CC BY
1126
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
т— 1
< 4тгУ2 • 20"1-1 Ц ^
3 = 1
( п \
т1
т1
1
\ X / П ^ 4=1
=1 '3
т
3=1 т-' П 3
7=1
3 = 1 3
Теперь нам осталось заметить, что из вышеизложенного следует
|Д(/,ж,Ь)| < 10т ^ ал < 400тБш(^1,... ,Н„,),
АС{1,...,т}
что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы. Так как для нашей функции из леммы 6 верно равенство
ОО ОО , ^ ч р ОО ОО / 7Г ^ \ Р
то утверждение теоремы вытекает из лемм 3 и 6.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00052).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дьяченко Д.М. О свойствах коэффициентов Фурье для функций класса Нш // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 18-25.
2. Ульянов П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 4.
3. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. матем. о-ва. 1956. 5. 485-522.
4. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.
5. Потапов М.К. О приближении "углом" // Тр. конф. по конструктивной теории функций. Венгрия, Будапешт, 1972. 371-399.
6. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.
Поступила в редакцию 14.03.2007
УДК 517.52
ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ДВУМЕРНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ М. И. Дьяченко
1. Введение. В статье рассматриваются вопросы зависимости классов функций двух переменных ограниченной вариации и обобщенной ограниченной вариации от выбора системы координат. Чтобы сформулировать основные результаты, приведем определение классов Ватермана ЛБУ. Вначале определим соответствующий одномерный класс [1].
Определение 1. Пусть заданы отрезок I = [а,Ь] и последовательность Л = {Л3-€ Ф, т.е. Л
является монотонно неубывающей последовательностью положительных чисел, такой, что ^Л-1 = то, а функция /(ж) определена на I. Тогда говорят, что /(ж) принадлежит классу Ватермана ЛБУ(I), если
= < со,
Г к= 1 к Г к= 1 к где Г — система неперекрывающихся интервалов {1к = (ак, вк)}П= 1 из I.
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3
27
В двумерном случае определение следующее [2].
Определение 2. Пусть заданы прямоугольник U = Ui х U2 = [ai,bi] х [02,^2], последовательность Л € Ф и f (ж, у) — измеримая функция на U. Тогда говорят, что f (ж, у) € ЛВУ(U) в том и только в том случае, когда:
1) ограничения f (ж, a2) € ЛБУ(U1), f (a1,y) € ЛБУ(U2);
2) величина
ЛТг ft\ |f(Ik х Jr)| ^ &Vu(f) = sup > > -—-< 00,
ri,r2 k=i r= Ak Ar
где f (Ik х Jr) = f (ak,Yr) - f (ak А) - f (вк,Yr) + f (вкА) для всех k и r, а Г1 и Г2 суть две системы неперекрывающихся интервалов {Ik = (ak, ek)}fc=i и {Jr = (Yr, ör)}£= из Ui и U2 соответственно. Если Л = 1, то соответствующий класс обозначаем BV(U).
Обозначим также
ЛУ(U; f) =ЛУUf (x,y) +ЛУ[o2>Ü2]f (ai,y) +ЛУ[ai,bi]f (ж^) + sup |f (ж,у)|.
Нетрудно заметить, что определение классов Ватермана зависит от выбранной системы координат. В п. 2 мы рассмотрим следующую задачу. Пусть дан некоторый прямоугольник U, функция f (ж, у) € BV(U), /(ж, у) = 0 вне U и система координат повернута на некоторый угол а, не кратный Пусть также U(1) — содержащий U прямоугольник со сторонами, параллельными осям новой системы координат. Если ж = ci ix' + Ci 2y' и у = С2дж' + С2,2у' — формулы перехода к новым координатам, то обозначим
h(x',y') = f (ж, у). (1)
Для каких последовательностей Л = {Aj}°= € Ф функция h(x',y') € ЛБУ(U(1))?
Первый из полученных результатов является вспомогательным, но представляет и определенный самостоятельный интерес.
Теорема 1. Пусть прямоугольник U С R2, функция f (ж, у) € BV(U) и отрезок J С U. Тогда если g(t) — ограничение функции f (ж, у) на J, то g(t) € BV(J).
Теорема 2. Пусть прямоугольник U С R2, функция f (ж, у) € BV(U), f(ж, у) = 0 вне U и система координат повернута на некоторый угол а, не кратный Пусть также U( 1) — содержащий U прямоугольник со сторонами, параллельными осям новой системы координат. Тогда если последовательность Л = {Aj}°=i € Ф и Xj=i A—2 < те, то функция Л,(ж',у') € ЛBV(U(1)), где Л,(ж',у') определяется равенством (1).
Теорема 3. Пусть последовательность Л = {Aj}°= € Ф такова, что Xj=i A—2 = те. Тогда найдется такая функция f (ж, у) € BV([0,1]2), f (ж, у) = 0 вне [0,1]2, что после поворота системы координат на угол j задаваемая равенством (1) функция h(x',y') ф ABV([—2,2] ). При этом функцию /(ж,у) можно выбрать не зависящей от последовательности Л.
Аналогичная задача может быть поставлена и для функций f (ж, у) € ЛBV(U), но для этих классов пока не получено ее полное решение. Тем не менее, если рассмотреть эту задачу для альтернативных классов Ватермана [3, 4], то здесь ответ найден. Вначале дадим определение двумерного альтернативного класса Ватермана.
Определение 3. Пусть последовательность Л € Ф и f (ж, у) — функция, определенная на прямоугольнике U = [ai,bi] х [02,62]. Будем говорить, что f(ж,у) € Л*BV(U) в том и только в том случае, когда:
1) ограничения f (ж, a2) € ЛBV([ai,bi]), f (а^у) € ЛBV([a2,b2]);
2) величина
Л^/(ж,у)=8ир£ЬЯМ<00) г k= Ak
где Г — система неперекрывающихся прямоугольников {Ak}П= i = {(ak, ek) х (Yk, ¿k)}П= i из U и f (Ak) = f (ak, Yk) - f (ak, ¿k) - f (ek, Yk) + f (ek, ¿k) для всех k.
Обозначим также
Л*V(U; f) = Л*^(ж, у) + ЛV[02,62]f (ai, у) + ЛV^f (ж, a2) + sup |f (ж, у)|.
Отметим еще, что для Л = 1 классы ЛВУ и Л*ВУ совпадают.
В п. 3 будут получены такие результаты.
Теорема 4. Пусть прямоугольник и С К2, функция f (ж, у) € Л*ВУ(и) и отрезок 3 С и. Тогда если д(£) — ограничение функции f (ж, у) на 3, то д(£) € ЛВУ(3).
Теорема 5. Пусть последовательность Л = {Л^ € Ф. Тогда найдется такая функция f (ж, у) €
5У([0,1]2), /(ж, у) = 0 вне [0,1]2, что после поворота системы координат на угол ^ задаваемая равенством (1) функция Н(ж',у') € Л*ВУ([-2, 2]2). При этом, как и в теореме 3, функцию f (ж, у) можно выбрать не зависящей от последовательности Л.
2. Преобразование системы координат и функции ограниченной вариации. Вначале докажем теорему 1. Пусть 3 = [(01,02), (¿1,^2)], где для определенности С1 < и С2 < ^2. Ясно, что функция f(ж,у) € ВУ(и'), где и' = [01,^1] х [02,^2]. Отрезок 3 можно параметризовать функциями = с1(1 — ¿) + и 02(£) = с2(1 — ¿) + ¿2£, где £ € [0,1]. При этом д(£) = f(0^£), 02(£)). Предположим, что 0 = < ¿1 < ■ ■ ■ < ¿г = 1 — разбиение отрезка [0,1]. Обозначим ж^ = 01 (¿г) и у^ = 02(¿г) при г = 1, 2,... , г. Рассмотрим сумму
Е1^ — д(£г-1)| ^ Е |f (жг,уг) — f (жг,уг-1)| +
г=1 г=1
+ У" |f (жг,уг-1) — f (жг-1,уг-1)| = + $2. (2)
г=1
Поскольку величины $1 и £2 оцениваются совершенно одинаково, ограничимся рассмотрением первой. Имеем
г г г
$1 < Е Е |f (жр уг) — f (жР уг-1) — f (жР-1,уг) + f (жP-l, уг-1)| + Е |f ^ У^ — f (жо, уг-1)| <
г=1 р=1 г=1
г г
^ Е Е ^(жР уг) — f (жР уг-1) — f (жр-1,уг) + f (жР-ь уг-ОК
г=1 р=1
г
+ Е lf (ж0,уг) — f(жо,уг-1)| < (f) + (С1,у)). (3)
г=1
Теперь утверждение теоремы 1 вытекает из формул (2) и (3).
Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 видно, что в ее условиях У[о,1](д) < 2У(и'; f) < 2У(и; f). Докажем теорему 2. Согласно теореме 1, ограничения функции Н на стороны прямоугольника и(1) будут одномерными функциями ограниченной вариации и тем более ограниченной Л-вариации. Установим конечность двумерной Л-вариации функции Н на прямоугольнике и(1). Пусть и(1) = ^(1) х и2(1), а Г1 и Г2 суть две системы неперекрывающихся интервалов {/& = (а&)}П=1 и {3г = (7г, ¿г)}т=1 из ^(1) и и2(1) соответственно. Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим
ЕЕ
I К1к х Зг) | <
, Лк Лг
к=1г=1
1 , 1
<
' га т \ 2 / т га \ 2
Ет2Е1^х^)1 х ЕтгЕ^* ^ = 5*1 х 5*2. (4)
^=1 Лк г=1 / \г=1 Лг А=1 /
Поскольку величины $1 и £2 оцениваются одинаково, ограничимся рассмотрением первой. Используя замечание 1, получим, что при любом к справедлива оценка
^2 |Н(4 X 3г)| < ^2 |Н(акА) — Н(ак,7г)| +
г=1 г=1
+ ^ |h(Ä, 5r) - , Yr)| < 2V(U; f) + 2V(U; f) = 4V(U; f).
r=1
Отсюда
(¿^(/))2<С(/'Л)' (5)
где положительная постоянная С(/, Л) зависит только от функции / и последовательности Л. Теперь из оценок (4) и (5) вытекает утверждение теоремы 2.
Построим пример, показывающий справедливость теоремы 3. Пусть функция /(ж, у) = (ж, у).
Ясно, что это функция ограниченной вариации. Для произвольного п в повернутой на угол ^ системе координат рассмотрим наборы Гх = Г2 = {I% = Тогда
\hjlk х /,)| А |/г-(4 X 4)1 =
к=1 г=1 Лк Лг к=1 Лк к=1 Лк
при п ^ те, что и завершает доказательство теоремы 3.
3. Альтернативные классы Ватермана. Перейдем к доказательству теоремы 4. Оно проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1. Пусть 3 = [(с1,е2), (¿1,^2)], где для определенности С1 < ¿1 и С2 < ¿2. Ясно, что функция /(ж,у) € Л*ВУ(и'), где и' = [с1,<1] х [02,^2]. Отрезок 3 можно параметризовать функциями = Сх(1 — ¿) + <¿1^ и = С2(1 — ¿) + ¿2^, где £ € [0,1]. При этом $(£) =
/(^1 ,^2(^))• Предположим, что {(¿¿,5г)}[=1 —набор непересекающихся интервалов из [0,1]. Обозначим
Жг = ^(¿г), и = ^1(^1), Уг = ^2 (¿г) и V = ^(^г) при г = 1, 2,..., г. Рассмотрим сумму
-^-^ -^-+ -^-= 61 +
г=1 Лг г=1 Лг г=1 Лг
Поскольку величины $1 и £2 оцениваются совершенно одинаково, ограничимся рассмотрением первой. Имеем
с ^ У^ 1/([С1»Цг] X [Уг,Уг])\ , ^ |/(Сх, Уг) - /(Сх, Уг) | ^ Л«
-^-+ ^-^-<ЛПСЛ/).
г=1 г=1
Теорема 4 доказана.
Примером, показывающим справедливость теоремы 5, может служить та же функция, что использовалась при доказательстве теоремы 3. Действительно, если рассмотрим набор квадратов {/^ = то
sr\h(h) I f^l
= 00
fc=1 k fc=1 k
при n ^ те. Таким образом, теорема 5 установлена.
Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ (грант № 06-01-00268) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-4681.2006.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of bounded generalized variation // Stud. math. 1972. 44, N 1. 107-117.
2. Саакян А.А. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН АрмССР. 1986. 21, № 6. 517-527.
3. Reitgruber W. Funktionen von beschränkter gewichteter Schwankung // Sitzungsber. Osterr. Acad. Wiss. Math.-Naturwiss. Kl. Abt. II. 1987. 196, N 8-10. 463-494.
4. Dyachenko M.I., Waterman D. Convergence of double Fourier series and W-classes // Trans. Amer. Math. Soc. 2005. 357, N 1. 397-407.
Поступила в редакцию 07.11.2007
