Об интеграле перроновского типа на компактной нуль-мерной абелевой группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

37

УДК 517.518.43

ОБ ИНТЕГРАЛЕ ПЕРРОНОВСКОГО ТИПА НА КОМПАКТНОЙ НУЛЬ-МЕРНОЙ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЕ

В. А. Скворцов, Ф. Тулоне

В данной работе мы изучаем интегралы перроновского и хенстоковского типов, которые определяются непосредственно на компактной нуль-мерной абелевой группе. Рассматривавшиеся ранее в [1, 2] определения базировались на отображении группы на единичный отрезок действительной оси. Используя понятие вариации, порожденной неопределенным интегралом, мы показываем, что рассматриваемый интеграл перроновского типа, определяемый непрерывными мажорантами и минорантами, эквивалентен интегралу, определяемому так же, но без предположения о непрерывности мажорант и минорант.

Рассмотрим компактную нуль-мерную абелеву группу С. Известно (см. [3]), что топология в такой группе задается цепочкой подгрупп С = Со Э С\ Э ... Э Сп Э ... , причем {0} = П +=0 Сп. В этой топологии подгруппы Сп являются замкнутыми и одновременно открытыми множествами. Поскольку С компактна, то факторгруппы С/Сп и Сп/Сп+1 конечны при каждом п. Подгруппы Сп (а также все их смежные классы) также компактны. Условимся, что Кп обозначает произвольный смежный класс группы С по подгруппе Сп, а Кп(д) — тот смежный класс по Сп, которому принадлежит элемент д, т.е. Кп(д) = д + Сп. Для каждого д € С последовательность {Кп(д)} убывает и {д} = Р|пКп(д).

Пусть | ■ | обозначает нормированную меру Хаара в С, так что |С| = 1. В нашем случае ее можно построить обычным методом Лебега, отправляясь от меры, определенной на полукольце, образованном всеми множествами Кп.

Перейдем теперь к рассмотрению обобщенных интегралов на группе С. Сначала напомним конструкцию дифференциального базиса, рассмотренную в [4]. С целью построения такого базиса на С определим для каждой функции V : С ^ N базисное множество

^ = {(I,д) : д € С, I = Кп(д), п > V(д)}.

Тогда нашим базисом В является семейство {в^ , где параметр V пробегает множество всех функций на С, принимающих натуральные значения. Пользуясь терминологией теории дифференциальных базисов, будем каждое множество Кп, п € N именовать В-интервалом, ранга п. Обозначим через I множество всех В-интервалов. Так определенный базис обладает всеми общими свойствами дифференциальных базисов (см. [5, 6]).

Для Е С С и в^ € В положим

в^(Е) := {(1,д) € в^ : I С Е} и в^[Е] := {(1,д) € в^ : д € Е}.

Определение 1. Назовем в^-разбиением любой конечный набор п элементов из в^ при условии, что для двух различных элементов (1',д') и (1'',д'') из п В-интервалы I' и I'' не пересекаются. Если для некоторого В-интервала Ь имеет место соотношение У (/д)еп I = Ь, то п назовем в^-разбиением интервала Ь.

Для каждого В-интервала Ь и для каждого в^ € В существует в^-разбиение интервала Ь. Это легко следует из компактности каждого В-интервала и того факта, что либо любые два В-интервала не пересекаются, либо один из них лежит в другом. Заметим, что в случае нашего базиса В каждое в^-разбиение содержит только одну пару (I, д) для фиксированной точки д € С.

Все функции множества и функции точки, рассматриваемые ниже, предполагаются действительнозначными.

Верхняя и нижняя В-производные функции В-интервала ^ в точке д € С определяются равенствами

адХд) ОвР(д) := ПтЫ

\Кп(д)\ —в п-оо \Кп(д)\

а В-производная в д — равенством

0вР(д) := Ит тай.

° п^ж |Кп(д)|

38

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

Ясно, что Рв-интеграл является более общим, чем Р»-интеграл. Наша цель — установить, что эти

Скажем, что функция B-интервала F является B-непрерывной в точке g, если lim F(Kn(g)) = 0.

Определим теперь интеграл перроновского типа относительно базиса B.

Определение 2. Пусть f — функция точки, определенная на G. Функция B-интервала M (соответственно m) называется B-мажорантой (соответственно B-минорантой) функции f на G, если она супераддитивна (субаддитивна) и удовлетворяет неравенству D_ßM(g) > f(g) (Dßm(g) < /(g)) ПРИ всех g € G. Функция f Pb-интегрируема, если —то < infм{M(G)} = supm{m(G)} < где "inf" берется по множеству всех B-мажорант M, а "sup"— по множеству всех B-минорант m функции f. Полученное общее значение граней обозначается (Pb) fG f и называется Pb-интегралом функции f по G.

Таким же образом мы можем определить Pb-интеграл на любом B-интервале. Если в этом определении мы дополнительно потребуем, чтобы все B-мажоранты и B-миноранты были B-непрерывными, мы получим определение Р0-интеграла.

более общим, чем Р в-интегралы эквивалентны.

Поскольку из интегрируемости f на G следует ее интегрируемость на каждом B-интервале I, мы можем рассматривать неопределенные интегралы F(I) = (Pb) fj f и F(I) = (Р^) jj f. Легко проверить, что неопределенный интеграл F является аддитивной B-непрерывной функцией на I.

Нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1. Пусть E С G — фиксированное множество меры нуль. Тогда для любого е > 0 существует такая аддитивная неотрицательная B-непрерывная функция B-интервала F, что F(G) < е и DBF(g) = +оо для всех g € Е.

Доказательство. Построение искомой функции легко осуществить, приспособив к нашему случаю основные идеи доказательства аналогичного утверждения для функций на отрезке действительной прямой (см. [7, гл. VIII, § 2]). □

Используя эту лемму, мы получим стандартным способом (см. в [7] доказательство для обычного интеграла Перрона на отрезке прямой), что функция, равная нулю почти всюду на G, является Р^-интегрируемой (а значит, и Рв-интегрируемой) и значение интеграла равно нулю. Отсюда следует

Лемма 2. Если f является Рв-интегрируемой (соответственно Р0-интегрируемой) на G и f (g) = h(g) почти всюду на G, то h также Рв-интегрируема (Р0-интегрируема) и .значения интегралов совпадают.

Эта лемма оправдывает следующее обобщение определения 2 на класс функций, определенных только почти всюду на G.

Определение 3. Функция точки f, определенная почти всюду на G, является Рв-интегрируемой (соответственно Р^-интегрируемой) на G и ее интеграл равен A, если функция

f (о) = i f (g)' где f определена;

0, где f не определена,

Рв-интегрируема (соответственно Р^-интегрируема) на G в смысле определения (2), причем значение интеграла равно A.

Рассмотрим теперь интеграл хенстоковского типа, введенный в [4].

Определение 4. Функция точки f, определенная на B-интервале L, Нв-интегрируема на L и значение Нв-интеграла равно A, если для любого е > 0 найдется такая функция v • L м N, что для каждого ßv-разбиения п интервала L выполнено неравенство

Е f(g)iii — a

(j,g)en

< е.

Значение интеграла А обозначим (Нв) /.

Применяя общую схему из [6], легко проверить, что Нв-интеграл эквивалентен Рв-интегралу. Отсюда, в частности, следует, что лемма 2 справедлива для Нв-интеграла, и поэтому определение 4 может быть распространено на класс функций, определенных только почти всюду, как это было сделано выше в случае перроновских интегралов (см. определение 3). Пользуясь указанной эквивалентностью, получаем также, что неопределенный интеграл F(I) = (Нв) ^ / является аддитивной В-непрерывной функцией на I.

Существенная часть теории интегралов хенстоковского типа базируется на так называемой лемме Сакса-Хенстока (см., например, [6, теорема 1.6.1]). В применении к нашему случаю эта лемма формулируется следующим образом.

Лемма 3. Если функция / Нв-интегрируема на В-интервале Ь, Е —ее неопределенный Нв-интеграл, то для любого е > 0 найдется такая функция V : Ь — М, что для каждого Д- (Ь) -разбиения п интервала Ь выполнено неравенство

Е I/(^1- Е(1)1 <е.

Следующая теорема справедлива для Нв-интеграла (см. [4]), а значит, и для Рв-интеграла. Теорема 1. Если функция / Нв-интегрируема на Ь € I, то неопределенный Нв-интеграл Е(I) = (Нв) Л / как аддитивная функция В-интервала В-дифференцируем почти всюду на Ь и ДвЕ(д) = /(д) п.в. на Ь.

Рассмотрим теперь аддитивную функцию Е, определенную на I. Пусть Е — фиксированное множество в С, а А — некоторый В-интервал. Для фиксированного ^ € В определим величину

К (А) = V(Е,Е,& ,А):=8пр I Е |Е(1)1 : п С вv [Е] П & (А), (1)

которую назовем ^-вариацией функции Е на Е П А. Если Е П А = 0, то положим V,(А) = 0.

При фиксированном Е функция V,(А) является неотрицательной супераддитивной функцией интервала. Мы докажем, что она В-непрерывна. Аналогичный результат для некоторых базисов на прямой и в Мга был получен в [8-10].

Теорема 2. Пусть Е — В-непрерывная аддитивная функция, определенная на I. Тогда при фиксированном множестве Е С С и фиксированной функции V : С — N функция В-интервала Vv (А) = V(Е, Е, ^, А) является В-непрерывной в каждой точке д € С.

Доказательство. Зафиксируем до € С и е > 0. Нам нужно найти такое число то € М, что Vv(Кт(до)) < е при всех т > то. Поскольку Е В-непрерывна, найдется число т1, такое, что при всех т > т,\ выполняется неравенство \Е(Кт(до)\ < |. Далее в доказательстве примем обозначение Кт1 (до) = К. Рассмотрим такое разбиение п = {(1, д)} С ^[Е П К] П ^(К), что

Е т)\ >уи(к)-£~. (2)

п

Теперь мы можем выбрать то. В случае, если до € I при некотором интервале I = Кг(до), участвующем в разбиении п, положим то = г. Ясно, что то > ть Поэтому

е

П^Ы) < 2- (3)

Если же до € К \ (ипI), то возьмем число то равным минимальному числу при котором до € К5(до) С К \ (ипI). Положим п1 = п в последнем случае, а в первом случае п1 получим, выбрасывая из п пару (Кг(до),д) . В обоих случаях, принимая во внимание (2) и (3), получаем неравенство

Е > Е -1 > (4)

П 1 п

Рассмотрим теперь Кт(до) при т > то. Если мы допустим, что V-(Кт(до)) > е, то это повлечет за собой существование такого разбиения п2 С ^[Е П Кт(до)] П ^(Кт(до)), что

^\Р{1)\>Уи{Кт{до))-\>Ц. (5)

П2

Заметим, что п1 и п2 С ^ [Е П К] П ^(К). Тогда на основе (4) и (5) приходим к противоречивому неравенству

ъ(к) > е \рм\ + Е \рю\ > -\ -1 + Ц = улк),

п1 п2

что и завершает доказательство теоремы. □

Теорема 3. Функция / Рв-интегрируема на С тогда и только тогда, когда она Р0-интегрируема. При этом значения интегралов совпадают.

Доказательство. В доказательстве нуждается только тот факт, что из Рв-интегрируемости функции / следует ее Р^-интегрируемость. Итак, пусть / Рв-интегрируема и Е(А) = (Рв) /А / — ее неопределенный Рв-интеграл. Тогда, как уже отмечалось, Е является В-непрерывной аддитивной функцией на I. Пусть Е = С \ С, где С = {д € С : ДвЕ(д) = /(д)}. По теореме 1 |Е| = 0. В соответствии с леммой 2 мы можем предположить, что /(д) = 0 для всех д € Е. Таким образом,

/ (д) = / ДвЕ (д)'если д€ С;

У (д) \ 0, если д € Е.

Зафиксируем е > 0 и на основании леммы 3 найдем такую функцию V, что для любого в^ [Е]-разбиения п выполняется неравенство

Е I/(д)171- р(7)1 <е.

(I , й)€п

Поскольку /(д) = 0 при д € Е, то из этого неравенства и определения (1) следует, что

V(Е,Е,& ,С) <е. (6)

По теореме 2 функция В-интервала Vv(А) = V(Е, Е, в^, А) является В-непрерывной в каждой точке д € С. Положим

М(А) = Е(А) + V/(А) и т(А) = Е(А) - Vv(А)

для каждого В-интервала А С С. Покажем, что функции М и т являются В-непрерывными мажорантой и минорантой функции /. Для этого сначала заметим, что они В-непрерывны, поскольку таковыми являются функции Е и Vv. Из супераддитивности V, и аддитивности Е следует супераддитивность М (А) и субаддитивность т(А). Кроме того, 0_^М{д) > Де_Р(д) = /(д) при д € С. Поскольку Уи(А) > |_Р(А)|, то М(А) > 0. Тогда для любых п и д € Е выполняется неравенство

М(К»(д))

\Кп{д)\

Отсюда следует, что ]2вМ(д) > /(д) при д € Е. Таким образом, неравенство ]2вМ(д) > /(д) выполняется при всех д € С, и, значит, функция М является В-непрерывной мажорантой функции /. Аналогично проверяется, что т является В-непрерывной минорантой функции /. В силу (6) справедливы неравенства М(С) — Е(С) < е и Е(С) — т(С) < е. Посколько е произвольно, отсюда вытекает, что Е(С) является Р^-интегралом функции / по С. □

Для доказательства следующей теоремы потребуется ряд вспомогательных утверждений. Лемма 4. Пусть функция В-интервала ф супераддитивна и для некоторого В-интервала Кп при некотором действительном а выполнено неравенство ф(Кп) < а|Кп|. Тогда найдется по крайней мере один В-интервал Кп+1 С Кп, такой, что ф(Кп+1) < а|Кп+1|.

Доказательство. Пусть Кп = и*=1Кгп+1. Предполагая, что ф(Кгп+1) > а|К™+1| при всех % = 1,..., г, и учитывая супераддитивность ф, приходим к неравенству

г г

ф(Кп) ^ ф(КП+1) > а£ |КП+1| = а|Кп|,

г=1 г=1

которое противоречит условию. □

Лемма 5. Пусть ф — супераддитивная функция В-интервала. Если Овф(д) > 0 всюду на С, кроме точек счетного множества Е, где ф В-непрерывна, то ф(К) > 0 для каждого В-интервала К. Сначала в условиях леммы 2 мы докажем

"Утверждение 1. Если а = < 0 для некоторого В-интервала Кп, то найдут,ся по крайней

мере два таких В-интервала К^ и К^, что

|КГ | 1 7

при всех Кг, удовлетворяющих условию К^ С Кг С Кп или К^ С Кг С Кп, где п < г < т.

Доказательство. Предположим противное. Пусть Kn = Ut= 1 и пусть 1 является единственным B-интервалом ранга n, для которого в соответствии с леммой 4 выполняется неравенство 1) < 1|, в то время как для остальных B-интервалов Kn+ 1, j = 2, выполнено проти-

воположное неравенство ф(Кп+1) > a|Kn+ 11. Тогда с учетом супераддитивности ф получаем

t t t ф(КП+1) < ф(Кn) — ^ ф( j1) < a|Kn| - |Kjn+1| = a(|Kn| — ^ j1|) = a|K?+1|, j=2 j=2 j=2

откуда b = ф(КП+1) — a|K^+1| < 0. На следующем шаге аналогичным образом выделяем B-интервал K«+2 с КП+1, для которого

p p

ф(К^+2) — a|K n+2| < ф(К^+1) — £ ф(Кп+2) — a|K^+11 + aj] |Kn+2| < b.

j=2 j=2

Продолжая построение по индукции, построим убывающую последовательность вложенных B-интервалов {Kn+s}^= 1, сходящуюся к точке g и такую, что (7) выполняется для всех r = n + s > n ив то же время выполняется соотношение

ф(К^+5) — a|K n+s| < b < 0. (8)

Тогда DB(f)(g) < а < 0 и, значит, д G Е. С другой стороны, неравенство (8) очевидно противоречит B-непрерывности функции ф в точках множества E. □

Доказательство леммы 2. Предположим, что существует такой B-интервал Kn, для которого ^д-п^ = a < 0. Тогда последовательно применяя предыдущее утверждение, мы получим контиинум различных убывающих последовательностей £>-интервалов, сходящихся к точкам д, которые образуют континуальное множество и в которых Ивф(д) < а < 0, что противоречит счетности множества Е. □ В заключение докажем теорему о восстановлении первообразной.

Теорема 4. Пусть аддитивная функция В-интервала F и Рв-интегрируемая функция / удовлетворяют неравенству D.bF{q) ^ /О?) ^ DBF(g) всюду на G, кроме точек счетного множества Е, где F B-непрерывна. Тогда F является неопределенным Рв-интегралом функции f.

Доказательство. В силу Рв-интегрируемости f на G для произвольного е > 0 найдутся B-мажоранта M£ и B-миноранта ш£, такие, что Me(G) — me(G) < е. Пусть Ф(К) = (Рв) JK f — неопределенный Рв-интеграл функции f. Тогда для любого B-интервала K справедливы неравенства M£(K) < Ф(К) + е и Ф (К)-е^те(К). _

В соответствии с определением Рв-интеграла выполняется соотношение DBme(g) < f(g) < ИвМе(д)-Отсюда и из условия теоремы получаем

DB(Me(g) - F(g)) > DB{Me{g)) ~ DB{F{g)) > 0,

если g € G \ E. Тогда по лемме 5 имеем M£(K) — F(K) > 0 для любого B-интервала K.

Аналогично доказывается, что m£(K) — F(K) < 0 для любого B-интервала K. В результате получаем

Ф^) — е < m£(K) < F(K) < M£(K) < Ф(K) + е.

В силу произвольности е отсюда следует, что Ф^) = F(K) для любого B-интервала K, что и завершает доказательство теоремы. □

Некоторые применения полученных здесь результатов в гармоническом анализе на компактных нульмерных абелевых группах будут рассмотрены в последующих публикациях.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 08-01-00669 и гранта Института математики Быдгощского университета (University of Bydgoszcz, Poland).

список литературы

1. Skvortsov V.A., Tulone F. Henstock type integral in harmonic analysis on zero-dimensional groups //J. Math. Anal. Appl. 2006. 322. 621-628.

2. Скворцов В.А., Тулоне Ф. P-ичный интеграл Хенстока в теории рядов по системам характеров нуль-мерных групп // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 25-29.

3. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.

4. Skvortsov V.A. Kurzweil-Henstock integral in harmonic analysis // Sci. Math. Jap. 2008. 67. 71-82.

5. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.

6. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63 (353).

7. Натансон И.П. Теория функций вещественой переменной. СПб.: Лань, 1999.

8. Skvortsov V.A. Continuity of ¿-variation and construction of continuous major and minor functions for the Perron integral // Real Anal. Exchange. 1995/96. 21. 270-277.

9. Navarro M.P., Skvortsov V.A. On N-dimensional Perron integral // South East Asiatic Bull. Math. 1996. 20, N 2. 111-116.

10. Bongiorno B., Di Piazza L., Skvortsov V. On continuous major and minor functions for the n-dimensional Perron integral // Real Anal. Exchange 1996/97. 22. 318-327.

Поступила в редакцию 09.01.2008