Алгебраическое ориентирование множеств. III. Интеграл по проекции Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 519.5 ББК 22.126 Ш 65

Шишкин А.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, информатики и методики преподавания филиала Кубанского государственного университета, Славянск-на-Кубани, e-mail: shishkin-home@mail.ru

Алгебраическое ориентирование множеств.

III. Интеграл по проекции

(Рецензирована)

Аннотация. Приведены основы теории интегрирования по проекции на измеримых частично симплек-

сированных множествах в Rn, обобщающей теорию интегрирования на ориентируемых многообразиях. Изучены ключевые свойства интеграла по проекции (преемственность определения, критерий интегрируемости по проекции для ограниченных функций, счетная аддитивность и др.).

Ключевые слова: измеримое частично симплексированное множество, мера по проекции, интеграл по проекции.

Shishkin A.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Department of Mathematics, Informatics and Techniques of Teaching, Branch of Kuban State University, Slavyansk-on-Kuban, e-mail: shishkin-home@mail.ru

Algebraic orientation of sets (ordering sets). III. Integral with respect to a projection

Abstract. Here we give bases of the theory of integration with respect to a projection on measurable partially

simplex sets in Rn , generalizing the theory of integration on the focused varieties. Key properties of integral with respect to a projection are studied (definition continuity, integrability criterion with respect to a projection for limited functions, countable additivity, etc.).

Keywords: measurable partially simplex set, measure with respect to a projection, integral with respect to a projection.

1. Введение

Настоящая статья продолжает задуманный автором цикл работ по вопросам многомерного интегрирования, связанным с новым подходом к ориентированию многообразий. В работах [1, 2] развивается алгебраический метод ориентирования произвольных множеств и вводятся понятия частично симплексированного множества и измеримого частично симплексированного множества в Rn. Ориентируемые многообразия в Rn являются примерами измеримых частично симплексированных множеств. Ориентируемые многообразия являются гладкими, но отношение частичного симплексирования можно определить на произвольном топологическом многообразии [1]. Это означает, что произвольное топологическое многообразие можно рассматривать как пример частично симплексированного множества. Возникает вопрос: возможно ли построение теории интегрирования на измеримых частично симплексированных множествах, продолжающей теорию интегрирования на ориентируемых многообразиях? Содержание настоящей статьи дает положительный ответ на этот вопрос.

Статья содержит основы теории интеграла по проекции на частично симплексирован-ных подмножествах Rn. Второй параграф содержит определение интеграла по проекции на измеримом частично симплексированном множестве ограниченной действительной функции. В основе понятия интеграла по проекции лежит понятие измеримого по проекции частично симплексированного множества, которое, в свою очередь, является обобщением классического понятия измеримого множества по Жордану. В этом же параграфе рассмотрен вопрос преемственности определения интеграла по проекции с классическим интегралом по координатам (предложения 1-3). Отметим, что ранее в работе [3] осуществлен другой подход к определению интеграла по проекции, который оказывается частным по отношению к рассмотренному в этой статье.

В третьем параграфе вводится понятие исчерпывающей пары. Показано, что применение исчерпывающих пар на этапе определения интеграла по проекции делает этот математический инструмент существенно более гибким в практическом использовании.

Четвертый параграф посвящен доказательству критерия интегрируемости ограниченной функции на измеримом частично симплексированном множестве (теорема 1). Этот критерий развивает известный критерий Лебега интегрируемости ограниченной функции по Риману в терминах множества ее точек разрыва [4]. Его следствия (предложения 4-5) дают окончательный ответ на вопрос преемственности определения интеграла по проекции.

В пятом параграфе рассмотрены ключевые свойства интеграла по проекции - аддитивность интеграла по проекции и счетная аддитивность интеграла по проекции (предложения 6-7).

2. Интеграл по проекции

2.1. Предварительные определения. Ниже нам потребуются НвКОТОрЫв СВ6Д6-ния из статей [1, 2]. Приведем их. Пусть п Е N (И1; • • • , К«) _ упорядоченное семейство отдельных экземпляров пространства И, в которых переменные обозначены х\, • • • ,хп соответственно; И« - декартово произведение И х • • • х И« х := (х1, • • •, хп) - переменная в пространстве Ип. Пусть к Е Z и 0 < к < п. Выберем из упорядоченного семейства (И1; • • •, И«) произвольное подсемейство (И^, • • •, И^), содержащее к элементов. Считаем, что ]1 < • • • < Каждый такой выбор определяет декартово произведение И) := И^ х • • • х И^ и проекцию

п) : Ип — И) | х — х)•

Здесь 1 := (]1, •••,]!), х) := (х^, • • • ,х^к) - переменная в пространстве И).

Выберем произвольное натуральное V и рассмотрим каноническое покрытие пространства Ип счетной системой п-мерных кубов (п-ячеек ранга V)

53 := [0, Т*]п + в, в Е Zп•

Объединение е конечной совокупности п-ячеек ранга V называется элементарным множеством ранга V. Аналогично определяется элементарное множество е ранг а V в декартовой степени И). Проекция п) отображает всякое элементарное множество е С Ип ранга V на элементарное множество е := п)е С И) ранга V. Связное элементарное множество ё С Ип ранга V называется п ^доменом ранга V, если его проекция п)ё С И) состоит из одной к-ячейки 5 С И) ранга V. п^домен ё С е ранга V называется максимальным (в множестве е), если для любого п^домена ё' С е ранга V, удовлетворяющего условию ё С ё', выполняется равенство ё = в!.

Пусть Е - ограниченное множество в Ип еЕ - объединение всех п-ячеек ранга V, пересекающихся с замыканием Е множества Е. Если максимальный в еЕ п^домен ё лежит в множестве А С еЕ, то пишем ё □ А. Для любой п-ячейки 5 ранга V при к > 0 символом V) (5) обозначаем верхнюю меру п^проекции п)(ЕП5) С И) по Жордану. При к = 0 полагаем VJ(5) := #п)(Е П 5), если множество п)(Е П 5) конечно, и VJ(5) := если множество п) (Е П 5) бесконечно. Здесь символ #А обозначает число элементов в множестве А. Для любого п^домена ё □ еЕ символом vJ(ё) обозначаем сумму

(S),

sed

где суммирование ведется по всем n-ячейкам ранга составляющим d.

- 12 -

Если A С то символ ом vj (A) обозначаем сумму

£vj(d),

dQA

где суммирование ведется по всем максимальным в eE пj-доменам, лежащим в мно-

A

Наделим множество E произвольным отношением частичного симплексирования размерности к. Пространство Rj наделяем отношением канонического частичного симплексирования [1]. Пусть к > 0 nj-домен d Q eE называется положительным (соотв. отрицательным), если сужение проекции nJ на множество EHd является изоморфизмом (соотв. антиизоморфизмом) частично симплексированных множеств E H d и d := nJd. Если к = 0, то положительные и отрицательные nj-домены выбираются среди максимальных в eE nj-доменов произвольным образом. Положительные

и отрицательные

п^^^жны в eE называются ориентированнымп nj-доменами в eE. Объединение всех положительных ^соотв. отрицательных^

п^доменов d Q efE обозначим pE (соотв. nE). Тогда объединение всех ориентированных п^^^^^^^нов в e^ совпадает с объединением °E := PE UnE. Символом p>E (соотв ПE) обозначаем объединение всех п j-доменов d Q eE, которые не являются положительными (соотв. отрицательными), а символом sE обозначаем пересечение p>E HП^. Легко увидеть, что множество sE содержится в eE и имеет место равенство

eE = PE U nE U sE.

sE

ранга v. Оно может содержать пересечения n-ячеек ранга v, которые не влияют на vj(sE)

Придавая v всевозможные натуральные значения, получаем три последовательности:

{vj(pE)}Zi, {vj(nE)Ci> {vj(sE)}7=!-

Первые

две последовательности не убывают^ значит, существуют конечные или бесконечные пределы

(E) := lim^^, vj(pE), (E) := lim^^, vj(nE).

Если (E), ¡i- (E) < и lim^^, vj(sE) = 0, то говорят, что частично

симплексированное множество E измеримо по проекции ^ или просто ^-измеримо. При этом разность

¡j(E) := ¡ (E) - i- (E)

называется мерой E по проекции ^ или просто п^мерой E. Совокупность всех измеримых по проекции ^ частично симплексированных множеств размерности к обозначаем символом Ej.

2.2. Определение интеграла по проекции. Пусть на множестве E е Ej1 определена ограниченная действительная

функция f и M := SUPE f | .

lOk - совокупность всех ограниченных частично симплексированных множеств R С R" размерности к;

O(R) - совокупность всех подмножеств множества R е Ok с индуцированным из R отношением частичного симплексирования;

SJ - совокупность всех измеримых по проекции nJ множеств R е Ok; SJ (R) - совокупность всех измеримых по проекции ^множеств из O(R).

Будем считать, что вне множества Е все значения функции / равны нулю. Для любого £ Е Ип положим

/+(£) := тах{0, /(£)}, /-(£) := - ш1п{0, /(£)}•

Для любого натурального V и любого п^домена ё □ е- символами

т+, т-, тл, М+, М-, Мл

обозначаем точные ГрсШИ

« « « (I (I (I

соответственно. Справедливы очевидные соотношения!

0 < т+ < М+ < М, 0 < т- < М- < М, Мй < М+, -тй < М-, (М+ - т+) + (М- - т-) < М4 - тл < М+ + М-•

Рассмотрим

последовательность

АБ- := £ 2-^!(Мл - тл)

d\ZeE

и последовательности

(PE)+ :=£2^ m+

dQpE dQnE

)- := £ 2-vkm- + £ 2" dCpE dQnE

(Е-)+ = £2-^ М+ + М-,

йПрЕ йПпЕ

(Е-)- = £ 2-!М- + £ 2-!М+ • Последовательности (а-)+ и (а-)-

не убывают и 0 < (а-)+ < М \ (Е), 0 < (а-)- < М \ (Е) для любого натурального V. Значит,

существуют конечные пределы

I- := Иш™(а?)+, I- := Иш™(а-)-•

Если последовательность АБ— сходится к нулю, то функцию / называем интегрируемой по проекции п) или п^интегрируемой на множестве Е и пишем / Е 1з(Е). При этом предел Iе называем нижним п ^интегралом функции / то множеству Е, предел I- называем верх ним, п ^интегралом фун кции / по множеству Е, а чис ло Iе := I?-I-

п) п) / Е

и обозначаем символом

¡/ № :=/ / (х)ёхл .

Е Е

_ 14 -

2.3. Последовательность интегральных сумм. Подвергнем данное выше определение интеграла по проекции первоначальному анализу с позиций традиционного подхода к понятию поверхностного интеграла по координатам. Для этого определим последовательность интегральных сумм

SV := ^ 2-^hdf (iU) = ^ 2"^/(iU) - ^ 2-"7(id),

dQoE dQpE dQn,E

где £ E П d И

E

h I x«'" - — f V ,

' — 1 , если d □ nE.

1 , ее ли d □ p.

Рассмотрим связь этой последовательности с числом I

Е

Предложение 1. Если функция / интегрируема по проекции nJ на множес mee E,

Е)+ - iE и (Ее

то (ЕЕ)+ — iE и (ЕЕ)- — Iе при V — ж.

Доказательство. Для любого натурального v выполняются неравенства:

о < (ЕЕ)+ - (*Е)+ = £ 2~vk (M+ - m+) + £ 2-vk (M- - m-) <

dQpE dQnE

<Y, 2-vk (Md - md) <£ 2-vk(Md - md) = ASE;

dQoE dQeE

о < (ЕЕ)- - (*E)- = £ 2-vk (M- - m-) + £ 2-vk (M+ - m+) <

dQpE dQnE

<Y, 2-vk (Md - md) <£ 2-vk(Md - md) = AS,

dCoE dHeE

При этом, если функция / интегрируема по проекции ^ на множестве Е,то АБ- ^ 0 при V ^ <х>. Отсюда следует, что

Иш^^Е-)+ = Иш^^а-)+ =: I-,

Иш^^Е-)- = Иш^^а-)- =: 1-.

Предложение доказано. ■

Предложение 2. Если функция / интегрируема по проекции пJ на множестве Е, то последовательность интегральных сумм Б- сходится к 1Е при любом, выборе Е Е П

Доказательство. Из определения функций /+ и ^вытекает, что / = /+ — /-. Значит, Б- = Б-(/+) — Б-(/—), где

Е

SE(/+) =£ 2-vk/+(id) - £ 2-vk/+(id),

dQpE dQnE

SE(/-) =£ 2-vk/-(id) - £ 2-vk/-(id).

dQpE dQnE

- 15 -

При этом

£ 2-vkm+ - £ 2-vkM+ < SE(f+) < £ 2-vkM+ - £ 2-vkm+, dQpE dQn,E dQpE dQn^

£ 2-vkm- - £ 2-vkM- < SE(f-) < £ 2-vkM- - £ 2-vkm-dQpE dQnE dQpE dQn^

Значит.

(°E)+ - (£?)- < sE < (EE)+ - (°E)-

Остальное вытекает из предыдущего предложения. ■

Если k > 0 E С Rj и отношение частичного симплексирования на множестве E индуцировано из Rj, то в силу известного критерия Дарбу интегрируемость по проекции ограниченной функции эквивалентна ее интегрируемости по Риману.

При k = 0 для любого достаточно болыпого ранга v имеем ASE(f) = 0. Это означает, что в этом случае любая функция f интегрируема по проекции nj на множестве E <Е E j и при этом

í f (x)dxj = £ f (£) - £ f (£)■

E (eE+ (eE-

f

ций f.. и f—.

Предложение 3. Интегрируемость по проекции nj на множес mee E функции f влечет интегрируем,ость по проекции nj на множес mee E функций f+ и f-. При этом справедливо равенство

j f (x)dxj = J f+(x)dxj - j f-(x)dxj.

E E E

Доказательство. Из следующих соотношений

ASE(f+) + ASE(f-) = £ 2-vk(M+ - m+) + £ 2-vk(M- - m-) =

dQeE dQeE

= £ 2-vk(M+ - m+ + M- - m-) < £ 2-vk(Md - md) =: ASE(f)

dQeE dHeE

вытекает, что интегрируемость по проекции nj на множестве E функции f влечет интегрируемость по проекции nj на множес тве E функций f+ и f^. При этом SE (f) = SE(f+) - SE(f-), значит, то предложению 2 для любой п ^интегрируемой на множестве E функции f справедливо требуемое равенство. ■

3. Исчерпывающие пары

3.1. Определение исчерпывающей пары. Пару последовательностей

К, {nV, -16 -

где p'v, n'v - элементарные множества ранга v, будем называть парой, исчерпывающей множество E G Sj по проекции nj, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) множество pv составлено из nj-доменов d Q p^, а множество n'v составлено из nj-домен ob d Q

2) limv^ vj(p'v) = ß+(E), limvvj(n'v) = ß-(E).

Пара последовательностей {p^} v {n^}v=1 является примером пары, исчерпывающей множество E то проекции nj.

Рассмотрим более общий пример. Пусть частично симплексированное множество A G O(E) измеримо по проекции nj и \ßj\(A) = 0 [2, п. 2.3]. Обозначим p'v объединение всех nj-домен ob d Q p^, которые те пересекаются с мн ожеством A, n'v - объединение всех nj-доменов d Q n^, которые тоже те пересекаются с множеством A. Легко увидеть, что пара последовательностей {p'v}tt=1> {n'vявляется примером пары, исчерпывающей множество E по проекции nj. Действительно, множество E \ A измеримо по проекции nj и

ß+(E \ A) = jE), j(E \ A) = j(E).

При этом выполняются очевидные соотношения:

pV С pE\A С p'v и sE, nV С nE\A С nV U sE.

Значит,

vj (p'v) < vj (pE\A) < vj (p'v) + vj (sE), vj (n'v ) < vj (nE\A) < vj (n'v )+ vj (sE ).

Отсюда следует, что

lim vj(pE\A) = ß+(E), lim vj(nE^A) = j(E).

v^tt v^tt

3.2. Дополнение к определению интеграла по проекции. Предположим, что функция / ограничена на Е Е и равна нулю вне множества Е. Выберем произвольную пару [р'и[п'иисчерпывающую множество Е по проекции Суммируя по п7-доменам d □ р'и и d □ получаем суммы:

№)+ := Е 2"*т+ + Е 2"*т"

йСр^ йСп^

№)- := Е 2"^т- + Е 2-"кт+,

№)+ = Е 2"*М+ + Е 2"*М

№)- = Е 2"*М" + Е 2-гУ*М+.

йСр'^ йСп'^

Замечаем, что разности

№)- - №)-, №)+ - №)+, №)- - №)-, №)+ - №)+

не превосходят числа

Avv := M (vj (pE) - vj (p'v) + vj (nE) - vj (n'v))

- 17 -

При этом по определению исчерпывающей пары Ау„ ^ 0 при V ^ <х>. Значит,

Ит^»^)_ = Ит^»^)- = I-

Ит^ )+ = Ит^^Е'г,)+ = 1+.

Кроме того, разность Б- — в' тоже не превосходит числа АуСледовательно,

11т ^ ^»(Б- — Б'„) = 0.

Это означает, что при определении интеграла по проекции пз от ограниченной та множестве Е € Ез функции / можно заменить пару последовательностей {р-} и-1> {П-} ц-1 произвольной парой {р'и }С—1, {и'и }С—1, исчерпывающей множество Е то проекции пз. При этом независимо от выбора отмеченных точек ^ € й выполняются неравенства!

Б'и (/) = £ 2-к/+(&) + £ 2-к/-(&) — £ 2-к/_(&) — £ /+&) <

йПрЕ йПиЕ йПрЕ йПиЕ

< £ 2-икМ+ + £ 2-икМ- — £ 2_кт_ — £ 2_кт+ = (^)+ — (*'„)_; йПрЕ йПиЕ йПрЕ йПиЕ

%(/) = £ 2_ик/+(&) + £ 2_ик/_(&) — £ 2_к/_(&) — £ 2_к/+(&) > йПрЕ йПиЕ йПрЕ йПиЕ

> £ 2_кт+ + £ 2_икт_ — £ 2_кМ_ — £ 2_"кМ+ = (^)+ — (Е'„)_. йПрЕ йПиЕ йПрЕ йПиЕ

Значит, для любой функции / € (Е) имеем

У /(х)йхз = Ит^» в'.

-

Если Е С ИЗ и отношение частичного симилексирования на множестве Е индуцировано из ИЗ, то вместо пары последовательностей {р'и}»—17 {н'и}С=1, исчерпывающей множество Е € то проекции пз, говорим лишь об одной последовательности {р'и}С=1, исчерпывающей измеримое множество Е С И-З- Эта последовательность удовлетворяет естественным условиям: всякая ^-ячейка элементарного множества р'и С ИЗ является ^-ячейкой элементарного множества р+ и Ит^ук(р'и) = цк(Е).

4. Критерий интегрируемости по проекции

4.1. Нуль-множества по проекции. Пусть Е € Ез. Покрытие е1,е2,... множества Я С Е называем элементарным, если каждое множество е^ является элементарным множеством ранга V(у). Множество Я С Е называем нуль-множеством по проекции пз, если для любого е > 0 существует элементарное покрытие е 1, е2,... множества Я, удовлетворяющее условию

те

£

j=1

vj) < е.

/Е на Е по проекции пз, если точки разрыва этой функции образуют нуль-множество по проекции пз.

Предоставляем читателю самому убедиться в справедливости следующих свойств нуль-множеств по проекции пз\

• конечные и счетные множества являются нуль-множествами по проекции п.;

• любое подмножество нуль-множества по проекции является нуль-множеством по проекции

• объединение счетной совокупности нуль-множеств по проекции п. является нульмножеством по проекции п.]

• множест во Я Е №. (Е), имеющее нулевую вар нацию \ (Я) меры по проек ции является нуль-множеством по проекции п.;

• компактное нуль-множество Я Е 0(Е) по проекции п. измеримо по проекции п. и \(Я) = 0.

4.2. Критерий интегрируемости по проекции. Ниже докажем критерий интегрируемости по проекции ограниченной функции /. Этот критерий является развитием известного критерия Лебега интегрируемости ограниченной функции по Риману.

Теорема 1. Для, того, чтобы, ограниченная на, множестве Е Е №. функция, / была, п.]-интегрируема на, этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы, / была непрерывна, почти всюду на, Е по проекции п..

Доказательство. Необходимость. При к = 0 теорема очевидно справедлива. Пусть к > 0, функция / ограничена и интегрируема на множестве Е по проекции пу Я С Е -

/Я нуль-множеством по проекции п.. Обознач им Яг множество то чек х из Я, удовлетворяющих условию: для любой окрестности и(х) точки х выполняется неравенство

йиРи(х)ПЕ / - ^и(х)ПЕ / > -Г-

Из определения точек разрыва вытекает, что

Я ^ Яг'

г=1

Следовательно.

для некоторого натурального I' множест во Я' := Яг' не является нуль-множеством по проекции п.. Это означает, что существует е > 0 такое, что для любого элементарного покрытия е^ е2,... множества Я' выполняется неравенство

те

(ез) > е.

3 = 1

Выберем произвольное V Е N и из семейства п .-доменов d С еЕ удалим те, внутрен-

Я'

е V С еЕ ранг а V включает множество Я', значит, совоку п ность п .-домен ов d С еV обра-

Я'

vj(e'v) = £ 2—vk > е.

При этом

-)—vk

d^e'„

ASE >ЕdOe'v 2—k Md - md) > I > 0

V - 19 -

для любого V € N. Но это противоречит интегрируемости по проекции пз функц и и f на множестве Е.

Достаточность. Будем считать, что множество Я точек разрыва функции f является нуль-множеством по проекции пз. Пусть е > 0 М := вирЕ Ц\, £\ := 4М и

1 е

- < £2 :=

¿ " ^ 2(\j|(£) + 1Г

Пусть оц - объединение всех пз-доменов й С о^, которые не пересекаются с множеством Яг, объединение всех пз-доменов й С о^, которые пересекаются с множеством Яг-

Во-первых, множество Яг является компактным нуль-множеством по проекции пз. Значит, \(Яг) = 0 и |(Е \ Яг) = |(Е). Для любого ранга V выполняются соотно-

Е 11 г- Е\В.1 ,- . . Е

шенпя оЕ = ои и ои С Ои С ои и эЕ и

vj(ov ) = vj(Ov) + vj(Sv), vj (Ov ) < vj (o^\Ri) < vj (Ov ) + vj (sE ).

Следовательно,

lim vj (Sv) = 0

и для любого v > v' выполняется неравенство v3(s v) < £ь При этом Ri С int sv. Во-вторых, для любой точки x G E \ Ri символом sX обозначим объединение всех

lí, i— eE

неравенство

ff j-доменob d Q eE, содержащих точку x. Пусть для любого v > vx выполняется

sup f — inf f < e2.

Ensx Ensi

Семейство открытых множеств int sXx, x £ E \ Ri покрывает ком пакт E \ int s Выберем из этого покрытия конечное подпокрытие int sXx, x £ {x(1\ ... Пусть

натуральное v'' > max{v', vx(i),... , vx(t)} выбрано го условия: для любого v > v" выполняется неравенство

VJ (eE) < \з |(E ) + 1.

Сумма

ASE = E' (Md - m)

может быть представлена в виде AS' + AS", где в сумме AS' суммирование ведется по всем nj-доменам d Q s v>, а в сум ме AS'' суммирование ведется по всем о стальным п3-доменам d Q e^ Если v > v'' и пз-домен d Q eE те лежит в множестве sv>, то он лежит в sXx, оде х - некоторая точка из набора {х(1),..., х(^}. Значит, дая вся кого v > v'' имеем

ASE < 2Mei + (\ßj\(E) + 1)е2 = е.

Из этих соотношений вытекает, что

lim ASE = 0.

v—>оо

Теорема доказана, н

4.3. Следствия критерия. Точки разрыва функций f+ и f- являются точками разрыва f

дующего предложения.

Предложение 4. Интегрируемость по проекции nJ на множесmee E е №j ограниченной функции f равносильна интегрируемости по проекции nJ на множесmee E функций f+ и f-.

Из этого предложения и из очевидного соотношения SЕ(f) = SЕ(f+) — SЕ(f-) вытекает, что справедливо такое предложение.

Предложение 5. Интегрируемость по проекции nJ на множесmee E е №j огра-f

гральных сумм lim^^, SЕ(f), который, понятно, не зависит от вы,бора отмеченных точек При этом

4.4. Замечания. Сделаем два важных замечания. Во-первых, предложение 5 показывает, что данное в этой статье определение интеграла по проекции соблюдает формальную преемственность, то есть речь не идет об определении нового интеграла, а лишь о продолжении традиционного подхода к интегрированию по координатам на более общий случай измеримых частично симплексированных множеств в И"-.

Во-вторых, интегральная сумма БЕ(/) имеет смысл для любой локально ограниченной на Е Е №. функции /. Поэтому предложение 5 позволяет использовать соотношение (1) для распространения понятия интегрируемости по проекции и понятия интеграла

Е

лом I. (Е) обозначаем совокупноеть всех п.-интегрируемых на множестве Е локально ограниченных функций.

5. Счетная аддитивность интеграла по проекции

5.1. Аддитивность интеграла по проекции. Свойство аддитивности интеграла

/

тегрируема по проекции п. на множестве Е Е №. и А, А1 ,А2 Е №.(Е), А = А1 и А2, А1 П А2 = 0, то функция / интегрируема по проекции п. на множествах А, А1}А2 и

Убедимся в справедливости следующего предложения.

Предложение 6. Интеграл, по проекции обладает свойством, аддитивности.

п. /

А, А1 , А2

(1)

asA < AsE, AsA1 < AsE, AsA2 < AsE.

При этом пара последовательностей р'и := рА и рА, пи := пА и пА является исчерпывающей множество А то проекции пз и

)- = (aA1 )- + )-, )+ = )+ + (О?2 )+•

Следовательно,

тА = тА1 + тА2, т^ = т^ + х+2, тА = тм + Iм,

где ТА - нижний пз-интегрм функции / то множеству А ТА - верхний пз-интеграл функции / то множеству А, ТА := Т^ — ТА - пз-интеграл функции / по множеству А ■

5.2. Счетная аддитивность интеграла по проекции. Свойство счетной аддитивности интеграла по проекции состоит в следующем: если ограниченная действительная функция / интегрируема по проекции пз на множестве Е € £з, А, А1,А2,... € £з(Е),

А = и А

3=1

и множества А1, А2,... попарно то пересекаются, то функция / интегрируема по проекции пз на множествах А, А1, А2,... и

/те »

/(х)йхз = £ / /(х)йхз. А 3=1 А1

Справедливо следующее предложение.

Предложение 7. Интеграл по проекции обладает свойством, счетной аддитивности.

Доказательство. Действительно, интегрируемость по проекции п3 функции f на множествах A, Aí} A2,... следует из очевидных неравенств

ASA < ASE, ASA < ASE, j e N.

Пусть e > 0 и натуральные v (j) подобраны так, что выполняются неравенства

V3 (vAvj) > 3 (Aj) - e, V3 (nj) > »- (Aj) - e,

Рассмотрим пару последовательностей

Nv Nv

i := U pA, n'v := U ,

j=i j=i - 22 -

где натуральное N и выбрано из условия: рА3 = иА3 = 0 для любо го ] > N. Для выбранного е > 0

N те

£ 1+А) - е < V.р) = £V.(рА3) < £¡+(А3),

и(3)<М„ 3=1 3=1

те

£ ¡-А) - е < V.и) = £V.(иА) <£/1-(Аз). и(3)<М„ 3=1 3=1

В силу счетной аддитивности мер и ¡- имеем

Ит .р) = ц+(А), Цт .(и'и) = ¡¡-(А).

р' и'

А п.

те

£ 1А3 - е < к)+ = £(*Аз)+ <£43,

и(3)<М„ 3=1 3 = 1

те

£ I-3 - е < К)- = £(*Аз)- <£1А3.

и(3)<м„ 3=1 3=1

Следовательно,

= £ tj, iA = £ xA3, ia = £ i j=i j=i j=i

5.3. Замечания. Во -первых, пусть E Е f Е Ij(E) и f ограничена на E. Непосредственно из определения интеграла по проекции следует, что Ij(E) С Ij(inj E), где intj E - ^-внутренность E. Значит, f Е Ij (intj E) и при этом

У f (x)dxj = j f (x)dxj.

E intj E

Во-вторых, по критерию интегрируемости по проекции функция f Е Ij(E) принадлежит Ij (Em) для любой ^-компоненты Em множества E. Из соотношения

intj E = U E,

m

т=1

[2, предложение 3] по свойству счетной аддитивности интеграла по проекции вытекает, что

/Л ^О Л

/^ = у /^=/

Е Ыа Е т=1Ет

Из этого соотношения вытекает, например, что интеграл по частично симплексиро-ванному листу Мебиуса М [1, п. 3.6] по проекции (х1}х2,х3) ^ (х1,х2) распадается в сумму трех поверхностных интегралов по графикам и1,и2,и3 функций ф1,ф2 ъ соответственно.

Примечания:

1. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. I. Симплексирование // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). C. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Шишкин А.Б. Алгебраическое ориентирование множеств. II. Мера по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 4 (191). C. 28-42. URL: http://vestnik.adygnet. ru

3. Шишкин А.Б. Интегрирование на ориентированном множестве по проекции // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2012. Вып. 1 (98). C. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru

4. Brown A.B. A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability // The American Mathematical Monthly. 1936. No. 43 (7). C. 396-398.

References:

1. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). I. Simplexing // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 28-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Shishkin A.B. Algebraic orientation of sets (ordering sets). II. Measure for a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 28-41. URL: http://vestnik.adygnet.ru

3. Shishkin A.B. Integration on the focused set on a projection // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2012. Iss. 1 (98). P. 11-19. URL: http://vestnik.adygnet.ru

4. Brown A.B. A Proof of the Lebesgue Condition for Riemann Integrability // The American Mathematical Monthly. 1936. No. 43 (7). C. 396-398.