Весовая интегрируемость сумм рядов по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

References

1. Bakhturin Iu. A. Tozhdestva v algebrakh Li [Identities in Lie algebras]. Moscow, Nauka, 1985, 448 p. (in Russian).

2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI, American Math. Soc., 2005, vol. 122, 352 p.

3. Mishchenko S. S. New example of a variety of Lie algebras with fractional exponent Russian Math.

[Moscow Univ. Math. Bull.], 2011, vol. 66, pp. 264-266.

4. Kirillov A. A., Molev A. I. On the algebraic structure of the Lie algebra of vector fields. Preprint no. 16. Moscow, In-t prikl. matematiki im. M. V. Keldysha AN SSSR, 1985, 23 p. (in Russian).

5. Malyusheva O. A., Mishchenko S. P., Verevkin A. B. Series of varieties of Lie algebras of different fractional exponents. Compt. rend. Acad. Bulg. Sci., 2013, vol. 66, no. 3, pp. 321-330.

УДК 517.518

ВЕСОВАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

С. С. Волосивец1, Р. Н. Фадеев2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, VolosivetsSS@mail.ru

2Аспирант кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, belal_templier@mail.ru

Получены необходимые и достаточные условия Ьр-интегрируемости со степенным весом функции /, представимой рядом по мультипликативной системе с обобщенно-монотонными коэффициентами. Интегрируемость мажоранты частичных сумм представляющего функцию ряда описывается теми же условиями. Кроме того, мы изучаем интегрируемость разностного отношения (/(х) - /(0))/х.

Ключевые слова: весовая ^-интегрируемость, мультипликативная система, степенной вес, обобщенно-монотонная последовательность.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть {Рп}^=1 с М, 2 < рп < N .По определению т0 = 1, тп = рптп-1, п £ М, тогда каждое х £ [0,1) имеет разложение вида

x =

^ ^xn/

е Z+ n [0,pn).

(1)

n=1

x

n

Разложение (1) будет единственным, если для х = к/т\, к,1 £ 0 < к < т1, брать разложение с

те

конечным числом хп = 0. Каждое к £ Ъ+ единственным образом представимо в виде к = ^ кгтг-1,

1=1

(те \

кг £ П [0,рг). Для х £ [0,1) и к £ положим по определению хк(х) = ехр хуку/mj .

V у=1 )

Система {хп(х)}те=0 является ортонормированной на [0,1) и полной в Ь1 [0,1). Подробнее о ее свойствах см. [1, § 1.5]. Измеримая на [0,1) функция /(х) принадлежит пространству Ьга[0,1), 1 < г < го,

( 1 \1/г а £ М, если конечна норма ||/||г,а = ( /0 |/(х)|г ха ¿х\ .

п- 1

Сумма Хк(х) =: Яп(х) называется п-м ядром Дирихле. Для ряда

к=о

Xk (x) (2)

k=0

n— 1

рассмотрим частичные суммы Sn (x) = akxk (x), n G N, и максимальные функции

k=о

M(x) = sup |Smn(x)|, M*(x) = sup |Sn(x)|. Будем писать {ak}^=0 G GM, если

neZ+ n£N

2n —1

E |ak - ak+i| < Can, n G N; |ao - ai| < Cao. (3)

k=n

те

Можно показать, что для {ak}^=0 G GM при дополнительном условии ak/k < ж ряд (2) сходится

k=1

при x = 0 (лемма 5). Класс GM, введенный С. Ю. Тихоновым [2], включает в себя класс последовательностей RBVS, введенный Л. Лейндлером (L. Leindler) [3] и определяемый неравенством

те

|ak — ak+1| < Can, n G Z+. Он содержит также класс QM квазимонотонных последовательностей,

k=n

рассматривавшийся А. А. Конющковым [4]. Далее, Aaj = aj — aj+1, A2aj = aj — 2aj+1 + aj+2, j G Z+.

Обзор ранних работ по проблеме Lr-интегрируемости со степенным весом суммы тригонометрического ряда можно найти в [5]. В том числе в [5] даны критерии принадлежности сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами указанным выше классам. В последнее время много работ посвящено ослаблению условия монотонности при сохранении критерия интегрируемости. Отметим в этой связи работы [2, 3, 6]. В статье Ф. Морица [7] было дано условие Lr-интегрируемости не суммы ряда (2), а мажоранты его частичных сумм M*(x) для ряда по системе Уолша с монотонными коэффициентами. Там же были даны оценки Lr-нормы подобных рядов снизу. Другие результаты типа теоремы Харди - Литтлвуда для рядов (2) с монотонными коэффициентами были приведены в статье [8] без доказательства. В статье С. С. Волосивца [9] аналог теоремы Харди - Литтлвуда был получен для рядов (2) с коэффициентами классов RBVS и QM. В нашей работе [10] даны оценки наилучших приближений функций сверху в Lr и пространстве Харди, при условии, что разности коэффициентов удовлетворяют некоторому условию, близкому к изучавшимся Р. Аски (R. Askey) и С. Вейнгером (S. Wainger) [11]. Следует также отметить работу Т. М. Вуколовой и М. И. Дьяченко [12], в которой получены двусторонние одинаковые по порядку оценки Lr-нормы косинус-ряда с выпуклыми коэффициентами и синус-ряда с монотонными коэффициентами, причем r G (0, ж).

Далее, выражение A(f) х B(f) означает, что C1 A(f) < B(f) < C2(f), где C1,C2 > 0 не зависят от f. Константы C, C1 ,C2,... являются разными в различных случаях.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

n— 1

Лемма 1 [1, гл. 1,§ 1.5; 13, гл. 4, § 3]. 1) Пусть Dn(x) = J] Xk(x). Тогда Dm„ (x) = mnX[o,1/m„)(x),

k=0

n G Z+, где XE — характеристическая функция множества E.

2) Для любых n G N и x G (0,1) имеет место неравенство |Dn(x)| < N/x, где pi < N для всех i G N.

Лемма 2. [2] Пусть {an}^=0 G GM, тогда справедливы неравенства

n— 1 n—1

У^ |aj — aj-+11 < C ^^ aj/j + ak , n > k + 1, n, k G Z+, j=k j=k

и an < Caj, j < n < 2j, a1 < Ca0.

В леммах 3 и 4 приведены знаменитые неравенства Харди - Литтлвуда [14, теорема 346]. Лемма 3. Пусть 1 < p < ж, r > 1, an > 0 при n G N. Тогда

те / n \p те

r ^ aA < C(p,r)Y, n—r (nan)p.

n=1 \i=1 / n=1

Лемма 4. Пусть 1 < p < ж, s < 1, an > 0 при n G N. Тогда

те

p

ss Г>] a A < C (p,s)Y, n—s (nan )p

n=1 \i=n / n=1

те

те

Аналогично как в статье [2], с помощью лемм 1 и 2 показывается

те

Лемма 5. Пусть {ап}те=0 £ СМ и Е ак/к < го. Тогда ряд (2) сходится при х = 0.

к=1

Лемма (3. Пусть / £ Ь1 [0, а) (/ £ Ь1ос[0, а) при а = +го), 1 < р < го, /(х) > 0 на [0, а) и F(х) = х-1 /0Х /(£) (И, х £ (0, а). Тогда при г < р — 1 справедливо неравенство

/ хг^(х) (х < (р/(г — 1))М хг/р(х) (х. 00

Неравенство леммы 6 принадлежит Г. Харди [14, теорема 330].

Последовательность {ап}те=1 называется квази убывающей, если ап > Сап+ при 1 < з < п. Лемма 7. 1) Пусть последовательность {ап}те=1 квази убывает, а последовательность {Ап} не отрицательна. Тогда имеет место неравенство

те п}п=1

пр-1^ Ак < С^А» ^ ак , р> 1.

п=1

к < С / Ап к=п п=1 к=1

2) Пусть последовательность {ап}те=1 не отрицательна, а последовательность {Ап}те=1 положительна, р > 1. Тогда имеет место неравенство

тете

Еа» Е<р"ЕАп-" ЕА

к I а»

п=1 \к=п

п=1

к=1

Лемма 7 доказана Л. Лейндлером (Ь. Leindler) в [15, теорема 1] и [16].

п

Лемма 8. Пусть ^»(х) = (х)/п, п £ N. Тогда для х £ (0,1) и п £ N справедливо неравен-

к=1

ство |п^(х)| < Сх-2.

Лемму 8, доказанную С. С. Волосивцом, можно найти в [17].

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теорема 1. Пусть —1 < а < г—1, г > 1, {ак}те=0 £ СМ и £г,а(а) := £ (з + 1)

1/г

< го.

у=0

Тогда М*(х) := вир

пем

п-1

Е «у Ху(х)

у=0

принадлежит Ьа[0,1) и при этом ||М*||г,а < С£г,а(а). Доказательство. Отметим, что в силу условия а < г — 1 из неравенства ^г,а(а) < <го по нера-

те

венству Гельдера следует, что ^ ау /з < го и по лемме 5 ряд (2) сходится при х = 0. Пусть

у=1

х £ [1/(р + 1), 1/р), Р £ N. Тогда с помощью преобразования Абеля и лемм 1, 2 имеем:

п- 1

Ху(х)

п- 2

— ау+1)^у-+1(х) + а»-1^п (х) — ар £р(х)

<

п- 2

п-1

< Nx 1 ^ |ау — ау+11 + а»-1 + ар < С^х 1 ^ ау /з + ар + а»-1

(4)

Если п — 1 < 2р, то ап-1 < С2ар по лемме 2. Если же п — 1 > 2р, то справедливо неравенство

п- 1

Е ау /з > С3ап-1. Таким образом в правой части (4) можно убрать ап-1 и тогда

у = [(п-1)/2]

п-1

Ху (х)

у=0

р-1 п-1

< С4 | ^ «у + РаР + Р «У

,у=0 у=Р

а

а

Р

те

те

те

п

Р

Р

те

п

р—1 р—1 Как и выше показывается, что ар < С5 ^ а?Л', Р > 3, и рар < С5 ^ а?, Р < 2. Поэтому

? = [(р —1)/2] ?=о

п—1

£а? X? (х)

?=о

р —1 п—1

< С6 | £ а? + р£%Л'

7 = 0 ?=р

(р—1 те \

а? + Р а? Л' и ?=0 ?=р /

те 1/р

(М* (х))гха ¿х = V / (М* (х))гха ¿х < р=1^1/(р+1)

<

те [■ 1/р СтЕ/

ГТТ ^ 1 /(р+

р=^1/(р+1)

'р—1

£% + рг £ Л'

?=о

< С8£ Р—2—а £ а?—1 р=1 \?'=1

+ С8£ р р=1

?=р

тете г —2 —а

Р—" <

£% Л'

(5)

При 2 + а > 1 применяем лемму 3 и получаем:

£Р—2—а I £ а?—1 ] < С9£р—2—а(рар—1)г = С9£рг—2—ааг

р—1-

р=1 \?=1 / р=1 р=1 При г — а — 2 > -1, т.е. при а < г — 1, по лемме 4 находим, что

(6)

тете „г —2 —а

Рг

р=1

£а?< С10 £рг—2—а(рар/р)г = Сю£р р=1 р=1

г—2—ааг ар.

(7)

Объединяя неравенства (5), (6) и (7), получаем:

(М*(х))гха ¿х < С11 £(7 + 1) ?=о

г+а—2 аг

□

Теорема 2. Пусть —1 < а < г — 1, г > 1, {ак£ ^М и ^ ак/к < ж. Если сумма /(х)

к=1

ряда (2) принадлежит ¿а [0,1), то (а) < С ||/||г,а < ж.

Доказательство. Рассмотрим ^(х) = /0Х /(и) ¿и. В силу ортонормированности системы {хк(х)}те=0 и леммы 1 имеем:

-1/тг

тг — 1

^(1/шг)= / /(и) ¿и = т— 1 / /(и)^тг (и) ¿и = ш—1 £

г / , ак• к=0

Если £(х) = /0Х |/(и)| ¿и, то ^(х)| < £(х) и по лемме 6 при а < г — 1

[ (х—1а(х))гха ¿х < С / |/(х)|гха ¿х. 00

Но

г-1 те г-

/ ха—г£г (х) ¿х = £/ 01

>

1/ш; те

х—г£г(х)ха ¿х > ££г(1/шг+1)(1/шг)а—г(ш — 1 — шг"+11) > 1=0 ^ 1/т(+1 г=0

те те / т; — 1 \ г те /п — 1 \ г

2—1 £ ^(1/шг)шГ——Г — 1 > ш — 1 £ а* шГ—а — 1 > С2 £ _

г=1 г=0 V к=0 / п=1 \ к=0

аИ п

а 2

0

г

г

те

г

г

тер

г

р

те

те

те

г

те

те

те

0

1

ТО;-1 П-1

Чтобы получить последнее неравенство, надо заметить, что ак > ^ ак при п £ [т1-15тг — 1]

к=0 к=0

и n а 2 < Nа+2т- а 2 при тех же n, поэтому

то; — 1 /те — 1

ТО; — 1

Е ЕЧ n—а—2 < Е

те=то;_1 \k=Q / те=то;_

- а — 2

(то; — 1 \ /то; — 1 \

Е < Сз m—а—1 Е ак

k=Q J \ к=0 /

Наконец, согласно части 1 леммы 7 и ввиду второго свойства {ак}те=0 £ СМ из леммы 2 находим при —а — 2 < —1, т.е. при а > —1, что

Е n—а—2 Е ак—1 > <—1 nr—1 £ k—а—2 > С5 Е(j + 1)r—а—2aJ.

□

n=1

к=1

n=1

k=n

j=Q

Теорема 3. Пусть (a^}°=1 не отрицательна, квази убывает и Y ai < го, r > 1, a < —1 и /d(x)

i=1

равна сумме ряда Y a^(1 — xi (x)). Тогда i=1

1/r

l/d|

r,a ^ | / j n \n=1

— а — 2

чк=те

ak

Доказательство. Учитывая, что х»(х) = 1 при п < тк _ 1 на [1/тк, 1/тк -1), получаем, что при х £ [1/тк, 1/тк -1)

l/d (x)| =

Е an (1 — Xn (x))

<

2 E an,

поэтому

-1 те r 1/mfc_i

|/d(x)|rxa dx = E / l/d(x)|rxa dx <

r

те

те

<E m—a(1/mk—1 — 1/mk ) 2 E aJ < C^ m—a—1 E aJ <

k=1

«n I < mk

n=TOfc_i / k=1

r

< Cj m—a—1 E an +E

m

-а-1

vn=1

k=2

TOfc_i—1 / те

E Ean (mk—1 — mk—2)

-1

тете

<C2 |m—a—^a») +E E

j=1 yn=j

j = TOfc_2 \n=j r

an I j—a—2 ( < C2

<

тете

in=1

< ^E Ea^ j

j=1 \n=7 )

С другой стороны, при x <G [1/mk, 1/mk—1) и n <G [mk—1, 2mk—1) верно неравенство

Re (1 — Xn(x)) = 1 — cos(2nxk/pk) > 2 sin2 n/N > 0, так как xk из разложения (1) принадлежит [1,pk — 1] П Z. Поэтому

п 1 те п 1/mfc_1 /2TOfc — 1 \

/ |/d(x)|r xa dx >Е/ Сз Е aJ (1/mk )а.

-а-2

k=^1/mfc \j=mfc

Но в силу квази убывания (ai

2TOfc_i —1

4TOfc_i — 1

8TOfc_i — 1

E aJ > C4 E aj > c2 E aj >

J=TOfc_i

j=2TOfc_i

j=4TOfc_i

r

r

r

те

n

те

те

те

те

r

те

те

n=TOfc_i

n=TOfc_i

r

те

те

n=TOfc_i

r

r

r

те

— 1 тк — 1

откуда в силу ограниченности шк/шк—1 следует, что ^ а? > С5 ^ а?. Таким образом,

Г1 те / rnfe -1 \

/ |fd(x)|rxa dx > C6^ m—а—1 £ a, J° k=1 \j=mfc_i у

mfc — 1 те те

Пусть bk = aj и = bj = ^ aj. По части 2) леммы 7 имеем

j=mfc_i j=k j=mfc_i

те те in

— a —1 Br < r V^ m — (a+1)(1 — г) I V a — 1 1 iT

mf < r } ^ TOn------- 'M Em—a—M ЬП < r^ m—(a+1)(1—г+г)ЬП.

k=1

n=1

4i=1

n=1

Аналогично теореме 2 доказывается, что

£m—a—1ВП^

n=1

вп > C7£ j—a—2 £

j=1

Из полученных неравенств следует утверждение теоремы. □

Следствие 1. Пусть {а^}°=1, г удовлетворяют условию теоремы 3, а < г — 1, /(х) — сумма ряда (2). Тогда функция (/(х) — /(0))/х принадлежит ¿а[0,1) в том и только в том случае, когда

тете ,г —а —2 /

сходится ряд пг а 2 ( ak

n=1 \fc=n /

Замечание 1. Теоремы 1 и 2 обобщают результаты из [9], теорема 3 является мультипликативным аналогом теоремы 6.7 из [5].

Теорема 4. Пусть — 1 < а < 2r — 1, r > 1, A2ak > 0, k <G N, lim ak = 0 и

fc^ + те

1/г

^Г,а(а) = + 1) 2 а(А2а^)г^ < ж. Тогда сумма /(х) ряда (2) принадлежит ¿а[0,1)

и ||/1|

(а).

те

Доказательство. В силу условия имеем Аак = ^ А2а^ > 0. Применяя дважды преобразование

г=к

те

Абеля и используя леммы 1 и 8, стандартным образом получаем /(х) = ^ А2ак(к + 1)^к+1(х),

x е (0,1). Поэтому

k=0

р 1 те л1/г

/ |f (х)|гха dx < 2г—1 J0 ./1/(14

1=^1/(1 + 1)

1 — 1

(j + 1)Fj+1 (x)

j=0

^^ d^^ I

те с 1/1

+2г—1'Г / 1=^1/(1+1)

£A2 aj (j + 1)Fj+1 (x)

j=1

xa dx = 11 + 12.

Так как |Dj(x)| < j, то |nFn(x)| < |Dj(x)| < n2. Поэтому по лемме 3 при а > —1 имеем:

j=1

< C2^l-а—2 (l3A2a1—1)г = C^ 13г—а—2 (A2а^—1)г . (8)

те / 1

11 < С^ Га—2 ^З2А2а?—Л < С^ 1—а—2 (I3А2аг—^„2

г=1 \?=1 / г=1 г=1

С другой стороны, по лемме 4 и лемме 8 при 2г — 2 — а > —1 находим, что

тете

21—г 12 Г'а—22 C3I2A2

сгЕ i2

a,- | = с3 ^ '2г—а—2

г=1

г=1

EA2 aj

< C4^ 13г—а—2 (A2a^r . (9)

г=1

Из (8) и (9) вытекает неравенство теоремы.

□

г

те

г

те

те

те

a

j

те

г

г

г

г

г

те

те

Замечание 2. Теорема 4 близка по своему содержанию к оценке сверху в теореме из [12], однако в последней работе оценка для косинус-ряда была получена в терминах первых разностей выпуклых коэффициентов.

Библиографический список

1. Голубое Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М. : Наука, 1987. 344 с.

2. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 326, № 1. P. 721-735.

3. Leindler L. A new class of numerical sequences and its application to sine and cosine series // Analysis Math. 2002. Vol. 28, № 4. P. 279-286.

4. Конюшков А. А. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат. сб. 1958. Т. 44, № 1. С. 53-84.

5. Boas R. P. Integrability theorems for trigonometric transforms. Berlin : Springer, 1967. 68 p.

6. Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and continuity of functions represented by trigonometric series: coefficients criteria // Studia Math. 2009. Vol. 193, № 3. P. 285-306.

7. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending monotonically to zero // Acta Math. Hung. 1983. Vol. 38, № 1-4. P. 183-189.

8. Тиман М. Ф., Рубинштейн А. И. О вложении классов функций, определенных на нуль-мерных группах // Изв. вузов. Математика. 1980. № 6. С. 66-76.

9. Волосивец С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 3. P. 227-246.

10. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems // Analysis Math. 2011. Vol. 37, № 3. P. 215-238.

11. Askey R., Wainger S. Integrability theorems for Fourier series // Duke Math. J. 1966. Vol. 33, № 2. P. 223-228.

12. Вуколова Т. М., Дьяченко М. И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика и механика. 1994. № 3. C. 22-31.

13. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 c.

14. Харди Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948. 576 c.

15. Leindler L. Inequalities of Hardy - Littlewood type // Analysis Math. 1976. Vol. 2, № 2. P. 117-123.

16. Leindler L. Generalization of inequalities of Hardy and Littlewood // Acta Sci. Math. (Szeged). 1970. Vol. 31, № 1-2. P. 279-285.

17. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm // East J. Approximations. 2009. Vol. 15, № 2. P. 143-158.

Weighted Integrability of Sums of Series with Respect to Multiplicative Systems

S. S. Volosivets, R. N. Fadeev

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, VolosivetsSS@mail.ru, belal_templier@mail.ru

A necessary and sufficient condition for Lp-integrability with power weight of a function f represented by the series with respect to multiplicative systems with generalized monotone coefficients is obtained. The integrability of the majorant of partial sums of a representing series is also described by the same conditions. In addition we study the integrability of difference quotient

(f (x) - f (0))/x.

Key words: weighted Lp-integrability, multiplicative system, power weight, generalized monotone sequences.

References

1. Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh series and transforms. Theory and applications. Dordrecht, Kluwer, 1991.

2. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients. J. Math. Anal. Appl., 2007, vol. 326, no. 1, pp. 721-735.

3. Leindler L. A new class of numerical sequences and its application to sine and cosine series. Analysis Math., 2002, vol. 28, no. 4, pp. 279-286.

4. Konyushkov A. A. Nailuchshee priblizhenie trigono-metricheskimi polinomami i koefficienty Fur'e [The best approximation by trigonometrical polynomials and Fourier coefficients]. Mat. sbornik, 1958, vol. 44, no. 1, pp. 53-84 (in Russian).

5. Boas R. P. Integrability theorems for trigonometric transforms. Berlin, Springer, 1967.

6. Dyachenko M., Tikhonov S. Integrability and continuity of functions represented by trigonometric

series: coefficients criteria. Studia Math., 2009, vol. 193, no. 3, pp. 285-306.

7. Moricz F. On Walsh series with coefficients tending monotonically to zero. Acta Math. Hung., 1983, vol. 38, no. 1-4, pp. 183-189.

8. Timan M. F., Rubinstein A.I. On embedding of function classes defined on zero-dimensional groups. Izvestiya vuzov. Matematika. [Soviet Math.], 1980, no. 6, pp. 6676 (in Russian).

9. Volosivets S. S. On certain conditions in the theory of series with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2007, vol. 33, no. 3, pp. 227-246 (in Russian).

10. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems. Analysis Math., 2011, vol. 37, no. 3, pp. 215-238.

11. Askey R., Wainger S. Integrability theorems for Fourier series. Duke Math. J., 1966, vol. 33, no. 2, pp. 223228.

12. Vukolova T. M., Dyachenko M. I. On the properties

of trigonometric series sums with monotone coefficients. Vestnik Mosk. Universiteta. Ser. Matem. mech., 1994, no. 3, pp. 22-31 (in Russian).

13. Agaev G. N., Vilenkin N. Ya., Dzhafarli G. M., Rubinstein A. I. Mul'tiplikativnye sistemy funkcii i garmonicheskii analiz na nul'-mernyh gruppah [Multiplicative systems of functions and harmonic analysis on zero-dimensional groups]. Baku, Elm, 1980 (in Russian).

14. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. Cambridge, Cambridge University Press, 1934.

15. Leindler L. Inequalities of Hardy - Littlewood type. Analysis Math., 1976, vol. 2, no. 2, pp. 117-123.

16. Leindler L. Generalization of inequalities of Hardy andf Littlewood. Acta Sci. Math. (Szeged), 1970, vol. 31, no. 1-2, pp. 279-285.

17. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier - Vilenkin series in Holder and Lp norm. East J. Approximations., 2009, vol. 15, no. 2, pp. 143-158.

УДК 517.937, 517.983

О СОСТОЯНИЯХ ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В. Б. Диденко

Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник кафедры математических методов исследования операций, Воронежский государственный университет, vladimir.didenko@gmail.com

Исследуемому линейному дифференциальному оператору (уравнению) с неограниченными периодическими операторными коэффициентами, действующему в одном из банаховых пространств векторных функций, определенных на всей оси, сопоставляется разностный оператор (разностное уравнение) с постоянным операторным коэффициентом, определенный в соответствующем банаховом пространстве двусторонних векторных последовательностей. Для дифференциального и разностного оператора доказаны утверждения о совпадении размерностей их ядер и кообразов, одновременной дополняемости ядер и образов, одновременной обратимости, получены утверждения о взаимосвязи спектров.

Ключевые слова: дифференциальные операторы, разностные операторы, состояния обратимости, спектр.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

— ^ + ¿(*)х = /(*), * £ К, (1)

где А(*) : ^(А(*)) с X ^ X — семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Предполагается корректная разрешимость задачи Коши [1]

х(в) = х0 £ Я(А(в)), 5 £ К, (2)

для однородного дифференциального уравнения

^ = А(*)х, * > 5. (3)