Браге) Текст научной статьи по специальности «Математика»

х^(х)^(х) + /(х)ехр{-(р(х))21} |^х). (2)

Чтобы это доказать, следует от интеграла (1) перейти к соответствующему конечнократному интегралу по пространству Нп и сделать замену

1|Х||2 -у(х) = х + и-ъРпАС 1Бх.

{Р{Бх))2

Отметим, что при малых и функция у(-) будет биекцией на Нп. Поскольку до замены интеграл не зависел от и, то и после нее в силу аналитичности этого интеграла он постоянен для любых положительных и. При достаточно большом и можно перейти к пределу по п как в исходной последовательности интегралов, так и в заключительной и получить равенство интегралов (1) и (2). Теперь, когда А и С — комплексные операторы, существование гауссовского интеграла (2) обеспечивается возможностью выделения в полиноме при достаточно большом и главного члена, равного и21 {||х||41 /(р(Бх))41 (Бх,..., Бх) = и21 {||х||4г/(р(Бх))21 }, неравенством Коши-Буняковского и леммой. Доказательство аналитичности этого интеграла осуществляется с помощью теорем 1 и 2, в которых в качестве пространства Е берется пространство В(Нс) х В(Нс). Следует заметить, что по теореме единственности [4] аналитическое продолжение определено однозначно. □

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю профессору Е. Т. Шавгулидзе за полезные рекомендации и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смоляное О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. М.: Изд-во МГУ, 1990.

2. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Формулы Фейнмана для решений бесконечномерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами // Докл. РАН. 2003. 390, № 3. 321-324.

3. Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Бесконечномерные уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами и интегралы Фейнмана по траекториям // Докл. РАН. 2006. 408, № 1. 28-33.

4. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

Поступила в редакцию 18.05.2011

УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84

ЗАКОНЫ КАТЯЩИХСЯ СИМПЛЕКСОВ (УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ ПО ТИХО БРАГЕ)

Ю. П. Размыслов1

Обсуждаются восходящие к Рене Декарту модели центральных силовых полей, динамика которых квадратична. На этих примерах читатель постепенно подводится к пониманию базовых аспектов дифференциальной алгебро-геометрической теории Браге-Декарта-Уоттона, охватывающей центральные поля, динамику которых составляют плоские аффинные алгебраические кривые степени не выше N (N = 1, 2, 3,...).

Ключевые слова: поле, декартова плоскость, аффинная карта, роллинг, несжимаемость, квадратичная кривая, фокус, директриса, гравитация, промера, прометрика, дифференциальная алгебра.

Models of central power fields with quadratic dynamics suggested by René Descartes are studied. These examples gradually lead the reader to the understanding of base notions

1 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pogudin.gleb@gmail.com.

of differential algebraic-geometric theory of Brahe-Descartes-Watson including central fields whose dynamics is formed by planar affine algebraic curves of degree not exceeding N (N = 1, 2, 3,...).

Key words: field, Cartesian plane, affine chart, rolling, incompressibility, quadratic curve, focus, directrix, gravitation, promeasure, prometric, differential algebra.

"Чистый, не знающий пределов разум есть само божество".

Гегель

Прилагаемые заметки не об основах космической навигации и не об азах теории поля. Они написаны не для "гордых ученых" (см. [1]), а для тех, кто вслед за мной захочет их перечитать. Это мои размышления об образовании. О том, как и почему мы оказываемся там, где предначертано. Надеясь на будущее, скептически относясь к прошлому, выдавая желаемое за действительное, одни знают (или так полагают), другие хотят знать, что ждет их впереди. Я не беспристрастен. Мои симпатии целиком лежат на стороне Демокрита, Тихо Браге, Декарта, Кавендиша, Фарадея, Максвелла. Но я постараюсь быть объективным.

Предложение (Т. Браге). Точки пересечения касательных к окружности, проведенных через концы хорд, пересекающихся в одной точке внутри круга, лежат на одной прямой.

Доказательство (Р. Декарт). Подвергнем аффинную плоскость проективному преобразованию, которое переводит рассматриваемую окружность в себя, а точку пересечения хорд — в центр круга.

Лемма о "директрисе" и "фокусе". Для любых действительных чисел а, в, 5, Y каждое бесконечно дифференцируемое решение x(t), y(t) (x(t) ■ y'(t) — x'(t) ■ y(t) = 0) системы дифференциальных уравнений (x",y") = — (a.x+J.y+$yi ■ (x — a,y — b) (a,b G R) лежит, на своей кривой второго порядка, для

которой "фокус" расположен в точке (a,b), а "директриса" в смысле предложения Т. Браге определяется уравнением а ■ x + в ■ y + 5 = 0.

Лемма о крокодиле, подавившемся яблоком. Для любых действительных чисел y, ai, в1, а2, в2 (ai ■ в2 — а2 ■ в1 = 0) каждое бесконечно дифференцируемое решение x(t), y(t) (x(t) ■ y'(t) — x'(t) ■ y(t) = 0)

системы дифференциальных уравнений (x",y") = 3 • (x,y) лежит на своей кривой

у/ {oti-x+Pvy)-{ot2-x+l32-y) второго порядка, касающейся прямых ai ■ x + в1 ■ y = 0, а2 ■ x + в2 ■ y = 0.

1. Картезиана: примеры динамических моделей центральных полей, в которых любое движение происходит по кривой второго порядка.

"Подвергай все сомнению".

Декарт

В трехмерном аффинном пространстве K3 (K = R, C) "центростремительное" движение R(t) = (x(t),y(t),z(t)) вокруг точки O характеризуется в любой аффинной системе координат с началом в точке О = (0,0,0) векторным равенством [R(t), R"(t)] = 0, из которого следует, что ^¡¿([R(t), R'(t)]) = 0 и [R(t),R'(t)\ = (ii, ¿2,i3), где ii,i2,i3 G K. Поэтому пространственная кривая R(t) лежит в плоскости, задаваемой уравнением ii ■ x + ¿2 ■ y + ¿3 ■ z = 0, и в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением примеров плоских центральных полей.

1.1. Поля галилеева типа — равномерно ускоренное движение: x"(t) = gx, y"(t) = gy (gx, gy G K). В этом случае точка O лежит на бесконечно удаленной прямой в направлении вектора ускорения (gx, gy).

1.2. Гармонический осциллятор: (x"(t),y''(t)) = —h ■ (x(t),y(t)), h G K.

1.3. Поля кулонова типа: (x"(t), y"(t)) = — ¡у^з ' (x(t),y(t)), r2 = x2 +y2,k <G K.

1.4. Поля птолемеева типа: (x"(t),y"(t)) = —2 • ' (x(t),y(t)), 5 G K.

При 5 > 0 (5 G R) величина rs = 5i/2 называется радиусом небесной сферы (прототип радиуса Шварцшильда).

1.5. Солнечный волнохрон. Имеются два равносильных способа описания полей такого типа на языке дифференциальной алгебры S.

Система уравнений в прометриках. Она имеет следующий вид:

2m „,2т « '______________ ______________^

|ж2(í),ж(í) ■ у(1),у2^),т2(1)\ =0 (уравнение прометрик), где тs = 4 ■ п2 ■ ks/с3 (здесь ks — солнечная постоянная Тихо Браге, с — скорость света).

Система уравнений в директрисах. Она имеет вид

(Я'(Ь), [Я''(Ь), Я'''(Ь)]) = 0 (уравнение плоских волн).

Теорема. Любое аналитическое решение х(Ь),у(Ь),т(Ь) (х(Ь) ■ у'(Ь) — х'(Ь) ■ у(Ь) = 0) от комплексной переменной Ь уравнений (1) удовлетворяет уравнениям (2), а любое аналитическое решение системы

- ёе!

(2) удовлетворяет системе уравнений (1). В частности, каждая такая кривая Я(Ь) = (х(Ь),у(Ь),т(Ь)) является плоской и содержится в подходящей квадратичной кривой.

Системы уравнений (1), (2), задающие дифференциальную алгебру 5, допускают первые интегралы, благодаря которым 5 может быть реализована другим, более привычным способом.

1.6. Универсум Хука (во-деформация). Зададим дифференциальную алгебру Hs четырьмя дифференциальными образующими х,у, в, во и четырьмя дифференциальными соотношениями

4 = 0, (х",у",8") = -^-1^-(х,у,8-80), Т3 4 • 7Г2 • к3/с3 € К.

Гомоморфизм вложения б'/Наёб' в Не задается отображением (при этом — имеет

размерность частоты). Само собой разумеется, что эти четыре уравнения также задают квадратичную динамику.

1.7. Точечный коллапс (ускоритель Хука). Дифференциальная алгебра Но и уравнения

(я", у", 8") = Т8 = 4 • 7Г2 • к8/с* е К,

зЩ)

возникающие при во = 0, заслуживают отдельного разговора. В этом случае кривые второго порядка проходят через свой "фокус" в начале координат.

1.8. Выразимость дифференциальными соотношениями от двух переменных (без констант) условий центральности и квадратичности динамики плоского поля. Укажем два способа задания таких универсумов в формализме дифференциальных алгебр.

Универсальная дифференциальная алгебра в сигнатуре У^,-^. Она задается двумя дифференциальными образующими у, Ь и двумя дифференциальными соотношениями Декарта

Ь'Х ■ (х ■ у'х — у) = Ь'х ■ х ■ у"х (условие центральности поля),

9 ■ уХ''' ■ (уХ')2 — 45уХ"' ■ уХX ■ у'Х + 40 ■ (уХ'')3 = 0 (условие квадратичности динамики).

Хаос Тихо Браге: модель универсального центрального поля с квадратичной динамикой в естественной сигнатуре Зададим дифференциальную алгебру 132 двумя образующими х, у и двумя определяющими соотношениями типа Капелли: а) ао,2(х,у) = 0 (условие центральности поля), б) Ь2(х,у) = 0 (условие квадратичности динамики), где

аг,о (х, у) = х(г) ■ у(Л — х(Л ■ у(г),

Ь2(х, у) = —9 ■ а 1 ,5 ■ а2 2 — 45 ■ а2,4 ■ а^ + 45 ■ а 1,4 ■ а 1,3 ■ а 1,2 + 90 ■ а2,3 ■ а 1,3 ■ а 1,2 — 40 ■ а3^ =

= —9 ■ а'/'2 ■ а2,2 — 27 ■ а2,3 ■ а2,2 + 45 ■ а"2 ■ а',2 ■ а 1,2 + 45 ■ а2,3 ■ а',2 ■ а 1,2 — 40 ■ (а',2)3. Будем называть ее алгеброй Тихо Браге.

2. Реставрация: азы алгебраической теории Браге—Декарта—Уоттона при N=2.

"Не измышляйте сущностей сверх меры".

Уильям Оккам (ок. 1285-1349)

Все пути заканчиваются в одной точке, название которой — избавление от иллюзий. Стремясь самоутвердиться, каждое новое поколение декларирует, что оно поумнее предыдущих. Для оптимизма есть все основания. За последние четыреста лет в математическом образовании на всех его стадиях исчезло понятие "роллинг" (см. [2]). Работая с аффинной картой декартовой проективной плоскости, геометры ввели в употребление родственный термин "дезаргова плоскость". Учебники по аналитической геометрии начинаются с формулы расстояния между двумя точками. Мера и промера не считаются более чем-то первичным. Они воспринимаются, как нечто производное от метрики и прометрики. Вычисляются длины кривых и площади поверхностей, хотя в решениях классических задач механики фигурируют отношения моментов, не зависящие от выбора евклидовых метрик и систем аффинных координат1. В результате

хВеками игнорируется тот (лежащий на поверхности!) факт, что в центральных полях трехмерного аффинного пространства, динамика которых квадратична, самим движением реализуется закон квадратично катящихся симплексов: (а) Я' = - Д • Я, (б) 9 • Д''' • Д2 - 45 • А" • Д' • Д + 40 • (Д')3 + 9 • (Д)' • (Д)3 = 0 (Д = ([Я', Я'']/[Я, Я']).

идеи Т. Браге, Г. Уоттона, Р. Декарта, Р. Хука, преломившись в законах Кеплера, получили воплощение в законе всемирного тяготения, который с чисто математической точки зрения не имел такого запаса общности, как разрабатываемые ими модели. И этот процесс построения новых метрических версий теории гравитации уже не остановить. Но есть и другой путь!

2.1. "Тайны" центрально-квадратичного хаоса. Зададим дифференциальную алгебру тремя образующими и, у, и и соотношениями

(а) и'' = —и ■ и, у'' = —и ■ V, (б) 9 ■ и/" ■ ад2 — 45 ■ и'' ■ и' ■ и + 40 ■ (и')3 + 9 ■ и' ■ ад3 = 0. Будем называть ее алгеброй Декарта-Уоттона. Оказывается, что имеется простая связь между ^2 и алгеброй Браге В2.

Теорема. Локализации В2 [а-\(х,у)\, ^2 [а-{(и, у)] алгебр В2, ^2 по элементам х ■ у' — х' ■ у, и ■ у' — и' ■ V соответственно дифференциально изоморфны.

Доказательство. Обозначим /2, ■ ■ ■, /п\ определитель Капелли-Вронского от /1, /2, ..., /п. Рассмотрим цепочку гомоморфизмов Е2 —2 02 В2 ^ ^2 В2[(х ■ у' — х' ■ у)-1 ] 02[(и ■ у' — и' ■ у)-где Е2 — дифференциальная алгебра квадратичной динамики, заданная образующими х,у и одним определяющим соотношением \х2,х ■ у,у2,х,у,1\ = 0, а О2 — редуцированная алгебра квадратичной динамики {х,у \ (х, у) = 0} (см. п. 1.8). Непосредственная проверка показывает, что \х2,х ■ у,у2,х,у,1\ = —4 ■ (х' ■ у'' — х'' ■ у') ■ Ь2(х, у).

Так как алгебра Е2 счетномерна, а алгебраически замкнутое поле С континуально, то для любого ненильпотентного элемента а € Е2 существует такой гомоморфизм ф : Е2 —»С, что ф(а) = 0. Но для любого гомоморфизма ф : Е2 — С при гомоморфизме Тэйлора ф : Е2 — С[[£]] степенной ряд ф(Ь2(х,у)) равен нулю, в частности равен нулю его свободный член ф(Ь2(х,у)). А это означает, что элемент Ь2(х,у) нильпотентен и лежит в радикале Джекобсона алгебры Е2. Следовательно, дифференциальные уравнения \х2,х■ у, у2,х,у,1\ =0 и Ь2(х, у) = 0 имеют одинаковые решения в классах: а) аналитических функций, б) формальных степенных рядов, в) бесконечно дифференцируемых функций. Это доказывает, в частности, что алгебра Браге В2 (ее соотношения) задает (определяют) универсальную модель центрального поля с квадратичной динамикой над полями К, С.

Гомоморфизмы £о : В2 — ^2, £ 1 : ^2 — В2[о-\(х,у)] задаются на образующих: £о(х) = и, £о(у) == у,

£1(и) = х, £1 (у) = у, £1(ы) = ^1,2(х,у)/ао,1 (х,у).

Корректность отображения £о вытекает из равенств ао,2(и,у) = 0, а\у2(и, у) = и ■ ао,1(и,у), и2 х &о,1(и,у) = а2,з(и,у), которые непосредственно следуют из определяющих соотношений (а) алгебры ^2. Из определяющего соотношения ао,2(х, у)=0 алгебры В2 последовательно выводятся равенства а'о 1(х, у) =

х х

0, ао,1(х,у) ■ = —&1,2(х,у) ■ yyJ, 0 = а'о,2(х,у) = ао,з(х,у) + &1,2(х,у), ао,з(х,у) = — &1,2(х,у),

ао^(х,у) ■ а2,3(х,у) = —а1}2(х,у) ■ ао,3(х,у) = а22(х,у), при помощи которых без труда проверяется корректность определения отображения £1.

Так как ао,1(и,у) ■ ы = а1,2(и,у) € £о(В2) С ^2, то локализации алгебр £о(В2), ^2 по элементу ао,1(и,у) совпадают. Утверждение теоремы теперь очевидно.

Следствие. Локализация В2[(х ■ у' — х' ■ у)-1] алгебры Браге В2 характеризуется соотношениями

(х'', у'') = —А ■ (х,у), 9 ■ А''' ■ А2 — 45 ■ А'' ■ А' ■ А + 40 ■ (А')3 + 9 ■ (А)' ■ (А)3 = 0,

где А = (х' ■ у'' — х'' ■ у')/(х ■ у' — х' ■ у).

Следствие. Локализации В2[(х' ■ у" — х'' ■ у')-1 ], 02[(и' ■ у'' — и'' ■ у')-1 ], 02[ы-1 ] являются областями целостности. Более того, любые степенные ряды и(Ь),у(Ь),ы(Ь) € К[[£]], являющиеся формальным решением системы дифференциальных уравнений

и'' = —и ■ и, у'' = —и ■ у, 9 ■ и''' = и-2 ■ (45 ■ и'' ■ и' ■ и — 40 ■ (и')3 — 9 ■ и' ■ и3),

сходятся в некоторой окрестности нуля поля К (К = К, С).

2.2. Проинтегралы: тензор Декарта-Хука. Формулы не горят. Они имеют обыкновение восставать из пепла в самый неподходящий момент. Заполним квадратную, симметрическую (3 х 3)-матрицу Н2 элементами из алгебры целостности 02[и)-1 ], последовательно полагая

g3í3 а= —(и ■ у' — и' ■ у)2 ■ (4 ■ (и')2 — 3 ■ и ■ и'' + 9 ■ и3),

ё3,2 = ё2,3 (и ■ у' — и' ■ у) ■ (—4 ■ (и')2 ■ и' + 3 ■ и ■ и'' ■ и' + 3 ■ и' ■ и2 ■ и),

g3,i = gi,3 = —(u ■ v' — u' ■ v) ■ (-4 ■ (w')2 ■ v' + 3 ■ w ■ w'' ■ v' + 3 ■ w' ■ w2 ■ v)

§2,2 = 18 ■ w4 ■ и2 + 12 ■ ад' ■ и]2 ■ и ■ и' + (и')2 ■ (18 ■ ад3 + 6 ■ и'' ■ ад - 8 ■ (ад')2),

= 18 ■ и4 ■ V2 + 12 ■ и' ■ и2 ■ V ■ V + (V)2 ■ (18 ■ и3 + 6 ■ и'' ■ и - 8 ■ (и')2),

§2д = §^2 = -(18 ■ и4 ■ и ■ V + 6 ■ и' ■ и2 ■ (и ■ у' + и' ■ у) + и' ■ у' ■ (18 ■ и3 + 6 ■ и'' ■ и - 8 ■ (и')2)). Следующее утверждение показывает, что из центрально-квадратичного хаоса все мыслимые модели центральных полей с квадратичной динамикой извлекаются факторизацией локализаций алгебры Декарта-Уоттона по первичным радикальным идеалам.

Теорема. Алгебра целостности ^[и-1 ] и тензор Н2 обладают следующими свойствами: (г) Н'2 = • (в частности /•</ — /'• <7 = 0, (//д)' = 0 для любых элементов /7 д матрицы Н2)', (гг) §1,1 ■ и2 + 2 ■ §1,2 ■ и ■ V + §2,2 ■ V2 + 2 ■ §1,3 ■ и + 2 ■ §2,3 ■ V + §3,3 = 0 (§1,3 ■ и + §2,3 ■ V + §3,3 = -9 ■ ^0,1 (и, V) ■ и3, ёе1(§^- | г,] = 1,2,3) = -729 ■ ^(и^) ■ и10); (ггг) для любого собственного дифференциального идеала I в ^2 [ст—(и, V)] в факторалгебре среди элементов + I есть ненулевые, т.е. свойства (г), (гг) переносятся без вырождения на любую фак-торалгебру (^2[ст-1(и, v)])/I без делителей нуля.

Следствие. Любой однородный первичный идеал подалгебры К| г,] = 1, 2, 3] поднимается до радикально первичного дифференциального идеала всей алгебры ^2[ст-1(и, V)].

Следствие. Для любых решений в степенных 'рядах и(£)^(£),и(£) € К[[¿]] (и' ■ V' - и'' ■ V' = 0) системы дифференциальных уравнений

и'' = -и ■ и, V' = -и ■ V, 9 ■ и''' = и-2 ■ (45 ■ и'' ■ и' ■ и - 40 ■ (и')3 - 9 ■ и' ■ и3)

имеют место равенста giíj(t)/w'J'(t) = с^- • адз(£)7 где с^- € ^ (г, = 1, 2, 3).

Последнее утверждение объясняет, почему присоединение к дифференциальной алгебре D2[<J-1(u,v)] иррационального элемента адз погружает квадратичный хаос Тихо Браге в универсум Хука (см. п. 1.6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.

2. Размыслов Ю.П. Роллинг и соизмеримость симплексов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 55-58.

Поступила в редакцию 11.01.2012

УДК 519.95

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ ФОРМУЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Д. В. Трущин1

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики формулами специального вида. Для каждого простого k, k = 2, установлены верхние оценки сложности вида kn для произвольной функции k-значной логики.

Ключевые слова: функция многозначной логики, формула, сложность, глубина.

A problem of implementation of multiple-valued logic functions by special form formulas is considered. For each prime k, k = 2, upper exponential estimates of complexity of an arbitrary k-valued logic function are obtained.

Key words: function of multiple-valued logic, formula, complexity, depth.

Рассматривается задача о реализации функций многозначной логики а-формулами, т.е. такими формулами, в которых каждая подформула содержит не более одной нетривиальной главной подформулы. В качестве меры сложности формул используется глубина. В работе для каждого простого k, больше-

1 Трущин Дмитрий Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dimkatr@yandex.ru.