О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ МНОГОМЕРНЫХ КЛАССОВ ОГРАНИЧЕННОЙ Λ -вариации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ МНОГОМЕРНЫХ КЛАССОВ

ОГРАНИЧЕННОЙ Л-ВАРИАЦИИ

А. Н. Бахвалов1

Получены оценки тригонометрических коэффициентов Фурье функций, принадлежащих многомерным классам ограниченной Л-вариации, а также функций, непрерывных по Л-вариации. В некоторых случаях показана неулучшаемость этих оценок по порядку.

Ключевые слова: обобщенная вариация, непрерывность по вариации, коэффициенты Фурье.

Estimates of trigonometric Fourier coefficients are obtained for functions from classes of bounded many-dimensional Л-variation and functions continuous in Л-variation. In some cases it is proved that these estimates are unimprovable by the order.

Key words: generalized variation, continuity in variation, Fourier coefficients.

1. Введение. Будем обозначать через C абсолютные постоянные, а через C(•) — величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках параметров (необязательно одинаковые в различных случаях). Положим T = [—п,п]. Для последовательностей {an} и {bn} будем писать an ~ bn, если существует конечный положительный предел отношения у2- при п —оо.

Все рассматриваемые промежутки предполагаются невырожденными. Для промежутка I на прямой через Q(I) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {In}, таких, что 1п С /. Если Е С I — некоторое множество, то через 0,(1 \ Е) обозначим множество тех систем из Q(I), для которых концы интервалов не попадают в E.

Пусть Ik = (ak,bk). Рассмотрим функцию f (x) на Rm. При m = 1 положим f (I= f (b1) — f (a1); если для функции m — 1 переменных уже определено выражение f (11 х ... х Im-1), то положим

f(11 х ... х Im) = f(11 х ... х Im-1,bm) — f(11 х ... х Im-1 ,am).

Величина f (11 х ... х Im) называется смешанным приращением f на I.

Пусть множество {1,... , m} разбито на два непересекающихся множества j и £ из p и m — p элементов соответственно. Обозначим \y\ = p, |£| = m — p. Если x = (x1,...,xm), то через xY будем обозначать

m

элемент Rp, состоящий из компонент xj, j Е Y, а для параллелепипеда I = Ij через IY будем обозначать

j=1

параллелепипед Ij. Смешанное приращение f как функции аргументов xY на IY при фиксированных

jtj

значениях x^ будем обозначать f (IY,x^).

Определение 1. Скажем, что неубывающая последовательность положительных чисел Л = {An}

те

задает класс функций ограниченной Л-вариации (класс Ватермана), если ^ j- = оо. В дальнейшем мы

n=1

рассматриваем только такие Л и множество последовательностей Л, удовлетворяющих перечисленным

N

условиям, будем обозначать через L. Частные суммы ^ j- обозначаются через A(N), последовательность

n=1

{Ak }T=n+1 — через Лп.

Определение 2. Пусть Л1,..., Лт Е L. Тогда (Л1,..., Лт)-вариацией функции f (x1,..., xm) относительно переменных x1,... ,xm по параллелепипеду А = А1 х ... х Am называется величина

х _ \f(k х...хm)\

у^цлт (f; А) = VXi_Am (f; А) = sup £

Ara\J,^J- ¿^ -П-Г^Г

{Ij }en(Aj) ku...,km Aki ...Ak

m

1 Бахвалов Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа

мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anbakh@rol.ru.

Пусть непустое множество 7 С {1,..., m} состоит из элементов ji < ... < jp и £ = {1,..., m} \ 7. Через Vх (f ; (А7 ,x^)) = Vj jP (f ; (А7 )) будем обозначать (Л-7'1 ,...,Л3р )-вариацию f как функции

переменных xj1,..., xjp по р-мерному параллелепипеду А7 = Ал х... х Ajp при фиксированных значениях

p

x' остальных переменных (если £ непусто). Возникающие при этом параллелепипеды Ij будем для

l=i j

краткости записывать как I^, а произведения Х^, ... X'jp. — как Х^.

Далее, (Л-71,... ,Л3р)-вариацией функции f (x1,... ,xm) относительно переменных xY по параллелепипеду А = А1 х ... х Am называется величина

V&(f;А) = Vg1 j(f;А)= sup Vj Kh(f;(А7,x«)).

v« ед«

Определение 3. Величина

(f ;А)= V (f; А)

1=0

называется (полной) (Л1,..., Лт)-вариацией функции / (х1,..., хт) по параллелепипеду А = А1 х.. .хАт. Множество функций, для которых она конечна, называется классом (Л1,..., Лт)-ограниченной вариации и обозначается через (Л1,... ,Лт)БУ(А). Введем также обозначение Ул!(/; А7,х^) для полной вариации / как функции переменных х7 при фиксированных значениях х^.

Определение 4. Функция / £ (Л1,..., Лт)БУ(А) называется непрерывной по (Л1,..., Лт)-вариации на А, если для любого непустого множества 7 = ^1,... ,]р} С {1,... , т} и для любого £ 7 выполнено

П™ Укп ЛП ,л>+ .....л* (/;А) = °

Множество таких функций будем обозначать через С (Л1,... ,Лт )У (А).

Если все последовательности Л3 совпадают и равны Л, то для краткости будем писать Ух, Ул, ЛБУ (А) и С ЛУ (А). Будем предполагать, что все рассматриваемые функции измеримы.

Классы ЛБУ определены в одномерном случае Д. Ватерманом [1], в двумерном — А. А. Саакяном [2], а для случая более высоких размерностей — А. И. Саблиным [3]. В этих работах, а также в работах автора (в частности, [4]) установлен ряд результатов о сходимости тригонометрических рядов Фурье функций из указанных классов. Понятие функции, непрерывной по вариации, введено в одномерном случае Ватерманом [5], а в случае более высокой размерности — автором [4] и О. С. Драгошанским [6].

В [6] получены результаты о совпадении и несовпадении классов для двумерного изотропного случая. В [4] показано, что для размерности т ^ 3 и достаточно быстро растущих последовательностей Л3 классы не совпадают.

В настоящей работе устанавливаются оценки сверху для тригонометрических коэффициентов Фурье функций из классов Ватермана. Для функций одной переменной известны следующие результаты.

Теорема Л (Шрамм и Ватерман [7, следствие из теоремы 1]). Для функции / из класса ЛБУ(Т) справедлива оценка \сп(/)| ^ (СУл(/, Т))/Л(п), п = 0.

Теорема В (Саблин [3]). Для функции / из класса С ЛУ (Т) справедлива оценка \сп (/)\ = о(1/Л(п)) при п — с.

Отметим, что в одномерном случае типичной является ситуация, когда эти классы совпадают. В многомерном же случае широко распространена обратная ситуация (см. [4, 6]). В п. 2 мы доказываем следующие многомерные аналоги теорем А и В.

Теорема 1. Для любой функции / из класса (Л1,...,Лт)БУ(Тт) ее тригонометрические коэффициенты Фурье при пз = 0 удовлетворяют оценке

, ^С(т)УА1,...,Ат(/,ТП т

Следствие 1. Пусть функция / из класса (Л1,..., Лт)БУ(Тт), множество {1,... , т} разбито на две непустые части 7 и £. Если номер п таков, что п3 = 0 тогда и только тогда, когда ] £ 7, то

тригонометрические коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют оценке

C (m)VAiAm (f, Tm)

\Cn(f)| <

j Л(\nj\)

Следствие 2. Пусть / £ (М^Л2,..., Km)BV(Tm), где lim = 0. Тогда ее тригонометриче-

п^ж M 1(n)

ские коэффициенты Фурье при minj \nj\ — с удовлетворяют оценке

М)1=0{ЛЧЫ).'Л"(М)- (2)

В частности, если f £ C(Л1,... , Лт)V(Tm), то для ее коэффициентов Фурье выполнено условие (2).

Теорема 2. Пусть f £ (Л1 ,..., Лm)BV(Tm), где последовательность Л1 такова, что ЛlBV(T) = CЛ^(T). Тогда для произвольных фиксированных П2,... ,nm = 0 справедлива оценка

\Cn (f )\ = О

Л1 (\ni\)

при n1 — с.

Замечание. Оценки, аналогичные установленным выше, очевидно, верны и для коэффициентов Фурье по системе произведений синусов и косинусов.

В п. 3 на основе одного из примеров, приведенных в [6], строится существенно более общая конструкция примеров функций из заданных классов Ватермана, как изотропных, так и анизотропных, для любой размерности m ^ 2 (лемма 7). Она позволяет в некоторых случаях несовпадения классов установить оценки снизу и показать, что для всего большего класса нельзя поставить "о" вместо "О". Точнее, имеет место

Теорема 3. Пусть заданы неограниченные последовательности Лj £ L, причем при каждом j выполнено условие

_ \3

lim -М < 2ßK

n

АП

где числа вз £ [0,1) удовлетворяют неравенству вз ^ т — 1' Тогда в классе (Л1,... ,Лт)ЕУ(Тт)

найдется непрерывная функция, синус-коэффициенты Фурье которой удовлетворяют условию

йт Ьп,...,п(/)-А1(п)...Ат(п) >0.

п—

Интересно сопоставить этот пример с теоремой 2. В частности, если Л3 = Л = {папри 0 < а ^ то класс удовлетворяет условиям и теоремы 3, и теоремы 2, т.е. в оценке (1) можно поставить "о" вместо "О", когда мы увеличиваем только один индекс, и нельзя этого сделать, если мы увеличиваем сразу все индексы.

2. Оценки сверху коэффициентов Фурье. Нам понадобится следующее вспомогательное одномерное понятие.

Определение 5. Пусть А С К — промежуток, Е С А. Положим

VA(f, А \ E) = sup Y,

П(Д\Е) k

1/(4)1 Аk

Лемма 1. Пусть А С К — промежуток, Е С А — множество с плотным дополнением, / — такая функция на А \ Е, что Ул(/, А \ Е) < то. Тогда ее можно продолжить на весь промежуток А так, чтобы УА(/, А) = Ул(/, А \ Е) и 8ирд\/\ = 8ирД\е\/

Доказательство. Покажем, что для любой точки х £ А существуют пределы функции / слева и справа по множеству А\Е (в концах А соответственно только с одной стороны). Пусть для определенности хо — внутренняя точка А ив ней не существует предела слева по множеству А \ Е. Тогда в силу плотности

этого множества найдутся числа р и д, р < д, а также последовательность ак Т Хо, такие, что ак £ А \ Е, /(а2]-\) < р, /(а2]) > д. Тогда при любом п имеем {(а23-1, а2у)}1]=1 £ П(А \ Е) и справедливы оценки

Щ/, А

л Лк ,—, Лк 3=1 к=1

при п — со, что противоречит условию Ул(/, А \ Е) < то. Доопределим теперь / в каждой точке Е как предел слева по множеству А \ Е, а в левом конце А, если он попадает в Е, как предел справа. Очевидно, что точная верхняя грань \/\ при таком продолжении не увеличится. Если теперь взять систему {(ак,Ьк)}П=1 £ П(А) (для определенности не содержащую левый конец А), то найдутся такие точки аку и Ькз из А \ Е, что акз Т ак и Ьку Т Ьк при ] -си {(аку, Ьку)}П=1 £ ^(А \ Е), а тогда

£ !/((«* А))1 = Ит £ 1/(Кг^))| ^ Ы1.

, , Лк Лк

к=1 к=1

Переходя к супремуму по П(А), получаем утверждение леммы.

При доказательстве теоремы 1 удобно выделить вспомогательное утверждение и доказывать их параллельно по индукции.

Для функции / и чисел пу = 0 положим

1 г т

По теореме Фубини интеграл существует для всех Ь1, кроме множества Е = Еп(/) лебеговской меры нуль.

Лемма 2. Для любой функции / из класса (Л1,... ,Лт)ВУ(Тт) и произвольных чисел пу = 0 справедлива оценка

... ,., т , С(т)УЛ......л-(/,Г")

Доказательство теоремы 1 и леммы 2. Без ограничения общности можно считать, что пу > 0. Утверждение леммы 2 при т = 1 тривиально, так как фп(Ь) = /(Ь). Теорема 1 для т = 1 доказана в [7] (см. выше теорему А).

Пусть для (т — 1)-мерного случая утверждения теоремы и леммы уже установлены. Докажем лемму 2 для т-мерного случая.

Обозначим Ь* = (¿2,... ,Ьт). Рассмотрим систему интервалов {1к} £ П(Т \ Е). Если Ек = sgn(^>n(Ik)),

то

2 = = 1 /• (з)

к Лк к Лк (2п) =

где функция п определена формулой

пчп

кк

Рассмотрим разбиение {2,... ,т} = 7 и где 7 непусто. Для любых систем интервалов {Ру} £ О(Т), ] £ 7, выполнено неравенство

^ Л77 ^ 2^ ^ ЛЩ; ^ ^ )■

кг к' к,кч к к'

Отсюда, переходя к верхней грани по {Iу }, ] £ 7, и по х^, а затем суммируя по 7, получаем неравенство

Из (3) по теореме 1 будем иметь

^ Л2(К|)...Л"Ч|пт|) ^ Л2(К|)...Л™(|пт|)-

Переходя к верхней грани по {11}, получаем оценку

С (т)Ул1.лт (/, Тт)

Vai (^n, T \ E) <

Л2(\п2\) ...Лm(\nm\)

Тем самым лемма 2 доказана для т-мерного случая.

Пусть теперь лемма 2 доказана для т-мерного случая, а теорема 1 — для (т — 1)-мерного случая. Докажем теорему 1 для т-мерного случая. Имеем

21 = (¿г (^ггХ„,-1/((1-Г)Ш«^)**) Л'.

Рассмотрим функцию

1 f (2П) JTm-i j=2

Согласно лемме 2, Р(¿1) е Л1ЕУ(Т \ Е) и

, ч С(т)УЛ1 Лт (/, Тт)

где множество Е имеет меру Лебега нуль. Тогда множество Т \ Е плотно в Т и по лемме 1 функцию Р можно продолжить на Т без увеличения вариации. Отсюда в силу основания индукции (теорема 1 для т = 1) имеем оценку

С(1)Ул1(^;Т) = С(1)УА1(Р-,Т\Е) ' 11 " Л1(|щ|) Л1(|щ|)

Подставляя в нее неравенство (4), получаем, что

С (т)УЛ1 ..дт (/, Тт)

<

Л1(\щ\) ...Лm(\nm\)

Теорема 1 и лемма 2 доказаны.

Доказательство следствия 1. Пусть т' — число элементов множества Применяя теорему 1 к функции / с фиксированными переменными х1, получаем оценку

< C{m')VAi{f,Tm'

Здесь вариация в числителе при любом xY не превосходит полной вариации f на Tm. Поэтому, взяв интеграл от обеих частей неравенства на Т"1-"1 по переменным х7 и поделив на , получим утверждение

(2п)

следствия.

Доказательство следствия 2. Первое утверждение немедленно следует из оценки (1), а второе — из нее же и теоремы 2 работы [4], в силу которой любая функция, непрерывная по (Л1,..., Лm)-вариации,

Лj (n)

попадает в некоторый класс (М1,..., Mm)BV(Tm), такой, что lim = 0 при каждом j = 1,... ,т.

п^ж Mj (n)

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим при фиксированных n2,... ,nm функцию

1 /■ m

= МП***'«?'■■■<*")■

По лемме 2 она принадлежит классу Л1ВУ(Т \ Е) для некоторого множества Е меры нуль. По лемме 1 ее можно продолжить до функции класса Л1 ВУ(Т), и по условиям теоремы продолженная функция принадлежит классу СЛ1У(Т). А тогда, согласно теореме В, имеет место оценка

\сп(/)\ = \Сщ Ш = о

Л1 (|ni|) / '

Теорема доказана.

3. Конструкция функций и оценка коэффициентов снизу. Нам понадобится следующее утверждение, принадлежащее Драгошанскому [6, лемма 2].

Лемма 3. Пусть последовательность Л £ L и число в £ [0,1) таковы, что

и^ж \n

Тогда для произвольного е > 0 существует такое число N = N(e,@, Л), что при любых натуральных N и M, N ^ N1, M ^ N, справедливо неравенство

Лемма 4 [4, лемма 4]. Пусть функция f (x) на m-мерном параллелепипеде A удовлетворяет условию '"лт (f' А) = Wm < о и для любого j = 1,...,m найдется такая точка x0 £ Aj, что f = 0 при xj = x0. Тогда f £ (Л1,.. .,Лт)БУ (А).

m

Пусть А = Aj — замкнутый промежуток. Всюду в этом пункте мы будем предполагать, что на Aj j=i

заданы последовательности непрерывных функций {rU(t)}^°=i, удовлетворяющие следующим условиям:

(a) rU (t) =0 в концах промежутка Aj;

(b) существует такая постоянная Ci, что шахд^ rU — т1пд^ rU ^ Ci;

(c) существует такая постоянная C2, что IrU(x) — rU(y)| ^ C2nlx — y|.

Обозначим через Q(Aj,5) совокупность всех систем из Q(Aj), в которых длина каждого интервала не превосходит числа 5 > 0.

Лемма 5. Пусть заданы неограниченные последовательности Лj £ L. Тогда существует убывающая функция натурального аргумента ^(N), зависящая также от C2 и Лj, обладающая следующими свойствами: i) tp(N) <

1 ^ K(ik)\ ^ 1 ...

и sup ... „т. > ,-:— ^ —тт при каждом 7 = 1,.... т.

{ik}en(AJMN))^(2N) t \3k 2N

Доказательство. Докажем вначале, что для любой растущей к бесконечности последовательности Л £ L выполнено условие

Иш sup уКШ = 0_ (5)

Согласно условиям, наложенным на rU(x), имеет место оценка ^N(I)| ^ C2N^^ Поэтому

Т/ ^N (Ik)| ^ п АТ

V= sup у j —\-^ C2N sup у j —.

{Ik}en(AjЛк {ak} ak^i^ Xk

k 0^ak^6

Пусть d = |_|J • Так как Л — неубывающая последовательность, то точная верхняя грань достигается, когда ак = 5 при к = 1,...,d, a^+i = 1 — d5, ак = 0 при k > d +1. Тогда

V < C2N5A(d + 1) < C2N^A(d + 1) < 2C2N^-.

Поскольку по условию —0, то Л(с?) = о{6) при с1 —оо, откуда и следует (5). Теперь можно по индукции выбирать числа ф(^) достаточно малыми, так, чтобы 0 < ф(^) < ф(^ — 1) (при N > 1) и выполнялись условия г и гг. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть заданы неограниченные последовательности Л3 £ Ь, удовлетворяющие условиям леммы 3. Тогда существует такая функция натурального аргумента Ф(^, зависящая также от Лк, С\, С2 и А, что для любого М ^ Ф(^ и для функции ф, определенной в лемме 5, выполнены условия ш) ^ < ф(М);

¿у) Ф(./V) ^ при 3 = 1,... ,т, где N определено в лемме 3;

у) Л3 (2М) ^ 4Л3 (2N) при каждом у,

у1) для любой системы {Iк} £ ^([0,1]) и любого у справедлива оценка

1 у- км (4)1 1

\з

Л3 (2М) ^ X3 2м'

У 'к : \1к \>ф(И) Хк

Доказательство. Очевидно, что если взять в качестве Ф(^ достаточно большое число, то условия ггг-V будут выполнены. Проверим, что можно так увеличить Ф^), что условие ш тоже будет иметь место. С одной стороны, для произвольного М имеем оценку \т3м(1к)| ^ С\. С другой стороны, число интервалов системы, для которых |/д.| ^ ф(И)1 не превосходит [^ту]- Тогда

ММ <

£

Лз (2M) ^ X3 Л3 (2M) '

v 'k: \1к\>ф(М) лк v ;

где числитель последней дроби уже определен, а знаменатель можно сделать сколь угодно малым, увеличив Ф(Ж), а вместе с ним и M. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть заданы последовательности Л3 £ L, причем при каждом j выполнено условие

_ \3

lim < 2ß*

га—>00

ХП,

где числа вз £ [0,1) удовлетворяют неравенству ^т=1 вз ^ т — 1. Тогда для любой последовательности ^к}, удовлетворяющей условию N^1 ^ Ф(^), где Ф из леммы 6, функция

лт з

/(*) = Z'

^ 117 I rx(-r?j e=1 nr=iA^'(2 N.)

непрерывна и принадлежит классу (Л1,... ,Лт)ЕУ(А).

Доказательство. Пусть т — отображение промежутка А на промежуток А, "составленное" из гомеоморфизмов соответствующих ребер. Тогда любой класс Ватермана инвариантен относительно этого отображения. Поэтому без ограничения общности можно считать, например, что А = [0,1]т. Также в силу линейности класса можно считать, что С1 = С2 = 1, иначе заменим функции тП(х) функциями

1 гуу) /'/У»^

тах{С1 ,Сг} ^ ''

В силу условия V леммы 6 ряд, определяющий функцию /, сходится равномерно, поэтому она непрерывна. Согласно свойству (а) функций тП, функция / равна нулю на границе куба [0,1]т, так что по лемме 4 достаточно оценить ее старшую компоненту вариации. Итак, пусть заданы системы и3 = {1к} £ 0([0,1]). Рассмотрим вариационную сумму

^ = Е

Я Ч х ... х /;„

XI ■ ■ ■ хт

m

ki,...,km kl km

Тогда

^ rrm .мо.мл xi \rn Z^ 11 w

i_\rlNßl)\---\r%{IZ

e=ifcl>...>fcmnr=i^(2Jve) xl... Km

где

1 у

* XI. •

к J к у

Оценим одну величину И1. Пусть VI — набор тех интервалов из V3, для которых 'ф(Мз) < \13к\ < ^(N^1). Обозначим через сумму длин интервалов из VI. Поскольку интервалы попарно не пересекаются, то Ь1 ^ 1. Имеем

т < 1

Л3 (2Ы3)

1 Е + Е • Е Е"^-

У к : \1{\>ф(Ив-!) к : \рк\^фф(Ив) к : Т3к&1)

Лк 1=1

Так как Л^ ^ Ф(Л^_1), то в силу условия гл из леммы 6 выполнена оценка Н1{ 1) < ^ В силу условия И из леммы 5 выполнены неравенства Н1(2) < ^г ^ Оценим третью сумму. Поскольку мы положили С2 = 1, то \т:>м I)\ ^ шт{1,Ж8\1к\}. Тогда

к : 13кеи3е к

1 у^ тт{1, М3ак} 1 ул М3ак

" * " Л^ * ^ '

«к^о о^йк )

Рассуждая, как в доказательстве леммы 5, устанавливаем точную верхнюю грань и приходим к оценке

НЧЗ) < — ^ = А'"(№*]+!)

XI Л^-(2Лд •

С учетом леммы 3 и условия ¡V леммы 6 имеем

3) <су?) ^1 * + <ст +1).

Складывая, получаем

щ < С(^) ({р.?-* + + ¿г < С'(РП +1) .

28) 28-1 V 28

Подстановка этих оценок в (6) дает неравенство

1

8=13=1

Для следующей оценки нам понадобится обобщенное неравенство Гельдера [8, § 2.8, теорема 12]: если V"1 1-1 то

р! - то

ОО 171 171 / ОО \ Р .

ЕПЛ8 «П ' •

8=1 3=1 3=1 \ 8=1 /

Так как по условию теоремы ^т=1 в3 ^ т — 1, то ^т=1(1 — в3) ^ 1. Но 0 < 1 — в3 ^ 1 для каждого у. Поэтому найдутся такие {р^, Ру > 1, зависящие лишь от {/З?}, что 1 — [3^ ^ и р~ = Применяя

обобщенное неравенство Гельдера с этими параметрами, получим

1

т / оо , 1 \ ю- т / оо

1)Т

3=1 \s=1 v 7 / 3=1 \s=1

Здесь ^ < 1; с другой стороны, так как Ь38 ^ 0, ^ 1 и (1 - Р])'Р] ^ 1> то (¿в)1-1 ^^ ^ и

окончательно получаем оценку

т / оо \

У < 2С(0)П 1 + Е 3 ^ 4С(0).

3=1 V 8=1 /

Таким образом, вариационные суммы для старшей компоненты вариации функции / равномерно ограничены. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Возьмем в лемме 7 функции тП (х) = 8ш(пх). Согласно указанной лемме, при достаточно быстро растущих {N5} функция

,, , ^ ПГ=1 вт(ад)

ПГ=1 Л3 (2tfe)

«=1 1 А3

принадлежит классу (Л1,...,Лт)ЕУ(Тт). По определению коэффициентов Фурье при любом р имеет место равенство

Ьмр,...,мр(Л = Щ^ЩЩ)-

Но Л3 (2^) ^ 2Л3 (Np). Поэтому верхний предел, указанный в формулировке теоремы, не меньше, чем

--IV 1/ .т и

2 71

Теорема доказана.

Автор приносит благодарность профессору М. И. Дьяченко и к.ф.-м.н. С. Ю. Тихонову за обсуждения результатов работы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-01-00175) и программы "Ведущие научные школы" (проект НШ-3252.2010.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44, N 1. 107-117.

2. Саакян А.А. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН АрмССР. 1986. 21, № 6. 517-529.

3. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.

4. Бахвалов А.Н. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и сходимость кратных рядов Фурье // Матем. сб. 2002. 193, № 12. 3-20.

5. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Stud. math. 1976. 55, N 1. 87-95.

6. Драгошанский О.С. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных // Матем. сб. 2003. 194, № 7. 57-82.

7. Schramm M, Waterman D. On the magnitude of Fourier coefficients // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. 85, N 3. 408-410.

8. Харди Г., Литлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948.

Поступила в редакцию 27.11.2009