CC BY
13
УДК 517.518
ОБОБЩЕННАЯ АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
М. А. Кузнецова
Кузнецова Мария Андреевна, студентка механико-математического факультета, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]
А. Зигмунд доказал, что 2п-периодическая функция ограниченной вариации из любого класса Липшица Ыр(а) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Этот результат был распространен на многие классы функций обобщенной ограниченной вариации (например, на функции ограниченной р-ва-риации Жордана-Винера, функции ограниченной Л-вариации, введенные Д. Ватерманом и др.) и на различные пространства, определяемые модулями непрерывности. Мы изучаем сходимость
оо
рядов XI 1к |/(к)|в, где (7кявляется последовательностью из подходящего класса Гоголад-
к=1
зе-Месхиа, а (/(к)}%=0 — коэффициенты Фурье / е Ь1 [0,1) по мультипликативной системе. Достаточные условия сходимости таких рядов получаются в предположении ограниченности обобщенной вариации, задаваемой числом р > 1 и последовательностью Л, и в терминах равномерных или интегральных модулей непрерывности. Используя флуктуацию (т. е. осцилляции функции рас-смтриваются только по отношению к узкому классу разбиений и их интервалов) вместо вариации, мы получаем более общие утверждения. Результаты данной статьи дают аналоги некоторых теорем Р. Г. Вьяса, касающихся тригонометрических рядов или рядов Уолша, или обобщают их.
Ключевые слова: абсолютная сходимость, ряды по мультипликативным системам, функции обобщенной ограниченной вариации.
ЭО!: 10.18500/1816-9791 -2017-17-3-304-312
ВВЕДЕНИЕ
Пусть (рп}П=1 — последовательность натуральных чисел такая, что 2 < рп < N при всех п е N. Положим по определению т0 = 1, тп = р1 ...рп при п е N. Каждое число х е [0,1) имеет разложение
оо
X
X = ~
тп
Ех
—, Хп е Z п [0,Рп). (1)
1~П
п=1
Представление (1) единственно, если для х = к/тз-, е N 0 < к < т3, брать разложение с конечным числом хп = 0. Если к е Z+ записано в виде
оо
к = ^^ kjт^-1, кз- е Z П [0,рз-),
3=1
{ оо
а х е [0,1) имеет разложение (1), то по определению %к (х) = ехр хз- кз- /рз
V з=1
Система (%к}£=0 является ортонормированной и полной в Ь1[0,1) (см. [1, § 1.5]).
Отметим, что при к < тп функции хк(ж) постоянны на 7™ = [У — 1)/тп
^ = 1, 2,... ,тп.
Для / е Ь1 [0,1) определим коэффициенты Фурье
/(n) = y f (t)xn(t)dt, n e Z+. 0
Пусть G (P) — группа, состоящая из последовательностей вида X = (х1}х2,...), Xj e Z+, 0 < Xj < pj, с операцией X © X = X, где Zj = Xj + yj (mod pj), j e N.
ж
Аналогично определяется обратная операция X © X- Отображение Ар (X) = Xjm-1
j=i
не является взаимно однозначным, поскольку элементам вида
X = k/mi, k, l e N, k < mi, (2)
соответствуют два элемента G (P). Определим обратное отображение Ар1. Для X вида (2) пусть Xj = [mjx] (mod pj), j e N. Тогда А-1 (x) = (x1 ,...,Xi,0,...). Для остальных x e [0,1) существует единственный элемент X e G (P) со свойством Ар (X) = x и тогда Ар1 (x) = X. Определим обобщенное расстояние
р(х,у) = Ар (Ар1(х) © Ар1 (у))
и сложение
х © у = Ар (ар 1 (х) © Ар1 (у))
на [0,1). При этом х © у не определено, если Ар1 (х) © Ар1 (у) = X, где Zj = pj — 1 при j > j0, то есть х © у определено для почти всех х e [0,1) при фиксированном у e [0,1). Легко видеть, что х © 1/mk+1, k e Z+, определено всегда и что р (х © 1/mfc+1, х) < 1/mfc.
Для f (х) e Lp[0,1) при p ^ 1 определим дискретный модуль непрерывности
Wn(f)P = sup ||f(x © h) — f(x)||p, ||f ||p = / |f(t)|pdt 0<h<1/m„ \J0
1/p
Функция f (ж) принадлежит пространству С * [0,1), если для любого г > 0 найдется 6 > 0 такое, что при всех ж, у е [0,1), для которых р(ж, у) < 6, справедливо неравенство ^(ж) — f(у)| < г. Соответственно ^(Яж = эир^^х^ |f(ж) — f(у)|. Пусть Л = (Лп}~=1 является неубывающей последовательностью положительных
ж
чисел и ^ 1/Лп = а функция f (ж) ограничена на [0,1) и
п=1
озе(^Т™) = йирЩ (ж) — f (у) | : ж, у е }.
Определение 1. Ограниченная на [0,1) функция f(ж) принадлежит классу (р)[0,1) функций ограниченной Л-р-флуктуации, если
озеР(Мп) \1/р ) = йир эир \ ---3—\ < го,
пеж+ {ц Ще^ \ Лз )
где {^}т=1 — перестановка чисел 1,2,...,тп, является множеством всех таких перестановок.
1
1
Пространства AFL(p) [0,1) являются аналогами пространств функций ограниченной Л-вариации и Л-р-вариации, введенных соответственно Д. Ватерманом (Waterman) [2] и М. Шиба (Shiba) [3]. Следующее ниже определение является аналогом определения Х. Кита (Kita) и К. Йонеда (Yoneda) [4].
Рассмотрим последовательность {p(n)}n=i, p(n) ^ 1, возрастающую и стремящуюся к бесконечности.
Определение 2. Ограниченная на [0,1) функция f (ж) принадлежит классу
ЛF L(p(n) I го), если
0scp(n)(f,/n) ^ 1/p(n)
Ул,р(п)(f) := sup ^ sup^ I -x , lj < ro-
il j Щ ew^ ^
Пусть a ^ 1. Будем говорить, что последовательность y = {Ykпринадлежит классу A(a) = A(P, a), если yk > 0 при всех k и
mn+i \ 1/a m,n
Y Y? ) < СтП1-а)/а Y1 Yk =: СтП1-а)/аГп, n G N.
vk=m„+1 / k=m„_i +1
При n = 0 можно считать, что аналогичное неравенство верно для Г0 = Yb Данное определение введено в работе Л. Гоголадзе (Gogoladze) и Р. Месхиа (Meskhia) [5] при mn = 2п. Последовательность y = {Yk}k=1 принадлежит классу A(ro), если Yk > 0 при всех k и
max Yk ^ Ст-1Гп, n G N.
mn <k^mn+1
Отметим, что A(a1) с A(a2) при a1 > a2 и что класс A содержится в A(a) при всех a ^ 1, где A — класс положительных последовательностей y со свойством max Yk ^ C min Yk, n G N, при некоторой постоянной C > 0. Класс A был
mn ^k<mn+1 mn_i^k<mn
введен П. Л. Ульяновым [6] также при mn = 2п.
В настоящей работе для систем {хп}^=0 изучаются условия сходимости рядов
оо
вида ^ Yn |f*(n) |в с весовыми последовательностями {y«,}п=1 из классов Гоголадзе -
п=1
Месхиа и функций f из пространств функций обобщенной ограниченной флуктуации. Сходимость таких рядов из коэффициентов Фурье-Уолша изучал Ф. Мориц (Moricz) [7], для общих мультипликативных систем ряд результатов был установлен Б. И. Голубовым и С. С. Волосивцом [8]. Теоремы 1 и 2 являются аналогами результатов Р. Г. Вьяса (Vyas) [9] для тригонометрических рядов, где используется более сильное условие ограниченности обобщенных вариаций. Теорема 3 распространяет другой результат Р. Г. Вьяса [10] в двух направлениях: 1) в [10] рассматривался случай Yk = 1; 2) там изучалась только система Уолша, частный случай систем {хп}п=0 при pi = 2.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1. Пусть f G ЛFL(1)[0,1) П C*[0,1), 0 < в < 2, y = {Yk}Г=1 G
G A(2/(2 - в)) или в = 2 и y G A(ro). Если £ ^ < ГО то
k=1 \ mk /
сходится ряд
ж
£7к|/(к)Г (3)
к=1
Доказательство. Пусть к > 0 — фиксированное целое число. Рассмотрим
£ (ж) = f (ж ф .у'/тк ф 1/тк+1) — f (ж ф 3'/тк), 3 = 1,тк. Если f е Л^^ (р) [0,1), то f ограничена на [0,1) и принадлежит Ь2 [0,1). Известно, что £(ж ф 1/тк+1) имеет ряд
ж ^
Фурье по системе {х*}Ж=о вида X] /(з)х*(ж)х*(1/тк+1). Тогда £(ж ф 1/тк+1) — £(ж)
в=0
имеет следующее разложение в ряд Фурье (см. введение)
ж
^ /(з)[Х*(1/тк+1) — 1]х*(ж).
В силу равенства Парсеваля и инвариантности интеграла относительно обобщенного сдвига
ж
|2 |2
£л12 = £ |/(з)|2|Х.(1/тк+1) — 1|2. (4)
.....^
Вк := x |£(з)|2 < —иЛу2 = С1 / |£:у-(ж)|2¿ж.
При з е [тк ,тк+1) и [з/тк] = 3 е [1,рк+1) с учетом ограниченности последовательности {р }гс=1 получаем
п3 п п
|х*(1/тк+1) — 1| = | ехр(2пгз'/рк+1) — 1| = 2Й1П- > 2З1П- > 2 —.
Рк+1 Рк+1 N
Из (4) получаем, что
тк+1-1 г 1
|/ (з)|2 < 4"1"2
' N ^0
Так как р(ж ф 3/тк Ф 1/тк+1 ,ж Ф 3/тк) = 1/тк+1 < 1/тк, то ^(ж)| < ^к(f )ж. В то же время числа ж ф 3/тк ф 1/тк+1 и ж ф 3/тк принадлежат одному /к, а разным 3 будут соответствовать разные Л. Поэтому
£ < £ о£) , ^ (£). (5)
Л=1 ^ Л=1 ^
п
Пусть Лп = ^ Л-1. Умножая (5) на 1/Лл- и суммируя получившиеся неравенства
к
к=1
по 3 = 1,2,..., тк, получаем
Л„кВ ^ С1 Г У] ^М2¿ж < С1Шк(£)« /1 £ ¿ж,
Зо , Л7 ^о г—:
'0 л=1 Лл Л л=1 Лл
или
Вк < С1 ^^^М ^) < С2 ^Л^. (6)
Если ß е (0, 2), то 1 = ß/2 + (2 — ß)/2, то в силу (6) и по неравенству Гельдера при k > 1
mk+1-1 /mk+l-1 \ <2 в)/2 mk-1 / ( f\ \ в/2
£ Ys |f(s)|e < £ 7.2/<2-вЧ Вв/2 < Сзт-в/2 £ Ys •( f)
s=mk \ s=mk / s=mk-i ^ mk
A.
s=mk-i 4
Суммируя неравенства выше по k ^ 1, получаем
Ж Ж , f \ в/2
£ Ys|/(s)|e < C4£ <в/2гЛ f )
7 л V лть /
s=mi k=1 4 k '
откуда следует утверждение теоремы при 0 < в < 2. При в = 2, применяя (6) и условие 7 е А(го), находим, что
тк+1—1 (Г)
£ 7,|Дз)|2 < С4ш-1ГкВк ^ Сш-'Гк.
Суммируя эти неравенства по к ^ 1, получаем утверждение теоремы в случае в = 2. □
Теорема 2. Пусть £ е Л^^(р)[0, 1), 0 < в < 2, 7 = {7ке А2/(2—в) или в = 2, 7 е и сходится ряд
Ж / (. , ( f\ A2r-p \ в/<2г)
\^т-в/2г / (^fc(/)<2-p)s+p)
m г М л
k=i
V ^m-k
где г, з > 1, 1/з + 1/г = 1. Тогда ряд (3) сходится.
Доказательство. При доказательстве теоремы 1 было получено следующее неравенство:
тк+1—1 г 1
• ' "k+ 1 л 1
Bk = Е f (i)|2 < СЧ f(x)|2dx,
' '^x)|2 dx, (7)
= f (^)i ^ if i=mk
где f(x) = f (x Ф j/mfc Ф 1/mfe+1) — f (x Ф j/mfc), j = 1,... ,mfc.
Запишем число 2 в виде 2 = ((2 — p)s + p)/s + p/r. Применяя неравенство Гельдера с показателями r, s и (7), имеем
Bk < C1 Г |fj(x)|<<2-p)s+p)/s|fj(x)|p/rdx < 0
< C^/ |fj(x)|pdx) |fj(x)|<2-p)s+p) . (8)
В силу инвариантности интеграла относительно обобщенного сдвига
i1 \1/s |fj (x)|<2-p)s+p dxj < (^(f)<2-p)s+p)2-P+P/S. (9)
Возводя обе части (8) в степень г и используя (9), приходим к неравенству
В < (/)(2-^+р)2г-р |/;(х)|Рйх. (10)
.)0
Умножая (10) на 1/Л; и суммируя полученные неравенства по ] = 1,..., тк, находим,
что
г1 | / (х)|Р
Лтк В < (/) (2 —р)в+р
)г р \ --ЙХ < С2 (^ (/) (2 —р)в+р
70 ¿=1 Л
откуда следует, что
\2г—рт/ / 1/г
В* <С11-Лт-) . (11)
При 0 < в < 2, используя неравенство Гельдера и определение (т;}°=1 е А2/(2—в), аналогично доказательству теоремы 1 имеем
тк+1—1 /.. (/) )2г —р \в/(2г)
£ ъ)1в < Сзт—"/2Г*( ) . (12)
¿=тк ^ тк
Для в = 2 и 7 е справедлив аналог (12) в силу (11). Складывая неравен-
ства (12) по к ^ 1, получаем, что (3) мажорируется сходящимся рядом. □
Теорема 3. Пусть / е Л^^ (р(п) | го) П С * [0,1), 0 < в < 2, (7* е А2/(2—в). Если сходится ряд
- ( т хв/2
Ег ^(/
Г М л 1/р(к)
X Л'
*=1 у Лтк
то ряд (3) тоже сходится.
Доказательство. В силу неравенства Гельдера с показателями р(к), д(к), 1/р(к) + 1/#(к) = 1 имеем
т'к \ г(\\ /тк \ п( \|р(к)\ 1/р(к) / \ 1/^(к)
Е ^ < (Е ¿Г) (§ Л;) ■ <»
Так как х © © 1/тк+1 и х © принадлежат одному I*, а при разных 3 эти числа принадлежат разным I*, то
^ |/ (х)|Р(*) \ 1/Р(к) < (^ Р^Ср(к) (/,1* ) '
£ О Л;
и тем более левая часть последнего неравенства не превосходит Ул,р(п) (/). Поэтому, использовав неравенство (6) из теоремы 1 и (13), получаем
В* < С2Лтк(/)-Л.;Л<к> = С2/.
Лтк
Далее оцениваем
mk+1 -1 /mfc+i-1 х(2-в)/2 / ^ \ в/2
Е Yj lf(j )1в £ Е Вв/2 £ Сзт-в/2 Г Л ^ • (14>
j=mk \ j =mfc / \ mk /
Суммируя неравенства (14), имеем
|/(j )|в £ Сз£ т-в/2 Г Л
j =mi k=1 \ Amk
□
Следствие 1. Пусть f e AFL(p(n) | П C* [0,1), 0 < в £ 2, £ > 0. Если сходится ряд
— / m хв/2
V"^ 1+5-0/2 / ^fc(f
1 *1/p(fe) k=1 \ iVmk
то ряд Y^ к5|/(к)|в сходится. k=1
Благодарности. Автор выражает признательность С. С. Волосивцу за постановку задачи и ценные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-01-04864, 17-51-53180) и Минобрнауки РФ (проект № 1.1660.2017/ПЧ).
Библиографический список
1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша : Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.
2. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Studia math. 1976. Vol. 55, № 1. P. 87-95.
3. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class ЛБУ(p) // Sci. Rep. Fukushima Univ. 1980. Vol. 30. P. 7-10.
4. Kita H., Yoneda K. A generalization of bounded variation // Acta Math. Hung. 1990. Vol. 56, № 3-4. P. 229-238. DOI: 10.1007/BF01903837.
5. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series // Proc. Razmadze Math. Inst. 2006. Vol. 141. P. 29-40.
6. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 4. С. 925-950.
7. Moricz F. Absolute covergence of Walsh - Fourier series and related results // Analysis Math. 2010. Vol. 36, № 4. P. 275-286. DOI: 10.1007/s10476-010-0402-z.
8. Golubov B. I, Volosivets S. S. Generalized absolute convergence of single and double Fourier series with respect to multiplicative systems // Analysis Math. 2012. Vol. 38, № 2. P. 105-122. DOI: 10.1007/s10476-012-0202-8.
9. Vyas R. G. Generalized absolute convergence of trigonometric Fourier series // Modern Mathematical Methods and High Performance Computing in Science and Technology. Springer Proc. in Mathematics and Statistics. 2016. Vol. 171. P. 231-237. DOI 10.1007/978981-10-1454-3 19.
10. Vyas R. G. Absolute convergence of Walsh - Fourier series // Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 2013. Vol. 56. P. 71-77.
Образец для цитирования:
Кузнецова М. А. Обобщенная абсолютная сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам функций обобщенной ограниченной вариации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 304-312. 001: 10.18500/18169791-2017-17-3-304-312.
Generalized Absolute Convergence of Series with Respect to Multiplicative Systems of Functions of Generalized Bounded Variation
M. A. Kuznetsova
Maria A. Kuznetsova, ORCID: 0000-0003-1083-0799, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]
A. Zygmund proved that a 2n-periodic function with bounded variation and from any Lipschitz class Lip(a) has absolutely convergent Fourier series. This result was extended to many classes of functions of generalized bounded variation (for example, functions of bounded Jordan-Wiener p-variation, functions of bounded Avariation introduced by D. Waterman et al) and to different spaces defined with the help of moduli of continuity. We study the convergence of series XI Yk f , where {Ykis a sequence from appropriate
Gogoladze-Meskhia class, while {/(fc)}£=0 are Fourier coefficients of f e L1 [0,1) with respect to a multiplicative system. The sufficient conditions for convergence of these series are obtained under assertion of boundedness of generalized fluctuation determined by a number p > 1 and sequence A and in terms of uniform or integral moduli of continuity. By using fluctuation (i.e. the oscillations of a function are considered only with respect to the restricted class of partitions and its intervals) instead of variation we obtain more general assertions. The results of the present paper give an analogue or generalize some results of R.G.Vyas concerning trigonometric or Walsh series.
Key words: absolute convergence, series with respect to multiplicative systems, functions of generalized bounded variation.
Acknowledgements: The author is grateful to Sergey S. Volosivets for the problem formulation and valuable discussions. This work was supported in part by the Russian Foundation for Basic Research (projects nos. 15-01-04864, 17-51-53180) and by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1.1660.2017/PCh).
References
1. Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series and transforms. Theory and applications. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1991. 380 p.
2. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of A-bounded variation. Studia Math., 1976, vol. 55, no. 1, pp. 87-95.
3. Shiba M. On absolute convergence of Fourier series of functions of class
ABV
Sci.
Rep. Fukushima Univ., 1980, vol. 30, pp. 7-10.
4. Kita H., Yoneda K. A generalization of bounded variation. Acta Math. Hung., 1990, vol. 56, no. 3-4, pp. 229-238. DOI: 10.1007/BF01903837.
5. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series. Proc. Razmadze Math. Inst., 2006, vol. 141, pp. 29-40.
6. Uljanov P. L. O ryadakh po systeme Haara s monotonnymi koefficientami [On Haar series with monotone coefficients]. Izvestiya AN SSSR. Ser. matem., 1964, vol. 28, no. 4, pp. 925-950 (in Russian).
7. Moricz F. Absolute covergence of Walsh-Fourier series and related results. Analysis Math., 2010, vol. 36, no. 4, pp. 275-286. DOI: 10.1007/s10476-010-0402-z.
8. Golubov B. I, Volosivets S. S. Generalized absolute convergence of single and double Fourier series with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2012, vol. 38, no. 2, pp. 105-122. DOI: 10.1007/s10476-012-0202-8.
9. Vyas R. G. Generalized absolute convergence of trigonometric Fourier series. Modern Mathematical Methods and High Performance Computing in Science and Technology, Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2016, vol. 171, pp. 231-237. DOI 10.1007/978-981-10-1454-3_19.
10. Vyas R. G. Absolute convergence of Walsh - Fourier series. Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Math., 2013, vol. 56, pp. 71-77.
Cite this article as:
Kuznetsova M. A. Generalized Absolute Convergence of Series with Respect to Multiplicative Systems of Functions of Generalized Bounded Variation. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 3, pp. 304-312 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-201717-3-304-312.
