Вложения пространств функций обобщенной ограниченной вариации в пространства функций с заданной мажорантой усредненного модуля непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

ВЛОЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ В ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ МАЖОРАНТОЙ УСРЕДНЕННОГО МОДУЛЯ

НЕПРЕРЫВНОСТИ

С. С. Волосивец1, А. Е. Вежлев2

1 Волосивец Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и стохастического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]

2Вежлев Арсений Евгеньевич, студент механико-математического факультета, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]

В настоящей статье мы изучаем вложения некоторых пространств функций обобщенной ограниченной вариации в классы функций с заданной мажорантой усредненного модуля непрерывности, введенного Б. Сендовым и В. Поповым. Мы рассматриваем пространства ЛBVфункций ограниченной (Л - р)-вариации, предложенные Д. Ватерманом (при p = 1) и М. Шиба (при p > 1), а также пространства V(v(n)) функций с заданной мажорантой модуля вариации. Последняя величина была введена З. А. Чантурия. Доказываются необходимые и достаточные условия (критерии) таких вложений. Ранее подобные вложения в классы функций с заданной мажорантой обычного интегрального модуля непрерывности изучались Ю. Е. Куприковым, У. Гогинавой и В. Цхадая, М. Хормози и другими. Даны приложения полученных результатов к оценкам погрешности некоторых квадратурных формул.

Ключевые слова: усредненный модуль непрерывности, пространство ЛBV. модуль вариации, вложение, квадратурная формула.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2017-17-3-255-266 ВВЕДЕНИЕ

Как известно, понятие функции ограниченной вариации было введено К. Жор-даном (Jordan) [1], который применил это понятие для получения признака равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной функции. В целях изучения рядов Фурье Н. Винер (Wiener) [2] рассмотрел функции ограниченной р-вариации при р = 2. Первый результат, связанный с интегральной гладкостью функций ограниченной вариации, принадлежит Г. Харди (Hardy) и Дж. Литтлвуду (Littlewood) [3]. Они показали, что f эквивалентна функции ограниченной вариации на [a, b] тогда и только тогда, когда

b-h

J |f (x + h) - f (x)| dx = O(h), h e [0, b - a].

a

Для функции f ограниченной р-вариации на [a, b], 1 < p < го, Л. Юнг (Young) [4] показал, что f e Lip(1/p,p). Эта тематика развивалась в работах А. П. Терехи-на [5,6].

В 1972 г. Д. Ватерман (Waterman) [7] также в целях изучения равномерной сходимости рядов Фурье ввел понятие функции ограниченной гармонической вариации (HBV), а в 1976 г. он же [8] рассмотрел функции ограниченной Л-вариации (ABV). М. Шиба (Shiba) [9] изучал функции ограниченной p — Л-вариации (ABV(p),p > 1), при p = 1 это понятие совпадает с понятием функции ограниченной Л-вариации.

З. А. Чантурия [10] рассмотрел модуль вариации функции.

Введенные в [7-10] определения применялись в основном к равномерной и абсолютной сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе. Долгое время после опубликования работ [3-6] вопросы оценки интегральной гладкости для функций обобщенной ограниченной вариации не исследовались. Ю. Е. Куприков [11] оценил интегральный модуль непрерывности порядка p для функций класса ABV на отрезке и показал неулучшаемость этой оценки. Другой подход к таким оценкам был предложен Ж. Ли (Li) и Х. Вангом (Wang) [12].

М. Хормози (Hormozi) [13] дал критерий вложения ABV(p) в Hq — пространство с заданной мажорантой ш(£) для Lq-модуля непрерывности. Ранее подобный критерий для вложения пространства функций с заданной мажорантой модуля вариации был установлен У. Гогинавой (Goginava) и В. Цхадая (Tskhadaia) [14].

В настоящей работе мы рассматриваем вложения пространств функций обобщенной ограниченной вариации в пространства , где ш(t) является мажорантой усредненного модуля непрерывности. Подробнее изложение теории таких модулей см. в [15].

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть f (x) определена и измерима на отрезке [0,1], причем f (0) = f (1), тогда f (x) можно считать 1-периодической. Пусть П = )}n=i — конечный набор непере-

n

секающихся интервалов из промежутка вида (d,d + 1) и v(n,f) = ^ |f(bk) — f(ak)|.

k=1

Через #(П) обозначим количество интервалов в П.

Модулем вариации функции f назовем последовательность {v(n,f)}^=1, определяемую равенством

n

v(n,f)= sup £ |f(bk) — f (ak)|.

#(П)

n

k=1

Данное определение принадлежит З. А. Чантурия [10]. Легко видеть, что {■и(п,/)}Ж= не отрицательна, возрастает с ростом п и является вогнутой, т.е. ■и(п + 1,/) — V(п, /) < V(п, /) — ^(п — 1,/),п > 2. Поэтому будем рассматривать мажоранты {V(п)}^=1, удовлетворяющие этим условиям. Если В[0,1] — множество измеримых ограниченных функций, то

V^(п)) = {/ е В[0,1] : v(n, /) < ^(п),п е М}.

Здесь С зависит от /, но не зависит от п.

Пусть теперь {Ап}^=1 — возрастающая последовательность положительных чисел

ж

такая, что £ А-1 = р е [1, гс>), / и П — такие же, как в начале параграфа.

П=1

Будем говорить, что /(ж) принадлежит пространству функций ограниченной (Л — р)-

вариации ЛБУ(р) [0,1], если

Ул,р(/) = Ул,р(/, [0,1]) = вирУл,р(/, П) < го,

п

где Ул,р(/, П) = ]Т

I/(Ьн) - /(ан) |р

А к

1/р

для П = {(ан,Ьк)}

к )}£=!•

Далее используется обозначение Лп = ^ А-1 • Если Ап = 1, то пространство

к=1

ЛБУ(р) [0,1] совпадает с пространством Винера Ур[0,1] (см. [2]).

Пусть функция /(ж) задана и ограничена на отрезке [0,1] и /(0) = /(1) (т.е. / можно считать 1-периодичной), тогда к-я разность /(ж) с шагом к определена при всех к. Она задается формулой

л/(ж) = £(-1)н-1( к)

i=0 ^ '

/ (ж + гк).

где

к!

. ,,, — биномиальные коэффициенты.

г) г!(к — г)!

Локальный модуль гладкости задается равенством

шк(/, ж, 6) = эир |Л£/(ж) I : г, г + кк е

кё ж6

ж--, ж +--

2 ' 2

Если /(ж) ограничена и измерима на [0,1], то шн(/, ж, 6) также ограничена и измерима на [0,1] (см. [15, гл. 1, теорема 1.3]). Поэтому можно рассмотреть усредненные модули непрерывности в Ьр[0,1], 1 < р < го,

Тн (/,6)р = Шн (/,-,6)

1 \ 1/р Шр(/,ж,6)^ж

Обычно для 1-периодических функций рассматривается другой модуль непрерывности в Ьр [0,1]:

Шн (/,6)р = эир Л/(•) Приведем необходимые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть / и д измеримы и ограничены на [0,1], 1 < р < го. Тогда

1) тн(/, 6)р не убывает по 6 и тн(/, п6)р < (2п)н+1тн(/, 6)р;

2) Тн(/ + g, 6)р < тk(/, 6)р + Тн(g, 6)р; 5) Тн (/,6)р < 2тн-1 (/, н-т6)р ;

4) если / всюду на [0,1] имеет производную, которая ограничена, то тн(/, 6)р <

< 6т— (/',к6/(к — 1))р ;

5) Тн(/, 6)рг < Тн(/, 6)р2 при 1 < Р1 < Р2 < го;

6) шк(/,6)р < Тн(/,6)р.

Свойства 1)-4) из леммы 1 можно найти в [15, гл. 1, §1.3], свойство 5) легко следует из неравенства Гельдера, а свойство 6) см. в [15, гл. 1, теорема 1.4].

п

р

Лемма 2. Пусть {ск}п=0, {^к}п=0 неотрицательны и убывают, причем для

к к

всех к = 0,1,..., п выполнено неравенство Е С ^ Е ^, а функция Ф(ж) выпукла

¿=0 ¿=0

на [0, го). Тогда справедливо неравенство

¿ф(* ) Фй).

¿=0 ¿=0

Лемма 2 является частью более общей теоремы Г. Г. Харди, Дж. И. Литтлвуда и Г. Полиа (см. [16, теорема 108 и комментарий к ней, с. 112]).

Лемма 3. Пусть / е ЛВК[0,1] и {(ак,Ьк)}П=1 — набор непересекающихся интервалов из (0,1). Тогда справедливо неравенство

(Ьк) — /(«к)| < ^Ки(/, [0,1]).

к=1

Доказательство. Докажем равенство

г \ / п \ п—1 (п—к п ^

Х^М Х)ВН = Вг+к + ^ A¿B¿+k—Л . (1)

¿=1 / \к=1 / к=0 I ¿=1 ¿=п—к+1 )

Преобразуем обе суммы из правой части формулы (1).

п—1 п—к п п—г п п—г п п

= ^ ^ A¿B¿+k = ^ ^ A¿B¿+k = ^ А» ^ Вг+к = ^ А» ^ В^, к=0 ¿=1 ¿=1 к=0 ¿=1 к=0 ¿=1 ^ = п—1 п п—1 п п п—1 п ¿—1

= ^^ ^^ АД+к—п = ^^ ^^ АД+к—п = ^^ ^^ АД+к—п = ^^ А^ ^^ :

к=0 ¿=п—к+1 к=1 ¿=п—к+1 ¿=2 к=п—¿+1 ¿=2 ^'=1

В первом равенстве произведена замена ] = г + к, во втором — ^ = г + к — п. Ясно, что 11 +12 равно левой части (1) и эта формула установлена.

Для доказательства леммы положим A¿ = А—1, Вк = |/(Ьк) — /(ак)|.

Если («¿(к),Ь(к)) = («¿+кЛ+к) при 1 < г < п — к и («(к), (к)) = («¿+к—пЛ+к—п) при п — к + 1 < г < п, то из равенства (1) следует, что

Л„£ |/(Ьк) — /(«к)| = ££ ^(Ь''(к)) —./К(к))| < пКл,1 (/, [0,1]),

к=1 к=0 ¿=1 ¿

откуда вытекает неравенство леммы. □

п

Лемма 4. Пусть д > 1 и функция ^(ж) = ЕX принимает наибольшее значение

¿=1

у = (у1 ,у2,... ,уп) при следующих ограничениях:

1) ж1 ^ ж2 ^ ... ^ жп ^ 0;

п

2) Е Ж А < 1.

¿=1

Тогда существует к е [1,п] П Z такое, что

У1 = У2 = ... = Ук = Л—1 > ук+1 > ... > уп = 0. Лемма 4 установлена Ю. Е. Куприковым [11].

п

Лемма 5. Пусть выполнены все условия леммы 4, кроме д > 1, которое заменено на 0 < д < 1. Тогда

пк

ЕЧ =

Ус = л Ч

i=1

/С — тс — шах —ч.

с лп лн

Лемма 5 установлена М. Хормози [13].

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть {^(п)}^=1 — возрастающая, положительная и вогнутая последовательность. Для / е У(и(п)) и р е [1, +го) справедливо неравенство

Т1

/ 1) < Сп—р (и(к) — и(к — 1))р^

1/р

^ , п е N.

Доказательство. По определению имеем

,/(2п)

Т

(/,п)р=£ ,/ шрН)*=

р i=1(i-1)/(2n)

Но если ж е

2п ^(2п) ^ /

,= 1 (i—1)/(2п)

г — 1 г

зиИ |/(у) — /(г)|р : у, г е

11

ж--, ж +--

2п 2п

^ж.

2п 2п

и У, г е

11

ж — —, ж + — 2п 2п

, то у, г е

г — 2 г + 1 2п , 2п

. В итоге

/-1

п

<

р i=l

2п 1

? ви^ I/(У) — /(г)1р : У, г е

г — 2 г + 1 2п , 2п

^ж =

104 2 а +Е

а,

(2)

где ]Т 1 берется по г = 1,4, 7,..., 3 [(2п — 1)/3] + 1, берется по г = 2,5,

8,..., 3 [(2п — 2)/3] + 2, ^^ берется по г = 3,6,9,..., 3 [2п/3]. Ясно, что интервалы вида (г,—2, гт), где г, = г/(2п) и г входят в одну и ту же сумму У^ , не пересекаются. Для любого г е (0,^р(1)) найдем ан,Ьн е [гзн—1,гзн+2],0 < к < [(2п — 1)/3], такие,

[(2п—1)/3]

]Т а, < ^ |/(ан) — /(Ьн)|р + 3.

что

н=0

Так как (ан,Ьн) не пересекаются, то, полагая -и(0) =0 и считая п ^ 2, имеем

[(2п—1)/3] п—1

]Г I/(ан) — /(Ьн)| < ^(п, /) < С^(п) = С1 ^(V(у + 1) — V(у)). н=о 3=0

р

1

3

Дополняя набор {(ак, Ьк)}к=сГ1)/3 вырожденными интервалами и переобозначая их так, чтобы |/(Ьк) — /(ак)| убывали с ростом к, можем считать, что построена последовательность {(ак, Ьк)}п—0 такая, что

3 3

: — v(k)), 0 ^ з ^ п —

к=0 к=0

£ |/(«к) — /(Ьк)| < (v(k + 1) — v(k)), 0 < з < п — 1.

к=0 к=0

Применяя лемму 2, мы получаем, что

п—1 п—1

£ |/(«к) — /(Ьк)|Р < С1 £(v(k + 1) — v(k))p, к=0 к=0

т. е.

п—1

Е1 а < (1.(к + 1) — г>(к))р + 3.

к=0

Аналогичные оценки получаем для ^^2 а и ^^з а. Складывая их и подставляя в (2), находим, что

(1 \ 3 п—1

^ 2пСр к=0(v(k + 1) — 1'(к))Р + 2п (3)

7 Р к=0

В силу произвольности г > 0 последнее слагаемое в правой части (3) можно опустить. □

Следствие 1. Для / е V^(п)) и р е [1, го) справедливо неравенство

/[1/^1+1 \ 1/р п(/,5)р < С51/р( £ (v(k) — v(k — 1))р| , 5 е (0,1). к=1

Доказательство. Если 5 е [(п + 1) 1,п 1 ],п е М, то по пункту 1) леммы 1 Г1 (/,5)р , Т1 р , ^;,_+_)р ,

1/Р

1 ,1/Р/п+1 \ "*"/ Г' #11/П1+1 \

/ 1 \1/^п+1 \ 1/р /[1/^1+1 \

< С,(птт) ( £(v(к) — v(к — 1))р 1 < С151/р I £ (v(k) — v(k — 1))р I

1 1 п + 1 ' I / — v — -Ч) I ^ С1<

□

Пусть ^(£) — модуль непрерывности, такой что ^(£) > 0 при £ > 0.

Р М — • и^ияр II л |р ■ —

Т1 (/,£)

Введем пространства Яр" = < / е Ьр[0,1] : II/IIш = II/II + эир-р < го > и

Я- = |/ е В[0,1] : I/= I/!р + вир < го |.

Теорема 2. Пусть {^(п)}^=1 — возрастающая вогнутая положительная последовательность. Тогда вложение У(^(п)) с Яр,т имеет место в том и только том случае, когда

5i/p ( £ [1 ]+i(v(k) - - 1))p

lim sup--—---< го. (4)

Доказательство. Достаточность условия (4) вытекает из следствия 1. Что касается необходимости, У. Гогинава и В. Цхадая [14] установили, что если (4) не выполнено, то существует f0 е V(v(n)) \ Hp. Поскольку в силу свойства 6) леммы 1

,т

ip J-J-p , 1 w J0 у yuyvjj \ J-J-p

1/p

Я-'т с я-, то fo е V(v(n)) \ Я-'т. □

Теорема 3. Пусть Л = (An— положительная, неубывающая последова-

ynfn-i

ж

-1

n-1

тельность такая, что Y^ = го. Если f е ЛBV(1) [0,1], то справедлива оценка

1 \ 3

T<f'nJ 1 ^ 2Л (f)-

Доказательство. Пусть ^ = i/(2n), i е Z. По определению имеем

Ti (f- n) 1 = £,/sup {|f (y) - f (z )i: z е [x - 2?x+2n]}

ti-i

2n i 1

^ Y1 2П SUP {lf (y) - f (z)l : е [ti-2= 2П ^^ 1 + ^2 + ^3

dx ^

(5)

где £ имеют такой же смысл, как в доказательстве теоремы 1. Снова отметим,

что количество слагаемых в / ^ не превосходит [(2п — 1)/3] + 1, что не превосходит п при п > 2.

Снова находим ан,Ьн е [гзн—1 ,гзн+2] такие, что

[(2n-1)/3]

£

Е, «< ^ Е If (ak) - f (bk)l +3

и в силу леммы 3

1

k-0

Е1 а < ЛпУл-1(/) + 3• (6)

Аналогичные (6) неравенства справедливы для ^^2 а, и ^^з а,. Складывая эти неравенства и подставляя их в (5), находим, что

Ч/,п) 1 < 2Л——1 У-(/)+2п-

В силу произвольности г > 0 получаем неравенство теоремы. □

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3 Теорема 4. Пусть p,q е [1, го) и f е ABV(p)[0,1]. Тогда

" (f'n) s ш'"1»'- 10л]| (SS.лВ) и p5 1

;,(,!)_<(|)-f> „и p<,.

Доказательство. Пусть снова = i/(2n), i е Z. По определению

2. 2. (f'1) = £/ ^(f'X'l) dx < £ 2n sup {If (y) - f(z)lq : е [ti-2,ti+1]} =

1 ^2 + £ 3 ' (7)

где 1, 2, 3 — такие же, как в доказательстве теоремы 1.

Еп—1 £

а через Е |/(«к) — /(Ьк)|? +—, где (ак, Ьк) попарно не 1 к=0 3 пересекаются и некоторые /(ак) — /(Ьк) могут равняться нулю.

Пусть теперь Жк = |/(«к) — /(Ьк)|?, где {(а'к, Ьк)}п=1 — перестановка (ак, Ьк) такая,

п

что ж1 > ж2 > ... > жп > 0. При этом Е жк/Ак < Кр?л(/, [0,1]) = A. Если A = 0, то

к=1

утверждение теоремы очевидно, иначе в силу леммы 4 при д/р ^ 1 имеем

п п / ,

Е, а < £ жк/р + 3 = ^ £ + 3 < [0,1]) ^ А + 3.

k=0 k=1

Аналогичные неравенства справедливы для ^^2 а, и ^^з а,. Подставляя их в (7), получаем

f, ^ < ^(f, [0,1])max 4 + (8)

q — — Л Г

n / 2n p' i<k<. A P 2n

Lk

В силу произвольности г > 0 последнее слагаемое правой части (8) можно опустить. При д/р < 1 по лемме 5 неравенство (8) превращается в следующее:

т? (/,!) < 3 /М. (9)

V п/? 2 Лп

При д = р = 1 аналогичный результат получен другим способом в теореме 3. □ Теорема 5. Пусть р, д > 1, Л = {Ап}Ж=1 — возрастающая последовательность

ж

положительных чисел такая, что Е А—1 = го, — модуль непрерывности

¿=1

такой, что > 0 при £ > 0. Тогда вложение ЛВК(р)[0,1] с имеет место тогда и только тогда, когда

limsup^ —7———-у max ( V < го. (10)

^(i/n)n1/q VЛк J (

ч

1

Доказательство. В силу теоремы 4 из выполнения (10) следует, что т1 (/, 1/п) < < С1 ш (1/п). В силу утверждения 1) леммы отсюда вытекает, что Т1(/, 6) < С2ш(6) для всех 6 е [0,1] (см. доказательство следствия 1). Если условие (10) не выполнено, то согласно результату М. Хормози [13] существует функция /0 е ЛБУ(р)[0,1], которая не принадлежит Я^. Но в силу части 6) леммы 1 верно вложение Яр'т с Я^. Поэтому /0 <е Яр'т и необходимость условия (10) для вложения установлена. □ Рассмотрим некоторые приложения оценок усредненных модулей непрерывности из теорем 1 и 4.

Напомним, что формула прямоугольников в численном интегрировании выглядит так:

1

п

//(ж)* = п Е / (^ь ДП (/),

0 ,=1 где ЕП(/) — погрешность формулы.

Если ж, = г/п, то формулы трапеций и Симпсона записываются следующим образом:

I /(ж)Лж = 2п /(0) + 2 £ /(ж,) + /(1^ + ЕП(/),

0 V ,=1 /

1 / 1

п— 1 п

1 I Г /■/ЛЛ , X ^ Г/..\ I Л X ^ Г I ж, + ж, — 1 \ I ^ / -I \ I , 7-12

п— 1 п

- /(0) + 2£/(ж,)+^/{:

\ ,=1 ,=1 ^

/(ж)Лж = — ( /(0) + 2> ,/(ж,) + О I + /(1)1 + ЕП(/).

В главе 3 монографии Б. Сендова и В. Попова [15] была получена следующая теорема.

Теорема А. Пусть / определена, измерима и ограничена на [0,1]. Тогда

1 (* 1 \ 1 \ л 1 \

\т)\< 2тЧ/' ^ 1, 1лп (/)1 * 1' |лп (/)| * СТЧ/' ^ 1.

Следствие 2. Пусть {^(п)}^=1 — возрастающая вогнутая положительная последовательность. Тогда для / е У(V (п)) справедливы оценки

К(/)| < Сп—1 и(п), |ЕП(/)| < Сп—1^(п), |ЕП(/)| < Сп—1V(п).

Доказательство. В силу оценки теоремы 1 имеем т1 (/, 1/п) < С1 п—1 г>(п). В то же время в силу пункта 3) леммы 1 имеем т2 (/, 1/(2п))1 < 2т1 (/, 1/п)1. Поэтому

|ЕП(/)1 ^ Т1 (/,£) ^ Ст—1 ж(п).

Для ЕП в силу пунктов 1) и 3) леммы 1 и теоремы А имеем

|ЕП(/)1 < т^/, ^ < 2т^/, 2) < 32Т1 (/, 1 < 32С1 п—1 и(п).

Для ЕП получаем с помощью леммы 1 и теоремы А

|ЕП(/)1 < 2Т^/, 1 < 22Тз (/, б!)1 < ^ (/, 1 < 2^2Т1 (/, 1 <

< 8 • 42С2Т^/, ^ < 27С2С1п—1V(п).

□

Следствие 3. Пусть 1 < p < го, последовательность Л такая, как в теореме 3, f (ж) дифференцируема всюду на [0,1], причем f е ЛВУ(p) [0,1]. Тогда для f справедливы оценки

|R.(f)| < Сп-1Л-1/р, |R.(f)| < Cn-1 Л-1/р, |R.(f)| < Cn-1 Л-1/р.

Доказательство. В силу свойств 4) и 1) из леммы 1 имеем

Т2(f, 1/n)1 < n-1T1 (f, 2/n)1 < 16n-1 T1 (f, 1 /n) 1 < C1 n-1 Л-1/р.

Подставляя эту оценку в два первых неравенства теоремы А, получаем утверждения для R.(f) и R.(f). С помощью леммы 1 получаем также

T4(f, 1/(2n))1 < 4T2(f, 1 /n) 1 < 4n-1 T1 (f', 2/n)1 < 4Сщ-1Л-1/р,

откуда следует оценка для R.(f). □

Библиографический список

1. Jordan C. Sur la Serie de Fourier // C. R. Acad. Sci. Paris. 1981. Vol. 92. P. 228-230.

2. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients //J. Math. and Phys. 1924. Vol. 3. P. 72-94.

3. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals (I) // Math. Zeitschr. 1928. Vol. 28. P. 565-606.

4. Young L. C. An inequality of the Holder type, connected with Stieltjes integration // Acta Math. 1936. Vol. 67. P. 251-282.

5. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Матем. 1965. № 2. С. 171-187.

6. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной р-вариации // Матем. заметки. 1967. Т. 2, № 3. С. 289-300.

7. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Studia math. 1972. Vol. 44, № 2. P. 107-117.

8. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Studia math. 1976. Vol. 55, № 1. P. 87-95.

9. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class ЛБУ(p) // Sci. Rep. Fukushima Univ. 1980. Vol. 30. P. 7-10.

10. Чантурия З. А. Об абсолютной сходимости рядов Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 2. С. 185-193.

11. Куприков Ю. Е. О модулях непрерывности функций из классов Ватермана // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 1997. № 5. С. 59-62.

12. Li Z., Wang H. Estimates of Lp- continuity modulus of ЛБУ series and applications in Fourier series // Applicable Anal. 2011. Vol. 90, № 3-4. P. 475-482.

13. Hormozi M. Inclusion of ЛБУ(p) spaces in the classes H // J. Math. Anal. Appl. 2013. Vol. 404, № 1. P. 195-200.

14. Goginava U., Tskhadaia V. On the embedding У[v(n)] с Hp // Proc. A. Razmadze Math. Inst. 2004. Vol. 136. P. 47-54.

15. Сендов Б., Попов В. Усредненные модули гладкости. М. : Мир, 1988. 328 с.

16. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.

Образец для цитирования:

Волосивец С. С., Вежлев А. Е. Вложения пространств функций обобщенной ограниченной вариации в пространства функций с заданной мажорантой усредненного модуля непрерывности // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 255-266. ЭО!: 10.18500/1816-9791-2017-17-3-255-266.

Embeddings of Generalized Bounded Variation Function Spaces into Spaces of Functions with Given Majorant of Average Modulus of Continuity

S. S. Volosivets1, A. E. Vezhlev2

1 Sergey S. Volosivets, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]

2Arseny E. Vezhlev, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]

In the present paper we study embeddings of some spaces of functions of generalized bounded variation into classes of functions with given majorant of average modulus of continuity introduced by B. Sendov and V. Popov. We consider the spaces ABV(p) of functions of bounded (A - p)-variation suggested by D. Waterman (for p = 1) and M. Shiba (for p > 1) and spaces V(v(n)) of functions with given majorant of its modulus of variation. The last quantity was introduced by Z. A. Chanturia. The necessary and sufficient conditions of such embeddings are proved. Earlier similar embeddings into classes with given majorant of usual integral modulus of continuity were studied by Yu. E. Kuprikov, U. Goginava and V. Tskhadaia, M. Hormozi et al. Applications of obtained results to estimates of errors for some quadrature rules are given.

Key words: average modulus of continuity, A BV(p) space, modulus of variation, embedding, quadrature rule.

References

1. Jordan C. Sur la Serie de Fourier. C.R. Acad. Sci. Paris, 1981, vol. 92, pp. 228-230.

2. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients. J. Math. and Phys, 1924, vol. 3, pp. 72-94.

3. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals (I). Math. Zeitschr., 1928, vol. 28, pp. 565-606.

4. Young L. C. An inequality of the Holder type, connected with Stieltjes integration. Acta Math., 1936, vol. 67, pp. 251-282.

5. Terekhin A. P. Priblizhenie funkcii ogranichennoi p-variacii [Approximation of functions of bounded p-variation]. Izvestiya vyssh. ucheb. zaved. Matematika, 1965, no. 2, pp. 171-187 (in Russian).

6. Terekhin A. P. Integral smoothness properties of periodic functions of bounded p-variation. Math. Notes, 1967, vol. 2, no. 3, pp. 659-665.

7. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation. Studia Math., 1972, vol. 44, no. 2, pp. 107-117.

8. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of A-bounded variation. Studia math., 1976, vol. 55, no. 1, pp. 87-95.

9. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class A BVSci. Rep. Fukushima Univ., 1980, vol. 30, pp. 7-10.

10. Chaturia Z. A. Absolute convergence of Fourier series. Math. Notes, 1975, vol. 18, no. 2, pp. 695-703.

11. Kuprikov Yu. E. O modulyah nepreryvnosti funkcii iz klassov Watermana [On moduli of continuity of functions from Waterman classes]. Vestnik Mosk. univ. Ser. 1. Math., mech., 1997, no. 5, pp. 59-62 (in Russian).

12. Li Z., Wang H. Estimates of Lp- continuity modulus of ЛБУ series and applications in Fourier series. Applicable Anal., 2011, vol. 90, no. 3-4, pp. 475-482.

13. Hormozi M. Inclusion of ЛБУ(p) spaces in the classes H(q. J. Math. Anal. Appl., 2013, vol. 404, no. 1, pp. 195-200.

14. Goginava U., Tskhadaia V. On the embedding У[v(n)] с Hp. Proc. A. Razmadze Math. Inst., 2004, vol. 136, pp. 47-54.

15. Sendov B., Popov V. Usrednennye moduli gladkosti [Average moduli of smoothness]. Мoscow, Mir, 1988. 328 p (in Russian).

16. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1934. 328 p.

Cite this article as:

Volosivets S. S., Vezhlev A. E. Embeddings of Generalized Bounded Variation Function Spaces into Spaces of Functions with Given Majorant of Average Modulus of Continuity. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 3, pp. 255-266 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-3-255-266.