Ослабленная непрерывность по лямбда-вариации и локализация двойных средних Чезаро Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.476

ОСЛАБЛЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПО Л-ВАРИАЦИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ ДВОЙНЫХ СРЕДНИХ ЧЕЗАРО

А. Н. Бахвалов1

Рассмотрена задача о локализации средних Чезаро отрицательного порядка двойного ряда Фурье в смысле крестообразных окрестностей. Найдено достаточное условие локализации в терминах А-вариации функции, более слабое, чем ранее известное условие для классической локализации этих средних.

Ключевые слова: обобщенная вариация, средние Чезаро.

We study the localization of Cesâro means of negative order with respect to cross neighborhoods for a double Fourier sériés. We prove a sufficient condition in ternis of А-variation of the fonction which is weaker than the sufficient condition for classic localization obtained recently.

Key words: generalized variation, Cesâro means.

1. Введение. В работе изучается задача о суммируемости рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро отрицательного порядка. В одномерном случае Д. Ватерман [1] и А. И. Саб-лин [2] показали, что для любой функции {иа+1}-ограниченной вариации, —1 < а < 0 (C, а)-средние ее ряда Фурье равномерно ограничены и сходятся к ней. Автор [3, 4] перенес этот результат на многомерный случай, причем оказалось, что для класса ({и"1+1},..., {nam+1})BV, непосредственно обобщающего указанный одномерный класс, можно лишь утверждать, что имеет место ограниченность средних Чезаро соответствующего порядка; они могут не сходиться, более того, не обладать свойством локализации, причем при некоторых значениях aj даже в смысле крестообразных окрестностей. Сходимость этих средних гарантируется, если функция удовлетворяет дополнительному условию — непрерывности по соответствующей вариации.

Возникает вопрос: нельзя ли на функцию ограниченной ({иа1+1},..., {иат+1})-вариации наложить условие более слабое, чем непрерывность по этой вариации, и гарантирующее локализацию средних соответствующего порядка лишь в смысле крестообразных окрестностей? Мы даем в случае функций двух переменных положительный ответ на этот вопрос. По-видимому, аналогичный результат можно получить и для функций трех и более переменных.

2. Определения и формулировки. В одномерном случае (см., например, [5, т. 1, гл. 3, § 1]) для

а > — 1 числa A^ определяются как A^ = (а + 1)... (а + и)/(и!). Чезаровскими средними порядка а или

ла

(С, а)-средними для ряда Yl'k'=ouk называются величины сг% = о Â

Как известно (см., например, [5, т. 1, гл. 3, формула (1.17)]), ~ na.

Если в качестве ряда выступает ряд Фурье интегрируемой на T = [—п, п] функции f в точке x, то эти величины обозначаются через a^(f,x). Как показано в [5, т. 1, гл. 3, § 5], средние Чезаро ряда Фурье можно выразить через ядра Чезаро K%(t) формулой

<(f,x) = - Г f(x + t)K(t)dt, K(t) = ±-j^Aan-_lkDk{t), (1)

п J-П An k=0

где Б к (¿) — ядра Дирихле.

В двумерном случае (см., например, [6, ч. 2, гл. 2]) пусть задан вектор а = (0:1,0:2), где а^ > —1. Тогда прямоугольными средними Чезаро порядка, а ряда Фурье функции f называются величины

ч -1

2 \ ni n2 /2

О/,x) = |ПAj I £ £ (ПI sk(f,x),

j=1 / ki=0 k2=0 \j=1

Бахвалов Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: an-bakhQyandex.ru.

где Я(/, x) — прямоугольные частные суммы ряда Фурье. Средние Чезаро можно также выразить через ядра Чезаро по формуле

= /(x + t)n/£/(*>■) dt. (2)

П2 JT2 fJl

Мы рассматриваем сходимость таких средних в смысле Прингсхейма, т.е. при независимом стремлении nj к бесконечности.

Для промежутка А на прямой через Q(A) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {In}n=i> таких, что 1п С А.

Для функции g одной переменной положим g((a, b)) = g(b) — g(a). Для фупкции / двух переменных определим смешанное приращение формулой /((a1, b1) х (a2, b2)) = /(b1, b2) — /(a1, b2) — /(b1, a2) + /(a1, a2). Через /(/ 1,x2) обозначим приращение / как функции x1 на /1 при фиксированном x2 и наоборот.

Определение. Неубывающая последовательность положительных чисел Л = {Ап}Щ=1 задает, класс

оо

функций ограниченной А-вариации (класс Ватермана), если ^ у- = оо. Множество таких последова-

п=1

тельпостей будем обозначать через L.

Определение. Пусть Л € L. Тогда Л-вариацией функции / на промежутке А С R называется

величина V\(f]A) = sup ^ 1/(^)1 _ Через ABV(А) обозначается класс функций, для которых она

{адеп(Д) n n

конечна.

Определение. Пусть Л1, Л2 € L. Тогда (Л1, Л2)-вармацмей функции /(x1,x2) относительно переменных x1,x2 по промежутку А = А1 х А2 С R2 называется величина

Ул1л2(/;А)= sup --j—2-.

{/11 }еп(Д1),{/к2 }еп(Д2) fci,fc2 V

Через V^i (/; А1, x2) обозначим Л^вариацию / как функции переменной x1 по этой переменной, взя-

А1 x2

образом определяется (/; А2^1).

Далее, Л^-вариациями фун кции / (x1, x2) относител ьно xj по промежутку А = А1 х А2 называются величины

VXi1 (/;А) = sup VXi1 (/;А1,x2), V^2(/;А)= sup V^2(/;A2,x1). ж2еД2 x 1еД1

Определение. Величина

Va1,Ä2 (/; А) = vfj2 (/; А) + V^1 (/; А) + V^ (/; А)

называется (Л1, Л2)-вармацмей фун кции / (x1, x2) по промежутку А = А1 х А2. Множество функций, для которых она конечна, называется классом, ограниченной (Л1, Л2)-вармац?ш на А и обозначается через (Л1, Л2)ВУ (А).

Определение. Пусть Л € L. Скажем, что функция /(x) го масса ЛВУ([a, b]) непрерывна по Л-вариации (/ € CЛУ([a, b])), если для последовательностей Лп = {An+fc}£=1 выполнено условие

lim Va„ (/;[a,b]) =0.

n—у оо

Определение. Пусть Л1, Л2 — последовательности из L. Функция / из масса (Л1, Л2)ВУ(А) называется непрерывной по (Л1, Л2)-вармац?ш на А, если

12

lim Vft'X2 (/; А) = lim VaVI2 (/; А) = lim УЛХП (/; А) = lim УХП (/; А) = 0.

п— оо п—оо л >лп п—оо n п— оо n

Приведем теперь точные формулировки результатов, упомянутых во введении, функция / в них считается 2п-периодической (в двумерном случае по каждой переменной).

Теорема А (Ватерман [1]). Пусть а € (—1, 0). Тогда для любой функции / из класса, (Т)

(С, а)-средние ее ряда Фурье ограничены всюду, и притом равном,ерно внутри каждого интервала непрерывности. Если к тому же / непрерывна по {па+1}-вариации, то ее ряд Фурье всюду (С, а)-суммируется

5 ВМУ, математика, механика, № 4

к среднему арифметическому пределов слева и справа и сходимость средних равномерна внутри каждого интервала непрерывности. Если класс ЛВУ(Т) строго шире, чем класс {па+1 }ВУ(Т); то найдется функция из класса, ЛВУ(Т) для, которой (С, а)-средние ее ряда, Фурье в некоторой точке не ограничены.

Саблин [2] показал, что при а € (—1,0) классы {па+1}ВУ(Т) и С{па+1}У(Т) совпадают, таким образом, в одномерном случае условие непрерывности по вариации оказалось несущественным.

Следующие три теоремы мы формулируем для функций двух переменных, хотя в соответствующих работах они получены для функций т переменных при любом т ^ 2.

Теорема В [3, теорема 1]. Пусть а^ € (—1, 0) и вj = а^- + 1 ] = 1, 2. Тогда, для, любой функции / из класса ({пв1}, {пв2 })ВУ(Т2) (С, а)-средние ее ряда Фурье равномерно ограничены. Если к тому же / непрерывна по ({пв1}, {пв2 })-вариации, то ее ряд Фурье (С, а)-суммируется к /(хо) в каждой точке непрерывности х0 и суммируемость равномерна на любом ком пакт е, в окрест,ност,и которого функция непрерывна.

Теорема С [3, теорема 3]. Пусть аj € (—1,0) и вj = аj• + 1 ] = 1,2, причем, л ибо в1 = в2? либо Д = /?2 ^ Тогда, найдется непрерывная функция из класса ({п^1}, {п^2})ВУ(Т2), которая равна нулю всюду на, [-1,1]2 и ряд Фурье которой не является (С, а)-суммируемым к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Определение. Для 5 > 0 крестообразной 5-окрестностью точки х = (ж1, ж2) € М2 называется

иПх) = ^ = (ЛЬ2): [ж1 - ¿1| <5}и^ = (ЛЬ2) : |ж2 - Ь2| < 5}.

Теорема В [4, теорема 3]. Пусть аj € (-1, 0) и вj = aj• + 1 ] = 1, 2, причем, в1 + в2 ^ 1- Тогда, суще/ ({пв1}, {пв2})ВУ(Т2); которая равна тождественно нулю на Цу2(0) и ряд Фурье которой не является (С, а)-суммируемым к нулю в нуле, даже если рассматривать только кубические средние.

Основной результат нашей работы формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть аj € (-1, 0) и вj = aj• + 1 ] = 1, 2. Пусть функция / из класса ({пв1}, {пв2 })ВУ(Т2) 5 > 0 5

Иш (/; Т2) = 0. (3)

Тогда, ее ряд Фурье (С, а)-суммируется к нулю в нуле, причем равномерно на [-5 5\2 для, любого 5 € (0,5).

3. Доказательство теоремы. Далее считаем, что нам задано число а € (-1, 0) или два числа aj € (-1, 0) ] = 1, 2. Положим в = а + в? = аj + 1 соответственно. Через С обозначаем величины,

зависящие лишь, возможно, от а или аj соответственно, не обязательно одинаковые в различных случаях. Как показано, например, в [5, т. 1, гл. 3, п. 5], ядра Чезаро, введенные формулой (1), — четные функции и при Ь € (0, п) для них справедливо представление

= ^-. . Па+1-+ ,0 . 2 =Кп (*) + #»(*)> (4)

лп (2 8111^) п(2 81п|)

где в = в(Ь,а), |в| < 1. Ядра методов Чезаро удовлетворяют при |Ь| ^ п оценкам

|Ка(Ь)| < п + 1, |Ка(Ь)| < В(а)п-а|Ь|-(а+1). (5)

Лемма 1. Пусть д € {кв}ВУ(Т),

а > 0 и А = [а, п\. Тогда, существует такая величина, С, что при любом п > 10 для последовательности {к^}т = при т = Ьп = |_(п + §)а/тг] выполняется

оценка

< С (утьп 0/5 А) + {Ьп)1 + 1 вир ы) . (6)

/ д(ь)ка(ь) ^

'А

А

7Г

Доказательство. Мы будем для краткости писать вместо У/^/зг . Положим Т]п — —при

т га+"2

п > 10. Если а < цп, то Ьп = 0. Разобьем интеграл на две части:

Вп = ( Г + / ) д(ь)ка(Ь) ^ = Вп,1 + Вп,2.

¿а, -'пп/

При этом первое слагаемое в силу первой из формул (5) оценивается так:

п

\Bn,i\ + 1)- sup \д\ ^ 27г sup \д\.

П (а,Пп) (a,n)

Таким образом, нужно оценить в (6) интеграл по отрезку [ага,п], где ага = max(nn,a}- При этом можно считать, учитывая неравенство Vg;o(/;/) ^ 2Удд(/;/), что Ln = [(и + \ ^ 1. Разложим в этом

интеграле ядро согласно (4). Для остаточного члена имеем

9(f)-

20а

dt

C Г |g(t)| , C . . C

^ ~ / Т dt <- SUP Ы < -г-гт SUP М-

n Jan t nan [an,n] Ln + 1 К,п]

/«„ n (2 sin |)

Перейдем к оценке главного члена. По свойствам синуса выполнено равенство

гп i гп—Пп

1п= / g(t)K'*(t)dt = -— / +

Jan Ara Jan—Пп

sin[(n + i + f)í-lf]_dí_

2

sin

Тогда

ГП — Пп

21

(g(t) - g(t + nn))Kr(t) dt+

1 /-П—Пп

+ / 0(í + ?fo)sin

J an

1 а \ na

n+2 + 2>"T

dt+

+ / g(í)Kr(í) dt +/

Jn—r¡n Jan—Vn

4(2sin|)«+1 (2 sin í^)^1

g(t + nn)K"'*(t + Пп) dt = /n,1 + In,2 + 1n,3 + In,4-

Из оценок (5) ядер Чезаро непосредственно вытекает, что

1 C sup[a п] |g

I In,41 < lb. n a+1 sup|g| <

vas+^nr1 (Ln)e+i'

1n,3| ^

Далее, поскольку по теореме Лагранжа при t € [an, п — nn] для некоторой промежуточной точки ti € (t, t + nn) выполнена оценка

1

1

(2sin (2 sin í^)^1

-Г]п

(a + 1) cos

(2 sin |)a+2

<

Crin

ta+2

и ап ^ Пп) то второй член можно оценить следующим образом:

г Г"'" |9(* + ч»)|Д „ с Ч- с

Наконец, для первого слагаемого имеем

C

IVI < ^ /

Jan

C Г-nn |g(t) — g(t + Пп)|

ta+i

dt — Jn ♦

Обозначая через к целую часть числа ^ ^ а" и полагая кп = (ж — цп) — ап — кг]п, последний интеграл можно переписать в виде

Jn = ( ¿ r+JVn \9(t)-9(t + Vn)I dt + \git)-g(t + Vn)\ dt J _

j=1 an+(j — 1)n

6 ВМУ, математика, механика, № 4

ta+1

2

n

1

1

п

Оценивая знаменатель снизу, получаем, что

з <9-( Г ('V \д{ап + ^ ~ 1)Цп +~ 9{(1п + ^п + 1 I Сй +

П " п» \]0 (ап + и - 1)г?га)/з I

+ Г" IV + ~ + *) - д(ап + зги + ¿)1 \ гМ \ Л*, + ' ''

Учитывая, что ага + — 1)г?га = + 0' — 1)) ^ Цп{Еп + 0' — 1))) видим, что оба подынтегральных

выражения после вынесения (пп)в = (пп)а+1 представляют собой в каждой точке вариационную сумму для 1/д;£п_1 (д; [а, 7г]). Вспоминая, что г]п ~ получаем

СПпУз,Ьп-1(д;[а,п]) ^ , г п ^ от/ < г п

^ <-^ ^а+1-< СУр,Ьп-1(д-, [а, 7г]) < 2[а,тт\).

Таким образом, оценка (6) установлена и лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть задана функция / из класса (Л1, Л2)ВУ(Т2); где последовательность Л1 € Ь любая, Л| = кв2; а А1 С Т; А2 = [а, п\; 0 < а ^ п,— промежутки. Определим для любого п2 > 10 функцию ^'П2 (Ь1) формулой

ж

А +2\ Ка2(+2\ гП2

Pn2 (^) = | f (Л^К«2 (t2) dt2

Тогда равномерно no щ > 10 для L22 = [а(п2 + выполняется оценка

VA1^n2; А1) < С (F^ (/; А) + . (7)

Доказательство. Отметим прежде всего, что функция ^>n2 (t1) определена корректно, так как функция f (t1, ■) имеет ограниченную Л2-вариацию, следовательно, ограничена, а множество ее точек разрыва не более чем счетно. Зафиксируем П2 и возьмем систему интервалов {/^} € ^(Д1). Если = sgn(^n2 (/fc\то

^ = Е= Е^^ = [ ^kio2)dt\ (8)

V Afci V Afci -/a2

где функция ^(t2) = ^(t2,n2, {/¿1}, f, a2) задана формулой

fci Afci

Заметим, что в силу определения Л-вариации

sup |^(t2,n2, {/¿1 },f,a2)| < v/i(f; Д) < Vv^(f; Д). (9)

t2eA2

Оценим Л?2 -вариацию ф. Для системы интервалов {/? } € 0(Д2)

Ln2 k2

Z^ T2 ^ Z^ "ТГТ2 ^ V.A2 u > fc2 AL22 +fc2 fci,fc2 Afci ^ +fc2 Ln2

Отсюда, переходя к верхней грани по 0(Д2), получаем неравенство

Уд22 (Ф(-,П2, {/ki}, f, a2); Д2) < Vti'A2 (f;Д)• (10)

L22 ' l22

Применяя к функции ф лемму 1, из (8) находим

z < C к* (Ф;А2) +

~Т 2

05Fтть2"

Подставляя сюда оценки (9) и (10), имеем

kl V Ln2

(¿„2 )в2 + 1

Vai,a2 (f; A)

Переходя к верхней грани по {/¿1} € ^(Д1), получаем оценку (7). Тем самым лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть Л = ] = 1, 2, и пусть д € (Л1, Л2)ВУ(Д); Д = [а1, п] х [а2,п]; а-7' > 0.

Тогда существует такая величина, С, что для, любых п^ > 10 при Ь^ = \ ijij + ) а-7/7Г] выполняется, оценка

'Д

goon ка (tj) dt

j=1

^ а V

if ^А)+{ш^тт+щ^тт) А)+

+-

1

sup |

((¿ni)* + 1)(№)в2 + 1) Д

Доказательство. Рассмотрим для данного П2 функцию

(11)

По теореме Фубини

^ (^)= / g^t2)^2 (t2) dt2. Д2

2

Zi = Д g(t) Ц ка(tj) dt = ^ ^„2(t1)^1 (t1)

dt1

Согласно лемме 2, ^>„2 (t1) € A1BV(A1), и при любом щ для соответствующего L„1 выполнена оценка

C

Уд11 (^„2 ;A1) < CV^^ (g; A) +

~т1 т 2

тп1 тП2

(L„2 )в2 +1 ЛтП

Vvi ,Л2 (g;A).

(12)

Применяя лемму 1 к функции g(t1, •), имеем оценку

sup |<р„21 < C( Ул1,л2 (g; A) + Д1

а применяя ту же лемму к функции ^>„2, — оценку

(¿„2 )в2 +1 Д

sup |g| ,

(13)

т1 тп 1

(¿„1 )* +1 Д1

sup

Подставляя сюда (12) и (13), получаем неравенство (11). Лемма 3 доказана.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Пусть задано 5 > 0 и функция / равна нулю на ^(0). Для 5 € (0, 5) положим а = 5 — 6. Тогда для любого х € (—5, 5)2 функция /(х + t) равна нулю на и-(0).

Разложим интеграл (2) в сумму четырех интегралов по квадратам с разными знаками Они оцениваются одинаково, рассмотрим один из них, например

1

2 I J 1 "V I I

П2 -/[0,п]2 j=1

f (x + t)J! ка (tj) dt.

j=1

7 ВМУ, математика, механика, № 4

l

Применяя лемму 3 к функции g(t) = f (x+t) и учитывая условие (3), получаем, что ^ 0 равномерно

по x при min{ni,n2} ^ Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00169) и программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-979.2012.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Stud. math. 1976. 55, N 1. 87-95.

2. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.

3. Бахвалов А.Н. Суммирование методами Чезаро рядов Фурье функций из многомерных классов Ватермана // Докл. РАН. 2011. 437, № 6. 731-733.

Л

заметки. 2011. 90, № 4. 483-500.

5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. М.: Мир, 1965.

6. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1993.

Поступила в редакцию 12.03.2012

УДК 515.12

ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАЗМЕРНОСТИ (m,n)-dim

Н. Н. Мартынчук1

Доказывается факторизационная теорема для размерности (m, n)-dim.

Ключевые слова: размерность (m, n)-dim, обратный спектр, факторизационная теорема.

( m, n )

( m, n )

1. Введение. В работе [1] были введены классы GС-простргнств и m-GС-простщнств, где G — класс конечных симплициальных комплексов, am — целое чи ело ^ 2. Частные случаи этих классов — классы (m,n)-С-пространств (m ^ n ^ 1), введенные в [2]. Классы (m,n)-С-пространств являются

= (2, 1) С

СС

(m, n)

(m,n)-diml < оо X € (m,n)-С, (2,1ЦтX X.

(m, n)

Дополнительную информацию о теории размерности и покрытиях можно найти в [6].

Все пространства считаем нормальными (T4 + T1), все отображения — непрерывными. Через cov(X) обозначим множество всех открытых покрытий X, а через covm(X) — множество всех открытых покрытий из ^ m элементов. В выражении (U1,...,Um) € covm(X) некоторые множества Uj могут быть пустыми.

Пусть mv — семейства подмножеств множества X. Говорят, что v вписано в и, если каждый элемент V € v содержится в некотором элементе U € и. Семейство v комбинаторно вписано в и, если существует такая биекция i: v ^ и, что V С i(V) для любо го V € v. Если v комбинаторно вписано в и, мы пишем v >- и. Если v = (V1, • • •, Vm), то через [v] мы обозначаем замыкание семейства v, т.е. [v] = ([V1 ], • • •, [Vm])-

1 Мартынчук Николай Николаевич — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mnick45Qbk.ru.