Обобщенное свойство Хаке для интегралов хенстоковского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

9

Рассматривая функцию g(x 1,^2) = gi(®i)^2(®2) и рассуждая аналогично, получим, что утверждение 2 теоремы 2 справедливо и для ki ^ 2, k.2 = 1, pi £ (0,1], Р2 £ (0, то).

Рассматривая функцию g(xi, Х2) = gi(xi)g2(x2) и рассуждая аналогично, получим, что утверждение 2

теоремы 2 справедливо и для ki ^ 2, k.2 ^ 2, pi £ (0,1], Р2 £ (0,1].

Тем самым теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H. On double Fouries series and especially those which represent the double zeta functions with real and incommensurable parameters // Quart. J. Math. 1906. 37, N 1. 53-79.

2. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. Оценки смешанных норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно-монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1997. № 7 (422). 3-13.

3. Вуколова Т.М. Оценки смешанных норм сумм двойных рядов по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Мат-лы Междунар. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В. А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 2009. 74-75.

4. Вуколова Т.М. О свойствах функций, представимых тригонометрическими рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 61-63.

5. Вуколова Т.М. О свойствах сумм рядов по косинусам с кратно-монотонными коэффициентами // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 35. Казань, 2007. 58-60.

6. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 3. 22-32.

7. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

Поступила в редакцию 05.03.2012

УДК 517.518.43

ОБОБЩЕННОЕ СВОЙСТВО ХАКЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ХЕНСТОКОВСКОГО ТИПА

В. А. Скворцов1, Ф. Тулоне2

Рассматривается интеграл типа Хенстока-Курцвейля относительно абстрактного дифференциального базиса в топологическом пространстве. Показано, что при определенных условиях, наложенных на базис, для этого интеграла сохраняется обобщенное свойство Хаке.

Ключевые слова: интеграл Хенстока-Курцвейля, абстрактный дифференциальный базис, свойство Хаке.

A Henstock-Kurzweil type integral with respect to an abstract derivation basis in a topological space is considered. It is proved that under certain assumption put on the basis, a generalized Hake property holds true for this integral.

Key words: Henstock-Kurzweil integral, abstract derivation basis, Hake property.

Известная в теории интегрирования теорема Хаке (см. [1, гл. VIII, лемма 3.1]) утверждает, что, в отличие от интеграла Лебега, интеграл Перрона на компактном интервале эквивалентен несобственному интегралу Перрона, т.е. интегрируемость по Перрону функции f на отрезке [a, b] эквивалентна ее интегрируемости по Перрону на каждом отрезке [a, c] при a < c < b и существованию предела J^ f. Поскольку интеграл Перрона на отрезке действительной прямой эквивалентен интегралу Хенстока-Курцвейля (см. [2]), то же самое верно и для этого последнего интеграла.

1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Тулоне Франческо (Tulone Francesco) — PhD, науч. сотр. отделения математики и информатики Университета Палермо, Италия, e-mail: [email protected].

10

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

Общая идея определения несобственного интеграла как предела интегралов по возрастающему семейству {Аа} множеств может быть реализована в многомерном случае различными способами в зависимости от типа интеграла и выбора семейства {Аа}, заменяющего компактные подынтервалы из одномерного определения. Это приводит к разным вариантам свойства Хаке; некоторые из них в случае интеграла хенстоковского типа в Rn рассматривались в [3-5].

Здесь мы рассмотрим интеграл типа Хенстока-Курцвейля относительно абстрактного дифференциального базиса в топологическом пространстве. Мы изучим, какие условия, наложенные на базис, гарантируют сохранение обобщенного свойства Хаке для этого интеграла.

Основным множеством X в этой статье выступает хаусдорфово топологическое пространство с регулярной (сверху) борелевской мерой у на нем. Для любого множества I £ X через int(I) и dI обозначим соответственно внутренность и границу I.

Мы воспользуемся следующим вариантом общего определения дифференциального базиса (см. [6, 7]): дифференциальный базис (или просто базис) B в (X, М,у) — это база фильтра на декартовом произведении I х X, где I обозначает некоторое семейство замкнутых множеств пространства X конечной положительной меры у, которые мы будем называть обобщенными интервалами или B-интервалами. Точнее говоря, базис B — это непустое семейство непустых подмножеств в из I х X, таких, что каждое в £ B представляет собой семейство пар (I,x), где I £ I, x £ X, и B обладает свойством базы фильтра: 0 / B и для каждых във2 £ B существует в £ B, такое, что в С в1 П в2. Таким образом, каждый базис является направленным множеством, где отношение порядка задано обратным включением. Элементы в базиса B будем называть базисными множествами. Некоторые примеры дифференциальных базисов в различных пространствах можно найти в [6, 8-10].

В настоящей заметке мы будем предполагать, что все пары (I, x) из всех в £ B таковы, что x £ I, хотя это условие не является обязательным в общей теории (см. [2, 6]). Мы условимся, что y(dI) = 0 для любого B-интервала I. Будем говорить, что два B-интервала I' и I" не перекрываются, если y(I' П I") = 0. Конечное объединение неперекрывающихся B-интервалов будем называть B-фигурой. Будем предполагать, что пересечение двух перекрывающихся B-интервалов является B-фигурой, так что пересечение двух перекрывающихся B-фигур также будет B-фигурой, как и сумма двух B-фигур. Для множества Е С X и в £ B определим

в(Е) := {(I, x) £ в : I С E} и в[Е] := {(I, x) £ в : x £ E}.

Если базис рассматривается лишь на B-интервале или на B-фигуре J (вместо всего пространства X), т.е. складывается из базисных множеств ^(J)}вев, будем называть его базисом в J и будем использовать для него то же обозначение B, а сами множества в( J) будем называть базисными множествами в J.

Будем предполагать, что базис B обладает следующими свойствами:

(a) базис B не игнорирует ни одной точки, т.е. в[{x}] = 0 для каждой точки x £ X и каждого в £ B;

(b) базис B имеет локальный характер, т.е. для любого семейства базисных множеств {вт}, вг £ B, и для любых попарно не пересекающихся множеств Ет существует в £ B, такое, что в[Uт Ет] С Uт вт [Ет];

(c) базис B обладает свойством Витали, т.е. для каждой точки x и для каждой ее окрестности U(x) существует такое вх £ B, что I С U(x) для каждой пары (I, x) £ вх-

Для каждого базисного множества в конечное семейство п элементов из в, такое, что для любых двух различных элементов (I',x') и (I'',x'') из п B-интервалы I' и I'' не перекрываются, назовем в-разбиением. Пусть L С X. Если п С в(^), то п называется в-разбиением в L; если п С вИ, то п называется в-разбиением на L; если же (J(/х)еп I = L и L является B-фигурой (в частности, B-интервалом), то п называется в-разбиением фигуры (или интервала) L. Для множества E и в-разбиения п положим п[Е] := {(I,x) £ п : (I,x) £ в[Е]}.

Скажем, что базис B обладает свойством разбиения, если выполняются условия: (i) для каждого конечного набора Iq,Ii, ..., In B-интервалов, таких, что интервалы Ii,...,In С Io не перекрываются, существует конечный набор B-интервалов In+i,...,Im, таких, что Io = IJm=i Is, причем все Is попарно не перекрываются; (ii) для каждого B-интервала I и для любого в £ B существует в-разбиение интервала I.

Заметим, что условие (ii) в свойстве разбиения фактически влечет существование в-разбиения для любой B-фигуры. Объединение всех B-интервалов, участвующих в в-разбиении п, назовем B-фигурой, порожденной разбиением п.

Справедлива следующая лемма о пополнении в-разбиения.

Лемма 1. Пусть п1 является в-разбиением в B-фигуре L. Тогда существует в-разбиение п2, такое, что п = п1 U п2 является в -разбиением B-фигуры L.

Доказательство. Пусть п1 = {(Ij,xj)}j=i. В соответствии с условием (i) в свойстве разбиения име-

ет место представление Ь = (и!-^^)У(ип=1К8), где К — неперекрывающиеся В-интервалы. По условию (гг) для каждого в найдем в-разбиение яу В-интервала К8. Тогда П2 := и^^у является искомым в-разбиением, что и доказывает лемму.

Определение 1. Назовем в-разбиение П2 из леммы 1 в-дополнительным к П1 в Ь. Если Е есть В-фигура, порожденная разбиением П1, то В-фигуру, порожденную в-дополнительным к П1 разбиением П2, назовем в-дополнительной к Е в Ь и обозначим Сд(Е).

Определение 2 (см. [6]). Пусть В — базис, обладающий свойством разбиения, и Ь — В-фигура. Скажем, что действительная функция /, заданная на Ь, интегрируема в смысле Хенстока-Курцвейля относительно базиса В (или Нв-интегрируема) на Ь и значение Нв-интеграла равно А, если для любого £ > 0 найдется в £ В, такое, что для каждого в-разбиения п фигуры Ь выполняется неравенство

Е /(ф(/) - А

(!>)еп

< £.

Значение А интеграла запишем в виде (Нв) /.

Скажем, что функция / Нв-интегрируема на множестве Е С Ь, если функция /хе, где хе — характеристическая функция множества Е, Нв-интегрируема на Ь. При этом /е / := /Хе.

Следующее утверждение является обобщением результата, известного для случая полного базиса из интервалов на действительной прямой (см. [2]).

Утверждение 1. Функция, равная нулю почти всюду на В-фигуре Ь, является Нв-интегрируемой на Ь, и интеграл равен нулю.

Доказательство. Зафиксируем £ > 0. Пусть Е = {ж € Ь : /(ж) =0} и Еп = {ж € Е : п — 1 ^ |/(ж)| < п} для п = 1, 2,.... Используя регулярность сверху меры выберем открытое множество Оп, такое, что Еп С Сга и ¡л.{Сп) < По свойству Витали базиса В для любого п и любого ж € Еп найдем базисное множество вх в Ь, такое, что I С Оп для каждого (I, ж) € вх. Далее, используя локальный характер базиса, найдем в в Ь, такое, что в[Е] С и^=1 их^Е„ вх[{ж}], где в[Ь \ Е] можно определить произвольно. Взяв любое в-разбиение п фигуры Ь, получим

Е /(ж)^(1)

(/,х)еп

<

£

п=1

Е /(ж)^(1)

(/,х)еп[Еп]

< Е £ п^(1) <

п=1 (/,х)еп[Еп]

те

Е

п=1

те

пц(Оп) < > —

2п

п=1

= £.

Тем самым утверждение доказано.

Легко проверить, что класс Нв-интегрируемых на В-фигуре функций является линейным пространством и выполняется соответствующее соотношение для интегралов. Нетрудно также показать, что если функция / Нв-интегрируема на В-фигуре Ь, то она Нв-интегрируема и на любой В-фигуре 7 С Ь. При этом функция Ф : 7 м- (Нв) ^ / аддитивна на семействе В-фигур и определяет неопределенный Нв -интеграл функции /. Доказательство последнего факта опирается, в частности, на утверждение 1, из которого следует, что интеграл по общей части границы двух неперекрывающихся фигур равен нулю.

Используя упомянутую выше аддитивность интеграла, а также локальный характер базиса, на случай нашего интеграла можно перенести утверждение, известное в классическом случае как лемма Сакса-Хенстока (см. варианты этого утверждения в [2, лемма 3.8; 6, теорема 1.6.1; 11, теорема 3.2.1]).

Лемма 2. Если функция / является Нв-интегрируемой на В-фигуре Ь и Ф — ее неопределенный Нв-интеграл, то для любого £ > 0 существует в € В, такое, что для каждого в-разбиения п в Ь выполняется неравенство

Е /(ж)мл — Ф(е)

(/,х)еп

< £,

где Е — фигура, порожденная в-разбиением п.

Лемма 3. Для любого в € В в В-фигуре Ь и любого замкнутого множества Е С Ь существует базисное множество в' С в в Ь, такое, что I П Е = 0 для каждого (I, ж) € в'[Ь \ Е].

Доказательство. Для каждого ж € Ь\Е выберем окрестность V(ж) точки ж, такую, что V(ж) С X\Е. Из свойства Витали следует, что для ж € Ь \ Е существует вх € В, такое, что I С V(ж) С X \ Е для каждой пары (I, ж) € вх .В силу локального характера базиса существует в' € В в Ь, такое, что

в' С (ихсь\евх[{ж}]) и в[Е], и поэтому в'[{х}] С вх Для х £ Ь \ Е. Мы можем также считать, что в' С в• Тем самым в' — искомое базисное множество, и лемма доказана.

Определение 3. Для фиксированной В-фигуры Ь, замкнутого множества Е С Ь и базисного множества в в Ь скажем, что В-фигура Ое = ик= lГj является в-окаймлением, множества Е, если она порождена в[Е]-разбиением {(1^)}д= 1 и в-Дополнительная к ней В-фигура в Ь удовлетворяет соотношению С в (Ое ) П Е = 0.

Справедлива следующая

Лемма 4. Для любого в £ В в В-фигуре Ь и любого замкнутого множества Е С Ь существует базисное множество в' С в в Ь, такое, что для любого в'-разбиения п фигуры Ь В-фигура, порожденная разбиением п[Е], будет в-окаймлением Ое■

Доказательство. Достаточно взять в' С в из леммы 3.

В формулировке следующей теоремы и в ее доказательстве тЬ^(Е) означает внутренность множества Е относительно топологии в Ь, индуцированной топологией пространства X.

Теорема 1. Пусть в В-фигуре Ь заданы замкнутое множество Е и возрастающая последовательность В-фигур {Ед}, такая, что Ек П Е = 0, к = 1, 2,..., и и^=1т^(Ек) = Ь \ Е, и пусть функция / Нв-интегрируема на множестве Е и на каждой В-фигуре Е С Ь, такой, что Е П Е = 0. При этих условиях функция / Нв-интегрируема на Ь и значение интеграла равно А + ^ / тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует в £ В, такое, что для любого в-окаймления Ое выполнено неравенство

/ / - А

'Св (Ое)

< е. (1)

Доказательство. Пусть функция / Нв-интегрируема на Ь и ^ / = А + /е /- Тогда она Нв-интегрируема также на Ь \ Е и значение интеграла равно А. Зафиксируем произвольное е > 0 и возьмем в в Ь, такое, что для каждого в-разбиения п фигуры Ь выполняется неравенство

/(х)Хь\Е(х)МГ) - А

(I, х)сп

<

(2)

Зафиксируем произвольное в-окаймление Ое , порожденное в-разбиением п' С в [Е] (такие окаймления существуют в соответствии с леммой 4). Тогда С в (Ое ) П Е = 0. Функция / Нв-интегрируема на фигуре Св(Ое), и существует базисное множество в1, такое, что для любого в1-разбиения П1 фигуры Св(Ое) выполнено неравенство

£ /(х)ц(Г) - /

(I, х)еп! -,Св (Ое )

е

<2"

(3)

Мы можем предположить, что в1 С в, поэтому П1 является также в-разбиением фигуры С в (Ое ). Тогда для в-разбиения п = П1 и п' фигуры Ь выполнено (2). Объединяя оценки (2), (3) и принимая во внимание, что суммы в этих неравенствах фактически совпадают, мы получаем неравенство (1) для любого в-окаймления множества Е.

Обратно: предположим, что при некотором А для любого е > 0 найдется в, такое, что для любого в-окаймления выполняется неравенство

'св (ое )

/-А

е

<2"

(4)

Рассмотрим возрастающую последовательность В-фигур {Ед}, заданную по условию, и обозначим Тк = тЬъ(Ек) \ \иЬ^(Ек-1), где Ео = 0. Из условий теоремы вытекает, что и кТд = Ь \ Е. При этом Тг П Т3 = 0 при любых г = в. Достаточно показать, что функция /Хь\Е Нв-интегрируема и значение интеграла равно А.

Поскольку по условию / Нв-интегрируема на каждой фигуре Ед, то по лемме 2 существует базисное множество вк в Ед, такое, что

£ /(х)ц(Г) - I /

х) Ст 1

(I , х)Спк

<

2к+1

(5)

е

2

е

для любого вк-разбиения пд в ^к, где 5к обозначает В-фигуру, порожденную разбиением пд. На основе леммы 3 определим при каждом к базисное множество вк С вк, такое, что I С ^¿(^к) для любых пар (I, ж) € в; при ж € ^¿(^). Теперь, используя локальный характер базиса В, определим /3 С в в Ь, такое, что ] С вк[Тк] при каждом к. Можем также предположить, что в С в-

Возьмем любое в-разбиение п фигуры Ь. В соответствии с леммой 4 мы можем считать, что В-фигура, порожденная разбиением п[Е], является 3-окаймлением Ое . В соответствии с определением в при любом (-I, ж) € п[Тд] имеем включение I С ^к. Значит, (5) выполняется при пд = п[Тд]. Заметим, что /и£к / = ^кЛяк /. Это следует из конечной аддитивности Нв-интеграла и того факта, что ввиду конечности разбиения п число непустых фигур 5к конечно. Кроме того, / = ^ (ое) /Поскольку в силу в С в каждое в-окаймление является также в-окаймлением, то, используя неравенства (5) и неравенство (4), в котором в заменено на в, мы окончательно получаем

Е f (ж)МЛ - A

<

Е Е fимл - Е/ f

fc (/,x)en[Tfc| fc JSk

+

+

'USfc

f - A

<

£

E

(/,x)en[Tfcj

f(ж)^(/) - f

■JSk

+

Cg (Oe )

f - A

< e,

что завершает доказательство теоремы.

Предел А в теореме 1 фактически представляет собой предел по базе фильтра, образованной семейством в-окаймлений, где в пробегает значения из базиса В в фигуре Ь. Поэтому теорему 1 можно переформулировать в виде критерия Коши относительно базы фильтра.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 функция / Нв-интегрируема на В-фигуре Ь тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется в € В, такое, что для любых двух в-окаймлений О'е и 0£ выполняется неравенство

f - М

lop (oe) Jcp (OE )

< e.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00321, проекта программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-979.2012.1 и гранта Института математики Быдгощского университета (University of Bydgoszcz, Poland).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

2. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. М.: URSS, 2010.

3. Faure C-A., Mawhin J. The Hake's property for some integrals over multidimensional intervals // Real Anal. Exchange. 1994/95. 20, N 2. 622-630.

4. Kurzweil J., Jarnik J. Differentiability and integrability in n dimensions with respect to a-regular intervals // Results Math. 1992. 21. 138-151.

5. Muldowney P., Skvortsov V.A. Improper Riemann integral and Henstock integral in Rn // Матем. заметки. 2005. 78, № 2. 251-258; translated in Math. Notes. 2005. 78, N 2. 228-233.

6. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63, N 353.

7. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.

8. Ahmed S.I., Pfeffer W.F. A Riemann integral in a locally compact Hausdorff space // Austral. Math. Soc. (Ser. A). 1986. 41. 115-137.

9. Скворцов В.А., Тулоне Ф. P-ичный интеграл Хенстока в теории рядов по системам характеров нульмерных групп // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 25-29.

10. Скворцов В.А., Тулоне Ф. Интеграл хенстоковского типа на компактном нульмерном метрическом пространстве и представление квазимеры // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 11-17.

11. Lee P.Y., Vyborny R. The integral: an easy approach after Kurzweil and Henstock // Austral. Math. Soc. Lect. Ser. Vol. 14. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.

Поступила в редакцию 26.04.2012