Об l1-сходимости рядов по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.51

ОБ Ь1 -СХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Н. Ю. Агафонова

Агафонова Нина Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и стохастического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Ада!опоуаИУи @ gmail.com

В статье устанавливаются два аналога тригонометрических результатов Гаррет-та-Станоевича для мультипликативных систем }£°=0 ограниченного типа.

те

Во-первых, модифицированные частные суммы ряда XI акХк с коэффициен-

к=0

тами ограниченной вариации сходятся в Ь1 [0,1) к сумме ряда тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует 6 > 0, такое что

Y, (ak - ak+1 )Dk+1 (x)

dx < £, n g Z

где Dk+1 (x) = Xi(x). Во-вторых, если lim an ln(n + 1) = 0 и

i =0 п^те

те те

E |ak - ak+i | ^ Can, n G Z+, то ряд £ anXn(x) сходится к своей

k=n n=0

сумме f (x) в L1 [0,1) тогда и только тогда, когда f g L1 [0,1).

Ключевые слова: мультипликативные системы, ряд Фурье-Виленкина, мультипликаторы, L1 -сходимость.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-371 -377

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {рп}^=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 ^ рп ^ N при всех п е N. Положим по определению т0 = 1, тп = р1.. .рп, при п Е N. Каждое число х е [0,1) имеет разложение

: = Е

n= 1

xn

mn

Xn E Z П [0,pn).

(1)

Представление (1) единственно, если для х = к/т3-, к,] е N 0 < к < т3-, брать разложение с конечным числом хп = 0. Если

к е записано в виде к = ^ %т3-1, к3 е Ж П [0,р3), а х Е [0,1)

3 = 1

имеет разложение (1), то по определению

Xk (x) = exp 2ni Vxj kj /pj

j=i

Система {xk }/*=0 является ортонормированной и полной в L1 [0,1)

[1, § 1.5].

h

с

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4 Далее мы изучаем Ь1 -интегрируемость рядов вида

те

Хк (х)- (2)

п— 1 п

Для ряда (2) пусть Бп(х) = «кХк(х), ^п(х) = £к(х)/п. Для / е Ь1[0,1) определим коэф-

к=0 к=1 фициенты Фурье, частные суммы ряда Фурье и средние Фейера равенствами

1 п— 1 п

/(п) = /(*)Хп®(11, п е , ЗД)(х) = £ /(к)хк(х), М/)(х) = £ 5к(/)(х)/п.

0

k=0 k=1

Важную роль далее будут играть ядра Дирихле и Фейера для системы [хк:

n —1 n

Dn(x) = Хк(x), Fn(x) = J^ Dk(x)/n, n G N. k=0 k=1

Для последовательности [ak}^=0 пусть Aak = A1 ak = ak — ak+1, A2ak = ak — 2ak+1 + ak+2. Как i

обычно ||/1|1 = / |/ (t)|dt.

0

Хорошо известно, что из / G L1[0,1) не следует, что ||Sn(/) — /1|1 ^ 0. Более того, K. Оневир (Onneweer) [2] установил существование такой функции в классе функций, L1 -модуль непрерывности которых есть O((ln1/5)—1).

Поэтому большое внимание уделялось условиям L1 -сходимости рядов (2) в терминах коэффициентов [ak}£=0. Так, Ш. Яно (Yano) [3] установил следующий аналог результата А. Н. Колмогорова [4] для тригонометрических рядов.

те

Теорема A. Пусть p = 2, lim an = 0 и [an}^=0 квазивыпукла, m.e.J2 (n + 1) | A2an| < ro.

n=0

Тогда ряд (2) сходится при x = 0 к функции / G L1 [0,1) и является ее рядом Фурье по системе [Xk(x)}k

те

0-

Из теоремы A легко получить утверждение: в условиях теоремы A норма ||Sn(x) — f ||i стремится к нулю тогда и только тогда, когда lim ak||Dk||1 = 0.

к^те

Мы получим более общий критерий, аналогичный теореме Гаррета - Станоевича [5], из которого будет следовать утверждение выше и его обобщение для ограниченной последовательности (p^}°=1.

В [6] Дж. В. Гарретт (Garrett) и Ч. В. Станоевич (Stanojevic) установили связь между поведением производной сопряженной суммы Фурье и сходимостью тригонометрического ряда Фурье в пространстве интегрируемых по Лебегу на периоде 2п-периодических функций. Как следствие, ими была получена

Теорема B. Пусть an log n = o(1), bn log n = o(1), Aan ^ 0, Abn ^ 0, n G N. Тогда сум-

те

ма f (x) ряда YL (an cos nx + bn sin nx) принадлежит в том и только том случае, когда

Sn (x) = ^ (ak cos kx + bk sin kx) сходится к f

k=0

Будем писать (ak}£=0 G RBVS, если |Aan| ^ Can для всех n G Z+. В работе получен

те к=0

к=п

аналог теоремы В и предшествующего ей результата для ряда (2), где (аке . Приведем

необходимые нам вспомогательные результаты.

Лемма 1. 1. Пусть п е N. х е [0,1). Тогда |£п(х)| ^ 1, где 2 ^ р ^ N для всех г е N. 2. Справедливо неравенство ||£п||1 ^ С 1п(п + 1), п е N.

Доказательства обоих утверждений леммы 1 можно найти в [7, гл. 4, § 3, 4].

n

Лемма 2. Если Y |Aök | ^ го и lim ak = 0, то ряд (2) сходится на (0,1) и

k=0

те

J^ö-kXk(x) = J^Aa,kDk+1 (x), x G (0,1).

(3)

k=0

k=0

Доказательство. С помощью преобразования Абеля получаем

n— 1

n— 2

n—1

^2 ökXk(x) = — ök+1 )Dk+1 (x) + ön—1 Dn(x) = AökDk+1(x) + önDn(x). (4)

k=0

k=0

k=0

По лемме 1 lim ak—1Dk (x) = 0 при x G (0,1), откуда следует формула (3) и сходимость ряда в левой

k^те

части (4). □

Лемма 3. 1. Пусть n G N, x G [0,1). Тогда |nFn(x)| ^ Cx—2, где C не зависит от n и x. 2. Справедливо неравенство ||Fn||1 ^ C.

Утверждение 1 леммы 3 установлена в [8], доказательство утверждения 2 можно найти в [7, гл. 4, § 10].

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим модифицированные частные суммы ряда (2)

n—1 n—1

n— 1

Sn (x) = SAaJ Xk (x) = ök Xk (x) — önDn(x)

k=0 \j=k

k=0

Если lim ak = 0 и |Aak| < го (будем писать [ak}£=0 G bV0), то /(x) = akX(k) существует

k^те

k=0

k=0

при всех x G (0,1). Из леммы 1 следует, что в этом случае также lim Sn(x) = /(x), x G (0,1).

Теорема 1. Пусть [ak}£=0 G bV0 и /(x) — сумма ряда (2). Тогда Sn(x) ^ /(x) в L1 [0,1) в том и только том случае, когда [ak} удовлетворяет условию (A): для любого е > 0 найдется 8 > 0, такое что для всех n G Z+ верно неравенство

AökDk+1 (x)

k=n

dx < е.

Доказательство. Пусть е > 0 и (акудовлетворяет условию (А). Тогда существует 8 > 0 со свойством

AökDk+1 (x)

k=n

dx < е/2, n G Z+.

В силу леммы 2, (4) и леммы 1 имеем

|/(x) — sn(x)|dx =

k=0

n— 1

J^Aök Dk+1 (x) — ^2 AökDk+1 (x) + önDn (x) — önDn (x) k=0

dx =

AökDk+1(x)

k=n

dx =( Г

—1

^2 AökDk+1(x)

k=n

dx <

те 1 те

<e/2+J^ |Aök | / Nx—1 dx ^ е/2 + Nln1/8^ Aök <е

k=n 5 k=n

(5)

при достаточно больших n.

5

5

те

1

1

0

1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4

Обратно, пусть lim ||Sn — f ||1 =0 и е > 0. Найдем M E N, такое что /0 |f (x) — S* (x)|dx < е/2 при n ^ M. В силу (5) получаем

1

о

Aak Dk+1 (x)

k=n

dx < е/2, n ^ M.

(6)

M

Если Дак = 0 при 0 ^ к ^ М, то (6) верно при всех п Е N. Если же ^ |Дак | = 0, то пусть

к=0

( м V1

6 = е 2М X |Дак | . При п ^ М в силу (6) имеем

V к=0 /

ДакDk + 1 (x)

k=n

dx ^

У^ AakDk+1(x)

k=n

dx < е/2 < е.

При 0 ^ n < M находим, что

У^ AakDk+1 (x)

k=n

dx ^

. M-1

<

+ 1)|Aak |dx +

k=0

M-1

y^ AakDk+1 (x)

k=n те

y^ AakDk+1(x)

k=M

dx +

dx ^

y^ AakDk+1(x)

г=М M-1

dx ^ ¿M ^ |Aak | + е/2 < е.

□

k=0

Следствие 1. Пусть {ak}£=0 E bV0 удовлетворяет условию (A) и f (x) — сумма ряда (2). Тогда соотношения lim ||Sn — f ||1 = 0 и lim an||Dn|1 =0 равносильны.

Доказательство. Так как Sn(x) = Sn(x) + anDn(x) и по теореме 1 имеем lim ||Sn — f ||1 = 0, то

n^те

из неравенств

|an| ■ ||Dn Ц1 = ||Sn (x) — S* ^ ||f — Sn + ||f — S* П 1 , ||Sn — f Ц1 ^ ||Sn — f+ |an| ■ ||Dn^1

вытекает справедливость следствия. □

Следствие 2. Пусть {ak}£=0 E bV0 удовлетворяет условиям теоремы A. Тогда S**(x) ^ f (x) в L1[0,1) в том и только том случае, когда lim an ||Dn|1 = 0.

n^те

Доказательство. Сходимость ряда (2) и интегрируемость его суммы f установлены в [9] вместе

те

с равенством f(x) — Sn(x) = ^ A2a^(i + 1)Fi+1(x) — nAanFn(x) — anDn(x). Пусть ||Fn||1 ^ C1 (см.

лемму 3). Так как n|Aan| ^ (n + 1)

A2ak

k=n

^ Z) (k + 1) |A2ak I, n E N, то lim n|Aan| = 0. Пусть

k=n ^те

при п ^ п0 верны неравенства ^ (к + 1) |Д2ак | < е/4С1 и |пДап| < е/4С1. Тогда для любых 6 Е [0,1)

к=п

и п ^ п0 справедливы неравенства

те| 1 |

AakDk+1 (x) dx ^ /

k=n | 0

+ 1)A2ak Fk+1 (x) — nan Fn(x)

k=n

dx ^

^ ^ |A2(k + 1)ak| ■ ||Ffe+11|1 + |nAan| ■ ||FnЦ1 ^ е/2.

k=no

При n < n0 аналогично (7) получаем

(7)

Aak Dk+1 (x)

k=n

<

dx ^ / ( + 1)|A2ak|-|Fk+1(x)| + n|Aan| ■ |Fn(x)| dx

<

^k=n

'no — 1

^ (k + 1)|A2ak| ■ |Fk+1(x)| + n|Aan| ■ |Fn(x)| dx + е/2 = h + е/2.

(8)

k=n

5

1

те

5

5

5

те

d

те

те

те

5

те

5

5

5

Но по определению |Fk(x)| ^ (1 + 2 +-----+ k)/k = (k + 1)/2 ^ (no + 1)/2 при k ^ no. Поэтому при

6 < е/(2М(no + 1), где M = max ( J] (k + 1)|A2aksup |nAa„|) , имеем

\k=0 n J

Ii ^ ¿M(no + 1)/2 + ¿M(no + 1)/2 < е/4 + е/4 = е/2

и левая часть (8) меньше е. Таким образом, выполнено условие (А) из теоремы 1, и следствие 2 вытекает из следствия 1. □

n—i m n—1

Для Sn(x) = (x) пусть S^1 ] (x) = J2 kak(x) —обобщенная производная первого порядка.

k=0

k=1

Подробнее об этом понятии см. [10].

Теорема 2. Пусть lim an ln(n + 1) = 0 и [ak}те=0 G RBVS. Тогда ||Sn1]|1 = o(n), при n ^ го.

n^те

Доказательство. По определению и лемме 1 имеем

1С [1] и _ l°n+lHl =

Xk

k=1

n —1

n —1

<

Y^ kak(Dk+1 — D1 — (Dk — D1)) k=1

J^(kAak — ak+1 )(Dk+1 — D1) + nan (Dn+1 — D1) k=1

n— 1

^ Y k|Aak | ■ ||Dk+1 — D1H1 + Y |ak+11 ■ ||Dk+1 — D1Ц1 + nan||Dn+1 — D1Ц1 ^ k=1 k=1 n— 1 n— 1

^ C1 ( Y k|Aak| ln(k + 1) + Y |ak+11 ln(n + 1) + nan ln(n + 1П =: C (/1 + /2 + /3).

n—1

k=1

k=1

Так как lim anln(n + 1) = 0, то /3 = o(n), n ^ го, а в силу регулярности метода Чезаро верно,

n^те

те

что /2 = o(n). Чтобы оценить /1 рассмотрим Pk = |Aa^ |, которые не превосходят C2ak согласно

i=k

условию. Сначала запишем

n—1

n— 1

/1 = k|Aak | ln k + k|Aak| ln(1 + 1/k) = /11 + /12.

k=1

k=1

Так как ln(1 + 1/k) < 1/k, то /12 ^ ^ |Aak | ^ C2a1 и

k=1

n—1

n— 1

0 ^ /11 = Y klnk(Pk — Pk+1) = Y pk(klnk — (k — 1)ln(k — 1)) — Pn(n — 1)ln(n — 1).

k=1

k=2

Так как (x lnx)' = lnx — 1, то при k ^ 4 по теореме Лагранжа (k ln k — (k — 1)ln(k — 1)) ^ ln k, а при

n— 1

k = 2,3 верно (klnk — (k — 1)ln(k — 1)) ^ C3 lnk, где C3 > 1. Поэтому 111 ^ ^ C3C2ak lnk. Правая

k=2

часть последнего неравенства есть o(n) также в силу регулярности (C, 1) метода Чезаро. Объединяя полученные оценки, получаем ||s]i1]|1 = o(n). □

Следствие 3. Пусть lim an ln(n + 1) = 0 и [ak}?=0 G RBVS, /(x) — сумма ряда (2). Для сходимости Sn(x) к /(x) в L1[0,1) необходимо и достаточно, чтобы /(x) G L1 [0,1).

Доказательство. Необходимость условия /(x) G L1 [0,1) для равенства lim ||/ — Sn|1 = 0

n^те

очевидна.

Достаточность. Пусть /(x) G L1 [0,1). Тогда lim ||/ — o-n||1 = 0 (см. [7, гл. 4, § 10]). В то же

n^те

время по теореме 2

f) — Sn (f )|1 = n

—1

n—1

YkakXk

k=1

= o(1).

те

a

1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4

Поэтому ||/ — 5пу1 ^ ||/ — ||1 + ||стп — £п||1, где правая и, как следствие, левая части последнего

неравенства стремятся к нулю.

Следствие 3 является аналогом и обобщением теоремы В.

□

Библиографический список

1. Голубое Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша : Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.

2. Onneweer C. W. On Moduli of Continuity and Divergence of Fourier Series on Groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 29, № 1. P. 109-112. DOI: 10.2307/2037681.

3. Yano Sh. On Walsh - Fourier series // Tohoku Math. J. 1951. Vol. 3, № 2. P. 223-242. DOI: 10.2748/tmj/1178245527.

4. Kolmogoroff A. Sur l'ordre de grandeur des coefficient de la serie de Fourier - Lebesgue // Bull. Acad. Polon. 1923. Iss. A. P. 83-86.

5. Garrett J. W., Stanojevic C. V. On L1 convergence of certain cosine sums // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 54, № 1. P. 101-105. DOI: 10.1090/S0002-9939-1976-0394002-8.

6. Garrett J. W., Stanojevi'c C. V. Necessary and sufficient conditions for L1 convergence of trigonometric series // Proc. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 60, № 1.

9.

10.

P. 68-71. DOI: 10.1090/S0002-9939-1976-0425 480-3.

Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку : ЭЛМ, 1981. 180 c. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm // East J. Approx. 2009. Vol. 15, № 3. P. 143-158.

Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems // Analysis Mathematica. 2011. Vol. 37, № 3. P. 215238. DOI: 10.1007/s10476-011-0304-8. Zelin H. The derivatives and integrals of fractional order in Walsh-Fourier analysis, with applications to approximation theory // J. of Approx. Theory. 1983. Vol. 39, iss. 4. P. 361-373. DOI: 10.1016/0021-9045(83)90079-5.

Образец для цитирования:

Агафонова Н. Ю. Об Ь1 -сходимости рядов по мультипликативным системам // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 371-377. 001: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-371377.

On the L1 -convergence of Series in Multiplicative Systems N. Yu. Agafonova

Nina Yu. Agafonova, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, AgafonovaNYu@gmail.com

In the paper two analogs of Garrett - Stanojevic trigonometric results are established for multiplicative systems {xnof bounded type. First, the modified partial sums of a series 52 akXk with coefficients of bounded variation converge in L1[0,1)

to its sum if and only if for all e > 0 there exists S > 0 such that J0

X (ak - ak+1)Dk+1 (x)

k=n

dx < e, n E Z+,

k

where Dk+i(x) = X] X»(x). Secondly, if lim an ln(n + 1) = 0 and 52 |ak - ak+i| < Can, n e Z+, then the series

i=0 k=n

52 anXn (x) converges to its sum f (x) in L1 [0,1) if and only if f e L1[0,1).

n=0

Keywords: multiplicative systems, Fourier-Vilenkin series, multipliers, L1-convergence.

References

1. Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series and transforms. Theory and applications. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1991. 380 p.

2. Onneweer C. W. On Moduli of Continuity and Divergence of Fourier Series on Groups. Proc. Amer. Math. Soc., 1971, vol. 29, no. 1, pp. 109-112. DOI: 10.2307/2037681.

3. Yano Sh. On Walsh - Fourier series. Tohoku Math. J., 1951, vol. 3, no. 2, pp. 223-242. DOI: 10.2748/ tmj/1178245527.

4. Kolmogoroff A. Sur l'ordre de grandeur des coefficient de la serie de Fourier - Lebesgue. Bull. Acad. Polon., 1923, iss. A, pp. 83-86.

5. Garrett J. W., Stanojevic C. V. On L1 conver-

7

k=0

Г. С. Бердников. Графы с контурами в кратномасштабном анализе на группах Виленкина

gence of certain cosine sums. Proc. Amer. Math. Sac., 1976, vol. 54, no. 1, pp. 101-105. DOI: 10.1090/S0002-9939-1976-0394002-8.

6. Garrett J. W., StanojeviC C. V. Necessary and sufficient conditions for L1 convergence of trigonometric series. Proc. Amer. Math. Sac., 1976, vol. 60, no. 1, pp. 68-71. DOI: 10.1090/S0002-9939-1976-0425480-3.

7. Agaev G. N., Vilenkin N. Ya., Dzafarli G. M., Rubinstein A. I. Mul'tiplikativnye sistemy funkcij i garmonicheskij analiz na nul'mernyh gruppah [Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-dimensional Groups]. Baku, ELM, 1981. 180 p. (in Russian).

8. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm. East J. Approx., 2009, vol. 15, no. 3, pp. 143-158.

9. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems. Analysis Mathematica, 2011, vol. 37, no. 3, pp. 215238. DOI: 10.1007/s10476-011-0304-8.

10. Zelin H. The derivatives and integrals of fractional order in Walsh - Fourier analysis, with applications to approximation theory. J. of Approx. Theory, 1983, vol. 39, iss. 4, pp. 361-373. DOI: 10.1016/0021-9045(83)90079-5.

Please cite this article in press as:

Agafonova N. Yu. On the L1 -convergence of Series in Multiplicative Systems. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 371-377 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-371-377.

УДК 517.986.62

ГРАФЫ С КОНТУРАМИ В КРАТНОМАСШТАБНОМ АНАЛИЗЕ НА ГРУППАХ ВИЛЕНКИНА

Г. С. Бердников

Бердников Глеб Сергеевич, ассистент кафедры математического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, evrointelligent@gmail.com

В данной статье исследуется вопрос построения ортогонального кратномасштабного анализа на группах Виленкина. В предыдущих работах С. Ф. Лукомского, Ю. С. Крусс и автора обсуждается алгоритм построения масштабирующей функции ^ с компактным носителем, преобразование Фурье которой также имеет компактный носитель. Реализация данного алгоритма тесно связана с определенного типа ориентированными графами, строящимися по так называемым N-валидным деревьям. Особенностью этих графов является отсутствие ориентированных циклов — контуров, что позволяет строить функции с ограниченным носителем преобразования Фурье. Такой подход обладает рядом преимуществ. Во-первых, он не является переборным, в отличие от алгоритма, связанного с использованием блокированных множеств, описанного в работах Ю. А. Фаркова. Во-вторых, он удобен для обобщения на локальные поля положительной характеристики, что было проделано Ю. С. Крусс. Данная работа является первым шагом в использовании графов с контурами для аналогичных целей. Развивая идеи из предыдущих работ, по 1-валидному дереву мы строим граф с единственным простым контуром. Удается доказать, что такой граф также порождает ортогональную масштабирующую функцию. Однако из-за появления контура преобразование Фурье масштабирующей функции уже не будет иметь компактный носитель.

Ключевые слова: кратномасштабный анализ, группа Виленкина, графы, масштабирующая функция, вейвлет-анализ. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-377-388

ВВЕДЕНИЕ

Пусть (G, +) — локально компактная группа Виленкина, элементами которой являются бесконечные в обе стороны последовательности

x = (. . . , 0n —1,xn,xn+1,...), xj = 0,p - 1,

где p — любое простое число; gn = (..., 0n—1, 1n, 0n+i5...) — базисные элементы в G. Операция сложения + определяется как покоординатное сложение по модулю p, т.е. x+y = (xj+yj) = = (x j + yj mod p).

Пусть Gn = {x <G G : x = (..., 0n—1, xn, xn+1,...)}, n <G Z, — основная цепочка подгрупп, G^ — совокупность аннуляторов, X — группа всех характеров, rn <G G^+1 \ G^ — функции Радемахера на