Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

В заключение заметим еще, что похожая по формулировке на рассмотренную здесь задачу проблема представления натурального числа в виде суммы минимального количества степеней натуральных чисел и ее варианты являются классическими в теории чисел (проблема Варинга).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 11-01-00508, 11-01-00792а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гашков С.Б. Об одном методе получения нижних оценок сложности монотонных вычислений многочленов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1987. № 5. 7-13.

2. Гашков С.Б. О сложности вычисления некоторых классов многочленов нескольких переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 1. 89-91.

3. Гашков С.Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 2. 88-92.

4. Яблонский С.В. Реализация линейной функции в классе П-схем // Докл. АН СССР. 1954. 94, № 5. 805-806.

5. Храпченко В.М. О сложности реализации линейной функции в классе П-схем // Матем. заметки. 1971. 10, № 1. 83-92.

6. Chen X., Kayal N, Wigderson A. Partial derivatives in arithmetic complexity // Foundations and Trends in ТЬеогейса1 Computer Science. 2010. 6, N 1, 2.

7. Kayal N. An exponential lower bound for the sum of powers of bounded degree polynomials // Electronic Colloquium on Computational Complexity. 2012. Report 81.

8. Fisher I. Sums of like powers of multivariant linear forms // Math. Mag. 1994. 67, N 1. 59-61.

9. Sonnenschein H. A representation for polynomials in several variables // Amer. Math. Monthly. 1971. 78, N 1. 45-47.

10. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000.

11. Студенческие олимпиады по алгебре на мехмате МГУ 2006-2011. М.: МЦНМО, 2012.

Поступила в редакцию 01.10.2012

УДК 517.518.126

ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ЧЕЗАРО-ПЕРРОНА. I

А. В. Дергачёв1

Рассматривается ряд эквивалентных определений чезаровской Ck-производной и Ck P-интеграла, обладающих более удобными свойствами, чем классические определения Бер-киля. В частности, устанавливаются дескриптивные характеристики мажорантных и ми-норантных функций Чезаро-Перрона и связь чезаровских верхних и нижних производных с аппроксимативной производной.

Ключевые слова: чезаровские производные, интеграл Чезаро-Перрона, аппроксимативные производные, VBG-функции.

Several equivalent definitions of Cesaro Ck-derivative and CkP-integral are shown to behave better than the original definition by Burkill in certain cases. For instance, a certain descriptive characterisation of Cesaro-Perron major and minor functions is obtained, and relations between Cesaaro upper and lower derivatives and approximate derivatives of a function are established.

Key words: Cesaaro derivatives, Cesaaro-Perron integral, approximate derivatives, VBG functions.

Шкала дифференцирования и интегрирования Чезаро-Перрона была впервые построена в статье Беркиля [1]. В работе [2] с учетом поправок в [3] продемонстрирован ряд замечательных свойств этой

1 Дергачёв Артём Владимирович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artem@dxdy. ru.

шкалы; в частности, получено дескриптивное определение СкР-интеграла — интеграл Чезаро-Данжуа. Однако в [4] показывается, что некоторые свойства, характерные для С1-производной, теряются при переходе к производным и интегралам старших порядков. Настоящая работа состоит из двух частей. В первой части вводится модификация определения СкР-интеграла, сохраняющая упомянутые в [4] свойства, теряющиеся в классической шкале (теоремы 2 и 3). Во второй части доказывается эквивалентность модифицированного определения интеграла Чезаро-Перрона классическому и свойство Марцинкевича — теорема, которую можно считать ослабленной версией теоремы Марцинкевича для СкР-интеграла, на данный момент установленной только при к = 1.

Введем классическую конструкцию Беркиля интеграла Чезаро-Перрона по индукции. СоР-интеграл по определению есть классический интеграл Перрона (см., например, [5]). Если к € N и Ск- 1Р-интеграл уже определен, то вводится обозначение для чезаровского среднего и чезаровского приращения, имеющего порядок усреднения к, функции Р на отрезке [х,х + Л,\:

х+Н

к и +лк- ^ ^ А т?/ , СкР(х; х + И) — Р(х)

CkF(x] х + h) = р j (x + h-t)k~lF(t)dt, CkAF(x; x + h) =

h/(k + 1)

где интеграл понимается как Ck-iP-интеграл Беркиля, а функция F предполагается Ck—iP-интегри-руемой. Существование интеграла следует из теоремы об интегрировании по частям в Ck-iP-интеграле, установленной в [1].

Далее, Ck-^-интегрируемую функцию F называют Ck-непрерывной в точке x, если стремится к нулю при h —^ 0 выражение CkF(x',x + h)—F(x) = -^j-CkAF(x',x + h), а в общем случае предел чезаровского среднего CkF(x; x + h) при h ^ 0 называется Ck-пределом функции F в точке x. Обыкновенная, верхняя и нижняя Cfc-производная определяется как обыкновенный, верхний или нижний предел выражения CkAF(x',x + h) при h —> 0 и обозначается символами CkDF(x), CkDF(x) и CkDF(x) соответственно. Также вводятся обозначения для левых и правых производных чисел, например CkD_+F{x) будет обозначать правую нижнюю Ck-производную.

С^-непрерывная функция Ф (или ф) называется С^Р-мажорантой (соответственно минорантой) функции / на [а,Ь], если CkD4i(x) ^ f(x) (соответственно СкРф(х) ^ f{%)) при х G [а,Ь]. Наконец, функция f называется CkP-интегрируемой на [a, b] и число I называется CkP-интегралом функции f на [a, b] и обозначается (CkP) fa f (x) dx, если для любого е > 0 существуют такие CkP-мажоранта Ф и CkP-миноранта ф функции f на [a, b], что I — е < ф(b) — ф(а) ^ Ф(Ь) — Ф(а) < I + е. В случае интегрируемости f функция F(x) = (CkP) /X f (t) dt + C при любом C G R называется неопределенным CkP-интегралом f на [a, b].

Помимо основополагающих теорем статьи [1] мы будем также пользоваться следующим утверждением, доказанным в статье [2].

Лемма 1. Если функция F Ck-iP-интегрируема на (a,b) и к' > к — натуральное число, то

sup \Ck/F(a; x) — F(a)| ^ sup \CkF(a; x) — F(a)\.

a<x<b a<x<b

Если F Ck-iP-интегрируема, то обозначим через Fi неопределенный C^iP-интеграл функции F и затем при j = 2,...,к обозначим через Fj неопределенный Ck-jP-интеграл от F—i. Функция Fk в этом случае будет непрерывной как неопределенный интеграл Перрона. Следующее разложение, легко доказываемое интегрированием по частям, нам также будет полезно.

Лемма 2. Пусть функция F является Ck—iP-интегрируемой на отрезке [x,x + h]. Тогда

Fk(x + h)-j:Fk.3(x)^

CkF(x; x + h)- F{x) = --- • CkAF(x; x + h) =

к + 1 к ' ' ' Кк/к!

Символом УБ1 обозначим просто класс всех функций ограниченной вариации. Будем говорить, что функция р принадлежит классу УБк, если ее классическая (к — 1)-я производная существует всюду,

кроме не более чем счетного множества точек (в которых во всяком случае непрерывна р(к-2)), и имеет ограниченную вариацию. Другими словами, УБк+1 есть класс к-этажных неопределенных интегралов от функций ограниченной вариации.

Дадим теперь определение обобщенной чезаровской производной порядка к с произвольным ядром усреднения. Пусть р £ УБк [0,1]. Тогда для любой Ск-^-интегрируемой в окрестности точки х функции Е определим ее чезаровское среднее с ядром р на отрезке [х,х + Н] следующим образом:

rx+h

CvF{x-x + h) = ± р (ЭД F(t) dt.

x

Этот интеграл заведомо существует по теореме об интегрировании по частям в CkP-интеграле, установленной в [1].

Лемма 3. Пусть р £ VBk [0,1], функция F Ck-непрерывна в окрестности точки x. Тогда при h ^ 0

k-2

CvF(x-x + h)- F{x) = Qi1 p{t) dt - F{x) + E ( (?+i)!(1) ' {Cl+x + h)~ F(x)) + °(1)-

Доказательство. Для удобства обозначим через Ф неопределенный интеграл р. Заметим, что

Г н

С^{х-х + К) = \ / p{|i)F{x + t)dt = {[p{l)Fl{x + h)-p{Ъ)Fl{x)]-Jo

/■И, к 1

1=1

„1 к к-1 )к '1

к l l

l=1 l=1

k i Л \ k k l

E+ EI Jf + = *

l=0 l=0

Здесь самый первый интеграл понимается как Ск^Р-интеграл, второй — как Ск^Р-интеграл, и т.д.; последний интеграл — это интеграл Римана-Стилтьеса. Мы также воспользовались разложением из леммы 2. Под знаком интеграла Римана-Стилтьеса это разложение также корректно, ведь если некая функция т(г) есть о(гк) при г — 0, то, взяв 5 > 0, такое, что \т(г)| < е ■ гк при |г| < 5, при \Н\ < 5 получим

»1

т

(sh) dФ(k) (s)

0

^ max т (sh) •K1Ф(k) <e-hk •V01Ф(k), [од] 0 0

и здесь V01 ф(k) < ж, так как р £ VBk. Теперь заметим, что

^ s' , ^k-l^ , ^ ф("-j)(1)

fc" Уо « аф(к){8) = + Е(-^-(TTjjf

j=0

Подставляя последнее выражение в S, избавимся от интегралов и получим

S = E - Е +h)~ Е +

l=1 l=1 l=0

I слагаемое II слагаемое III слагаемое

± ±(-ГУ - ± Fk_lix)

h l=0 j=0 (l j)- l=0 h

IV слагаемое V слагаемое

Ясно, что I и V слагаемые почти полностью взаимно уничтожаются, и остается лишь одно слагаемое — $(0)F(x). Кроме того, III слагаемое уничтожает ту часть IV слагаемого, где j = 0. В итоге получаем

S = F(x) +¿^«(1)^+1 (* + />) +

j!

j=i J ) l=0 k—1 l ( ~hk-l

Nr^^(-1)k—j ^>(k—j )(1)

l=1 j=1

Преобразуем последнюю двойную сумму:

k^A(-i)k-j' . .$>(k—j)(i) — k— (-i)k-jw , $(k—j)(i) l=1 j=1 l=1 j=1

-EE^Ä-B-we Fi(x)

hl '(j -l)! 7 v '^hj(l - j)!' l=1 j=l l=1 j=1

откуда

1 k—2 S = F(x) v(t) dt + ^(-1)l+V(l)(1)

10 l=0

Fl+1(x + h) Fj (x)

ho

hl+1 j==0 hj(l + 1- j)!

+ o(1),

а это как раз то, что требовалось. Лемма доказана.

Назовем функцию ф : [0,1] — М ядром усреднения порядка к, если ф £ УВд.[0,1] и выполнены следующие условия:

/ ф(в) йв = 1, а = вф(в) ds = 1 — / ф(в) йвйЬ = 0, Уо Уо ]о Уо

ф(1)= ф'(1) = ... = ф(к-2 (1) = 0.

В этом случае для всякой Ск-^-интегрируемой функции F, определенной на отрезке [х,х + Н], величина

л дп, . ,ч CVF (x; x + h) - F (x)

ClfAF(x; x + h) = —---

ah

называется чезаровским приращением с ядром ф функции F на [x,x + h] и определяются величины

CipD+F(x)= Ит CvAF(x-,x + h), C4>D_F{x) = lim C4>AF{x] x + h), h^ 0+ h-> 0-

C(pD+F(x) = lim CvAF(x-,x + h), C!p'D-F{x) = Tim C4>AF{x] x + h), h^0+ h^0—

CvDF(x) = lim C4>AF{x] x + h), CvDF(x) = Tim C4>AF{x] x + h), h^o

CvD+ F(x) = lim CVAF(x; x + h), C^D—F(x) = lim CVAF(x; x + h), h^0+ h^0—

CVDF(x) = lim CVAF(x; x + h), h^0

называющиеся производными числами с ядром ф функции F в точке x.

Если ф(в) ^ 0 при s Е [0,1], то назовем ядро ф неотрицательным; в этом случае заведомо a > 0. Если ф(в) = ф(1 - s), то ф будет называться симметричным ядром; в этом случае, очевидно, нормировочная константа a всегда будет равна 1/2.

Несложно видеть, что CkF(x; x + h) = CVkF(x; x + h), где фk(t) = k(1 - t)k—1; таким образом, определение классической чезаровской производной является частным случаем данного определения. При этом Ck-производная является неотрицательной, но при k > 1 — несимметричной.

Лемма 4. Если ф есть ядро усреднения порядка k, а F Ck—1P-интегрируема на [x,x + H] для некоторого H > 0, то выражение CvF(x; x + h) непрерывно как функция h Е (0,H].

Доказательство. Как мы видели при доказательстве предыдущей леммы,

к 1 X + К) = V ЦР [^-1) (1Шх + н)_ + / Е„(Ж + 8к) фр^ (в),

1=1

причем, поскольку р есть ядро усреднения порядка к, в первой сумме лишь одно слагаемое, а именно соответствующее I = к, включает в себя Е(х + Н). Но при I = к это слагаемое непрерывно, потому что непрерывна функция Ек. Покажем, что интеграл Стилтьеса также непрерывен. Возьмем любое е > 0 и, пользуясь равномерной непрерывностью Ек на [х,х + Н], найдем такое 5 > 0, что \Ек(х + Н\) — Ек(х + Н2)\ < ! при |Л,1 — Л-21 < 5, где символом Уп обозначена полная вариация на отрезке [0,1]. Тогда при

\Н1 — Н2\ <5 имеем \вН1 — вН2\ < 5 для в £ [0,1], и, следовательно,

0 (Рк(x + shi) - Fk(x + sh2]) dp(k-1) (s)

<

У01р(к-1)

• у1р(к-1) = е.

Лемма доказана.

Покажем, что любое неотрицательное ядро усреднения порождает определение Ск-производной во всяком случае более общее, чем классическая производная. Классическую нижнюю производную функции Е в точке х обозначим символом Е'(ж).

Теорема 1. Если р — любое неотрицательное ядро усреднения любого порядка и функция Е непрерывна в окрестности точки х, то С,р]ЭР(х) ^ Е'(ж).

Доказательство. Без ограничения общности мы можем считать, что х = 0 и Е(х) = 0. Пусть а = /0 вр(в) йв > 0 — нормировочная константа для р и числа Нп > 0 таковы, что

lim CvAF(0; hn) = lim

n ^^ n ^^ ahn Jq \hn

Возьмем такие положительные ön, что

max{1, max\F(t)\} rSn ^ ( t

p[^-]F{t)dt = C^DF{ 0).

(тогда, в частности, выражение

J

ahn def 1

h

-p

-p

ahn Jsn hn \ hn

dt < -n / n

dt

таково, что |Зп — 1| < -И, и по теореме о среднем выберем такие точки £га £ что

ahl Ln ^ (О dt cthn Js

t

hn J hfi t

t F(t) Л = Щ

Тогда получаем

CvDF{ti) = lim

n0

p[±\F(t)dt+ 1

ahn Js„

t

F (£n)

Jn

откуда окончательно будем иметь CVD_F(0) = lim ^ ' ^ E'(0). Теорема доказана.

n^oo

Установим несколько теорем, показывающих преимущества симметричных ядер усреднения перед несимметричными. Их доказательство основывается на том, что если функция р симметрична, то CpF(x; y) совпадает с C^F(y; x), и, следовательно,

a

(y - x) (CVAF(x; y) + CVAF(y; x)) = F(y) - F(x).

(1)

Будем говорить, что функция Е принадлежит классу [VBG] на отрезке [а,Ь], если [а,Ь] можно представить в виде объединения не более чем счетного количества замкнутых множеств, на каждом из которых Е имеет ограниченную вариацию. Очевидно, что [VBG] — подкласс класса VBG (см. [5]) и что если непрерывная функция принадлежит VBG, то она принадлежит и [VBG].

е

h

1

n

О

hn

t

t

n

5

h

1

n

n

Теорема 2. Пусть р есть симметричное ядро усреднения порядка к и C,pDF(x) > —оо на (а,Ь). Тогда F £ VBG[a, b]. Если функция F к тому же Ck-непрерывна на отрезке [a,b], то F £ [VBG][a, b]. Доказательство. Рассмотрим множества

Еп = {хе(а,Ъ) : \h\ < I ж + h £ (a, Ъ) CvAF(x; х + h) > -п} , Eln = En П Ш] .

Перенумеруем их: {Н0}^ = [Е1п}п,1- Пусть Н^ — замыкание множества Н0. Обозначим Еп(х) = F(х) + пх. Пусть сначала х',х" £ Е1п, х' < х". Тогда С^ДЕп(х'; х") > 0 и Сч>ДЕп(х"; х') > 0, откуда по формуле (1) получаем

Еп(х'') - Еп(х') = а(х'' - х')(С^ДЕп(х'; х'') + С^ДЕп(х''; х')) > 0.

Таким образом, Еп не убывает на Е^, откуда имеем Е £ УБ(Еп), что доказывает первую часть утверждения. Далее, пусть хт £ Е1, хт-► <...<£. Тогда СрРп(£-,хт) = СрРп(хт-,£) ^

Fn(xm), откуда при помощи леммы 3 в пределе при т ^ <х получаем Fn(£) ^ lim Fn(xm). Если £ —

предельная точка справа, то все аналогично. Таким образом, Fn не убывает на Hi, откуда F £ VB(Hi). Теорема доказана.

Следующее утверждение, которое нам понадобится при доказательстве свойства Марцинкевича, связывает C^-производную с аппроксимативной производной (понятие аппроксимативной производной см. в [5]). Мы опустим доказательство этого утверждения, поскольку оно практически дословно повторяет доказательство теоремы 2 из [4].

Теорема 3. Если р — симметричное ядро усреднения порядка к, а Ck-iP-интегрируемая функция F имеет конечную аппроксимативную производную F'ap для всех x из некоторого множества E, то почти всюду на Е имеем C^DFix) ^ F'aр(ж).

Перейдем теперь к рассмотрению более конкретной конструкции, включающей как классические Ck -производные, так и некоторые производные любого порядка с симметричным ядром усреднения. Пусть к,т £ N и функция F C^iP-интегрируема. При t £ [0,1] обозначим

lnmm tm~l(l — t)k~l

*к (t) = В{т,к) '

где В(т,к) = ^m+k-i)^' есть бета-функция Эйлера, играющая роль нормировочной константы. Тогда ilp^{t)dt = 1 и о% = i\-p^{t)dt= +

Jo kJo В(к,т) к + т

Для простоты обозначим C^m F, С^а AF, C^m DF и т.д. через C^^F, CmAF, CmDF и т.д. соответственно. При т = 1 получается обыкновенная Ck-производная, при т = к — некоторая новая производная с симметричным ядром усреднения.

Лемма 5. Справедливы равенства

(т + к) • CkmF(a; b) = т • Ckm+lF(a; b) + к • Ckm+1F(a; b), (2)

(m + к + 1) • Cm^F(x; x + h) = (т + 1) • Cm+1AF(x; x + h) + к • C^AF(x; x + h). (3)

Доказательство. Соотношение (2) сразу следует из того, что

m+1,

tm-1(1 - t)k-1 B(m,k) m, . B(m,k + 1)

»r-w = (1 ■- (1 ■-«» B(m+M) = B^tm^ ~ Wtrm^

и В(т+1 к) = "то' в(т+1 к) = т" Теперь, вычитая из обеих сторон (2) величину (т + к)Р(а), заменяя а на 1и5наж + /ги замечая, что С™Е(ж; х + К) — Е(ж) = ■ С™АЕ(ж; ж + К) и т.д., немедленно получаем

соотношение (3). Лемма доказана.

Лемма 6. Справедливы равенства

1 т-1 (—1)3 (т-1\

с^ « = В5М) § ь)• (4)

m + k m-1 (—1)j(m-1) C?AF^X + ft) = g + + 4. (6)

Доказательство. Воспользовавшись формулой tl = (1 — (1 — t))1 = ^ j) ( — l)j (1 — t)j,

j=0 j

m— 1 / 4 m— W fm-l\

'm — Л,, i+j m-i (—1)j{j)

т—1 (_

в(т,к)<рт = Е (-1У (т: )(1 = Е }<ри#).

Затем (5) получается из (4) так же, как (3) из (2). Лемма доказана.

Введем также следующие обозначения: Fa,k — это к-кратная первообразная от F, т.е. Fa,о(t) = F(í), Fa,k+l(t) = /„ Fa,k(в) йв, а также обозначим Fa'm(x) = (х — а)т-1 F(х). Если предполагается, что а = 0, то мы будем опускать упоминание о точке а и писать просто Fk и Fт. Лемма 7. Справедливы равенства

с^ъ) = 1П^с1ра'тЛ ¿Р, (6)

kB(m,k) (b — a)m-1 ' + 1

CTя + Л) = ^TV • ^-,mV_; (7)

Доказательство. Заметим, что

1

(b - ä)k+m~l Ja " vv "" ~ - a)

1 [0 1 B{m, k)C?F{a-, b) = _ a)fc+m-1 j (b - dt = щ _ ^ • 6).

Формула (7) следует из формулы (6) с учетом соотношения В(т,к)^q^ = • Лемма доказана.

Вспомним также, что, согласно лемме 2, при любом выборе точки a имеют место равенства

fc-i

Fa,k{x + h) - £ Faik-j(x)% ClF(x-,x + h) =-^-, (8)

Fa,k{x + h)~ £ Fa>k4(x)%

ClAF(X] x + h) =-fefc+i/(Jr+l)l-• (9)

Введем следующие обозначения:

OmF(a;b) = sup \CmF(a;ж) — F(a)| и OmF(a;b) = sup jCfc^F(b;ж) — F(b)|.

a<x<0 a<x<0

Ясно, что Ö™F(a; b) = O^F(a; b), где F{x) = F - x). Лемма 8. Имеет место неравенство

OmF (a; b) ^ O£+iF (a; b). (10)

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что a = 0 и F(a) = 0. Тогда по формулам (6) и (8) получим

1 (■Fm)k(x)

В(т,к) ' хк+т~1/{к - 1)!'

CTF(0;х) - F(0) = • ^Li (И)

Обозначим M = sup

0<x<0

f (Fm)k(x)

. Поскольку случай M = тривиален, будем считать, что M <

к + т-1

+оо. Тогда получим оценку \(Fm)k(x)\ ^ , и, следовательно,

rx /"x tfc+m-1 rgk+m

rx rx tfc+m-1

(Fm)k+i(x) / / M——-di = M

7o Jo (k — 1)!

(k — 1)! (k + m)(k — 1)!:

откуда

= вйАтг> ' '^SjJT « № + mW* + l,m) = „£Pj<W>:*)|.

Лемма доказана.

Лемма 9. Имеет место неравенство

Crü+F(x)^Cr+lD+F(x). (12)

Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что x = 0 и F(x) = 0. Тогда по формулам (7) и (9)

Cm±F(n-h) (k + m\(Fm)k(h) CkAF(0,h)-^ к

( Fm ) ( h)

Обозначим М = lim ■ Случай М = — оо тривиален. Если же М > — оо, то возьмем любое число

h->+о ' '

М' < М и найдем такое ö > 0, что при t G (0,5) значение (Fm)k(t) больше Мп . Тогда при h G (0,5) получаем

rh fh tk+m hk+m+1

rh rh tk+m

(.Fm)k+l{h) = J {Fm)k{t)dt> J l—M>dt =

/о к! (к + т + 1)к!

и отсюда

M'

Гт д. ргп- М - ^ № > к + 1 (к+ т + 1\ , _гтп рм (к + т\(м

что завершает доказательство, поскольку разность М — М' сколь угодно мала. Нам потребуется еще одно вспомогательное утверждение.

Лемма 10. Пусть к £ М, функции /(х) и д(х) непрерывны при х ^ 0, /(х) = о(хк-1), д(х) = 0(хк+1) при х — 0+ и имеет место равенство

ГХ

д(х) = х/(х) — к / /(г) сИ. (13)

■)о

Определим функцию

(14)

где слагаемое при г = 0 полагается 'равным д(хо)/хо- Тогда /(х) = /(х) при х > 0.

Доказательство. Прежде всего заметим, что для каждой непрерывной функции д существует лишь одна непрерывная функция /, такая, что /(х) = о(хк-1) и имеет место формула (13). Действительно, если бы функции /1 и /2 удовлетворяли условию, то функция

h(x) = JХ[f1(t) - /2(t)) dt

удовлетворяла бы уравнению хЬ!(х) = кЬ(х) и, следовательно, имела бы вид Схк, но, так как /1 и /2 суть о(хк-1), остается лишь заключить, что /1 = /2.

Далее, видно, что функция /, определяемая формулой (14), есть о(хк-1), ведь д(х) = о(хк). Покажем, что она удовлетворяет формуле (13). Действительно, подставляя / в качестве / в (13), имеем

-д{х о) +ж0 Е п к' л, [ ... [ йх1...йх1-к'^Г к' ... [ [ ... [ dxi+1 ...йх2 dx 1 =

^ (к — г)! ,)о .)о х\+х ¿=0 (к — г)! ,)о .)о .)о х+

— к! ( [Х0 [ х<, .. , п д(х,+1) , , \ ,,, [Х0 [Хк д(хк+1) , = / -^Т / ••• / [{к - г)х0 - кхг+г\—... йХ1 - кк\ / ... -йхк...ах1.

(к — г)! \}о Уо х^+2 ) Уо Уо хк+1

Для завершения доказательства леммы достаточно показать, что полученное выражение равно нулю. Докажем более общий факт: при всех натуральных п от 1 до к включительно имеет место равенство

Г Ги, л , 1^+1), , \ к\ Г" д{хп+1) л } ---г / ... / [(к - г)х0 - кХг+1\—7ТГ- (1x^1... (1x1 = п--- \ ... —-¡-¡— (1хп ... йхъ

¿0 (к — Уо Уо х^+1 ) (к — п)! 7о Уо х^1

При п = 1 это утверждение легко проверяется интегрированием по частям:

СХо д(х1) СХо СХ1 д(х2)

/ [кхо — кх\]—— (1х\ = к / / ——йх2<1х1. Уо х1 У о Уо х2

Пусть утверждение верно для п = т, докажем его для п = т + 1. Имеем

т к! ( ГХ0 Гх\п .. , п д(хг+1 К л \

^ _ I у ■■■ J [{к- г)хо - кхг+г\ ахг+1... аа?! I =

kl [Х0 [Хт / .г,, . , I^m+l) , , ,

-гт / ... m——п--h (к - т)ж0 - ——г,— • • • dxi =

(к- т)! Ус Л V xm+l xZXi !

- kl Г Гт \т - г 1 gfr"*-1) Иг rlr

-(к-(т + 1))!Уо'"Уо L° m+lJ Cî?

Представляя x0 — xm+1 в виде (x0 — x1) + (xi — x2) + ••• + (xm — xm+i) и снова интегрируя по частям, получаем требуемое утверждение.

Теорема 4. Если функция F является Ck-непрерывной на отрезке [a,b], то имеют м,ест,о оценки

OmF (a; b) < Om+1F (a; b), (15)

C?D+F(x) > C™+lD+F{x). (16)

Доказательство. В случае, когда левые и правые части неравенств конечны, эта теорема является простой комбинацией лемм 5, 8 и 9:

(2) (10) \C^F{a-x)-F{a)\ < F (a; x) - F(a)\ + x) - F(a)\ <

(10)

< Ä SUP \Cr+1Ha;x)-F(a)\ + 1^ sup \C?F(a-,x) - F(a)\,

a<x<b a<x<b

(3) (12)

(12)

> те^сГ1^®; x + h) + ^ï—CTD+Fix-, x + h).

Заметим, что обе части (15) всегда конечны. Осталось доказать, что если левая часть (16) равна —то, то и правая также равна —то. Мы можем снова без ограничения общности предположить, что a = 0 и F (a) = 0. Более того, достаточно рассмотреть случай m = 0, ведь всегда можно перейти от функции F(t) к функции tm-1F(t). Обозначим G(t) = tF(t). Пользуясь леммой 2 и определением соответствующих выражений, запишем требуемое утверждение следующим образом: если Gk(x)/xk+2 ^ M < +то при 0 < x < b, то Fk(x)/xk+1 ^ K < +то.

Функции Fk и Gk удовлетворяют условиям леммы 10. Действительно, они непрерывны в силу Ck -непрерывности F. Далее, Fk (x) = o(xk-1) по лемме 2, а функция Gk (x)/xk+1 ограничена в силу конечности Ofcm+1F(a; b). Наконец, равенство (13) для f = Fk и g = Gk легко проверяется интегрированием по частям. Следовательно,

k Tt I С xo с Xi i

Fk{x о) < V ——- / / Mxk-[l~l) dxi... dx 1 = Kxk+\ i=0(k — i)! Jo Ус

что и требовалось доказать.

Теорема 5. При каждом фиксированном k все Cm-производные (с различными т) эквивалентны друг другу.

Доказательство. Из (16) видно, что если существует С™-производная, то существует и равная ей С к-производная. А, как видно из формулы (5), С™-производная есть линейная комбинация нескольких С\-производных с I ^ к, но если существует Ск-производная, то существуют и все остальные слагаемые этой комбинации, таким образом, из существования Ск-производной выводится существование С™-производной.

Лемма 11. Имеет место двусторонняя оценка

1 т—1 {т-1\

О^Ь) < ОГЕМ) < | ^ Е | 0^(а;6).

Доказательство. Левое неравенство получается (т — 1)-кратным применением формулы (15), а правое мгновенно следует из формул (4) и (10) (последняя нужна лишь при т = 1, когда она общеизвестна).

Установим еще одно технически важное свойство Ст-производных — возможность исправлять значение производной в отдельно взятой точке путем прибавления монотонных функций с небольшим приращением. к-Выпуклой функцией мы будем называть функции, (к — 2)-я производная которых выпукла вниз; 1-выпуклые функции есть просто неубывающие функции, а 2-выпуклые функции есть выпуклые вниз функции в обычном понимании.

Лемма 12. Если функция Е £ С[0,а] такова, что Е(Н) = о(Нк) при Н — 0, то существует такая (к + 1)-выпуклая функция Ш : [0,а] — М, что Ш(к) непрерывна на [0,1], Ш(Н) = о(Нк) при Н — 0,

\F(x)\ < W(x) и W[k){x) < 2k+l{k - 1)! sup

0<x<a

F(x)

m

Она является неубывающей и стремится

Доказательство. Возьмем функцию w\(x) = sup

0<t^x

к нулю в нуле. Теперь возьмем функцию w2(x), график которой является выпуклой вверх оболочкой функции wi(x), а именно

W2(x)=b(ii)+Ht2) ~wi(ti))}

(при ti = ¿2 функция под максимумом доопределена как wi(x)). Ясно, что w2 тоже является неубывающей и стремится к нулю в нуле, а также W\(x) ^ w2(x) ^ sup ^ф- . Будем считать, что w2{x) доопределена

0<x<a x

на [a, 2а] константой w2(a). Теперь положим

x

W(x) = 2k+1 / (x - t)k-1w2(2t) dt J 0

и проверим, что эта функция удовлетворяет условиям леммы. Действительно, непрерывность, (k + 1)-выпуклость и поведение в нуле очевидны, W(k) (x) = 2k+1(k - 1)!w2(2x) <; 2k+1(k — 1)! sup

0<x<a

F (x) —t—

\У(х) > 2к+1 (§)к~1 [2 и}2(2*) М > Ахк~1 • ^ • |ги2(ж) = хк-ш2(х) > |Е(ж)|. ./о 22

Лемма доказана.

Лемма 13. Если функция Е Ск-непрерывна на [0,а] и Е(0) = 0, то (Ет)к непрерывна на [0,а] и

(Ет )к (Н) = о(Ьт+к-1).

Доказательство. Левая часть формулы (11) непрерывна и стремится к нулю в нуле (по лемме 3), значит, то же самое происходит и с правой частью.

Теорема 6. Если функция Е Ск-непрерывна на [хо,Хо + а], то существует такая монотонная функция ■ е С[х0,х0 + а], 'что ■(х0) = 0, Ст(Е + ш)(х0; х0 + Ь) — Е(х0) ^ 0 при Н е [0, а] и

2к+т(т — 1)!

ю(хо + а) ^ —;-— О1!гЕ(ж0;х0 + а).

к + т — 1

Доказательство. Без ограничения общности мы можем положить жо = Е(жо) = 0. Комбинируя две предыдущие леммы, видим, что существует такая (к + т)-выпуклая, (к + т — 1) раз непрерывно дифференцируемая функция W : [0,а] — М, что W(Н) = о(Ьк+т-1), |(Ет)к(Н)| < W(Н) и

W(k+m-i) (ж) < 2k+m(k + m - 2)! sup

0<x<a

(F m)k (ж)

rk+m-1

Обозначим й}(ж) = ^; т-е- (йт)к(ж) = И^(ж), и -ш(ж) = тах гй(£). Тогда СТЧЕ + «;)(0;ж) ^ 0 по

ж к

формуле (11), примененной к Е + w, и ясно, что функция и> непрерывна и ад(0) = 0. Теперь оценим w(а).

Ввиду выпуклости вниз функций W(l), I = к, ...,(к + т — 2), имеем

«*> ^ ^ < ^^ < + »

Значит, то же верно и для ъи(ж), и с учетом равенства В(т, к) = полУчаем требуемую оценку.

Теорема доказана.

Пользуясь введенным выше понятием О^-производных, дадим определение О^Р-интеграла. Будем говорить, что функция Ф : [а,Ь] — М является О^Р-мажорантой для функции / : [а, Ь] — М, если Ф (^-непрерывна и С™ДФ(ж) ^ /(ж) при всех ж € (а,Ь). Соответственно функция ф — С™Р-миноранта для функции /, если —ф есть О^Р-мажоранта для —/.

Функцию / назовем О^Р-интегрируемой на [а, Ь] со значением интеграла I, если для любого е > 0 существуют такие Ок™ Р-мажоранта Ф и О^Р-миноранта ф для / на [а, Ь], что I — е ^ ф(Ь) — ф(а) ^ Ф(Ь) — Ф(а) < I + е.

Согласно лемме 3, из Ок-непрерывности мажоранты следует, что выражение О^Ф^; Х + Н) стремится к Ф(ж) при Н — 0 для всех х £ (а, Ь); с другой стороны, формула (6) показывает, что верно и обратное: из стремления О^Ф^; ж + Н) к Ф(ж) при Н — 0 следует Ок-непрерывность Ф; таким образом, понятие О^-непрерывности не заслуживет отдельного рассмотрения.

Ясно, что О^Р-интеграл есть классический ОкР-интеграл Беркиля.

Следующее утверждение стандартным образом выводится из теоремы 6.

Лемма 14. Пусть Ск-непрерывная функция Ф : [а,Ь] —К такова, что С™ДФ(ж) ^ /(ж) при всех ж £ (а,Ь), кроме не более чем счетного числа точек {хп}. Тогда для любого е > 0 существует такая неубывающая функция W £ О[а,Ь], что функция Ф + W есть О^Р-мажоранта функции / на [а,Ь] и Ш(Ь) — W(а) < е.

Таким образом, в определении О^Р-мажорант и минорант можно допустить конечное или счетное множество исключительных точек.

Следующее утверждение непосредственно вытекает из формулы (14), устанавливающей аналогичную связь между О^-производными.

Лемма 15. Если / О^т+1Р-интегрируема на [а,Ь], то она О^Р-интегрируема на [а,Ь] с тем же значением интеграла. В частности, О^Р-интеграл корректно определен при всех т.

Следующие утверждения очевидны.

Лемма 16. Для ОтР-интеграла имеют место линейность по функции, интегрируемость на под-отрезках и аддитивность по отрезкам.

Лемма 17. Неопределенный ОтР-интеграл О к-непрерывен и О к-дифференцируем почти всюду.

В последнем утверждении вновь можно говорить о О^-дифференцируемости, так как, согласно теореме 5, это одно и то же.

Во второй части работы мы покажем, что все ОтР-интегралы с данным к эквивалентны, а также докажем свойство Марцинкевича для О ¡к-интеграла, определяемого симметричным ядром усреднения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Burkill J.C. The Cesaro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 39, N 7. 541-552.

2. Sargent W.L.C. A descriptive definition of Cesaro-Perron integrals // Proc. London Math. Soc. (2). 1941. 47, N 3, 4. 212-247.

3. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesaro-Perron integrals //J. London Math. Soc. 1971. 7, N 3. 326-333.

4. Дергачёв А.В. Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.

5. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

Поступила в редакцию 30.05.2012

УДК 512.552.3+512.552.51

КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ КОЛЕЦ С БОЛЬШИМ ЦЕНТРОМ

Д. В. Злыднев1

Кольцо R называется IIC-кольцом, если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром кольца R. Рассматриваются некоторые результаты о кольцах частных полупервичных IIC-колец и показывается на примерах, что эти свойства не сохраняются в случае произвольных IIC-колец. Также доказываются более общие свойства IIC-колец, касающиеся их колец частных.

Ключевые слова: центр кольца, IIC-кольцо, ограниченное справа кольцо, полное кольцо частных, симметрическое кольцо частных.

А ring R is called IIC-ring if any nonzero ideal of R has nonzero intersection with the center of R. We consider certain results about rings of quotients of semiprime IIC-rings and show by examples that these properties are not conserved in the case of arbitrary IIC-rings. We prove more general properties of IIC-rings which concern its rings of quotients.

Key words: center of ring, IIC-ring, right-bounded ring, full ring of quotients, symmetric ring of quotients.

Все рассматриваемые кольца ассоциативны, но необязательно содержат единицу.

Запись I<R означает, что I — идеал (двусторонний) кольца R. Если V — правый (левый) идеал кольца R, то используем запись Vr ^ Rr (rV ^ rR). Центр кольца R будем обозначать Cen(R). Правый (левый) аннулятор подмножества M кольца R обозначаем Tr(M) (Ir(M)) или же AnnR(M), если Ir(M) = Tr(M).

Определение 1. Кольцо R называется кольцом с большим центром (или IIC-кольцом), если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром, т.е. если 0 = I < R, то I П Cen(R) = 0.

Определение 2. Пусть Vr ^ Rr. Тогда V называется существенным правым идеалом кольца R, если K П V = 0 для любого ненулевого правого идеала K кольца R (обозначение Vr ^ess Rr).

Аналогично определяют существенный левый идеал и существенный идеал (двусторонний).

Определение 3. Кольцо R называется ограниченным справа, если любой его существенный правый идеал содержит двусторонний идеал кольца R, который является существенным правым идеалом.

Известный результат Роуэна [1] состоит в том, что полупервичное PI-кольцо является IIC-кольцом. Более точно [2, теорема 1.17]: полупервичное PI-кольцо есть ограниченное справа (и слева) IIC-кольцо.

Определение 4. Пусть Vr ^ Rr. Тогда V называется плотным правым идеалом кольца R, если для любых x,y Е R, где y = 0, существует такой элемент r Е R, что xr Е V и yr = 0 (обозначение Vr ^den Rr).

Очевидно, что плотный правый идеал всегда является существенным. Каждый существенный правый идеал IIC-кольца R является плотным тогда и только тогда, когда R — полупервичное кольцо (см. [2, предложение 1.2] и [3, лемма 2.1.13]).

Из определения плотного правого идеала легко вытекает, что если Vr ^den Rr, то Ir(V) = 0. Если же V < R, то верно и обратное, т.е. Ir(V) = 0 тогда и только тогда, когда Vr ^den Rr.

Для любого кольца R с Ir(R) =0 (в частности, для полупервичного кольца или кольца с единицей) существует кольцо Q(R), удовлетворяющее следующим условиям:

(i) R — подкольцо Q(R);

(ii) для любого q Е Q(R) существует такой плотный правый идеал J кольца R, что qJ С R;

(iii) если 0 = q Е Q(R) и Jr ^den Rr, то qJ = 0;

1 Злыднев Дмитрий Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dvz29@yandex.ru. 13 ВМУ, математика, механика, № 2