Оценки смешанных норм функций, представимых двойными рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

3

Математика

УДК 517.5

ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ НОРМ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ ДВОЙНЫМИ РЯДАМИ ПО СИНУСАМ С КРАТНО-МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Т. М. Вуколова1

Доказываются оценки снизу и сверху для смешанных норм функций — сумм двойных рядов по синусам с кратно-монотонными коэффициентами.

Ключевые слова: смешанная норма, двойные ряды по синусам, монотонные коэффициенты.

In this paper we prove lower and upper bounds for the norms of mixed, i.e., sums of double sine series with multiply monotonous coefficients.

Key words: mixed norm, double series of sine, monotone coefficients.

1. Обозначения и формулировка основных результатов. Будем рассматривать ряды вида

œ œ

Е Е an1n2 sin nixi sinП2Х2,

«■2 = 1 ni = 1

(1)

коэффициенты которых удовлетворяют условиям

0 при ni — œ и при любом П2, an

0 при П2 — œ и при любом щ.

(2)

Для целых неотрицательных чисел ki и обозначим

&2 ki

Afcifc2 а«1П2 = Е( — 1)j Ck2 Е( —1)iCk1 ani+in2+j • j=0 i=0

Теорема А [1]. Если последовательность {аП1П2} удовлетворяет условиям (2) и Дк1к2аП1П2 ^ 0 для любых натуральных щ и щ и некоторых натуральных к\ и к2, то ряд (1) сходится по Прингсхей-му всюду, кроме, может быть, множества плоской меры нуль, т.е. существует функция д(ж1,ж2) — сумма ряда (1).

Будем говорить, что сумма ряда (1) — функция д(ж1, Ж2) £ ^Р1Р2, где 0 <Р1 < то, г = 1, 2, если

IIP1P2

2п / 2п \ P2/P1 \ 1/P2

/ / |g(xi, Х2) |P1 dxi dx2j < œ.

Рассмотрим оценки нормы функции д(ж1,ж2) в зависимости от кратности монотонности коэффициентов ап1п2 .

Теорема Б [2]. Пусть последовательность {аП1П2} удовлетворяет условиям (2) и ДцаП1П2 ^ 0 для любых натуральных щ и П2- Тогда если р^ £ (0; то), г = 1, 2, то справедливы неравенства

Ci

Е n22-2

ч«2 = !

Е

n1 = i

n

P1-2aP1 i U/n1n2

Р2/Р1\ i/p2

<

IP1P2

< C2

E n22-2

>n2 = i

E

n1 = i

n

,P1-2aP1 i n1 n2

P2/P1\ i/P2

где положительные постоянные Ci и C2 не зависят от последовательности {an1n2}.

1 Вуколова Татьяна Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доцент ЦМО МГУ, e-mail: tmvukolova@mail.ru.

а

—►

—►

œ

œ

4

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

Отметим, что эти неравенства и все нижеследующие понимаются таким образом: из конечности правой части неравенства следует конечность левой части.

Цель нашей работы — получить, где это возможно, аналоги теоремы Б для случая, когда вместо монотонной последовательности коэффициентов берется кратно-монотонная. Далее будет доказана справедливость следующих утверждений.

Теорема 1. Пусть последовательность {аП1П2} удовлетворяет условиям (2) и Д^12аП1П2 ^ 0 для любых натуральных щ и П2 и некоторых натуральных к\ и к.2. Тогда если р £ (0; то), г = 1,2, то справедливо неравенство

АР1Р2 (к1, к2) = I ^

\ «2 = 1

и,

12Р2 —2 2

«1=1

11Р1 —2 1

(Дк

Р2/Р1\ 1/Р2

< СзНяН

Р1 Р2

где постоянная Сз не зависит от последовательности {ап1п2}.

Теорема 2. 1. Пусть последовательность {ап1п2} удовлетворяет условиям (2) и Д^12аП1П2 ^ 0 для любых натуральных щ и щ и некоторых натуральных к1 и к2, тогда если или к1 =1, к2 = 1, р1 £ (0; то), р2 £ (0; то), или к1 = 1, к2 ^ 2, р1 £ (0; то), р2 £ (1; то), или к1 ^ 2, к2 = 1, р1 £ (1; то), Р2 £ (0; то), или к1 ^ 2, к2 ^ 2, р1 £ (1; то), р2 £ (1; то), то справедливо неравенство

Р1 Р2

< С4

и

ч«2 = 1

12Р2 —2 2

«1 = 1

и

11Р1 (Д1 1 —1&2 — 1а«1П2 )Р

Р2/Р1\ 1/Р2

(3)

где постоянная С4 не зависит от последовательности {ап1п2}.

2. Если или к1 = 1, к2 ^ 2, р1 £ (0; то), р2 £ (0; 1], или к1 ^ 2, к2 = 1, р1 £ (0; 1], р2 £ (0; то), или к1 ^ 2, к2 ^ 2, р1 £ (0;1], р2 £ (0;1], то не существует такой единой постоянной С4, зависящей только от р1, р2, к1 и к2, что для любой удовлетворяющей условиям (2) последовательности {ап1п2}, для которой Дк112 аП1П2 ^ 0 при указанных выше к и р^, и для соответствующей функции ^(^1,^2) было бы справедливо неравенство (3).

Отметим, что формулировки теорем 1 и 2 приводятся в работе [3], в одномерном случае аналоги теорем 1 и 2 содержатся в работах [4, 5].

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп ^ то при и ^ то и Д1 Ьп ^ 0 для любого натурального и и некоторого натурального к, тогда для каждого номера I = 0,1,...,к — 1 и любого натурального и справедливы неравенства

Д/Ь п ^ Д/Ьп+1, Д/Ьп ^ 0, Д^+1&2П ^

Д/ь

/ "п

и

Д/+1Ьп < Д/Ь п,

где ДоЬп = Ьп, Д^п = Ьп — Ьп+1, ДкЬп = Д1(Дк—1^п), к ^ 2. Доказательство леммы 1 опускается ввиду его простоты.

Лемма 2. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп ^ 0 при и ^ то и Д1^п ^ 0 для любого натурального и, пусть числа а и р таковы, что а > —1 и р £ (0; то). Тогда справедливо неравенство

те /те \ р

£иаРТ^ С^иа+Рьп,

п=1 ^ V=п

п=1

где постоянная С5 зависит лишь от а и р.

Доказательство леммы 2 аналогично доказательству леммы 2 работы [6] и поэтому опускается. Лемма 3 [7, с. 43]. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп ^ 0 для любого натурального и, пусть числа а и в таковы, что 0 < а < в < то. Тогда

те \ 1/в /те \ 1/а

<(£ "а

п=1 / ^п=1

Е"п

те

эо

те

Лемма 4. Пусть последовательность {6п} такова, что 6п ^ 0 при п ^ то и Д1^п ^ 0 для любого натурального п, пусть числа А и р таковы, что А € (-то; то) и р £ (0; 1). Тогда справедливо неравенство

те \ р

, л

Е^ и) < Сб ьп п(л+1)р + Е Ь^р V (л+1)р-1

где постоянная Сб зависит лишь от А и р.

Доказательство. Для каждого натурального п существует такое целое неотрицательное число т, что 2т ^ п < 2т+1.

те

Обозначим А = ^ Vл. Ясно, что ^=4п+1

А < Е ь

V=2т+2+1

те те 2^+1

^Л =

Vи —

Е Е ь

^=т+2 v=2м+1

V л

Vи •

Так как 6п ^ 6п+1, то

Применяя лемму 3, получим

А < С7 Е Ь2м+12^(л+1).

те \ р те

Е Ь2м+12^(л+1М < Е 6рм+12Рм(Л+1)-

■, I I ' ) / ,,-тп

^=т+2

^=т+2

Поэтому

те 2^-1 те те

АР < Сз Е Е ьрV(л+1)р-1 = Сз Е ьр^(л+1)-1 < С^ Щ,V(л+1)р-1.

^=т+2 v=2м-1 v=2m+1 v=n

Теперь имеем

те \ р , л

4п

тер ,,л

v=4n+1

Е ^^М ^ Е ^+ Е ^Vл < Со ( 6ппл+1)Р + Ар < С10 ьппр(Л+1) + Е ^V(л+1)р-1

что и требовалось доказать.

Лемма 5. Пусть последовательность {ап1п2} удовлетворяет условиям (2) и Д016п1п2 ^ 0 для любых натуральных щ и п2, пусть числа а, р1 и р2 таковы, что а > -1, р1 £ (0; то) и р2 £ (0; то). Тогда справедливо неравенство

в = ^ па

п2 = 1

те те р 1 ап1

_п1 = 1 ^ V=n2

р2/р1

<

Сп£ па+р2 е

п2 = 1

ар1 п1 п2

п1 =1

р2 /р1

(4)

ЕЕ

_V=n2 п1 = 1

р1

V

р2

где постоянная Сц зависит лишь от а, р1 и р2.

Доказательство. 1. Пусть 1 ^ р1 < то, тогда, применяя неравенство Минковского к внутренним суммам, будем иметь

_ __1/р1

в < е па

п2 = 1

Теперь, используя лемму 2, заключаем, что

в < с5 е па+р2 Е

п2 = 1

ар1 п1 п2

п1 =1

р2/р1

т.е. получим справедливость неравенства (4).

те

v=n

те

те

р

v=n

v=n

v=n

те

2. Пусть 0 < р1 < 1, тогда, применяя лемму 4 к внутренней сумме, будем иметь

В < С6£

те

а

и

тете

( ^^ ^Р1 ага! V + агахп2 и21 п1 = 1 ^ V=n2

Р2/Р1

<

п2 = 1

(те , те те \ Р2 /Р1 те / те \ Р2/Р1

Е иа( Е Е ап^ ^Р1—м + Е иа^ а^ иР1

п2 = 1 ^ Р=п2 п1 = 1 ' п2 = 1 ^п1 = 1

Используя лемму 2, получим

, Р2 /Р1

и2 ап11 п2

в < с. е иа+р2 Е

п2 =1 п1 =1

что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы 1. Пусть О = О(и2) = ^ и11Р1 2(Дк1—112—1ап1п2)Р1. Ясно

что

п1 =1

О = (2^)11Р1—22(Дк1—112—lа2vln2 )Р1 + Е(2^1 + 1)11Р1—22(Дк1—112—1а2^+Ы2 )Р1 + (Д11—112—^ )Р1 <

Vl = 1 Vl = 1

те

^ С14 Е ^^ 2(Д11 —112 —1a2vln2 )Р1 + (Д11 —112 —1а1п2 )Р1 •

V1 = 1

Используя лемму 1, имеем

те

О < С15 Е (Д11—212—lavln2)Р1 ^11—1)Р1—2.

Vl = 1

Повторяя этот прием еще (к1 — 2) раза, получим

О ^ С1^ (Д012—lavln2 )Р1 V Vl = 1

Следовательно,

^ / тете \ р-

а = АР2Р2(к1,к2) < СР6/Р^ и12Р2—^ (Д012—lavln2)Р1 vР1—2] '

п2 = 1 Vl = 1 '

/ те / те \Р2/Р1

= СР6/Р1 ИТ М12Р2—2ГТ (Д012—lavl2v2)Р1 VР1—22 +

\Р2 = 1 = 1 '

те / те \ Р2/Р1 / те \Р2/Р1\

+ £ (2*2 + 1)12Р2—^ £ (Д012—lavl2v2+l)Р1 vР1—^ + Е (Д012—1а^1)Р1 vР1—^ I <

те \ Р2/Р1 / те \ Р2/Р1

2—2/ ^(Д0. ^ лр1 ^+ ( £^2—ЮрцГ *Р1—2

V2 = 1 4 V, = 1 V, = 1

( ( те / те \ Р2/Р1 / те \ Р1 \ Р2/Р1

< М Е ^'22Р2—2 ^ ^^ (Д012—lavl2v2)Р1 vР1—22 + ( £(Д012—10^1)) V-2

, Р2 = 1 4 р, = 1 ' 4 р, = 1

те (12—1)р2—2/те,. ,Р! р,— 2ЛР2/Р1

У2

V2 = 1 4 V,

(к2 — 2) раза, получим

те / те \ Р2/Р1

vp2—2( V ар\,VР1—2

V2 = 1 4 р, = 1

Применение теоремы Б завершает доказательство теоремы 1

В силу леммы 1 имеем А ^ С18 ^ v2l2 1)Р2 2( ^ (Д012—2аР1Р2 )Р! vpl 2") . Выполняя этот прием еще

р2=1 '

тете

А < Ср9£ vp2—2 £ ар,1р2 vР1—2

те

те

эо

те

4. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем справедливость утверждения 1.

1. Пусть к1 = 1, к2 = 1, Р1 £ (0, то), р2 £ (0, то). Тогда утверждение 1 теоремы 2 следует из теоремы Б.

2. Пусть к1 ^ 2, к2 = 1, Р1 £ (1, то), р2 £ (0, то). Тогда, используя теорему Б, получим О = ||д||р1р2 ^

те

С2Ар1р2 (1,1). Так как ащп2 — ^^ Дloаvln2, то

V1=nl

те те те р 1 В(п2) = £ пр1-2(ащп2)р1 = Е пр1-2( Е Дloavl

п1 = 1 п1 = 1 ^ V1=n

11 ^*1п2 п1 = 1 ^ V1=nl

Применяя лемму 2, для р1 > 1 будем иметь

те

в < С5 Е п2р1-2(Дюащп2)р1 •

п1 =1

Повторяя этот прием еще (к1 - 2) раза, получим, что для р1 > 1 справедливо неравенство

те

в < С20 Е пк1р1-2(Дк1-1оащп2)р1 •

п1 =1

Следовательно,

/те , те \р2/р^ 1/р2

1/р1 I V' пр2-^( пк1р1-2

п2 =1 п1 =1

О < С^1 Е пр2-^ пк1р1-2(Дк1-10ащп2)р1

т.е. утверждение 1 теоремы 2 для к1 ^ 2, к2 = 1, Р1 £ (1, то), р2 £ (0, то) доказано.

3. Пусть к1 = 1, к2 ^ 2, р1 £ (0, то), р2 £ (1, то). Тогда в силу теоремы Б получим О ^ С2Ар1р2(1,1),

те

и так как атп2 = I] ДolanlV2, то

V2=n2

Ор2 < Ср2 Е пР2—2

те

Е ( Е До1ап^) п1

п1 = 1 ^ V2=n2

р1

р1 — 2

р2/р1

п2=1

Применяя лемму 5, для р2 > 1 будем иметь

р2/р

Ор2 < С21 Е п2р2—22 Е (До1ащп2)

п2 = 1

р1 пр1—2

1

п1 =1

Повторяя этот прием еще (к2 — 2) раза, приходим к неравенству

те / те \ р2/р Ор2 < С22 Е п22р2—2( Е п11—2(Док2—1ащп2 )р

п2 =1 п1 =1

и утверждение 1 теоремы 2 для к1 = 1, к2 ^ 2, р1 £ (0, то), р2 £ (1, то) доказано.

4. Пусть к1 ^ 2, к2 ^ 2, р1 £ (1, то), р2 £ (1, то). Тогда, применяя доказанное выше неравенство, имеем для р2 > 1 и р1 £ (0, то)

Ор2 < С22 Е пк2р2—22 Е 2 £ Дщ—

рД р2/р1

п2 = 1 \п1 = 1 4 Vl=nl

Но тогда на основании леммы 2 заключаем, что для р1 > 1 и р2 > 1

те / те \ р2/р1 Ор2 < С23 Е п^2( £ п2р1—2(Д1к2—1ап1п2)р1

п2 =1 п1 =1

эо

те

1

те

те

те

Применяя этот прием еще (к1 — 2) раза, для р1 > 1 и р2 > 1 получим

Р2 /Р1

.2Р2 — 2 / \ л .1Р1—2

те / те \ p

Dp2 < C24 «Т n2fc2P2-^ nklPl-2(Afcl-lfc2-1a„1„2)pij

и2 и1

п2 =1 п1 =1

т.е. утверждение 1 теоремы 2 доказано для кр ^ 2, к2 ^ 2, рр £ (1, то), р2 £ (1, то). Таким образом, утверждение 1 теоремы 2 доказано полностью. Теперь докажем утверждение 2 теоремы 2.

Рассмотрим ряды вида (1), где либо ап,п2 = Ьп,сп2, либо ап,п2 = с«,Ьп2, либо ап,п2 = Ьп,Ьп2. При этом в случае к. ^ 2

Ь Г (т. + 1 — и.)14—1 для 1 ^ и^ ^ т,; п \ 0 для и. ^ т. + 1;

а в случае к. ^ 1 имеем сП1 = 1/щ для 1 ^ и. < то.

Ясно, что — 0 при и. — то, Д.^ 0 для всех и., — 0 при и. — то, с^ ^ 0 для всех и. и при любых к. ^ 1.

те

В работе [4] показано, что для суммы ряда ^ b«¿ sin — функции g¿(x¿) — справедливы оценки

«,¿=1

2п

?iIB = / |*(*<)Г dxi > C25m«2'-1»p^ ln(m; + 2) ^ »<=¿< L

0

Там же показано, что

те ( m2¿p¿ 1 для Pi > l/ki,

J?¿ = (Aki-ib«)p¿n2¿p¿-2 < C2J ln(mi + 2) для р = l/ki,

«i=; [ l для 0 < pi < 1/ki.

те

Для суммы ряда £ c«¿ sinniXi — функции ^i(xi), — применяя утверждение 2 работы [4], получим, что «¿=i

в случае pi £ (0, то) справедливы оценки

C27 ^ ||^i|p¿ ^ C28 j C27 ^ JP¿ ^ C28j

где

/ 2п \ ;/P¿ те

*IIp¿ = ( I dxi ) , J?¿ ^(Ak¿-i^¿)p¿n2¿p¿-2.

«¿=1

Для доказательства утверждения 2 теоремы 2 в случае кр = 1, к2 ^ 2, р2 £ (0,1], рр £ (0, то) рассмотрим функцию $(жр, X) = ^1(^1 )^2(Х2). Тогда для 0 < рр < то имеем

||£||Р1Р2 ^ С29т.2—р(1п(т2 + 2)), Арда(кр^) < С30т.2—1 в случае р2 = 1;

и _л к2-1-( — -1)

||^1Р1Р2 ^ С29т22 , Ар,р2(кр,к2) ^ Сз0т2 Р2 в случае 1/к2 < р2 < 1; 1Ы1Р1Р2 ^ С29т22—11, Ар!р2(кр,к2) ^ Сз0[1п(т2 + 1)]12 в случае р2 = 1/к2; ||^|Р1Р2 ^ С29т22—Ар,р2(кр,к2) ^ С30 в случае 0 < р2 < 1/к2,

где положительные постоянные С29 и С30 зависят лишь от рр, р2, кр и к2.

Из справедливости последних неравенств следует, что при кр = 1, к2 ^ 2, рр £ (0, то), р2 £ (0,1] для рассматриваемой последовательности {ап,п2} и соответствующей ей функции $(жр, X) отношение

А стРемится к бесконечности при т2 —то. Следовательно, утверждение 2 теоремы 2 для этих

значений р1, р2, к1 и к2 справедливо.

Рассматривая функцию g(xi,x2) = gi(®i)^2(®2) и рассуждая аналогично, получим, что утверждение 2 теоремы 2 справедливо и для ki ^ 2, k2 = 1, Pi S (0,1], P2 S (0, то).

Рассматривая функцию g(xi, Ж2) = gi(xi)g2(x2) и рассуждая аналогично, получим, что утверждение 2

теоремы 2 справедливо и для ki ^ 2, k2 ^ 2, pi S (0,1], P2 S (0,1].

Тем самым теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H. On double Fouries series and especially those which represent the double zeta functions with real and incommensurable parameters // Quart. J. Math. 1906. 37, N 1. 53-79.

2. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. Оценки смешанных норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно-монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1997. № 7 (422). 3-13.

3. Вуколова Т.М. Оценки смешанных норм сумм двойных рядов по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Мат-лы Междунар. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ, академика В. А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 2009. 74-75.

4. Вуколова Т.М. О свойствах функций, представимых тригонометрическими рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 61-63.

5. Вуколова Т.М. О свойствах сумм рядов по косинусам с кратно-монотонными коэффициентами // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 35. Казань, 2007. 58-60.

6. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 3. 22-32.

7. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

Поступила в редакцию 05.03.2012

УДК 517.518.43

ОБОБЩЕННОЕ СВОЙСТВО ХАКЕ ДЛЯ ИНТЕГРАЛОВ ХЕНСТОКОВСКОГО ТИПА

В. А. Скворцов1, Ф. Тулоне2

Рассматривается интеграл типа Хенстока-Курцвейля относительно абстрактного дифференциального базиса в топологическом пространстве. Показано, что при определенных условиях, наложенных на базис, для этого интеграла сохраняется обобщенное свойство Хаке.

Ключевые слова: интеграл Хенстока-Курцвейля, абстрактный дифференциальный базис, свойство Хаке.

A Henstock-Kurzweil type integral with respect to an abstract derivation basis in a topological space is considered. It is proved that under certain assumption put on the basis, a generalized Hake property holds true for this integral.

Key words: Henstock-Kurzweil integral, abstract derivation basis, Hake property.

Известная в теории интегрирования теорема Хаке (см. [1, гл. VIII, лемма 3.1]) утверждает, что, в отличие от интеграла Лебега, интеграл Перрона на компактном интервале эквивалентен несобственному интегралу Перрона, т.е. интегрируемость по Перрону функции f на отрезке [a, b] эквивалентна ее интегрируемости по Перрону на каждом отрезке [a, c] при a < c < b и существованию предела J^ f. Поскольку интеграл Перрона на отрезке действительной прямой эквивалентен интегралу Хенстока-Курцвейля (см. [2]), то же самое верно и для этого последнего интеграла.

1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vaskvor2000@yahoo.com.

Тулоне Франческо (Tulone Francesco) — PhD, науч. сотр. отделения математики и информатики Университета Палермо, Италия, e-mail: tulone@math.unipa.it.